初高中数学衔接知识(数与式)
数学学科初高中知识点衔接清单
数学学科初高中知识点衔接清单近年来，除了中考，初高中数学教学衔接的问题成了我们数学教学的另一个关注重点。
因为我们不仅关心学生的中考成绩，还关心初中的数学学习能否为高中的继续学习打下一个良好的基础。
根据《教育部办公厅初中数学超前培训负面清单》梳理了一些初中数学教师在教学中需要重点关注，为后续的高中数学学习打基础的知识点。
制定基于初中数学超前培训视角下的初高中衔接点清单。
专题一：数与式的运算1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．[2]绝对值的几何意义：[3]两个数的差的绝对值的几何意义：2．乘法公式[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1)2=；=；=；=．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做a 的平方根，记作0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做a 的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B为分式． 专题二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,x x x x +==专题三：平面直角坐标系一次函数、反比例函数12．函数图象[1]一次函数： y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)特别的，当b =0时，称y 是x 的正比例函数。
[2]正比例函数的图象与性质：函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是的一条直线，[3]一次函数的图象与性质：函数y kx b =+(k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点(0，b )且与直线y =kx 平行的一条直线.[4]反比例函数的图象与性质：函数k y x=(k ≠0)是双曲线，当k>0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象在第二、第四象限，在每个象限中，y 随x 的增大而增大．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y x =与y x =-；又是中心对称图形，对称中心是原点．专题四：二次函数1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：2．二次函数的三种表示方式：（1）．一般式：（2）顶点式：（3）交点式：专题五： 二次函数的最值问题1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．2．二次函数（x 为全体实数时）最大值或最小值的求法．3．求二次函数在某一范围内的最值．。
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点初中数学与高中数学有很多紧密的知识点联系，其中包括以下几个重要的知识点：1.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
需要注意的是，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
另外，对于绝对值不等式，当|x|0）时，解为-aa（a>0）时，解为xa。
2.乘法公式：包括平方差公式、立方差公式、立方和公式、完全平方公式和完全立方公式。
这些公式在解题时非常有用，需要熟练掌握。
3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
有多种方法可以分解因式，包括提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
4.一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
解一元一次方程的步骤包括去分母、移项、合并同类项和未知数系数化为1.需要注意的是，当方程为ax=b时，当a≠0时，方程有唯一解x=b/a；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解。
5.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
解二元一次方程组的方法包括代入消元法和加减消元法。
6.不等式与不等式组：不等式是用符号（。
≠、<）连接的式子，不等式的解集是能使不等式成立的未知数的值。
解不等式的过程需要注意不等式的变形，包括两边加减同一个整式、两边乘除同一个正数以及两边乘除同一个负数。
对于一元一次不等式，需要求出解集。
2.改写每段话：5）二次函数的性质：1.二次函数y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)的图像关于直线x = -b/2a对称。
2.当a。
0时，在对称轴左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴右侧，y的值随x值的增大而增大。
初高中数学衔接知识点专题word版含答案
初高中数学衔接知识点专题（一）★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6设x y ==，求33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4． 设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷ (2)(4) ÷+1AC |x －1||x －3|● 各专题参考答案 ●专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=-（4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++ 例3解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x+-+=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab+++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5解：（1）原式6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式ab =（4） 原式===例6解：22(277 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．3-5．444222222222x y z x y x z y z ---+++ 6．()(((13,23,4-。
初高中数学衔接知识总汇
第一章数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
3.两个数的差的绝对值的几何意义：ba-表示在数轴上，数a和数b之间的距离。
4.两个重要绝对值不等式：axaxaaxax＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0axaa问题导入：问题1：化简：（1）：12-x（2) : 31-+-xx问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x; （2）: 5223=--x问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a 表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和3.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______ 4.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x5.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。
6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。
1、2 二次根式与分式知识清单1.二次根式（1）二次根式的定义：形如a (a ≥0）的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义。
1,初高中数学衔接知识(数与式)
(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
当堂训练：7分钟
(x 3y 4z)2
(a b)(a2 ab b2 ) (a b)2
学习目标（1分钟）
1.复习平方差，完全平方公式. 2.理解并掌握三个数和的完全平方公式、 3.理解并掌握完全立方公式、立方和、立方差公式
自学指导一：（8分钟）
【公式1】平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 【公式2】完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2 【公式3】完全立方公式 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
x
1
(a3
0, 求x3
b3) c
3 x313ab的c 值.
