2019届甘肃省兰州市第一中学高三最后高考冲刺模拟数学(理)试卷(PDF版)

（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值 x 的估计值为：
x 20.1 40.3 60.380.15100.1120.05 6 ，
中位数的估计值为 5 2100 20 60 5 2 5.7 .
60
3
（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为 6 20 4 ， 30
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
x y 4 0, 13．若 x, y 满足约束条件 x 2 0, 则z x 2y 的最小值为__________．
x y 2 0,
14． (2x 1 )n 的展开式中各项系数之和为 81，则展开式中 x 的系数为
21. (本小题 12 分）
已知函数 f x f '1 ex1 f 0 x 1 x2 ,其中 f (x) 是地 f(x)的导数, e 为自然对数的底数,
2
g x 1 x 2 ax b ( a R , b R ).
2
（Ⅰ）求 f(x)的解析式及极值;
1. 已知集合 A={x | 3 x 6}, B {x | 2 x 7}，则 A (CRB) =( )
A. （2，6）
B. （2，7）
C.（-3，2]
D.（-3，2）
2. 已知复数 z1 对应复平面上的点 (1,1) ，复数 z2 满足 z1z2 2 ，则 | z2 2i | ( )
60
30
20
10
（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值 X 的样本平均数及中位数的估计值
（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（2）将对返点点数的心理预期值在 [1,3) 和[11,13] 的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨
胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6
g

x
在区间

π 6
,
π 3

上单调递减
D．
g

x

图像关于点

π 3
,
0

对称
第1页
8. 已知非零向量 a , b 的夹角为 60 ,且满足 a 2b 2 ,则a b 的最大值为( )
1
A.
B. 1
C. 2
2
D. 3
9. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。榫卯结
求锐二面角 A-A1C-B 的大小．
第4页
20. (本小题 12 分)
椭圆
C: x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为
3 2
，过焦点
F2 且垂直于
x
轴的直
线被椭圆 C 截得的线段长为 1．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）点 P(x0 ,y0)(y0≠0)为椭圆 C 上一动点，连接 PF1、PF2，设∠F1PF2 的角平分线 PM 交椭圆 C 的 长轴于点 M(m,0)，求实数 m 的取值范围.
构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是( )
A. 36 B. 45
3 6
C. 54 D. 63
正视图
侧视图
1
1 1
33
俯视图
10．已知数列{an}满足
2a1
＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*
)，数列log2
an
1 log2
的前 an＋1
n
项和为
(Ⅱ)
求
1 PA

1 PB
的值.
23. (本小题 10 分）【选修 4 — 5：不等式选讲】 已知函数 f(x)=2x-1+x+1. （Ⅰ）解不等式 f(x)≥3; （Ⅱ）记函数 f(x)的最小值为 m，若 a,b,c 均为正实数，且 a+2b+3c=2m，求 a2+b2+c2 的最小值.
第6页
18. (本小题12分）
某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就
会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t
1
2
3
4
5
销量（百件）/天 0.5
0.6
1
1.4
1.7
（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型 y bt 0.08 拟合当地该商品销量 y （千件）与返还点数t 之间
Sn，
则 S1·S2·S3·…·S10＝( )
A.
1 10
B．111
C.
2 11
D．15
11．已知 F1, F2 是双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点，若点 F2 关于渐近线的对称点 M
也在
双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A． 5 2
B． 2
C． 2
D． 5
兰州一中 2019 届高三冲刺模拟数学（理科）
参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B A D C B C B D A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 5
2
2
2
…………………………12 分
18.解析： （Ⅰ）易知t 1 2 3 4 5 3, y 0.5 0.6 11.4 1.7 1.04 ，
5
5
则y关于t的线性回归方程为 y 0.32t 0.08 ，
当 t 6 时， y 2.00 ，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ............4分
AC=2
2
过点 A 作 AE A1C 于点 E ，连接 DE ，
由（1）知 AD 平面 A1BC ，则 AD A1C ，

又 AE AD A，∴ A1C DE ，
∴ AED 即为二面角 A A1C B 的一个平面角.……（9 分）
在直角 △A1AC 中，
AE
0
，
∴ 1 sin C 2
3 2
cos
C

