甘肃省天水市甘谷一中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的）
1．已知sin（+α）=，cosα=（）
A．B．C．D．
2．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
3．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
4．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
5．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A．B．C．D．
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）
A．﹣a2B．﹣a2C． a2D． a2
7．函数的最小正周期为（）
A．2πB． C．πD．
8．已知两个向量，若∥，则x的值是（）
A．1 B．2 C．D．
9．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
10．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数f （x ）=cos （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）
A ．（k π﹣，k π+），k ∈Z
B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈Z
C ．（k ﹣，k ﹣），k ∈Z
D ．（2k ﹣，2k+），k ∈Z
12．若θ∈，则函数y=cos （θ+）+sin2θ的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．
D ．
二、填空题：（每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答．）
13．设sin2α=﹣sin α，α∈（
，π），则tan2α的值是 ．
14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则•= ．
15．若
，
是两个不共线的向量，已知
=2
+k
，
=
+3
，
=2
﹣
，若
A ，
B ，D 三点共线，则k= ．
16．若将函数f （x ）=sin （2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则
φ的最小正值是 ．
三．解答题：（共70分.要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤．）
17．已知
，且
，求
与
的夹角θ的取值范围．
18．已知 tan α=2．
（1）求tan （α+
）的值；
（2）求的值．
19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
20．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．
21．函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．
22．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过
点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．
2016-2017学年甘肃省天水市甘谷一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的）
1．已知sin（+α）=，cosα=（）
A．B．C．D．
【考点】GN：诱导公式的作用．
【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．
【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．
2．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．
3．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示
为的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由
===
；
故选：A．
4．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；3K：函数奇偶性的判断．
【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．
【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，
∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．
故选A．
5．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A．B．C．D．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
=sin30°
=．
故选：D．
6．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）
A．﹣a2B．﹣a2C． a2D． a2
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由已知可求，，根据=（）
•=代入可求
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，
∴=a2， =a×a×cos60°=，
则=（）•==
故选：D
7．函数的最小正周期为（）
A．2πB． C．πD．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．
【解答】解：由
可得最小正周期为T==2π，
故选A．
8．已知两个向量，若
∥，则x的值是（）
A．1 B．2 C．D．
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】利用向量的坐标形式的运算法则求出，的坐标；利用向量共线的充要条件列出方程求出x．
【解答】解：∵
∴， =（2﹣2x，2）
∵
∴（1+2x）×2=4×（2﹣2x）
解得x=．
故选C．
9．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】HF：正切函数的单调性．
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C
10．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）
A．B．C． D．
【考点】9N：平面向量数量积的含义与物理意义．
【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．
【解答】解：，，
则向量方向上的投影为：•cos＜＞
=•===，
故选A．
11．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣，kπ+），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
C．（k﹣，k﹣），k∈Z D．（2k﹣，2k+），k∈Z
【考点】H7：余弦函数的图象．
【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．
【解答】解：从图象可以看出：图象过相邻的两个零点为（，0），（，0），
可得：T=2×=2，
∴ω==π，
∴f（x）=cos（πx+φ），将点（，0）带入可得：cos（+φ）=0，
令+φ=，可得φ=，
∴f（x）=cos（πx+），
由，单点递减（k∈Z），
解得：2k﹣≤x≤2k+，k∈Z．
故选D
12．若θ∈，则函数y=cos（θ+）+sin2θ的最小值是（）
A．0 B．1 C．D．
【考点】HW：三角函数的最值；3X：二次函数在闭区间上的最值．
【分析】先利用二倍角公式对函数的解析式进行化简整理，根据θ的范围确定sin（θ+）
的范围，进而设cos（θ+）=t，根据二次函数的性质求得函数的最小值．
【解答】解：y=cos（θ+）+sin2θ=cos（θ+）﹣cos（2θ+）
=﹣cos2（θ+）+cos（θ+）
=﹣2cos2（θ+）+cos（θ+）+1
