工程优化方法 第五章

(b 0)
线性规划的标准形的其它形式
min z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
记 c = ( c1 , c2 , · · · , cn )T,
x = ( x1, x2, · · · , xn ) T b = (b1, b2, · · · , bm ) T Pj = ( a1j, a2j, · · · , amj )T j = 1, 2, · · · ,n
线性规划标准形的矩阵形式
x = ( x1, x2, · · · , xn ) T
b = (b1, b2, · · · , bm ) T A = (aij) m*n 称A = (aij) m*n 是约束方 程组的系数矩阵
min z cT x Ax b (b 0) s .t . x 0 也可写作 min z cT x : Ax b, x 0
1979年苏联数学家哈奇扬提出解线性规划问题的椭球算
法，并证明它是多项式时间算法。
线性规划的发展
1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家卡马卡提出解线 性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规 划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。 现已形成线性规划多项式算法理论。
线性规划标准形的向量形式
c = ( c1 , c2 , · · · , cn )T x = ( x1, x2, · · · , xn )T
b = (b1, b2, · · · , bm )T
Ai= (ai1, ai2, · · · , ain ) i = 1, 2, · · · ,m
min z cT x s.t . Ai x bi , i 1, 2, ..., m (bi 0) x 0
第五章 线性规划
本章主要内容：
§1 线性规划的简介和应用举例 §2 线性规划的数学模型及图解法 §3 线性规划的基本概念和基本性质 §4 单纯形法 §5 线性规划的对偶理论与对偶单纯形法
线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型的一般形式 目标函数： ( min) max
z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
线性规划的标准形的其它形式
min z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
记 c = ( c1 , c2 , · · · , cn ) T
a11 x1 a12 x2 ... a1 n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , ..., xn 0
a x
ij j
bi
a x
ij
j
xni bi
称为松弛变量
xni 0
相应的松弛变量在目标函数中的价值系数取值为0。
如何化成标准形
约束方程的转换：由不等式转换为等式 约束条件为“ ”形式的不等式,则可在“ ”号
的左端减去一个非负的剩余变量。
a
ij
x j bi
a x
线性规划标准形的向量形式
min z c T x s .t . n Pj x j b (b 0) j 1 x 0
线性规划的标准形的其它形式
min z c1 x1 c2 x2 ... cn xn
记
a11 x1 a12 x2 ... a1 n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , ..., xn 0
ij j
xni bi
称为剩余变量
xn i 0
相应的剩余变量在目标函数中的价值系数取值为0。
如何化成标准形
变量的转换 若
x j 0 ，可令xj x j ，显然 xj 0
若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j xj xj
其中：xj , xj 0
线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括
整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电 子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，lingo等，可以 很方便地求解几千个变量的线性规划问题。
线性规划问题的数学模型
线性规划通常解决下列两类问题： (1) 当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最
(2) 问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。 目标函数：( min) max
z c1 x1 c2 x2 ... cn x n
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ( , )b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn ( , )b2 约束条件： ... a x a x ... a x ( , )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,Leabharlann ..., xn 0(2)
线性规划问题的数学模型
线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables
目标函数
约束条件
Objective function
Constraints
线性规划问题的数学模型
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是：从线性规划数学模型的一般形式看
(1) 问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值 或最小值；
如何化成标准形
任何形式的线性规划问题都可以化成标准形。现举例如下： 例1: 试将如下线性规划问题化成标准形
min z x1 2 x2 3 x3 x1 x2 x3 7 x1 x2 x3 2 s .t . 3 x1 x2 2 x3 5 x , x 0 , x 无限制 3 1 2
称m为线性规划的阶数, 称n为线性规划的维数。
实际上，具体问题的线性规划数学模型是各式各样的,需要 把它们化成标准型,并借助于标准型的求解方法进行求解。
线性规划标准形的特点
min z cT x s .t . Ax b (b 0) x 0
（1）目标函数求最小值； （2）决策变量非负； （3）约束条件都是等式； （4）常数项（右端向量）非负
• 1947年美国数学家G.B.丹齐格提出线性规划的一般数学模型
和求解线性规划问题的通用方法--单纯形法，为这门学科奠定 了基础。 • 1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划 的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
• 1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领
如何化成标准形
目标函数的转换 若要求目标函数是: max z= cTx , 只需将目标函数的最大值变换为求目标函数的最小值, 即
max z = min (- z) 。令zˊ= -z, 于是得到：
min zˊ= - cTx。
如何化成标准形
约束方程的转换：由不等式转换为等式 若约束方程组为不等式 约束条件为“ ”形式的不等式,则在“ ” 号的左 边加入非负的松弛变量;把原“ ” 形的不等式变为 等式;
乙 有效台时
2 12
2 8
0 16
4 12
3
线性规划问题的应用
• 解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模 型为：
max z 2 x1 3 x2 s .t . 2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。
线性规划的发展
50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大 批新的算法。例如
• 1954年，C.莱姆基提出对偶单纯形法
• 1954年，S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析 和参数规划问题 • 1956年，A.塔克提出互补松弛定理 • 1960年G.B.丹齐格和P.沃尔夫提出分解算法等
第五章 线性规划
本章主要内容：
§1 线性规划的简介和应用举例 §2 线性规划的数学模型及图解法 §3 线性规划的基本概念和基本性质 §4 单纯形法 §5 线性规划的对偶理论与对偶单纯形法
线性规划的概述
• 线性规划就是一个线性函数在线性等式或不等式约束条件
下的极值问题，是最简单的约束优化问题
• 理论最为成熟、应用最为广泛的一种数学规划方法 • 运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的 一个重要分支 • 广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等
方面
• 为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决 策，提供科学的依据。
线性规划的发展
• 法国数学家傅里叶和瓦莱-普森分别于1832和1911年独立地提
出线性规划的想法，但未引起注意。
• 1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学 方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。
(1)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ( , )b1 约束条件： a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn ( , )b2 ... a x a x ... a x ( , )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , ..., xn 0
a11 x1 a12 x2 ... a1 n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , ..., xn 0