二维向量的旋转

二维向量的旋转
在二维坐标系中，一个向量的旋转就是绕某个点的旋转，假设此点为原点，作下图：
即已知向量(,)A A OA x y =和旋转角度θ，求旋转后向量(,)B B OB x y =
解：设OA r =，OA 、OB 的角度分别为α、β，
则OA 、OB 的坐标表示式为(cos ,sin )OA r r αα=，(cos ,sin )OB r r ββ=， 根据题意，有βαθ=+，故
cos cos()cos cos sin sin cos sin B A A x r r r r x y βαθαθαθθθ==+=-=-， sin sin()sin cos cos sin sin cos B A A y r r r r x y βαθαθαθθθ==+=+=+， 此线性变换还可以表达为矩阵乘积的形式
用列矩阵表示向量A A x OA y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B B x OB y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，有cos ,sin sin ,cos B A B A x x y y θθθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 也可以用行矩阵表示向量[],A A OA x y =，[],B B OB x y =，有
[][]cos ,sin ,,sin ,cos B B A A x y x y θθθθ⎡⎤=⨯⎢⎥-⎣⎦
则二维向量旋转θ角的变换矩阵可以表示为cos ,sin sin ,cos R θθθθ-⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦列或cos ,sin sin ,cos R θθθθ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦行 若顺时针旋转，只需把θ换成θ-，得到
1cos(),sin()cos ,sin sin(),cos()sin ,cos R θθθθθθθθ----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
列 或
1cos(),sin()cos ,sin sin(),cos()sin ,cos R θθθθθθθθ----⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦行。