【跨越一本线】2017届高三数学问题：3.3-三角形中的不等问题(含答案)

2017届高三数学跨越一本线精品
问题三：三角形中的不等问题
在△ABC 中,如果A ,B ,C 对应边分别用a ,b ,c 表示,则常见的等式有：A ＋B ＋C ＝π,
2sin sin sin a b c
R A B C
===(正弦定理),c 2＝a 2＋b 2－2abcosC (余弦定理)等,而其中隐藏的不等关系也很多,如0＜A ＜π,0＜A ＋B ＜π,|a －b |＜c ＜a ＋b ,如果是锐角三角形,则还有0＜A ＜
2π,2
π＜A ＋B ＜π,a 2＋b 2＞c 2
等等,解题中充分利用这些关系,结合不等式相关性质,可以求出相关变量或解析式的准确范围. 一，角或角的三角函数的范围或最值
【例1】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】△ABC 的面积为S ,
BA BC ⋅=
则22sin sin A C +的取值范围是 ．
【分析】把22sin sin A C +用一个角的三角函数表示,然后根据角的范围用函数单调性求
22sin sin A C +的范围.
【解析】由
BA BC ⋅=
得1cos sin 2ca B ac B =
,即cos B B =,又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =
．22
1cos 21cos 2sin sin 22
A C A C --+=+＝
1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]
2
A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝
cos cos()1B A C -+＝3
cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以
B A
C B ππ-<-<-,所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A C B -=-=-,所以737
cos()11644
A C <-+≤,即
22sin sin A C +的取值范围是77
(,]164
．
【答案】77
(,]164
【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.
【小试牛刀】【2016山东高考数学】在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
()tan tan 2tan tan cos cos A B
A B B A
+=
+. （1）求证：2a b c +=； （2）求cos C 的最小值
.
二，边的范围或最值
【例2】【2017河南省天一大联考】在△ABC 中,若3sin 2sin C B =,点E ,F 分别是
AC ,AB 的中点,则
BE
CF
的取值范围为 ． 【分析】先得出2
2222
2221818718149b b a BE a CF b a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
,设b t a =,转化为函数求值域. 【解析】设,,,,AB c AC b BC a E F ===分别是,AC AB 的中点,2
2
2
2
22
b c a BE ∴+=+
(
)2
2
2
2
cos cos 0,2,3sin 2sin 2
c AFB CFB b a CF C B ∠+∠=+=+=, 所以由正弦定理
得222222732,2,2189b c b BE a CF a b =∴=-=+,2
2
222
2221818718149b b a BE a CF b a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
2
13512698b a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭
114-,设b t a =,结合23c b =,由,a b c
a c
b b
c a +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩
可得2
393,9525b b a a ⎛⎫
<<∴<< ⎪⎝⎭
.
222135114917,,,12614166448BE BE CF t CF ⎛⎫⎛⎫
∴=-∈∴∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
,故答案为17(,)48. 【点评】本题主要考查三角形中位线定理，正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据
其单调性求凼数的值域；本题就是先将
BE
CF
表示为关于t 的函数,再根据方法⑤解答的. 【小试牛刀】【2017湖北襄阳市四校高三上学期期中联考】在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角
,,A B C 所对的边,若3
a A π
==
,则b c +的最大值为( )
A ．4
B ．．．2 【答案】C
【解析】由余弦定理,知222cos 32b c bc
π+-=,整理,得223b c bc +=+,则有
2()33b c bc +=+≤2
3(
)2
b c ++,即2()12b c +≤,所以b c +≤当且仅当b c =时等号
成立,所以b c +的最大值为故选C ． 三，周长的范围或最值
【例3】已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c --=. (1)求A 的大小；
(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．
【分析】(1)条件中的等式cos sin 0a C C b c --=给出了边角满足的关系式,利用正弦定理,统一为角之间的关系,消去(替换掉)B 和C ,即可求出A 的值；(2)根据题意可知,欲求周长的取值范围,即求b ＋c 的取值范围,首先显然有b ＋c ＞a ＝7,再由余弦定理结合基本不等式可知
22222231
492cos
()3()()()344
b c bc b c bc b c b c b c π
=+-=+-≥+-+=+,从而得解． 【解析】(1)由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin A C A C A C C ⇔=++
1
cos 1sin()62A A A π⇔-=⇔-=663
A A πππ
⇔-=⇔=；
(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,
由余弦定理22
222231
492cos
()3()()()344
b c bc b c bc b c b c b c π
=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．
【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
【小试牛刀】【2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考】C ∆AB 中,角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ,且cos C cos 2cos cos b c a a B +=A A
．
（1）求角A ；
（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值． 【答案】（1）60A =︒；（2）6．
四，面积的范围与最值
【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝点M 在线段PQ 上．
(1)
若OM =求PM 的长；
(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．
【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.
