2017年中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第32课时与圆有关的位置关系

第5章图形的性质
tj^【精学】
考点一、点和圆的位置关系
设O O的半径是r,点P到圆心0的距离为d,则有：
d<r ：=点P在O 0内；
d=r 二点P 在O 0上;
d>r二点P在O 0外。

考点二、过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

考点三、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;
(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
(3 )相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果O 0的半径为r，圆心0到直线I的距离为d,那么：
直线I与O 0相交二d<r;
直线I与O 0相切二d=r;
直线I与O 0相离=d>r;
考点四、切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。

考点五、切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

考点六、三角形的内切圆1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

考点七、圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么
两圆外离=d>R+r
两圆外切二d=R+r
两圆相交二R-r<d<R+r (R> r)
两圆内切二d=R-r ( R>r)
两圆内含二d<R-r ( R>r)
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

【巧练】
题型一 与圆有关的位置关系
例1.
（ 2016，湖北宜昌）在公园的O 处附近有E 、F 、G H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长
需要被移除的为（
）
C. G H E D . H E 、F
【答案】A
OE OF, OG OH 然后和OA 比较大小.最后得到哪些树需要移
除.
【解答】解：TO.」"込逅 」QE£<0仏 所次点E 在00内， OF=2<0A ?所即、点E 在G>0内， OG=EVOAj 所以点E 在©0内， OH=V22+2■血>4馭点E 在00外,
故选A
【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距 离是解本题的关键•点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆 心的距离大于半径，点在圆内.
例2. （2016 •江苏无锡） 如图，△ AOB 中，/ O=90 , AO=8cm BO=6cm 点C 从A 点出发，在边A0上以2cm/s 的速度向O 点运动，与此同时，点 D 从点B 出发，在边BO 上以1.5cm/s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ,则当点C 运动了 _____________ s 时，以C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切.
均相等）现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E 、F 、G H 四棵树中
A . E 、F 、G B
F 、
G H
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出,
A . 1 v r v 4
B . 2v r v 4 C. 1 v r v 8 D . 2v r v 8 【答案】B
11
【答案】，:
【分析】当以点 C 为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切时，即CF=1.5cm,又因为/ EFC=/ 0=90，所 以厶EF3A DC0利用对应边的比相等即可求出 EF 的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出 t 的值，要 注意t 的取值范围为O W t <4.
【解答】解：当我点C 为圆心7 1.5cm 半径的圆与直线EF 相切时, 此时，CF=1.5, *JAC=2t, BD=t, .\0C=S _ 2t^ OD=6 -1> T 点E 是OC 的中点, ACE=004't,
\'ZEFC=ZO=90°J ZFCE=ZDCO 二△EFCsADCO
EF CF ；.0^0C 2
由勾股定理可知：C E UC F+EF 2,
• ( 4-t ) 2=
：
+ >
的 越
解得：t=::或t=-,
•/ 0W t W 4,
••• t= 一:. 故答案为：一
例3.（2016 •上海）如图，在 长为3, O D 与O A 相交，且点
Rt △ ABC 中，/ C=90 , AC=4 BC=7,点 D 在边 BC 上，CD=3 O A 的半径 B 在O D 外，那么O D 的半径长r 的取值范围是（
）
【分析】连接 AD,根据勾股定理得到 AD=5,根据圆与圆的位置关系得到 r >5-3=2,由点B 在O D 夕卜，于
是得到r V 4,即可得到结论.
【解答】解：连接AD, /AC=4? CD=5； ZC=90% 二 AD=»
VOA 的半彳狀为3, OD 与SU 狡, ・"』A5 - 3=2 '/BC=7J 二 BD=4』
•/点B 在O D 夕卜, /• r V 4,
•••O D 的半径长r 的取值范围是2V r V 4,
故选B .
上；当d >r 时，点在圆外；当 d V r 时，点在圆内.
【答案】B 【分析】首先连接 OC 由/A=25，可求得/ BOC 勺度数，由CD 是圆O 的切线，可得
d ,
则当d=r 时，点在圆
题型
切线的性质与判定 例4. （ 2016 •浙江省湖州市）如图，圆 O 是Rt △ ABC 的外接圆，/ ACB=90，/
，过点 C 作圆O 的
A . 25° B. 40°
Od CD 继而求得答
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系,
切线，
交AB
案.
【解答】解：连接0C,
T圆0是RtiABC的外接圆，
二AB&1 径，
■/ZA=25e J
i
\ZBOC=2ZA-SO^J
•/ CD是圆0的切线，
••• OCL CD
•••/ D=90 -Z BOC=40 .
故选B.
题型三三角形内心与外心
