初三数学上册《二次函数》

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九年级上册数学知识点二次函数

九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点的二次函数主要包括以下内容：1. 二次函数的概念：二次函数是一个含有x的二次多项式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。

开口向上的抛物线对应的二次函数的a值为正，开口向下的抛物线对应的二次函数的a值为负。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b/(2a)。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得零点。

6. 二次函数的最值：开口向上的二次函数没有最小值，开口向下的二次函数没有最大值。

可以根据顶点和抛物线的开口方向来判断最值的取值范围。

7. 二次函数的平移：对二次函数进行平移操作可以改变函数的顶点和对称轴的位置。

平移时，可以考虑将二次函数的一般式写成完全平方形式，然后对x进行平移。

8. 二次函数与一次函数的关系：二次函数是一次函数的平方。

通过解方程或图像的变化，可以找到一次函数和二次函数之间的关系。

9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中具有广泛应用，如物体的抛射运动、焦点和准线问题、面积最大值和最小值等问题。

应用中需要把问题转化为二次函数，并利用二次函数性质进行求解。

人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件

课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究归纳
y＝ax2 图象
位置开口方向
对称性顶点最值
增减性
第二十二章二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9

九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。

2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。

人教版九年级数学上册第22章《二次函数》

总结
当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．
第二十二章二次函数
1.若函数y＝(m－1)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则 ( B) A．m≠－1 B．m≠1 C．m≠2 D．m≠－2
2.若y＝(m－2)xm2-2是二次函数，则m的值是( B )
A．2
B．－2 C．2或－2 D．4
第二十二章二次函数
1.根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历以下几个步骤： (1)确定自变量与函数代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
2.易错警示：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必须使实际问题有意义．
两年后的产量 y＝20(1＋x)2，
即y＝20x2＋40x＋20.
第二十二章二次函数
二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 (quadratic function)．其中，x是自变量，a， b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2；
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)；(6)y＝x2＋
1 x2
.
分析：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次项系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)中自变量的最高次数是3，所以不是二次函数；(4)中 x－2不是整式，所以不是二次函数；把(5)整理得到 y＝3x2－21x＋30，是二次函数，二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30；(6)中，因为是个分式，所以不是二次函数．

九年级上册数学二次函数

九年级上册数学二次函数二次函数是数学中的一种重要类型的函数，也是九年级上册数学中的一个重要内容。

下面我将为大家详细介绍九年级上册数学的二次函数。

二次函数是一种以x的平方项为最高次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a 不等于零。

在二次函数中，a决定了函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；而b决定了函数的对称轴位置，c决定了函数的平移位置。

一、函数的图像特征二次函数的图像是一个平滑的曲线，称为抛物线。

根据二次函数的a值，可以判断抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

对称轴是垂直于y轴的一条直线，过顶点。

顶点坐标为(-b/2a , f(-b/2a))，其中-f(-b/2a)为函数的最小值或最大值。

二、零点和交点二次函数的零点是指函数取0值的x的值。

根据函数f(x) = ax^2 + bx + c = 0，可以通过求解二次方程来求得二次函数的零点。

当二次方程有两个根时，表示函数与x轴有两个交点；当二次方程有一个根时，表示函数与x轴有一个交点；当二次方程没有实根时，表示函数与x轴没有交点。

三、函数的增减性根据二次函数的开口方向，可以判断函数的增减性。

当a>0时，二次函数是向上开口的，函数在开口处左右是递减的；当a<0时，二次函数是向下开口的，函数在开口处左右是递增的。

四、函数的平移与拉伸我们可以通过改变二次函数的常数项c来使函数平移，改变一次项系数b来使函数斜拉伸或压缩，改变二次项系数a来使函数横向拉伸或压缩。

具体来说，当我们将常数项c增大或减小时，函数的图像将上下平移；当我们将一次项系数b增大或减小时，函数的图像将左右移动；当我们将二次项系数a增大或减小时，函数的图像将变得更瘦或更胖。