(a b)(xa20ab b2) xc3 1 3ab3c
x
(a (a (a
bbb)))3[(原a(a2(式3xab2=b)a((12xabx)[3(bbax1x)2b)](c1xx33ca2)23b)31a33bac]cb3x1c23)3(3a2bc
(4) ( x2 2xy y2 )( x2 xy y2 )2
解 : 原式= ( x y)2( x2 xy y2 )2 [( x y)( x2 xy y2 )]2 ( x3 y3 )2 x6 2x3 y3 y6 .
自学检测2：（10分钟）
【例3】计算：已知x2 3
证解明: ：a3x2 b33xc3 13a0bc
3)
18.
请证明: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
(a b)3 c3 3ab(a b c c) 3abc
(a b)3 c3 3ab(a b c) (a b c)[(a b)2 c(a b) c2 3ab]
初高中数学衔接知识点专题数与式的运算
．
2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式：
；
[2]完全平方和公式：
；
[3]完全平方差公式：
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
[公式 1] (a b c)2
[式 2]
a3 b3 (立方和公式)
[公式 3]
a3 b3 (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式
的左侧，在坐标为 1 的点的右侧．所以原不等式的解为1 x 3 ． 解法 3： x 2 1 1 x 2 1 1 x 3 ，所以原不等式的解为1 x 3 ．
．
【巩固练习】
1． 解不等式 x 3 x 2 7
2． 设 x
1
,y
1
x2 xy y2
，求代数式
的值．
32
32
x y
3． 当 3a2 ab 2b2 0(a 0, b 0) ，求 a b a2 b2 的值． b a ab
4． 设 x 5 1 ，求 x4 x2 2x 1的值． 2
（4） (x2 2xy y2 )(x2 xy y2 )2
例3
已知 x2 3x 1 0 ，求 x3 1 的值． x3
例 4 已知 a b c 0 ，求 a(1 1) b(1 1 ) c( 1 1) 的值． bc ca ab
例 5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
[1]式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下：
(1) ( a )2
；(2) a2
[2]平方根与算术平方根的概念：
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
史上最全的初高中数学知识点衔接归纳1.数的概念与运算-自然数：1,2,3,…，初中数学的基础-整数：包括正整数、零和负整数，初中时学习整数的加减运算-分数：初中开始介绍分数的概念，学习分数的四则运算-小数：分数与小数之间可以互相转换，小数也可以进行四则运算2.代数与方程-代数运算：包括整式的加减乘除-一元一次方程：化简方程，通解，解方程的应用-二元一次方程组：解方程组，解方程组的应用-不等式：不等式的性质，不等式的解集3.几何基础-点、线、面的概念：初中开始学习几何基础，了解点、线、面的定义与性质-角的概念：初中学习角的概念、角的度量方法，熟练掌握角的性质-直线与圆的性质：线段、射线、直线与圆的性质，角平分线、垂直线与平行线的性质4.解析几何-平面直角坐标系：了解直角坐标系的概念与性质，熟练使用坐标表示点的位置-直线的方程：了解直线的一般方程、截距式与点斜式，掌握直线的特殊情况-圆的方程：了解圆的一般方程与标准方程，掌握圆的性质与相关定理5.数列与数学归纳法-等差数列：掌握等差数列的概念与公式，了解等差数列的前n项和公式-等比数列：了解等比数列的概念与公式，掌握等比数列的前n项和公式-通项公式与前n项和公式：掌握数列的通项公式与前n项和公式的推导与应用6.实数与函数-有理数与无理数：了解有理数与无理数的概念与性质，实数的分类-函数的概念与表示：函数的定义、函数的表示方法，了解函数与变量的关系-函数的性质：函数的奇偶性、周期性，了解函数的分类与图像的特点7.图形的性质与变换-三角形：了解三角形的性质与分类，三角形的周长与面积-二次曲线与圆锥曲线：了解二次曲线（抛物线、椭圆、双曲线）与圆锥曲线的性质-平面图形的变换：包括平移、旋转、翻折与对称等变换，了解平面图形的性质与变换规律8.概率与统计-概率的概念与计算：了解概率的定义与计算方法，掌握基本概率的计算规则-统计图与统计量：了解统计图（条形图、折线图、饼图）的表示与应用，掌握统计量的计算与分析以上是初高中数学知识点的大致归纳，其中涵盖了数的概念与运算、代数与方程、几何基础、解析几何、数列与数学归纳法、实数与函数、图形的性质与变换、概率与统计等主要内容。