例5.（2016 •山东德州）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八
步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是："今有直角三角形，勾（短直角边）长为
直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）【答案】C
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径.
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为讨“^^=17,
8+15-17
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径
故选C
r= =3（步），即直径为6步,8步，股（长
A. 3步B . 5步C . 6步
a+b 一c 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt△ ABC三边长为a,b, c（斜边），其内切圆半径r=
例6. （2016 •黑龙江龙东）若点O是等腰△ ABC的外心，且/ BOC=60 ,底边BC=2则厶ABC的面积为（）A. 2+ : B
C. 2+ :■或2 - :- D . 4+2 :或2 - ■-
【答案】C
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ ABC 的面积，本题得以解决.
【解答】解：由题意可得，如右图所示，
存在两种情况，
当aABC为△扣BC日寸，连接0放OC・
T点0是等腰A ABC的外心，且ZBOC=60%底边BC也OB=OC,
/.AOBC为等边三角形，OB=OC=BC-2, OAilBC 于点D,
••• CD=1, OD= °- J门
c 2X (2-^3)
一=2 -",
当厶ABCA2BC时，连接OB OC
•••点O是等腰△ ABC的外心，且/ BOC=60，底边BC=2, OB=OC
• △ OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2OA丄BC于点D,
• CD=1, OD='［匚：迂
2X (2+苗)
• • A2B(= = =2+和-,
由上可得，△ ABC的面积为- :或2+ :,
故选C.
【限时突破】
ACM 外心 B.A ABC 的外心 C.A ACM 内心
D.A ABC 的内心
x 2-8x+15=0的两根分别是O O 和O 02的半径，当O O 和O
Q 相切时，OQ 的长度是（
）
3.（ 2016 •湖北荆州•）如图，过O 0外一点P 引O 0的两条切线 PA PB 切点分别是 A B , 0P 交O 0
于点C,点D 是优弧繭上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接 AD CD 若/ APB=80，则/ ADC 的度数
4 . （
2016 •内蒙古包头）如图，已知 AB 是O O 的直径，点 C 在O 0上，过点C 的切线与 AB 的延长线交于 1 .（2016河北）图示为4X4的网格图,
A B , C, D, 0均在格点上，点 0是（
2 .
（2016 •四川凉山州）已知，一元二次方程
A . 2
B . 8 C. 2 或 8 D. 2 V 00V 8
C
是（ ）
点P,连接AC,若/ A=30°，PC=3，则BP的长为________________ .
c
5. (2016 •安徽)如图，Rt△ ABC中，AB丄BC, AB=6, BC=4 P是厶ABC内部的一个动点，且满足/ PABK PBC贝U线段CP长的最小值为(
A. B . 2 C.讣显 D. '
6 . (2016 •广西桂林)已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积?
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式--海伦公式
S = p( p 一a)( P - b)( P - C)(其中a, b, c是三角形的三边长，p =, S为三角形的面积) 并给出了证明例如：在厶ABC中，a=3, b=4, c=5，那么它的面积可以这样计算:
■/ a=3, b=4, c=5
••• p= 二=6
••• s=「二l - - 二H j=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
如图，在△ ABC中，BC=5, AC=6 AB=9
(1)用海伦公式求△ ABC的面积；
(2)求厶ABC的内切圆半径r.
7. ( 2016 •黑龙江大庆)如图，在Rt△ ABC中，/ C=90，以BC为直径的O O 交斜边AB于点M,若H是
AC的中点，连接MH
(1)求证：MH为O O的切线.
(2)若MH= , tan / ABC=1，求O O 的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A B作O O的切线，两切线交于点D, AD与O O相切于N点，过N点作NQ 丄BC,垂足为E,且交O O于Q点，求线段NQ的长度.
A
8. (2015 •云南曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线I丄y轴于点B(0, —2),A为OB的中点，以A为
顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C D两点，且CD=4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心,PO为半径画
圆•
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若O P与y轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标；
9. ( 2016 •四川攀枝花) 如图，在△ AOB中，/ AOB为直角，OA=6 OB=8半径为2的动圆圆心Q从点O
出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0v t < 5)以P为圆心，PA长为半径的O P与AB OA的另
一个交点分别为 C D,连结CD QC
(1 )当t为何值时，点Q与点D重合？
(2)当0 Q经过点A时，求O P被OB截得的弦长.
(3)若0 P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围.
【答案解析】
1.答案：B
解析：点O在厶ABC外,且到三点距离相等，故为外心。