【解析】(1)在OMP ∆中, 45OPM ∠=︒
,OM =
OP =由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OP
OPM OMP
=∠∠,
所以()sin 45sin 45OP OM α︒=
︒+, 同理()
sin 45sin 75OP ON α︒
=︒+
故1
sin 2
OMN S OM ON MON ∆=
⨯⨯⨯∠ ()()
221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯
︒+︒+ ()()
1
sin 45sin 4530αα=
︒+︒++︒
=
⎣⎦
=
=
=
因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,
所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值． 即30POM ∠=︒时,△OMN
的面积的最小值为8-
【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.
【小试牛刀】【2017河南新乡高三上学期第一次调研测试】在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别
为,,a b c ,已知()sin cos cos sin A B B A b a B
++=．
（1）求a ； （2）若1
cos 3
A =
,求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）1a =；（2
.
五，与其它知识点的综合问题
【例5】已知O 为△ABC 的外心,3
1
cos =
A ,若AO xA
B yA
C =+,则x ＋y 的最大值为( ) A ．
31 B ．21 C ．32 D ．4
3 【解析】如图所示,以BC 边所在直线为x 轴,BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为
BC 边的中点)．
由外接圆的性质可得∠BOD ＝∠COD ＝∠BAC ． 由3
1
cos =
A ,不妨设外接圆的半径R ＝3．则OA ＝O
B ＝O
C ＝3． ∵cos ∠CO
D ＝1
3
OD OC =,∴OD ＝1,DC
＝
2 ∴B (−
2
C
(2O (0,1),A (m ,n )．
则△ABC 外接圆的方程为：x 2
＋(y －1)2
＝9．(*) ∵AO xAB yAC =+,
∴(－m ,1－n )＝x (−2−m ,−n )＋y (2−m ,−n ),
∴())1m x m y m n xn ym
⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩’ ∵1x y +≠时,否则CO xCB =,由图可知是不可能的.
∴可化为)
1
1
n 1y x m x y x y ⎧-=
⎪⎪++⎨-⎪=⎪++⎩
,代入(*)可得2222
8()()9(1)(1)y x y x x y x y ---+=++++, 化为18(x ＋y )＝9＋32xy ,
利用重要不等式可得18(x ＋y )2
9322x y +⎛⎫
≤+ ⎪⎝⎭
,
化为()()2
81890x y x y +-++≥,
解得33
42
x y x y +≤
+≥或. 又x ＋y <1,故3
2
x y +≥应舍去,
∴34
x y +≤
, 故x ＋y 的最大值为34
. 【答案】D
【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量，数列，不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.
【小试牛刀】【2017河北省冀州中学高三上学期第二次阶段考试】如图,已知平面上直线
12//l l ,A ,B 分别是1l ,2l 上的动点,C 是1l ,2l 之间的一定点,C
到1l 的距离1CM =,C 到2l 的距离CN =ABC ∆三内角A ∠，B ∠，C ∠所对边分别为a ,b ,c ,
a b >,且cos cos b B a A =.
（Ⅰ）判断ABC ∆的形状； （Ⅱ）记ACM θ∠=,11
()f AC BC
θ=
+,求()f θ的最大值.
