专题 尺规作图中的综合问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何问题
专题尺规作图中的综合问题
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M 和N，再分别以点M和N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则下列结论：①AD是△ABC的角平分线；②点D在线段AB的垂直平分线上；③∠ADC＝60°；④S△ADC：S△ABC＝1：3；⑤AB＝2CD，其中正确结论的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D．
【分析】由题意可知AD平分∠CAB，求出∠DAB，∠CAD，利用直角三角形30°角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
由作图可知：AD平分∠CAB故①正确，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°＝∠B，
∴DA＝DB，
∴点D在ZB的垂直平分线上，故②正确，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B＝60°，故③正确，
∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝2CD，
∴CD＝BC，
∴S△ADC：S△ABC＝1：3，故④正确，
设CD＝a，则AD＝BD＝2a，BC＝3a，
∴AB＝＝2a＝2CD，故⑤正确，
故选：D．
2、如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，张老师要求学生利用所学知识作出一个菱形．甲、乙两位同学的作法如下：
甲：如图1，连接AC，作AC的中垂线交BC、AD于点E、F，则四边形AECF是菱形．乙：如图2，分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）
A．仅甲正确B．仅乙正确
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【答案】C．
【分析】首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO＝NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF 是菱形．
【解答】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
∵，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO＝NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M 和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②点D在线段AB的垂直平分线上；③S△DAC：S△ABC＝1：2．正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A．
【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠BAD＝∠CAD＝30°，根据∠BAD＝∠B可知AD＝BD，故可得出结论；
③先根据直角三角形的性质得出∠CAD＝30°，CD＝AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
则∠CAD＝∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此结论正确；
②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上，故此结论正确；
③证明：∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝BD+CD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD，∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故此结论错误；
综上，正确的是①②．
故选：A．
4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）
A．2B．4 C．3 D．
【答案】A．
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
故选：A．
5、如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【解答】解：如图，点M即为所求，
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．
7、如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是（）
A．甲正确，乙错误B．甲、乙均正确
C ．乙正确，甲错误
D ．甲、乙均错误
【考点】矩形的性质；正方形的判定与性质；作图—复杂作图．尺规作图
∵AD ＝AE ，
∴矩形AEFD 是正方形；故甲的作法正确；
∵四边形ABCD 是矩形，
∠CDA ＝∠DAB ＝90°,
由乙的作法可得：∠ADN ＝∠MDN ＝∠DAM ＝∠NAM ＝45°,
则AD ＝AN ＝DM ，
在△MDA 和△NAD 中
⎩⎪⎨⎪⎧∠MDA ＝∠DAN
AD ＝AD
∠DAM ＝∠ADN
， ∴△MDA ≌△NAD (AAS ),
∴DM ＝AN ，
∴DM ∥AN ,
∴四边形ANMD 是平行四边形，
∵∠DAB ＝90°,
∴平行四边形ANMD 是矩形，
∵AD＝AN，
∴矩形ANMD是正方形；故乙的作法正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及正方形的判定方法，正确利用作图方法得出对应角的关系是解题关键．
8、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）
A．BP是∠ABC的平分线B．AD＝BD
C．S△CBD：S△ABD＝1：3 D．CD＝BD
【答案】C．
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD＝∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C 选项进行判断．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：C．
9、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．
【答案】．
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以DA＝DB，利用BD＝2CD得到AD＝2CD，然后根据三角形面积公式可得到的值．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
∴＝．
故答案为．
10、如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．
【答案】2．
【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；
（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴＝＝2．
故答案为2．
11、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【例2】（2019•长春）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）
A．B．
C．D．
【答案】B．
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
12、如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】A．
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8．
故选：A．
13、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】C．
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故选：C．
14、如图的△ABC中，AB＞AC＞BC，且D为BC上一点．今打算在AB上找一点P，在AC上找一点Q，使得△APQ与△PDQ全等，以下是甲、乙两人的作法：
（甲）连接AD，作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求
（乙）过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
【答案】A．
【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PD，QA＝QD，则根据“SSS”可判断△APQ≌△DPQ，则可对甲进行判断；
如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA＝DQ，PD＝AQ，则根据“SSS”可判断△APQ≌△DQP，则可对乙进行判断．
【解答】解：如图1，∵PQ垂直平分AD，
∴PA＝PD，QA＝QD，
而PQ＝PQ，
∴△APQ≌△DPQ（SSS），所以甲正确；
如图2，∵PD∥AQ，DQ∥AP，
∴四边形APDQ为平行四边形，
∴PA＝DQ，PD＝AQ，
而PQ＝QP，
∴△APQ≌△DQP（SSS），所以乙正确．
故选：A．
15、尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D．
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．
故选：D．
16、根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C．
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
17、已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．
【答案】（1）C1的坐标为（﹣2，﹣1）．