五、二次函数的应用二次函数在现实生活中有很多应用，例如抛物线的运动轨迹、抛物线天线的接收范围等等。

初三上册数学二次函数知识点(5篇)

初三上册数学二次函数知识点(5篇)1.初三上册数学二次函数的定义篇一一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数。

注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。

2.初三上册数学二次函数y=ax2+c的图象与性质篇二(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定。

(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴。

当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大。

当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小。

(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系。

抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动。

3.初三上册数学二次函数的平移规律口诀篇三上加下减，左加右减y=a(x+b)2+c，是将y=ax2的二次函数图像按以下规律平移(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。

(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。

(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。

人教版九年级上册数学二次函数课件

当a=0时，这个函数不是二次函数，有可能是一次函数.
自主探究
问题: (3)b或c能为0吗？
当b≠0时，是一次函数，当b=0时，是常数函数关于x的函数 y m 1 xm2m
是二次函数，求m的值.
分析：若 y m 1 xm2m 是二次函数，须满
足的条件是 m2 m 2, m 1 0.
自主探究
1.问题探究（1）正方体的六个面是全等的正方形，如果正方体的棱长为x，表面积为y，那么y与x的关系可以怎样表示？
y 6x2
（2） n边形的对角线条数d与边数n之间有怎
样的关系?
d 1 n2 3 n
2
2
自主探究
（3）某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系应怎样表示？
第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境引入
欣赏下面两幅图片：
姚明一次精彩的投球
情境引入
广场前喷水池喷出的水珠
情境引入
篮球和水珠在空中走过一条曲线，在曲线的各个位置上，篮球（水珠）的竖直高度h与它距离投出位置（喷头）的水平距离x之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示.
y 20x2 40x 20.
自主探究
2.视察思考
请视察下面三个式子，它们的变量对应规律可
用怎样的函数表示？这些函数有什么共同特点？请
你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.
（1） y 6 x2 ;
（2）d
1 2
n2
3 2
n;
具有

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)

解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件，所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元．所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]，即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积，得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2．这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a，b，c为常数，且a≠ 0；（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项．

人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优秀课件

函数
与一元二次方程
人教版九年级上册数学
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
___x___是自变量，__y__是__x__的函数。
当 y = 0 时， ax²+ bx + c = 0
ax²+ bx + c = 0
这是什么方程？一元二次方程与二次函数有什么关系？
上一章中我们学习了“一元二次方程”
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
y
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间?
探究
（1） y = 2x2＋x－3 y
解：当 y = 0 时， 2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
3
o
x 1 =－，x 2 = 1
x
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。