【答案】（Ⅰ）ABC ∆是直角三角形；（Ⅱ）()f θ
迁移运用
1.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】在锐角ABC ∆中,若2A B =,则a
b
的范围是（a ,b 分别为角A ,B 的对边长）（ ）
A ．
B ． C.(0,2)
D ． 【答案】A
【解析】因为2A B =,B A 、为锐角,所以ππ
<<B 32
,,2
B 20π
<
<所以
4
6
π
π
<
<B ,
则
a b ∈===cosB 2sinB
B 2sin sin sin B A ． 2.在△AB
C 中,角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且BC 边上的高为a 6
3
,则c b b c + 的最大
值是( )
A .8
B . 6
C .23
D .4
【答案】D
3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为c b a ,,,则""b a ≤是"sin sin "B A ≤的（ ）
A .充分必要条件
B .充分非必要条件
C .必要非充分条件
D .非充分非必要条件
【答案】A
【解析】在三角形中,根据正弦定理,
sin sin a b
A B
=,且a ,b ,sinA ,sinB 均为正数 于是“a ≤b ”与“sinA ≤sinB ”等价,即充分必要条件.选A 4.ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,,满足
1≥+++b
a c
c a b ,则角A 的范围是（ ） A ．(0,]3π B ．(0,]6π C ．[,)3ππ D ．[,)6
π
π
【答案】A
【解析】由
1≥+++b
a c c a
b ,得()()()()b a
c a c a c b a b ++≥+++, 整理得bc a c b ≥-+222,
由余弦定理得21
22cos 222≥≥-+=bc bc bc a c b A ,
⎥⎦
⎤
⎝⎛∈∴3,0πA .选A
5.【2016学年湖南省株洲县五中高二下学期第一次月考】锐角ABC ∆中,已知3
,3π
=
=A a ,
则bc c b ++22的取值范围是 （ ）
A ．(]9,3
B ．(]9,5
C ．(]9,7
D ．(]7,5 【答案】C 【解析】由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==
可得sin sin sin
3
b c
B C
π
=
=
,
所以22sin ,2sin 2sin sin 3b B c C B B B π⎛⎫
===-=+
⎪⎝⎭
． 因为ABC ∆为锐角三角形,所以02262032B B C B πππππ
⎧<<⎪⎪⇒<<⎨
⎪<=-<⎪⎩．
)
)
2
2
2
2
4sin sin 2sin sin b c bc B B B B
B B ∴++=+
+++
22224sin 3cos sin cos cos 2sin B B B B B B B B =+++++
(
)234sin 2321cos22B B B B =++=+-+
)
52
2cos 254sin 26B B B π⎛
⎫=+-=+- ⎪⎝
⎭
51,2,sin 216
2
6
6
626B B B π
π
π
π
ππ⎛⎫<<
∴
<-
<
∴<-≤ ⎪⎝⎭754sin 296B π⎛
⎫∴<+-≤ ⎪⎝
⎭ 即22
79b c bc <++≤．故C 正确．
6.设锐角ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ,且 1=a ,A B 2=, 则
b 的取值范围为（ ）
A .
(
)3,2 B .(
)3,
1 C .
(
)
2,2 D .()2,0
【答案】A
【解析】由正弦定理得A A a A
A
a A B a
b cos 2cos 2sin 2sin sin sin ====
,由于三角形是锐角三角形
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-=<<
=<<<∴23022020ππππA C A B A 23cos 2246<<∴<<∴A A ππ,32<<∴b 7.在锐角．．
三角形ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若A ＝2B ,给出下列命题： ①ππ64B <<
；②a b
∈；③a 2＝b 2＋bc ．其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】在锐角．．三角形ABC 中,ππ<+<B A 2,又因为B A 2=．所以ππ
<<B 32
即ππ64
B <<, ∵B B A b a cos 2sin sin ==,ππ64B <<,所以2
3cos 22<
<B ,3cos 22<<B ∵a 2
＝b 2
＋c 2
－2bccosA , ∵b 2
＋c 2
－2bccosA －(b 2
＋bc ) ＝c 2－2bccosA －bc ＝c (c －2bcosA －b )
＝c 2R (sinC －2sinBcosA －sinB ) ＝2Rc (sin 3B －2sinBcos 2B －sinB )
＝2Rc (sinBcos 2B ＋cosBsin 2B －2sinBcos 2B －sinB ) ＝2Rc (cosBsin 2B －sinBcos 2B －sinB ) ＝0
∴a 2
＝b 2
＋bc ．
∴①③对．故选：C ．
8.【2017广西梧州高三上学期摸底联考】已知ABC ∆中,角3
,,2
B C A 成等差数列,且ABC ∆的
面积为1则AB 边的最小值是__________． 【答案】2. 【解析】∵3,
,2B C A 成等差数列,∴C B A 3=+,又∵π=++C B A ,∴4
π
=C ,∴由21sin 2
1
+==
∆C ab S ABC 得()
222+=ab ,∵ab b a C ab b a c 2cos 222222-+=-+=,及
ab b a 222≥+,∴()
4222=-≥ab c ,解得：2≥c ,∴AB 的最小值为2．故答案为：2．
9.【2017河北省沧州市第一中学10月月考】已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为
a b c ，，,外接圆半径为1,且满足
tan 2tan A c b
B b
-=,则ABC ∆面积的最大值为___________.
