2015年高三文科复习——统计与统计案例：【考点1】随机抽样(解析版)

统计与统计案例
【考点1：随机抽样】
[归纳·知识整合]
1.简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地_抽取n 个个体作为样本(n ≤N ),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等 ,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和_随机数法.
特点：(1)抽取方式：不放回抽取;
(2)每个个体被抽到的概率相等;
(3)常用方法：抽签法和随机数法.
[探究] 1.简单随机抽样有什么特点？
提示：(1)被抽取样本的总体个数N 是有限的;(2)样本是从总体中逐个抽取的;(3)是一种不放回抽样;(4)是等可能的抽取.
2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本.
(1)先将总体的N 个个体编号;
(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段.当N n (n 是样本容量)是整数时,取k ＝N n ; (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k );
(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ,再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ,依次进行下去,直到获取整个样本.
[探究] 2.系统抽样有什么特点？
提示：适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.
3.分层抽样
(1)定义：在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
[探究] 3.分层抽样有什么特点？
提示：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.
[题型剖析]
题型1：简单随机抽样
【典型例题】
1.为了支援我国西部教育事业,决定从2011级学生报名的30名志愿者中,选取10人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
[自主解答] 抽签法：
第一步：将30名志愿者编号,编号为1,2,3, (30)
第二步：将30个号码分别写在30张外观完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签.
第三步：将30个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀.
第四步：从盒子中逐个抽取10个号签,并记录上面的编号.
第五步：所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.
随机数法：
第一步：将30名志愿者编号,编号为01,02,03, (30)
第二步：在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数.
第三步：凡不在01～30中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下10个得数.
第四步：找出号码与记录的数相同的志愿者组成志愿小组.
2.今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.问：
(1)总体中的某一个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少？
(2)个体a 不是在第一次被抽到,而是在第二次被抽到的概率是多少？
(3)在整个抽样过程中,个体a 被抽到的概率是多少？
解：①用简单随机抽样,从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本,每次抽取一个个体时任一个
体被抽到的概率为1N ;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n N
;②抽签有先后,但概率都是相同的. 故(1)16;(2)16;(3)13
. 【变式训练】
1.大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个,现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本,较为恰当的抽样方法为________________.
答案：简单随机抽样
2.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( )
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本;
②箱子里有100支铅笔,今从中选取10支进行检验.在抽样操作时,从中任意拿出一支检测后再放回箱子里; ③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：选A ①不满足样本的总体数较少的特点;②不满足不放回抽取的特点;③不满足逐个抽取的特点.
3.利用简单随机抽样,从n 个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的
概率为13
,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( ) A.13 B.514 C.14 D.1027
解析：选B 由题意知9n －1＝13
,解得n ＝28.故P ＝1028＝514. 题型2：系统抽样
【典型例题】
1.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13
B.19
C.20
D.51
解析：选C 由系统抽样的原理知抽样的间隔为524
＝13,故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3,从而可知选C.
2.(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷B 的人数为( )
A.7
B.9
C.10
D.15
[自主解答] 第n 个抽到的编号为9＋(n －1)×30＝30n －21,由题意得451≤30n －21≤750,解得151115≤n ≤25710
.又n ∈Z ,故满足条件的共有10个.
[答案] C
3.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m ,那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同.若m ＝6,则在第7组中抽取的号码是________.
[答案]63
【变式训练】
1.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为 ( )
A.3,2
B.2,3
C.2,30
D.30,2
[答案]A
2.用系统抽样法(按等距离的规则),要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1～160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号,9～16号,…,153～160号),若第16组应抽出的号码为125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是 ( )
A.7
B.5
C.4
D.3
答案：B 3.800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k ＝80050＝16,即每16人抽取一个人.在1～16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33～48这16个数中应取的数是( )
A.40
B.39
C.38
D.37
解析：选B 按系统抽样分组,33～48这16个数属第3组,则这一组应抽到的数是7＋2×16＝39.
4.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为________.
解析：依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k (k ∈N *)组抽中的号码为3＋12(k －1).
令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25, 令300<3＋12(k －1)≤495,得1034
<k ≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17. 故第Ⅲ营区被抽中的人数是50－25－17＝8.
答案：25,17,8
5.(2013陕西)某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 ( )
A.11
B.12
C.13
D.14
【答案】B
题型3：分层抽样
【典型例题】
1.(2012·天津高考)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取____________所学校,中学中抽取____________所学校.
解析：从小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校;从中学中抽取30×75150＋75＋25
＝9所学校. 答案：18 9
2.(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
[解析] 由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310
,利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×310
＝15名学生. [答案] 15
3.某学校共有教职工900人,分成三个批次进行教育培训,在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.
第一批次 第二批次 第三批次 女教职工
196 x y 男教职工 204 156 z
(1)求x 的值;
(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？
[自主解答] (1)由x 900
＝0.16,解得x ＝144. (2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200,
设应在第三批次中抽取m 名,则m 200＝54900
,解得m ＝12. 故应在第三批次中抽取12名教职工.
4.(1)某学校为了了解2011年高考数学学科的考试成绩,在高考后对1 200名学生进行抽样调查,其中文科400名考生,理科600名考生,艺术和体育类考生共200名,从中抽取120名考生作为样本.(2)从10名家长中
抽取3名参加座谈会.Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.
问题与方法配对正确的是( )
A.(1)Ⅲ,(2)Ⅰ
B.(1)Ⅰ,(2)Ⅱ
C.(1)Ⅱ,(2)Ⅲ
D.(1)Ⅲ,(2)Ⅱ
[答案] A
5.从2 006名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人,剩下的2 000人再按照系统抽样的方法进行,则每人入选的概率( )
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等,且为251 003
D.都相等,且为140
解析：选C 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等,概率相等,剔除后的抽取过程与从2006人中抽取50
人,每人入选的概率相同,其概率为502 006＝251 003
. 【变式训练】
1.(2012·湖北高考)一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有________人.
解析：分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本,设抽取的女运动员有x 人,则x 8＝4256
,解得x ＝6. 答案：6
2.(2013·温州模拟)某工厂生产A ,B ,C 三种不同型号的产品,产品数量之比为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么样本容量n 为( )
A.50
B.60
C.70
D.80
解析：选C 由分层抽样的方法得33＋4＋7
×n ＝15, 解得n ＝70.
3.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7,从中抽取200名职员作为样本,若每人被抽到的概率为0.2,则该单位青年职员的人数为________.
解析：总人数为2000.2
＝1 000,该单位青年职员的人数为 1 000×1025
＝400. 答案：400
4.要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测;②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.适合采用的抽样方法依次为( )
A.①用分层抽样,②用简单随机抽样
B.①用系统抽样,②用简单随机抽样
C.①②都用系统抽样
D.①②都用简单随机抽样
答案 B
解析 ①中总体容量较大,且火腿肠之间没有明显差异,故适合采用系统抽样;②中总体容量偏小,故适合采用简单随机抽样.
5.在抽样过程中,每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样,在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,不放回抽样有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：选D 三种抽样都是不放回抽样.
6.(2013课标1)为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
【答案】 C.
7.[2014·湖南] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1,p 2,p 3,则( )
A.p 1＝p 2＜p 3
B.p 2＝p 3＜p 1
C.p 1＝p 3＜p 2
D.p 1＝p 2＝p 3
【答案】D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样,它们都是等概率抽样,每个个体被抽中
的概率均为n N
. 8.[2014天津] 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校
四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
【答案】60[解析] 由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为300×4
4＋5＋5＋6
＝60.。