晋宁区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

晋宁区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． i 是虚数单位，i 2015等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
2． 已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）
A ．123S S S <<
B ．123S S S >>
C ．213S S S <<
D ．213S S S >> 4． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
6． 已知曲线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则O
P Q ∆的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
2 D ．4 7． 在ABC ∆中，222
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]
A ．(0,]6π
B ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3
ππ
8． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），
则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2
，且
函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
A ．0＜a ＜1
B ．﹣≤a ≤
C ．﹣1≤a ≤1
D ．﹣2≤a ≤2
10．已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
等于（ ） A ．15- B ．1
5
C ．-5
D ．5
11．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
12．对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可
构造三角形函数”，已知函数f （x ）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）
A ． C ． D ．
二、填空题
13．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．
14．已知函数f （x ）=
有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．
15．在复平面内，记复数+i 对应的向量为
，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量
所对应
的复数为 ．
16．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β
其中正确命题的序号是 ．
17．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ；
②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．
18．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
三、解答题
19．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A 为所在线段中点，点B 为顶点，求在几何体侧面上从点A 到点B 的最短路径的长．
20．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．
21．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=10．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
-中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平22．如图所示，在四棱锥P ABCD
面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点． （1）证明：直线//MN 平面ABCD ；
（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，3PA =，1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．
23．已知椭圆E ：
=1（a ＞b ＞0）的焦距为2
，且该椭圆经过点
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）经过点P （﹣2，0）分别作斜率为k 1，k 2的两条直线，两直线分别与椭圆E 交于M ，N 两点，当直线
MN 与y 轴垂直时，求k 1k 2的值．
24．已知函数f （x ）=ax 2+bx+c ，满足f （1）=﹣，且3a ＞2c ＞2b ． （1）求证：a ＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．
晋宁区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=﹣i，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
2．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，
g′（x）=（x+1）e x，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K PA≤m＜K PB，
即≤m＜，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
3．【答案】A
【解析】
考
点：棱锥的结构特征． 4． 【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为：
=，
∵a 2=b 2+c 2
，∴c=
，
∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
5． 【答案】A 【
解
析
】
6． 【答案】C 【解析】
∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得2
18
m =，
∴12y y -==．
∴1212S OF y y =
-=．
（由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩
，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
考点：抛物线的性质． 7． 【答案】C 【
解
析
】
考点：三角形中正余弦定理的运用. 8． 【答案】A 【解析】
解：
=1
×
故选A ．
9． 【答案】 B
【解析】解：定义域为R 的函数f （x ）是奇函数， 当x ≥0时， f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2
=
图象如图，
∵f （x ）为R 上的1高调函数，当x ＜0时，函数的最大值为a 2
，要满足f （x+l ）≥f （x ），
1大于等于区间长度3a 2﹣（﹣a 2），
∴1≥3a 2﹣（﹣a 2
），
∴
﹣≤a
≤ 故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
10．【答案】B
【解析】
考点：三角恒等变换．
11．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
12．【答案】D
【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）==1+，
①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故选D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，
∴S n+1﹣S n=S n+1S n，
∴=﹣1，=﹣1，
∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，
∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．
∴S n=﹣，
n=1时，a1=S1=﹣1，
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．
∴a n=．
故答案为：．
14．【答案】（，1）．
【解析】解：∵函数f（x）=有3个零点，∴a＞0 且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，
∴，
解得＜a＜1，
故答案为：（，1）．
15．【答案】2i．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i
，故答案为2i．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
16．【答案】②③．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
17．【答案】
菱形；
矩形．
【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC=BD
∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形．
②由①知四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
18．【答案】[1，）∪（9，25]．
【解析】解：∵集合，
得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
∴B1C1⊥平面ABB1A1；
∵A1B⊂平面ABB1A1，
∴B1C1⊥A1B．
又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，
∴A1B⊥平面ADC1B1，
∵A1B⊂平面A1BE，
∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）证明：连接EF，EF∥，且EF=，
设AB1∩A1B=O，
则B1O∥C1D，且，
∴EF∥B1O，且EF=B1O，
∴四边形B1OEF为平行四边形．
∴B1F∥OE．
又∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE，
（Ⅲ）解：====．
21．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=10．
∴，解得，
∴a n﹣1+（n﹣1）=n﹣2．
（2）=．
∴数列{}的前n项和S n=﹣1+0+++…+，
=+0++…++，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n=．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）
1
8
.
【解析】
试题解析：（1）证明：取PD 中点R ，连结MR ，RC ， ∵//MR AD ，//NC AD ，1
2
MR NC AD ==， ∴//MR NC ，MR AC =， ∴四边形MNCR 为平行四边形，
∴//MN RC ，又∵RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴//MN 平面PCD ．
（2）由已知条件得1AC AD CD ===，所以ACD S ∆=， 所以111328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==
⨯⨯=．
考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式. 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2
，
=1；
解得，a 2=4，b 2
=1；
故椭圆E 的方程为
+y 2=1；
（Ⅱ）由题意知，当k 1=0时，M 点的纵坐标为0，
直线MN 与y 轴垂直， 则点N 的纵坐标为0，
故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．
当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；
由得，
（+4）y2﹣=0；
解得，y M=；
∴M（，），
同理N（，），
由直线MN与y轴垂直，则=；
∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，
∴k2k1=．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．
故x1+x2=﹣，x1x2===
从而|x1﹣x2|===．
∵﹣3＜＜﹣，
∴|x1﹣x2|．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．。