初三升高一数学衔接教学教案——初三知识汇总,高一数学提前预习(教师版教案)
第二讲 函数与方程——一元二次方程练习题
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况 是（ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程 的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
第一讲 数与式
1.1.3．二次根式第源自讲 数与式1.1.3．二次根式
第一讲 数与式
初高中数学相关知识衔接(人教版)
初高中知识衔接——数与式的运算1．绝对值（1）绝对值的代数意义： ．即 ． （2）绝对值的几何意义： 的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． （4）两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．例1：解不等式：（1）21x -< （2）12>-x（3）32+<-x x x （4）2323-<-x x（5）x x ≤-1 （6）13x x -+-＞4 2．根式（1）0)a ≥的代数式，性质：2= ；= ；=b a ；=ab ．（2） 无理式：根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子，如32a b21x ++，22x y +（3）分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母（子）有理化方法：分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式． 例1：化简：（1（2）（31)x << （4）20042005⋅例2：试比较下列各组数的大小：154173819++-（1（23．分式（1）分式的意义：形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式． 当M ≠0时，分式的基本性质：（1）A A M B B M ⨯=⨯ ；（2）A A MB B M÷=÷．（2）繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，如2m n pm n p+++，繁分式的化简常用以下两种方法：① 利用除法法则；② 利用分式的基本性质．例1：化简：（1） （2） （3）11xx x x x-+-例2：（1）若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值；（2）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（3）计算：1111223910+++⨯⨯⨯初高中知识衔接——因式分解一、定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
初高中数学衔接知识
（2）完全平方公式
(a b)2 a2 2ab b2 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a b)(a2 ab b2) a3 b3 ；
（2）立方差公式
(a b)(a2 ab b2) a3 b3 ；
（3）三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ；
（2） 2x2 xy y2 4x 5y 6 ．
解： （1） x3 9 3x2 3x = (x3 3x2) (3x 9) = x2 (x 3) 3(x 3)
= (x 3)(x2 3) ．
或
x3 9 3x2 3x ＝ (x3 3x2 3x 1) 8 ＝ (x 1)3 8
（3）由图 1.2－4，得
x2 (a b)xy aby2 ＝ (x ay)(x by) （4） xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图 1.2－5 所示）．
x
－1
y
1
图 1.2－5
2．提取公因式法与分组分解法
例 2 分解因式： （1） x3 9 3x2 3x ；
2．二次根式 a2 的意义
a2
a
a, a 0, a, a 0.