0
，∴
sin

C

3


0
.
∵ C 0， ， ∴C 2 . ………………6 分
3
(Ⅱ)∵ c2 a2 b2 2ab cosC ，∴ b2 4b 12 0 ， ∵ b 0 ，∴ b 2 ，
∴ S 1 absin C 1 2 4 3 2 3 .
．
x
15．已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，沿对角线 BD 折成二面角 A-BD-C 的大小为 120°的四
面体，则四面体的外接球的表面积为
．
第2页
16．已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，E 为 y 轴正半轴上的一点．且 OE＝3OF（O 为坐标原点），若抛
物线 C 上存在一点 M（x0，y0），其中 x0≠0，使过点 M 的切线 l⊥ME，则切线 l 在 y 轴上的截距为
又 BC 平面 A1BC ，所以 AD BC ，
因为三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，则 AA1 底面 ABC ，所以 AA1 BC
又 AA1 AD A ，从而 BC 侧面 ABB1A1 ，
又 AB 侧面 A1ABB1 ，故 AB BC ． ………………（6 分）
3)
C43C20 C63

1 5
3
1 5
...........12 分
【解析】（Ⅰ）如图，取 A1B 的中点 D ，连接 AD .
因为 AA1 AB ，所以 AD A1B .
由平面 A1BC 侧面 A1ABB1 ，且平面 A1BC 侧面
A1ABB1 A1B ，
得 AD 平面 A1BC .
人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量 X ， 求 X 的分布列及数学期望.
19. (本小题 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 A1BC⊥侧面 ABB1A1，且 AA1=AB=2
（Ⅰ）求证：AB⊥BC； （Ⅱ）若直线 AC 与平面 A1BC 所成角的大小为 30°，
A． 2
B． 2
C．10
D． 10
3.
已知正项等比数列{an}满足
a3＝1，a5
与32a4
的等差中项为1，则 2
a1
的值为(
)
A. 4
B. 2
C.
1 2
D.
1 4
4．如图，在矩形 OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A. e 3 4 e
B. 3
C. 3 e 3
e 1 D.
的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；
（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销
调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频
数表：
返还点数预期值区间 [1,3)
（百频分数比）
20
[3,5) 60
[5,7) [7,9) [9,11) [11,13)
3
5. 已知命题 p : x R, 2 x ex ，命题 q : a R , 且a 1, loga (a2 1) 0 ，则( )
A. 命题 p q 是真命题
B. 命题 p q 是假命题
C. 命题 p q 是假命题
D. 命题 p q 是真命题
6. 7 人乘坐 2 辆汽车，每辆汽车最多坐 4 人，则不同的乘车方法有( )
A. 35 种
B. 50 种
C. 60 种
D. 70 种
7.
将函数
f

x


sin

2x

π 3

的图象向右平移
π 2
个单位长度得到
g

x
图像，则下列判断错误的是(
)
A．函数
g

x

在区间
π 12
,
π 2

上单调递增
B． g x 图像关于直线 x 7π 对称
12
C．函数
．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题 12 分）
在
ABC
中，角
A，B，C
的对边分别是
a，b，c
.已知
b
sin

C

3


c
sin
B

0
.
(Ⅰ)求角 C；
(Ⅱ)若 a 4，c 2 7 ，求 ABC 的面积.
第3页
“欲望膨胀型”消费者人数为 6 10 2 . 30
...........8分
第7页
P( X
1)
C41C22 C63

1
,
5
P( X
2)
C42C21 C63

3
,
5
故随机变量 X 的分布列为
E(X ) 3 4 2 6
19. (本小题 12 分）
X
1
2
1
3
P
5
5
P( X
(Ⅱ)解法一:连接 CD, 由(1)知 AD⊥平面 A1BC,则 CD 是 AC 在平面 A1 BC 内的射影
∠ACD 即为直线 AC 与平面 A1 BC 所的角,则∠ACD=30°.
在等腰直角A1AB 中, A1 A=AB=2,且点 D 是 A1B 中点,
AD=
1 2
A1B

2, 又∠ADC=90°.∠ACD=30°,
12．定义在（0， ）上的函数 （f x）满足 x2 f (x) 1 0 ，（f 2） 5 ，则关于 x 的不等式 （f lnx）> 1 2 的
2
ln x
解集为( )
A． (e2, )
B. (0, e2 )
C. (e, e2 )
D. (1, e2 )
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
兰州一中 2019 届高三冲刺模拟试题
数学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 请将 答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的）
14. 24
15. 28π
16. -1
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题 12 分）
【解析】(Ⅰ)∵
b
sin
C

3


c
sin
B

0
，
∴
sin
B

1 2
sin
C

3 2
cos
C


sin
C
sin
B

(Ⅱ) 若 f(x)≥g(x),求 b(a+1)的最大值.
第5页
22．(本小题 10 分)【选修 4—4：坐标系与参数方程】
己知直线
l
的参数方程为
x

y

1 t 3 2t
(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为sin2 -16cos=0，直线 l 与曲
线 C 交于 A、B 两点，点 P(1,3)． (Ⅰ) 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；