点评：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。

(也就是内切圆圆心)
2.【分析】先解方程求出O O、O Q的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解.
【解答】解:\ 001. O0:的半径分别是方程宀8x4-15-0的两根.
解得06、©02的半径分别是3和3・
二①当两圆外切时』圆心距Ch5=3+5=8夕
②当两圆内切时?圆心距O[O：=5 - 2=2.
故选C.
3.【分析】根据四边形的内角和，可得/ BOA根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案. 【解答】解；如图,
由四边形的内角和定理，得
/ BOA=360 - 90°—90°—80° =100°,
由亠=—，得
/ AOC=/ BOC=50 .
由圆周角定理，得
/ ADC」/ AOC=25 ,
2
故选：C.
【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出;.：■-：_■是解题关键，又利用了圆周角定理.
4.【分析】在RT A POC中，根据/ P=30°, PC=3求出OG OP即可解决问题.
【解答】解：JOA=OC, ZA=30%
/.ZOCA=ZA=30°,
/.ZCOB=ZA+ZACO=60%
/PC ®OO 切线，
Z.ZPCO-PO^ ZP=30%
•/ PC=3,
•••OC=PC?tan30 = : , PC=2OC=2 :, ••• PB=PO- OB=,
故答案为-.
A
5.【分析】首先证明点P在以AB为直径的O O上，连接OC与O O交于点P,此时PC最小，利用勾股定理求出OC 即可解决问题.
【解答】解：•••/ ABC=90 ,•••/ ABP亡PBC=90 ,
•••/ PAB=Z PBC BAP+7 ABP=90，•/ APB=9)°,
•••点P在以AB为直径的O O上，连接OC交O O于点P,此时PC最小,
在RT^ BCO中, vZ OBC=90 , BC=4, OB=3
•坯＜*=5, • PC=OC=OP=53=2.「. PC最小值为2.
故选B .
6.【分析】(1)先根据BG AC AB的长求出P,再代入到公式S品(厂(p- Q；即可求得S的值；
(2)根据公式S= r (AC+BC+AB,代入可得关于r的方程，解方程得r的值.
BC+AC+AB 5+6+9
【解答】解：(1)v BC=5 AC=6 AB=9 • p= 2 =2 =10 ,
...S=.】：A：二心，寸m[mi=107；
故厶ABC的面积10 ';
_1 _1
(2 )v S= r (AC+BC+KB) , •• 10 '=： r (5+6+9),
解得：r=:,
故厶ABC的内切圆半径r=:.
7.【分析】(1)连接OH OM易证。