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1） 12b ； （2） a2b(a 0) ； （3） 4x6 y (x 0) ． 解： （1） 12b 2 3b ；
（2） a2b a b a b(a 0) ；
（3） 4x6 y 2 x3 y 2x3 y (x 0) ．
＝ (x 1)3 23
＝[(x 1) 2][(x 1)2 (x 1) 2 22]
＝ (x 3)(x2 3) ．
初高中数学衔接知识点
初高中数学衔接知识点从初中升入高中，数学学科的知识难度和深度都有了明显的提升。
为了帮助同学们更好地适应高中数学的学习，下面我们来梳理一下初高中数学衔接的重要知识点。
一、数与式1、绝对值初中阶段，我们对绝对值的理解主要是基于数轴上的距离。
例如，｜3| ＝ 3，｜－3| ＝ 3。
但在高中，绝对值的概念会被更深入地运用，例如在求解不等式|x 2| ＞ 5 时，需要分情况讨论 x 2 的正负，得到 x ＜－3 或 x ＞ 7。
2、二次根式初中我们学习了二次根式的基本运算，如化简、乘法法则和除法法则。
高中会在此基础上，结合函数、不等式等知识进行更复杂的运算和应用。
3、因式分解初中常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。
高中数学中，因式分解的应用更加广泛，有时需要使用十字相乘法、分组分解法等更复杂的方法来分解因式，以解决方程和不等式的问题。
二、方程与不等式1、一元二次方程初中我们重点学习了一元二次方程的求解方法，如配方法、公式法和因式分解法。
高中则会更多地关注一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），以及利用一元二次方程解决实际问题和函数问题。
2、不等式初中主要学习了一元一次不等式的解法。
高中会拓展到一元二次不等式、简单的分式不等式和绝对值不等式。
例如，求解不等式 x² 2x 3 ＜ 0，需要先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，然后根据函数图象的开口方向和与 x 轴的交点来确定不等式的解集。
三、函数1、函数的概念初中对于函数的定义是基于变量之间的对应关系。
高中则会从集合的角度来重新定义函数，使函数的概念更加严谨和抽象。
2、一次函数与反比例函数初中我们对一次函数和反比例函数的性质有了一定的了解。
高中会在这些基础上，进一步研究它们的图象和性质，并与其他函数进行综合应用。
3、二次函数初中主要学习了二次函数的基本表达式、图象和简单的应用。
高中会深入探讨二次函数的最值问题、与一元二次方程和不等式的关系，以及二次函数在实际生活中的优化问题。
初升高数学衔接课程
初升高中衔接教程数学第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集第6讲集合的基本运算变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域。
【初高中数学衔接】第一讲： 数与式
a 0 －a
2020年7月13日星期一
► 知识点三 实数的大小比较
• 1．利用数轴比较大小 • 因为数轴上右边的点表示的数总是比左边 的点表示的数大，所以负数 ___小_于___0,0__小__于___正数，负数___小_于___正数． • 2．利用绝对值比较大小 • 两个正数比较大小，绝对值大的较 ___大_____； 两个负数比较大小，绝对值大的 反而____小____．
2020年7月13日星期一
• (2)减法：减去一个数等于加上这个数的相 反数． • (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负， 再将两数的绝对值相乘．任何数同0相乘，仍 得0.如(－2)×3＝－(2×3)＝___－_6____. • (4)除法：除以一个不为0的数，等于乘以 这个数的倒数．
2020年7月13日星期一
3)
3(2 22
3) 3
6
3
3,
(2)原式= a b a 2b ab2 .
ab
ab
(3)原式=2 2 x x x2 2 2 2 x 22
2x x x 2 2x 3 2x x x.
2020年7月13日星期一
2020年7月13日星期一
解 : 原式
(x
x2 3x 9 3)( x 2 3 x 9)
(2)
(
p
1
4q
3
8
)
8.
解 : (1)
21
11
(2a 3b 2 )( 6a 2b 3 )
15
( 3a 6b6 )
4a 2 1 32
b 1 1 1 5 6 236
4ab
0
4a,
(2)
(
p q ) 1 4
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2014年10月9日星期四
三、根式
3(2 3) 解 : (1)原式= 6 3 3, 2 2 3 (2 3)(2 3) ab (2)原式= ab a 2b ab 2 . ab
3(2 3)
2x (3)原式=2 x x 2 2 22 x 2 2 2x x x 2 2x 3 2x x x .
2014年10月9日星期四
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代 数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数 式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数 的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了 乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式 可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂 的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充 三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运 算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学 学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没 有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁 分式”等有关内容．
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
1 4
3 8 8
3
p2 3. q
b
1 1 5 2 3 6
4ab 0 4a ,
2014年10月9日星期四
三、根式 式子 a (a 0) 叫做二次根式，性质：
(1) ( a )2 a (a 0), ( 2) (3) ( 4) a 2 | a |, ab a b (a 0, b 0), b a b a (a 0, b 0).
2014年10月9日星期四
一、乘法公式
2 2 【公式1】平方差公式 a b (a b)(a b) 2 2 2 【公式2】完全平方公式 (a b) a 2ab b 3 3 2 2 3 ( a b ) a 3 a b 3 ab b 【公式3】完全立方公式 2 2 2 2 【公式4】完全平方公式 (a b c ) a b c 2ab 2bc 2ca 请同学们证明
(4) ( x 2 2 xy y 2 )( x 2 xy y 2 )2
在进行代数式 运算时，要观察代 数式的结构是否满 足乘法公式的结 构．
解 : 原式= (a 2 4)(a 4 4a 2 42 ) (a 2 )3 43 a 6 64.