【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点A1、B1绕点C1按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求．
18、如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE 的长为．
【答案】4．
【分析】利用作法得到∠COE＝∠OAB，则OE∥AB，利用平行四边形的性质判断OE为△ABC的中位线，从而得到OE的长．
【解答】解：由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝×8＝4．
故答案为4．
19、如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝°．
【答案】56．
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故答案为：56．
20、在△ABC中，点A到直线BC的距离为d，AB＞AC＞d，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交直线BC 于点D，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，若BC＝4，DE＝1，∠EDA＝∠ACD，则AD＝．【答案】2或﹣2+2．
【分析】分两种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理等知识构建方程求解即可．
【解答】解：分两种情形：
①如图1中，当点D在线段BC上时．
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠CAD＝∠C，
∴DA＝DC，
∵AD＝AC，
∴AD＝DC＝AC，设AD＝x，
∵DE∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝2．
②如图2中，当点D在线段BC的延长线上时，
同法可证：AD＝DC＝AC，设AD＝x，
∵DE∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍弃），
综上所述，满足条件的AD的值为2或﹣2+2，
故答案为2或﹣2+2．
21、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC ＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P 满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，
故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
22、如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q分别为线段AB，BC 上的动点，且满足AP＝BQ
（I）线段AB的长度等于 5 ；
（Ⅱ）当线段AQ+CP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段AQ和CP，并简要说明你是怎么画出点Q，P的（不要求证明）．
【答案】（I）5．（Ⅱ）如图2中，取格点J，S，连接JS得到交点T，作射线BT，取格点W，R，连接WR交射线BT于H，此时BH＝3，连接AH交BC于点Q，取格点K，使得AK＝5，连接CK交AB于P，点P，Q即为所求．
【分析】（I）利用勾股定理计算即可．
（Ⅱ）如图1中，作BH⊥AB，使得BH＝AC＝3，易证△CAP≌△HBQ，推出HQ＝PC，推出PC+AQ＝AQ+HQ，由AQ+QH≤AH，可知当A，Q，H共线时，AQ+QH的值最小．由此即可解决问题．
【解答】解：（I）线段AB的长度＝＝5．
故答案为5．
（Ⅱ）如图1中，作BH⊥AB，使得BH＝AC＝3，易证△CAP≌△HBQ，推出HQ＝PC，
∴PC+AQ＝AQ+HQ，
∵AQ+QH≤AH，
∴当A，Q，H共线时，AQ+QH的值最小．
如图2中，取格点J，S，连接JS得到交点T，作射线BT，取格点W，R，连接WR交射线BT于H，此时BH ＝3，连接AH交BC于点Q，取格点K，使得AK＝5，连接CK交AB于P，点P，Q即为所求．
故答案为如图2中，取格点J，S，连接JS得到交点T，作射线BT，取格点W，R，连接WR交射线BT于H，
此时BH＝3，连接AH交BC于点Q，取格点K，使得AK＝5，连接CK交AB于P，点P，Q即为所求．
23、已知，在△ABC中，∠A＞∠B，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于点P，点Q，作直线PQ交AB于点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M，点N，作直线MN交BC于点E，若△CDE是等边三角形，则∠A＝．
【答案】45°．
【分析】如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，EB＝ED，则∠A＝∠DCA，∠EDB＝∠B，再利用等边三角形的性质和三角形外角性质计算出∠EDB＝30°，则可判断△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠A＝45°．
【解答】解：如图，由作法得PQ垂直平分AC，MN垂直平分BD，
∴DA＝DC，EB＝ED，
∴∠A＝∠DCA，∠EDB＝∠B，
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠DEC＝60°，
而∠DEC＝∠EDB+∠B，
∴∠EDB＝×60°＝30°，
∴∠CDB＝90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°．
故答案为45°．
8.（2019 河北沧州中考模拟）在△ABC中，点A到直线BC的距离为d，AB＞AC＞d，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交直线BC于点D，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，若BC＝4，DE＝1，∠EDA＝∠ACD，则AD＝．
【答案】2或﹣2+2．
【分析】分两种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理等知识构建方程求解即可．
【解答】解：分两种情形：
①如图1中，当点D在线段BC上时．
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠CAD＝∠C，
∴DA＝DC，
∵AD＝AC，
∴AD＝DC＝AC，设AD＝x，
∵DE∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝2．
②如图2中，当点D在线段BC的延长线上时，
同法可证：AD＝DC＝AC，设AD＝x，
∵DE∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍弃），
综上所述，满足条件的AD的值为2或﹣2+2，
故答案为2或﹣2+2．
24、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，
以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
25、在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC；
（2）在（1）基础上分别延长AE、CF，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断DBC＝45°．
【解答】解：（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，∠BCD为所作．
26、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC ＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（Ⅰ）线段AB的长等于；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，
连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，
故答案为：取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
27、如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．
（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5即可．
【解答】解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．
（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．
28、图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点
A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．
【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；
（2）如图②所示，△CDN即为所求；
（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；
29、图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8．
【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
30、如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．
【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；
（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；
（2）如图所示，点G即为所求；
（3）如图所示，线段EM即为所求．
31、请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．【解答】解：如图，△ABC为所作．。