日是厶ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH^A MOH所以
Z HCO Z HMO=9°O,从而可知MH是O O的切线；
3
(2)由切线长定理可知：M H=HC再由点M是AC的中点可知AC=3由tan Z ABC』,所以BC=4,
从而可知
O O的半径为2;
(3)连接CN AQ CN与AO相交于I,由AC AN是O O的切线可知AOL CN利用等面积可求出可求得CI
的长度，设CE为x,然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ
【解答】解：⑴连接0比0乩
TH是AC的中点，O是BC的中点，二0H是也ABC的中位线，二OH//AB, .\ZCOH=ZABC, ZMOH-ZOMB, 又••• OB=O,
•••/ OMB M MBO「•/ COH M MOH
在厶COH与△ MOH中,
r OC=CM
•ZCOH-ZMOH
,OH=M：,
•△COH^A MOH( SAS ,
•••/ HCO M HMO=90 ,
• MH是O O的切线；
(2)T MH AC是O O的切线，
3
• HC=MH= ,• AC=2HC=3
•/ tan M ABC=1 ,
AC役
•• BC=4,
•O O的半径为2;
(3)连接OA CN ON OA与CN相交于点I ,
••• AC与AN都是O O的切线，
• AC=AN AO平分/ CAD
• AO丄CN
•/ AC=3, OC=2
•由勾股定理可求得：AO=, A 丄
••• ”AC?OC=AO?CI
• ci= 一；，
1勾歪
•••由垂径定理可求得：CN= 一 ,
设OE=x
由勾股定理可得：cN- cE=oN- O E,
1^4
•「-( 2+x) 2=4 - x2,
• x= i .,
辿
• CE=1：,
54
由勾股定理可求得：EN=,
•由垂径定理可知：NQ=2EN=.
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判等知识
内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.
8. 分析： (1)根据题意可知A ( 0,- 1) , C (- 2, 0) , D (2, 0),从而可求得抛物线的解析式；
(2)根据OE=2可知点E的坐标为(0, 2)或(0，- 2),从而可确定出点P的纵坐标为1或-1 ;
(3)设点P的坐标为(m --r ' 1 ),然后求得圆P的半径OP和点P到直线I的距离，根据d=r ,可知直线和圆相切.
解答：解：(1)v点A为OB的中点, •点A的坐标为(0,- 1).
•/ CD=4,由抛物线的对称性可知：点 C (- 2 , 0) , D( 2 , 0),
将点A ( 0, - 1) , C (- 2 , 0) , D( 2 , 0)代入抛物线的解析式得: C= - 1
解得：* 1 , r c= - 1；
4a+c=0
•抛物线得解析式为丫= ,- I .
（2）如下图：过点 P 作RF 丄OE
当点E 与点B 重合时，点P 3与点A 重合, ••点 P 3的坐标为（0,- 1）.
综上所述点P 的坐标为（-2 .：, 1）或（2 :, 1 ）或（0,- 1）.
（3）设点P 的坐标为（m 丄丁 i.）,
___________ 2
•••圆的半径0P= 「工 -=1，
1 2
点P 到直线I 的距离=•「 1-（- 2） = +1.
4 4 二 d=r .
•/ OE=2
•••点E 的坐标为（0, 2）.
•/ PF 丄 OE
• EF=OF
•••点P i 的纵坐标为1 .
同理点P 2的纵坐标为1 .
将y=1代入抛物线的解析式得: X 1=…7，X 2=2 _：.
•••点 P i （- 2近,1）, P 2 （- 2近,1）.
如下图:
•••直线l与圆P相切.
点评：本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵
坐标是解题的关键.
9. 【分析】(1)由题意知CD±OA所以△ABQ利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，
则，AD+OQ=QA列出方程即可求出t的值；
(2)由于O v t < 5,当Q经过A点时，OQ=4此时用时为4s，过点P作PE! OB于点E,利用垂径定理即可求出O P 被OB截得的弦长；
(3)若0 P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与O P相切时，计算出此时的时间；②
当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围.
【解答】解：(1) '/OA=67 OB=B,
二由勾股定理可求得：AB=1S
由题意知：OQ=AP=t?
” ..A.C=2t^
•/ AC是O P的直径，
•••/ CDA=90 ,
• CD// OE,
•△ACD^A ABO
AC 二AD
.•.J,
6_
• AD=',
当Q与D重合时，
AD+OQ=OA
6_
•<+t=6 ,
30
• t= ；
(2)当0 Q经过A点时，如图1,
OQ=O A QA=4
22
• t= - =4s ,
• PA=4,
• BP=AB- PA=6,
过点P作PEL OB于点E,O P与OB相交于点F、G
连接PF,
PE BF IS
••• PE// OA •••△PEB^A AOB •••PE=5 ,
2/19
•由勾股定理可求得：EF= ,
由垂径定理可求知：FG=2EF= ;
(3)当QC与O P相切时，如图2,
此时/ QCA=90 ,
•/ OQ=AP=t • AQ=6- t , AC=2t,
A@ _ AC
•••/ A=Z A,Z QCA M ABO •△AQC^A ABO •~0A,
6-M
•- ：$ ,• t= 一 ,
28
•••当0 v t w L时，O P与QC只有一个交点，
当QC L OA时，
此时Q与D重合，
30
由(1)可知：t= 11
30
.•.当ll vt <5时，O P与QC只有一个交点，
18 30综上所述，当，O P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0v t <或il v t <5.
s s
團2 圄1
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答.
24。