解 : 原式= ( x y )2 ( x 2 xy y 2 )2 [( x y )( x 2 xy y 2 )]2 ( x 3 y 3 )2 x 6 2 x 3 y 3 y 6 .
2014年10月9日星期四
二、指数式
当n N 时, a n a a
n个a
a.
当n Q时,(1)零指数a 0 1(a 0),
(2)负指数a
n
1 n (a 0), a
n m
(3)分数指数 a m a n (a 0, m , n为正指数).
幂的运算法则(1)a m a n a m n , (2)(a m )n a mn , (3)(ab)n a n b n (a , b 0, m , n Z )
2
2014年10月9日星期四
一、乘法公式
2 2 3 3 【公式5】立方和公式 (a b)(a ab b ) a b 请同学们证明 2 2 3 3 ( a b )( a ab b ) a b 【公式6】立方差公式
【例2】计算： (1) (4 m )(16 4m m 2 ) 解 : 原式 43 m 3 64 m 3 . 1 1 1 1 1 (2) ( m n)( m 2 mn n2 ) 5 2 25 10 4 1 3 1 3 1 1 3 3 解 : 原式= ( m ) ( n) m n . 5 2 125 8 (3) (a 2)(a 2)(a 4 4a 2 16)
2014年10月9日星期四
四、分式
2014年10月9日星期四
四、分式
x2 3 x 9 6x x 1 解 : 原式 2 2 ( x 3)( x 3 x 9) x(9 x ) 2(3 x ) 1 6 x 1 x 3 ( x 3)( x 3) 2( x 3) 2( x 3) 12 ( x 1)( x 3) 2( x 3)( x 3) ( x 3)2 3 x . 2( x 3)( x 3) 2( x 3)
2014年10月9日星期四
三、根式
解 : (1)原式= | 3 2 | | 3 1 | 2 3 3 1 1, ( x 1) ( x 2) 2 x 3 ( x 2) (2)原式= | x 1 | | x 2 | . ( x 1) ( x 2) 1 (1 x 2)
1 2 【例1】计算 ( x 2 x ) 3 12 2 解 : 原式 [ x ( 2 x ) ] 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ( x ) ( 2 x ) ( ) 2 x ( 2) x 2 x 2 ( 2 x ) 3 3 3 8 2 2 1 x4 2 2 x3 x2 x . 3 3 9 多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列
2014年10月9日星期四
一、乘法公式
1 【例3】计算： 已知x 3 x 1 0, 求x 3 的值. x
2 3
解:
1 x 0 x 3 x 1 1 2 原式= ( x )( x 1 2 ) x x 1 1 2 ( x )[( x ) 3] 3(3 2 3) 18. x x
x2 3 x 1 0
请证明 : a 3 b 3 c 3 3abc (a b c )(a 2 b 2 c 2 ab bc ca )
证明 : a 3 b 3 c 3 (a b )(a 2 ab b 2 ) c 3 =(a b)[(a b )2 3ab] c 3 =(a b )3 3ab(a b ) c 3 (a b c )[(a b )2 c(a b ) c 2 3ab] (a b c )(a 2 b 2 c 2 ab bc ca ).
2014年10月9日星期四
二、指数式
3 16 4 【例4】求下列各式的值：8 ,100 ,( ) . 81 2 3 1 2
解 : 8 (2 ) 2 22 4, 1 1 1 1 2 100 , 1 1 2 100 2 (10 ) 2 10 3 3 16 4 24 4 23 33 27 ( ) ( 4 ) 3 3 . 81 3 3 2 8
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项 式时，应先因式分解再进行约分化简； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
2014年10月9日星期四
3
2 3
2 3
3 2 3
【例5】计算下列各式
(1) (2a b )( 6a b ) ( 3a b ), (2) ( p q ) .
解 : (1) (2a b )( 6a b ) 3a b ) 4a (2) ( p q ) ( p ) ( q ) p q
8 2
1 4 3 8 8 1 4 3 8 8 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6 2 1 1 3 2 6