【答案】
4
10.【2016届宁夏银川市二中高三上学期统练】ABC ∆为锐角三角形,内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,,已知2=c ,且A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,则a 的取值范围是______________；
【答案】)33
2,552(
【解析】
sin sin()2sin 2sin()sin()2sin 22sin cos 4sin cos C B A A A B B A A B A A A
+-=⇒++-=⇒=,因
为ABC ∆为锐角三角形,所以sin 2sin 2B A b a =⇒=,因为ABC ∆为锐角三角形,所以
2222220,0,a b c a c b +->+->即2254,34,a a ><解得a 的取值范围是)
33
2,552(
11.【2016届河北省衡水中学高三上学期三调考】ABC ∆中,60B AC =︒=，,则
2AB BC +的最大值为 ．
【答案】【解析】设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222
cos 2a c b B ac
+-=,所以
2223a c ac b +-==,设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,28430m =-≥,
故m ≤当m =,此时a c ==
,符合题意,因此最大值为故答案
为：
12.【2016届安徽省示范高中高三第一次联考】在ABC ∆中,若222,10AB AC BC =+=,则
ABC ∆的面积取最大值的边长等于 .
13.【2016江西省新余市高三第二次模拟考试】在ABC ∆中,
30=∠B ,5=AC ,D 是边AB 上一点.
（1）求ABC ∆的面积的最大值；
（2）若2=CD ,ACD ∆的面积为2,ACD ∠为锐角,求BC 的长.
【答案】（1）
43510+；(2) 5
BC = 【解析】（1）由
30=∠B ,5=AC 及余弦定理得：
BC
AB BC AB BC AB ABC BC AB BC AB AC ⋅-≥⋅-+=∠⋅⋅-+==)32(3cos 2522222,
∴)32(53
25
+=-≤
⋅BC AB ,
∴4
3
510sin 21+≤
⋅=
∆B BC AB S ABC , ∴ABC ∆的面积的最大值为
4
3
510+. （2）设θ=∠ACD ,在ACD ∆中,θsin 2
1
CD AC S ACD ⋅=
∆, ∴
2sin 2521=⨯⨯⨯θ,解得552sin =θ,∴5
5cos =θ. 由余弦定理得：55
5
5445cos 22
2
2
=⨯-+=⋅⋅-+=θCD AC CD AC AD , ∴5=AD
A CD AD sin sin =θ,∴A
sin 2
5
525=,∴54sin =A , 此时
B A
C A BC sin sin =,∴5
5
8sin sin ==B A AC BC . 14．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量(cos ,cos )m A B =,(,2)n a c b =-,且//m n ． （1）求角A 的大小；
（2）若4a =,求∆ABC 面积的最大值．
【答案】（1）3
A π
=
；（2）
【解析】（1）∵//m n ,所以cos (2)cos 0a B c b A --=, 由正弦定理得sin cos (2sin sin )cos 0A B C B A --=, ∴sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=,
∴sin()2sin cos A B C A +=,由A B C π++=, ∴sin 2sin cos C C A =,
由于0C π<<,因此sin 0C >,所以1cos 2
A =, 由于03
A π
<<
,∴3
A π
=
．
（2）由余弦定理得2
2
2
2cos a b c bc A =+-,
∴2
2
162b c bc bc bc bc =+-≥-=,因此16bc ≤,当且仅当4b c ==时,等号成立；
因此ABC ∆面积1
sin 2
S bc A =
≤因此ABC ∆面积的最大值
15．【2017届甘肃天水一中高三理12月月考】在ABC ∆中,222a c b +=． （1）求B ∠的大小；
（2cos A C +的最大值． 【答案】（1）4
B π
∠=
；（2）1．
【解析】（1）由余弦定理及题设得222cos 2a c b B ac +-===,
又∵0B π<∠<,∴4
B π
∠=
；（2）由（1）知34
A C π
∠+∠=
,
3
cos cos(
)4A C A A π+=+-cos sin 22
A A A =-+
cos()224
A A A π
=
+=-,因为304A π<∠<,所以当4A π∠=
时cos A C +取得最大值1．
16【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考】．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,
已知cos sin a b C B =． （1）求B ；
（2）若b =求△ABC 面积的最大值．
【答案】（1）6
B π
=
；（2）4+
【解析】（1）由已知及正弦定理得：sin sin cos sin A B C B C =,
∵sin sin()sin cos sin A B C B C B C =+=,
∴sin cos sin C B B C =,即tan B =, ∵B 为三角形的内角,∴6
B π
=．
（2）11
sin 24
ABC S ac B ac ∆=
=,
由已知及余弦定理得2
2
82cos 6
a c ac π
=+-,即228a c +=,代入22
2a c ac +≥,
整理得16
ac ≤
=+当且仅当a c =时,等号成立,
则ABC ∆面积的最大值为
1
(1644
+=+ 17．【2017届山西晋中榆社中学高三11月月考】在ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,已知向量()
()2,,,1m b c a bc n b c =++=+-,且0m n =． （1）求角A 的大小；
（2）若3a =,求ABC ∆的周长的最大值．
【答案】（1）23
A π
=
；（2）3+ 【解析】（1）因为0m n =,所以()2
20b c a bc +--=, 即222b c a bc +-=-,
故2221cos 222
b c a bc A bc bc +-==-=-．
又()0,A π∈,所以23
A π
=．
（2）由（1）及3a =,得()()()2
22
2222324b c a b c bc b c bc b c b c +⎛⎫=++=+-≥+-=+ ⎪
⎝⎭
,所以()2
12b c +≤,
所以3b c a b c +≤++≤+,
故ABC ∆的周长的最大值3+
18．【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】在ABC △中,角 A B C ，
，的对边分别为 a b c ，，,且角 A B C ，，成等差数列.