∵θ∈，
∴≤cos（θ+）≤，
所以设cos（θ+）=t
y=﹣2（t﹣）2+
当t=时即θ=﹣时有最小值
故选D
二、填空题：（每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答．）
13．设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．
【考点】GS：二倍角的正弦；GG：同角三角函数间的基本关系；GU：二倍角的正切．
【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则•= 2 ．
【考点】9R ：平面向量数量积的运算．
【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为
（
）•（
），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．
【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 =0，
故 =（ ）•（
）=（
）•
（
）=﹣
+
﹣
=4+0﹣0﹣
=2，
故答案为 2．
15．若，是两个不共线的向量，已知=2
+k
，
=
+3
，
=2
﹣
，若A ，B ，D 三点共线，则k= ﹣8 ．
【考点】9C ：向量的共线定理．
【分析】先求出，利用A ，B ，D 三点共线，
=，求出k 即可．
【解答】解：
=（2
﹣
）﹣（
+3
）=
﹣4
因为A ，B ，D 三点共线，
所以
=，已知=2+k ，
=
﹣4
，λ
﹣4λ
=2
+k
，
所以k=﹣8， 故答案为：﹣8．
16．若将函数f （x ）=sin （2x+
）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，
则φ的最小正值是．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin
（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，
所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，
则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：．
三．解答题：（共70分.要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤．）
17．已知，且
，求与的夹角θ的取值范围．【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的运算法则，结合题意求出cosθ的取值，再求夹角θ的取值范围．
【解答】解：由题意：，
∴2+3•﹣2≥4；
又||=3，||=4，
∴2×9+3×3×4cosθ﹣2×16≥4，
解得；
又θ∈，
∴与夹角θ的取值范围是．
18．已知 tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求的值．
【考点】GR：两角和与差的正切函数；GI：三角函数的化简求值．
【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．
（2）利用二倍角公式化简求解即可．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+）===﹣3；
（2）
=
=
==1．
19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）根据三点构成三角形的条件，即只要三点不共线，根据共线的条件确定出m的值，从而解出A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件；
（2）将几何中的角为直角转化为向量的语言，通过向量的数量积为零列出关于实数m的方程，求解出实数m．
【解答】解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，
∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m
∴实数时，满足条件．
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，
∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0
解得．
20．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的
周期公式求出此函数的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）
=
=
=
=
所以，f（x）的最小正周期=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，
由x∈得，2x∈，则∈[，]，
∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到
最小值是：，
当=时，即=时，f（x）取到最大值是：
，
所以，所求的最大值为，最小值为．
21．函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；GI：三角函数的化简求值；H4：正弦函数的定义域和值域．
【分析】（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），
由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），
又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，
∴函数f（x）的值域为．
（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，
即sin（x0+）=，由，知x0+
∈（﹣，），
∴cos（x0+）==．
∴f （x 0+1）=2sin （
x 0++）=2sin=2
=2（
×+
×
）
=．
22．已知向量=（m ，cos2x ），=（sin2x ，n ），设函数f （x ）=
•，且y=f （x ）的
图象过点（
，
）和点（
，﹣2）．
（Ⅰ）求m ，n 的值；
（Ⅱ）将y=f （x ）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g （x ）的图象．若y=g （x ）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x ）的单调增区间． 【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f （x ）=msin2x+ncos2x ，进一步根据图象经过的点求得：m 和n 的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
=
，f （x ）向左平移φ个单位得到g （x ）=2sin （2x+2Φ+
）
设g （x ）的对称轴x=x 0，最高点的坐标为：（x 0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g
（x ）=2sin （2x+
）=2cos2x ，进一步求得单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）已知：，
，
则：
=msin2x+ncos2x ，
y=f （x ）的图象过点y=f （x ）的图象过点（
，
）和点（
，﹣2）．
则：解得：，
即：m=，n=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
=
，f （x ）向左平移φ个单位得到：
g （x ）=2sin （2x+2Φ+
），
设g （x ）的对称轴x=x 0，最高点的坐标为：（x 0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：
，
则：g（0）=2，
解得：Φ=，
所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．
令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）
则：单调递增区间为：[]（k∈Z）
故答案为：（Ⅰ）m=，n=1
（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）
2017年6月14日。