2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点

2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。

这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。

三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。

2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。

二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。

开口方向与大小：由二次项系数a决定。

当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。

2. 顶点式：对称轴为直线x = h。

3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。

顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。

2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。

最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。

三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。

函数图像与x轴的交点即为该方程的根。

根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。

第二十二章《二次函数》知识点总结人教版数学九年级上册

《二次函数》知识点总结【知识点1 二次函数的表达式】1. 一般式： . 顶点坐标： . 对称轴： .2. 顶点式： .顶点坐标： . 对称轴： . 【知识点2 二次函数的图象与性质】 1. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向；①当0>a 时，抛物线的； ②当0<a 时，抛物线的； ③ ||a 越大，抛物线的开口 .3.常数项c 决定抛物线与y 轴交点的位置 . ①当0=c ，抛物线与y 轴交于； ②当0>c ，抛物线与y 轴交于； ③当0<c ，抛物线与y 轴交于 .5.根据a 、b 、c 的符号，画出二次函数的草图:①已知 a <0、b <0、c <0 ②已知 a>0、b <0、c >0 6.描述下面二次函数c bx ax y ++=2的增减性：【知识点3 抛物线与坐标轴的交点】 1. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数，即02=++c bx ax . ①当，抛物线与x 轴有两个交点； ②当，抛物线与x 轴有1个交点； ③当，抛物线与x 轴有没有交点；2.求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点的过程： 3.求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的过程：4.函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图，那么 ①方程 ax 2 + bx + c =2 的根是 ______________;2.系数a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置 . ①a 和b 同号，对称轴在原点的； ②a 和b 异号， .4.根据图象判断出a 、b 、c 的符号：方法总结：第一步：求出对称轴；第二步：用箭头在对称轴两侧标出上升和下降；第三步：描述增减性.①当时，随的增大而减小； ②当时，随的增大而增大；∵轴上的点，为零，∴ . ∵轴上的点，为零，∴ .②不等式 ax 2 + bx + c >0 的解集是 ___________; ③不等式 ax 2 + bx + c <2 的解集是 _________.④ a + b + c 0 ，4a 2 b + c 0 ， 9a +3 b + c 0 .【知识点4 抛物线的平移】二次函数 y = ax 2 + bx + c 的平移口诀：“上下平移，；左右平移， .” 【 * *知识点5 抛物线的对称 ** 】抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的解析式为 . 抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的解析式为 . 【 * *知识点6 二次函数图象的画法 ** 】画出二次函数3-2-2x x y =的的图象.【典型例题】1.m2+1+2x −是二次函数，则m 的值为( )C. −1D. 1或−12.【求顶点坐标】抛物线y =2(x −3)4的顶点坐标是( ) A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)3.【与坐标轴的交点】抛物线y =−x 2+4x −4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 34.【平移】将函数y =x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1,4)的方法是( ) A. 向左平移1个单位 B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位5.【平移】抛物线y =x 2+6x +7可由抛物线y =x 2如何平移得到的( )A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 6.【图象与性质】对于抛物线y =−3(x +1)2−2，下列说法正确的是( ) A. 抛物线开口向上 B. 当x >−1时，y 随x 的增大而减小 C. 函数最小值为−2D. 顶点坐标为(1,−2)7.【增减性】已知(−3,y 1)，(−1,y 2)，(2,y 3)是抛物线y =−3x 2+6x +m 上的三个点.则( ) A. y 1<y 3<y 2B. y 3<y 2<y 1C. y 1<y 2<y 3D. y 2<y 1<y 38.【最值】已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在−1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A. 有最大值−1，有最小值−2B. 有最大值0，有最小值−1C. 有最大值7，有最小值−1D. 有最大值7，有最小值−29.【系数与图象】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致为( )A. B. C. D.10.【求解析式】如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，求二次函数的解析式．11.如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象经过点A(−1,−1)和点B(3,−9)．(1)求该二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标；(2)点C是抛物线与x轴的一个交点，点D是抛物线与y轴的交点，求三角形ACD 的面积；(3)已知点M（x1，y1）和N（1+x1，y2）在抛物线对称轴的右侧，判段y1和y2的大小.12.在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图所示)，如果这名男同学的出手处A点的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5)．(1)求出这个二次函数的解析式；(2)请求出这名男同学比赛时的成绩？13.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)如果水面下降1m，则水面宽度是多少米？14.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售16件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？。

九年级上册知识点二次函数

九年级上册知识点二次函数九年级上册知识点：二次函数一、引言在九年级上册的数学课本中，我们将学习到许多重要的数学知识点，其中包括二次函数。

二次函数是代数学中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

本文将对九年级上册的二次函数进行详细的介绍和解析。

二、二次函数的定义和特点二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

它是一个二次多项式，其中的x^2项是最高次项，而x和常数项分别是一次和零次项。

二次函数的图像形状为抛物线，如果a>0，则抛物线开口向上，称为顶点向上；如果a<0，则抛物线开口向下，称为顶点向下。

顶点坐标可以通过求解二次函数的极值点来获得。

三、二次函数图像的性质1. 对称性二次函数的图像具有对称性。

对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，对于任意的x值，f(x) = f(-x)，即抛物线关于y轴对称。