（Ⅰ）若 3b a ==，
,求边c 的值； （Ⅱ）设sin sin t A C =,求t 的最大值. 【答案】（I ）4；（II ）
3
4
． 【解析】（Ⅰ）因为角 A B C ，
，成等差数列,所以2B A C =+, 因为A B C π++=,所以3
B π
=.
因为 3b a =，
,2222cos b a c ac B =+-, 所以2340c c --=,
所以4c =或1c =-（舍去）.
19.【2017届河北武邑中学高三】如图,海上有A ，B 两个小岛相距10km ,船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒,现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业,且OC BO =．设km AC x =．
（1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅,并求出x 的取值范围；
（2）0晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛,B 岛至光线CA 的距离为BD ,求BD 的最大值．
【答案】(1)210022
2
+=+x OB OA ,02
100
2>-=
⋅x OB OA ,31010≤<x ；(2)10. 【解析】⑴在OAC ∆中,
120=∠AOC ,x AC =,
由余弦定理得,2
2
2
120cos 2x OC OA OC OA =⋅⋅-+
,
又BO OC =,所以2
22120cos 2x OB OA OB OA =⋅⋅-+ ①
在OAB ∆中,10=AB ,
60=∠AOB
由余弦定理得,
10060cos 222=⋅⋅-+ OB OA OB OA ②
+①②得2
100
22
2
+=+x OB OA ,
-①②得10060cos 42
-=⋅⋅x OB OA
,即2
100
60cos 2-=⋅⋅x OB OA
,
又OB OA OB OA ⋅≥+22
2
,所以2
1002210022-⨯≥+x x ,即3002
≤x , 又02
100
2>-=
⋅x OB OA ,即1002>x ,所以31010≤<x ⑵易知OAC OAB S S ∆∆=, 故OAB ABC S S ∆∆=4
)100(360sin 2122-=⋅⋅⋅⋅=x OB OA
又BD AC S ABC ⋅⋅=
∆2
1
,设)(x f BD =, 所以x
x x f 2)
100(3)(2-=,31010≤<x ,
又)1001(23)('2x
x f +=
, 则)(x f 在]310,10(上是增函数,
所以)(x f 的最大值为10)310(=f ,即BD 的最大值为10．………………12分 20.【2017届湖南师大附中高三上学期月考】在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为
a ,
b ,
c ,且满足cos 2cos 22sin()sin()33
C A C C ππ
-=+⋅-．
（1）求角A 的值；
（2）若a =b a ≥,求2b c -的取值范围．
【答案】(1)3A π
=
或23
A π
=
；(2).
【解析】（1）由已知得222
2312sin 2sin 2(cos sin )44
A C C C -=-．
化简得sin A =
,故3A π=或23A π=．
21．【2017河北冀州中学上学期月考】已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos a C ,cos b A ,cos c A 成等差数列． （1）求角A 的大小； （2）若3a =,1
()2
AD AB AC =
+,求||AD 的最大值． 【答案】(1)3
π
=
A ；(2)
2
3
3. 【解析】（1）由题意知2cos cos cos b A a C c A =+, 由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=,
sin()sin 2sin cos A C B B A +==,又sin 0B ≠,
故1
cos 2
A =, ∴3
A π
=
．
（2）由1
()2
AD AB AC =
+,得 2
222222111
(2)(2cos )()444
AD AB AB AC AC c b cb A c b cb =+⋅+=++=++,
又由余弦定理得22222
2cos 9a c b cb A c b cb =+-=+-=,
故2
2
1
||(92)4
AD AD cb ==
+, 由2
2
92c b cb cb cb cb +-=≥-=,当且仅当c b =时取等号, 故2
127||(918)44
AD ≤
+=,
∴||AD ．。