2. 峰值与最小值如果二次函数的开口向上，顶点为最小值点；如果二次函数的开口向下，顶点为最大值点。

3. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。

我们可以通过求解f(x) = 0来确定二次函数的零点。

4. 增减性如果二次函数的导数大于零，说明函数增加；如果二次函数的导数小于零，说明函数减少。

四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有许多应用，下面我们来介绍其中两个典型的应用场景。

1. 抛物线的运动模拟我们知道，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来模拟。

当一个物体被斜抛时，它的运动轨迹形状呈抛物线。

通过建立合适的二次函数模型，我们可以计算出抛物线的参数，从而预测物体的落点或者反向求解初始速度等。

2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也有广泛的应用。

例如，我们希望以最小的成本建造一座桥梁，可以通过建立一个二次函数模型来求解最佳的桥梁设计方案。

同样，我们也可以利用二次函数来解决最大化收益或最小化风险的问题。

五、二次函数的解法与技巧在解题过程中，我们有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地理解和解决二次函数相关的问题。

人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳

人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳知识点1 二次函数的概念和一般形式1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

【注意】（1）自变量x的最高次数是2，a≠0，b，c可以为0；（2）含自变量x 的代数式是整式而不是分式或根式。

2.一般式：y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）知识点2 二次函数的图像和性质1.二次函数的图像：是一条平滑的曲线叫做抛物线。

2.二次函数图像的画法：①列表；②描点；③连线。

3.二次函数的解析式（4种形式）（1）y = ax 2（a≠0）（2）y = ax 2+k（a，k是常数，a≠0）（3）y = a（x-h）2（a，h是常数，a≠0）（4）y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠04.二次函数的图像和性质：分别从五种图像（4种特殊+1个一般式）和7个性质（顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究）。

如下图：二次函数的图像与性质a <05.图像平移后的解析式：y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0）平移规则：左加右减，上加下减。

知识点3 用待定系数法求二次函数的解析式：一般式、顶点式、交点式。

（1）已知抛物线上普通的3点的坐标，一般选用一般式；（2）顶点在原点，可设y = ax 2（3）顶点在x轴上，若抛物线与x轴有一个交点，可设y = a（x-h）2；若抛物线与x轴有两个交点，可设y=a（x-x1）（x-x2）；（4）顶点在y轴上（或对称轴在y轴上），可设y = ax 2+k；（5）已知顶点（h，k），可设顶点式y = a（x-h）2+k知识点4 二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

九年级上册数学二次函数知识点笔记

九年级上册数学二次函数知识点笔记1、二次函数的定义一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．2、二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．3、二次函数y=ax²的图象和性质4、二次函数y=ax²+k的图象和性质5、二次函数y=a(x-h)²的图象和性质6、二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质7、抛物线的平移先将二次函数解析式化为顶点式y=a(x-h)²+k，根据口诀“左加右减，上加下减”，来进行平移运算 .8、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质9、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系a ：抛物线开口向上，a＞0抛物线开口向下，a＜0b ：抛物线的对称轴是y 轴，则b=0抛物线的对称轴在y轴左侧，则，即a、b同号抛物线的对称轴在y轴右侧，则，即,a、b异号c ：抛物线与y轴的交点为坐标原点，则c=0抛物线与y轴正半轴相交，则c＞0抛物线与y轴负半轴相交，则c＜0另外，c表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c）10、二次函数解析式的表示方法（1）一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）（2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a,b,c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标（3）交点式：y=a(x- x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2 是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根)。

11、求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点和对称轴的方法（1）公式法：y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点是，对称轴是直线（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)²+k的形式，得到顶点为(h，k)，对称轴是直线x=h.12、二次函数与一元二次方程的关系13、利用二次函数求最值的应用题若应用题出现“最多、最少、利润最大、利润最小”等字眼.解题方法：对二次函数进行配方，配成顶点式y=a(x-h)²+k，当x＝h时，k为最值。

人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件

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轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是抛物线；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
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轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同：对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_，对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )