集合的含义与表示例题练习及讲解
高中数学集合的含义与表示 例题解析
集合的含义与表示 例题解析【例1】己知集合A ＝｛x ｜x ＝m ＋n 2，m ，n ∈Z ｝，判断下列元素x 与集合A 的关系：（1）231-=x ；（2）x ＝A ，A ∈Z ；（3）x ＝x 1＋x 2（其中x 1∈A ，x 2∈A ）；（4）x ＝x 1x 2（其中x 1∈A ，x 2∈A ）．解析：判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性，本题中将x 值试着写成m ＋n 2的形式，若m ，n 是整数，便可完成判定，若无法表在成上式或m ，n 不为整数，则x 不为集合中元素．（1）x ＝23231+=-，即m ＝3，n ＝1，其中3∈Z ，∴ A ∉-231．（2）x ＝A ＝A ＋02（A ∈Z ，0∈A ）， ∴ A ∈A ；（3）∵ x 1，x 2∈A ，设x 1＝m 1＋n 12，x 2＝m 2＋n 22，（m 1、m 2 、n 1、n 2 ∈Z ），则x 1＋x 2＝（m 1＋m 2）＋（n 1＋n 2）2，由m 1＋m 2∈Z ，n 1＋n 2∈Z ，∵ x 1＋x 2∈A ；（4）同理x 1x 2＝（m 1＋n 12）（m 2＋n 22）＝（m 1m 2＋2m 1 n 2）＋（m 1 n 2＋m 2 n 1）2，由于m 1m 2＋2 n 1 n 2∈Z ；m 1 n 2＋m 2 n 1∈Z ，∴ x 1x 2∈A ．点评：理解一个集合的意义重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形．【例2】设x ，y 都是实数，观察下列四个集合：A ＝｛y ＝x ＋1｝；B ＝｛x ｜y ＝x ＋1｝；C ＝｛y ｜y ＝x ＋1｝，D ＝｛（x ，y ）｜y ＝x ＋1｝．它们所表达的意义是否相同？解析：集合A 采用列举法表示，是单元素集合，二元一次方程y ＝x ＋1则集合A 中唯一元素． 集合B 代表元素是方程y ＝x ＋1中x 的取值．由二元一次方程可知，集合B 中元素x 可取任意实数值，所以B ＝R ，属元限集合．集合C 中代表元素y 指满足方程y ＝x ＋1的取值，所以由方程知识可知C ＝R ，即B 与C 表示同一个集合．集合D 中代表元素为有序数对（x ，y ），由此来看每一个元素均为方程y ＝x ＋1的一个解，故此集合D 即为方程y ＝x ＋1的解集．另外将（x ，y ）理解为平面坐标系中一点的坐标，则每个元素即对应坐标平面内的一个点，所以集合D 的几何意义即表示直线y ＝x ＋1．从以上解析来看，A 、B 、C 、D 四个集合意义各不相同．点评：本题将集合的符号语言转化为文字语言，或者将集合语言转化成自然语言，经过语言转化有助于加深对集合理解，准确地理解元素的意义，作到准确、全面的转化．试解相关题：下面的问题你能解答吗？请试一试用列举法表示下列集合：（1）A ＝｛x ∈N ｜x-99∈N ｝； （2）B ＝｛y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ｝；（3）C ＝｛（x ，y ）｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ｝思路：集合A 中元素x ，x-99均为自然数． 集合B 中y 值为涵数y ＝－x 2＋6的函数值的集合．集合C 中元素为点，抛物线上横坐标、纵坐标均为自然数的点．答案：A ＝｛0，6，8｝；B ＝｛1，3，9｝；C ＝｛（0，3），（1，5），（2，2）｝．【例3】（1）方程组⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集用列举法表示为____________；用描述法表示为____________． （2）｛（x ，y ）｜x ＋y ＝6，x ，y ∈N ｝用列举法表示为____________．解析：问题解决的关键主要是判断进而确定集合中元素是什么．（1）因⎩⎨⎧=-=+52y x y x 的解集为方程组的解，解该方程组x ＝27，y ＝－23． 则用列举法表示为｛（27，－23）｝， 用描述法表示为⎩⎨⎧（x ，y ）｜⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=+52y x y x ．（2）因x ＋y ＝6，x ，y ∈N 的解有：⎩⎨⎧==，，60y x ⎩⎨⎧==，，51y x ⎩⎨⎧==，，42y x ⎩⎨⎧==，，33y x ⎩⎨⎧==，，24y x ⎩⎨⎧==，，15y x ⎩⎨⎧==，，06y x 故列举法表示该集合，就是｛（0，3），（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）（6，0）｝．【例4】用适当的方法表示（1）方程x 2＋（3－1）x －3＝0有理数解的集合；（２）图中阴影部分的点（邻边界上的点）．解：（1）方程x 2＋ （3－）x －3＝0得x ＝1或x ＝－3，∴ 有理数解为x ＝1．∴ 集合用列举法表示为｛1｝．（2）⎪⎩⎪⎨⎧（x ，y ）｜⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤-0122xy y x ． 试题相关题：在直角坐标平面内用阴影表示下面的点集： ⎪⎩⎪⎨⎧)(x ，，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤-≤≤-0232252xy y x ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫．答案：。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
高中数学集合的含义及其表示练习题
高中数学集合的含义及其表示练习题(含解析)数学必修1(苏教版)1．1 集合的含义及其表示一位渔民专门喜爱数学，但他如何也不明白集合的意义，因此他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家专门难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家专门兴奋，快乐地告诉渔民：“这确实是集合！”你能明白得数学家的话吗？基础巩固1．下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1,0,5，12，32，64，14组成的集合有7个元素答案：C2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个答案：C3．下列四个关系中，正确的是()A．a{a，b} B．{a}{a，b}C．a{a} D．a{a，b}答案：A4．集合M＝{(x，y)|xy0，xR，yR}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．答案：D5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B6．集合M中的元素差不多上正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可知，集合M中包含的元素能够是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个．答案：B7．下列集合中为空集的是()A．{xN|x2 B．{xR|x2－1＝0}C．{xR|x2＋x＋1＝0} D．{0}答案：C8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝()A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或2解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a ＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}．a＝－3或2.答案：C9．集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x＝4k＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()A．a＋bPB．a＋bQC．a＋bMD．a＋b不属于P、Q、M中任意一个解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.答案：B10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．答案：①④⑤11．若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________．解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n＋2N.答案：aA12．集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______．解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.答案：－313．一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M的元素个数最多为________．答案：7个14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}．答案：③能力提升15．已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值．解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，现在A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意．(2)若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，现在A＝－34，符合题意．综上所述，a＝1或53.16．若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2021＋b202 1的值．解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，a＝1，又a1，故a＝－1.a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝1.17．设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”．(1)试写出只有一个元素的集合A；(2)试写出只有两个元素的集合A；(3)如此的集合A至多有多少个元素？解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}．(2)若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地显现在A中．同理，2和8,3和7,4和6成对地显现在A中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合．(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}．18．若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
集合的概念与表示(解析版)
第1章集合1.1集合的概念与表示一、基础巩固1.（2020三明期中）已知集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，且﹣3∈A，则a＝（）A．﹣1 B．﹣3或﹣1 C．3 D．﹣3【答案】D【解析】∵集合A＝{12，a2+4a，a﹣2}，且﹣3∈A，∴a2+4a＝﹣3或a﹣2＝﹣3，解得a＝﹣1，或a＝﹣3，当a＝﹣1时，A＝{12，﹣3，﹣3}，不合题意，当a＝﹣3时，A＝{12，﹣3，﹣5}，符合题意．综上，a＝﹣3．故选：D．2.（2020衡水校级月考）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x≠y，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】当x＝0时，y＝1，2，3；满足集合B．当x＝1时，y＝0，2；满足集合B．当x＝2时，y＝0，1；满足集合B．当x＝3时，y＝0．满足集合B．共有8个元素．故选：C．3.（2020安庆期中）下列各组集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【答案】B【解析】根据集合的定义，依次分析选项可得：对于A：M、N都是点集，（2，3）与（3，2）是不同的点，则M、N是不同的集合，故不符合；对于B：M、N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，符合要求；对于C：M是点集，表示直线x+y＝1上所有的点，而N是数集，表示函数x+y＝1的值域，则M、N是不同的集合，故不符合；对于D ：M 是数集，表示1，2两个数，N 是点集，则M 、N 是不同的集合，故不符合； 故选：B ．4. (2018年高考全国Ⅱ卷理数)已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【答案】A 【解析】，当时，； 当时，； 当时，,所以共有9个元素.选A ．5. （2020·河北省石家庄一中高一期末） 如果集合{|42,}S x x n n ==+∈N ，{|42,}T x x k k ==-∈Z ，则（ ）A ．S TB ．T SC ．S T =D ．S T ⋂=∅【答案】A【解析】因为{|42,}S x x n n ==+∈N则{2,6,10,14}S =⋅⋅⋅，{|42,}T x x k k ==-∈Z 则{6,2,2,6,10,14}T =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅根据集合与集合的关系可知S T ，故选:A6. （2020·湖南省长沙一中高一期末）已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】C【解析】因为集合{|0}A x x a =-，所以{}|A x x a =， 又因为2A ∈，则2a ，即[2,)a ∈+∞，故选：C ．7. (2020南苏州月考) 用列举法可以将集合{A a a =使方程2210ax x ++=有唯一实数解}表示为（ ） A ．{}1A = B ．{}0A = C ．{}0,1A = D ．{}0A =或{}1【答案】C【解析】由题意可知集合A 的元素表示能使方程2210ax x ++=有唯一实数解的a 的 值，当0a =时，210x += ，解得12x =-，成立；当0a ≠时，方程2210ax x ++=有唯一实数解，则440a ∆=-=， 解得：1a =，{}0,1∴=A .故选：C8. (多选题2020南通月考)若集合A ＝{x ∈N |x 2≤1}，a ＝－1，则下列结论不正确的是( )A ．a ∉AB ．a ∈AC ．{a }∈AD ．{a }∉A【答案】BCD【解析】集合A ＝{x ∈N |x 2≤1}＝{0,1}，a ＝－1，根据元素和集合的关系得到a ∉A .故选B 、C 、D. 二、拓展提升9. （2020扬州月考）若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的个数是______. 【答案】3【解析】若集合A 有且只有2个子集，则方程2(2)210k x kx +++=有且只有1个实数根，20k +=即2k =-时，方程化为410x -+=，14x =，符合题意，20k +≠即2k ≠-时，只需△244(2)0k k =-+=，解得：1k =-或2k =，故满足条件的k 的值有3个，故答案为：3．10.（2020无锡月考） 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }． （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围． 【解析】（1）若A 是空集， 则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时△＝9﹣8a ＜0 即a ＞89 （2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根 当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件 当a ≠0，此时△＝9﹣8a ＝0，解得：a ＝89∴a ＝0或a ＝89 若a ＝0，则有A ＝{32}；若a ＝89，则有A ＝{34}； （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a ＝0或a ≥89。
(完整版)集合的概念及表示练习题及答案
新课标集合的含义及其表示姓名:、选择题:1.下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1:( 2)若a N，则a N (3) x2的解集为{2 , 2} ; ( 4) 0.7 Q，其中不正确命题的个数为 ( )4xA. 0B. 1C.2D.32.下列各组集合中，表示同一集合的是A. M 3,2 , N 2,3B. 3,2 , N 2,3C. M x, y x y 1 , N y 1D. M 1,2 ,N 1.23.下列方程的实数解的集合为-的个数为(1) 4x2 9y2 4x 12y 5 0；(2)6x20；⑶ 2x 1 23x 2 0；(4)6x2A.1B.2C.3D.44.集合A x 1 0 ,B 6x 10 0 , x Q 4x 5 解集含有3个元素；(3) 0 (4)满足1 x x的实数的全体形成的集合。
其中正确命题的个数是( )A.0B. 1C. 2D.3二. 填空题：一，2x 4 08. 用列举法表示不等式组2x 4 0的整数解集合为1 x 2x 19. 已知集合A x x N,里I N用歹0举法表示集合A为6 x10. 已知集合A a-_41有惟一解，乂列举法表示集合A为x a三、解答题：11. 已知A= 1,a,b , B a, a2,ab，且A=B,求实数a,b ;12. 已知集合A xax2 2x 1 0, x R , a为实数(1)若A是空集，求a的取值范围(2)若A是单元素集，求a的值(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围D xx为小丁2的质数，其中时空集的有A. 1 个B.2个C.3 个D.4 个5.下列关系中表述正确的是A. 0 x20B. 0 0,0C. 0D. 06.A. 下列表述正确的是(0 B. 1,2 2,1 C. D. 07. 卜面四个命题：(1)集合N中的最小元素是 1 : (2)方程13.设集合M a a x2 y2,a Z(1)请推断任意奇数与集合M的关系(2)关丁集合M你还可以得到一些什么样的结论参考答案：DBBBDBCa>1(2) a=0or1 (3) a=0-一一…- 178. 1,0,1,2 9 0,2,3,4,5 ; 10, 一，2,2 11,a= -1,b=0 ; 12, (1)4or a 113 (1)任意奇数都是集合M的元素(2)略。
集合及表示意义及例题讲解附答案
集合的含义及表示如自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合。
到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等集合的含义是什么呢？观察下列实例：（1）1～20以内的所有质数；2,3,5,7,9,11,13,17,19（2）绝对值小于3的整数；-2,-1,0,1,2（3）满足x－3＞2 的实数；X>5（4）我国古代四大发明; 造纸术、活字印刷术、指南针，火药（5）英山一中高一（10）班的所有同学；（6）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）．（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合的含义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）表示方法：集合通常用{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作．集合的三个特征确定性：它的元素必须是确定的。
即，给定一个集合，那么元素与集合的关系只有“属于”及“不属于”两种。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象。
无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
判断下列对象是否能构成一个集合？①身材高大的人②所有的一元二次方程③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体⑥的近似值的全体⑦我国的小河流⑧所有的数学难题三常用数集及记（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合．记作N，．（2）正整数集：非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋，．（3）整数集：全体整数的集合．记作Z，．（4）有理数集：全体有理数的集合．记作Q，．（5）实数集：全体实数的集合．记作R，．注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0．（2）非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋．Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*．集合的表示方法例，请表示下列集合：，①方程x2－9=0的解的集合；{3，-3}②大于0且小于10的奇数的集合；{1,3,5,7,9}③不等式x－7<3的解集；④抛物线y=x2上的点集；1.列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。
集合的含义与表示题型及解析
集合的含义与表示题型及解析1.下列各组对象能组成集合的是 （1）著名影星 （2）我国的小河流 （3）攀枝花市十二中高2012级学生 （4）高中数学的难题 （5）中央电视台著名节目主持人 （6）A 市跑得快的汽车 （7）上海市所有的中学生 （8）我国著名的数学家 （9）高一5班的好学生 （10）不等于0的实数 （11）平方等于自身的数 （12）一年级2班某次数学考试成绩在100分以上的同学分析：根据集合元素应该满足的确定性，分析四个答案中的元素是否满足确定性，可得到答案．解：根据集合的定义，依次分析可得：“著名影星”没有具体的标准，元素不具有确定性，不能构成集合；“我国的小河流”没有具体的标准，元素不具有确定性，不能构成集合；“攀枝花市十二中高2012级学生”，其中元素具有确定性，能构成集合；“高中数学的难题”没有具体的标准，元素不具有确定性，不能构成集合；中央电视台著名节目主持人具有不确定性，故构不成集合；A 市跑得快的汽车具有不确定性，故构不成集合；上海市所有的中学生是确定的，故可以构成集合；我国著名的数学家具有不确定性，故构不成集合；“高一5班的好学生” 具有不确定性，故构不成集合；不等于0的实数具有确定性，故构成集合；平方等于自身的数具有确定性，故构成集合；一年级2班某次数学考试成绩在100分以上的同学具有确定性，故构成集合2.下列表示集合的式子正确的是①﹛2,3,4﹜ ②﹛1,2,3,4,1n ﹜ ③﹛-3,4,327-,6﹜ ④﹛a,b,c,d,c ﹜⑤﹛0,5,6,8﹜⑥﹛1,x,4,7,(-2)2﹜ 3.已知x ∈{0，2，x 2），则实数x 的值是多少？分析：将x 依次等于集合中的值并验证即解：①若x=0，则x 2=0，不合题意，②若x=2，符合题意，③若x=x 2时，x=0（舍去），或x=1．∴x=1或24.设A 表示集合{2，3，a 2+2a ﹣3}，B 表示集合{|a+3|，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值分析：通过5∈A ，且5∉B 列出混合组，求出a 的值即可解：∵5∈A ，且5∉B ，∴，即，∴a=﹣45.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合M={x|x=a+b ，a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，2，5}Q={1，2，6}，则集合M 中元素的个数是分析：根据已知条件写出M 的所有元素即可． 解：a=0，b=1，a+b=1；a=0，b=2，a+b=2；a=0，b=6，a+b=6；a=2，b=1，a+b=3；a=2，b=2，a+b=4；a=2，b=6，a+b=8；a=5，b=1，a+b=6；a=5，b=2，a+b=7；a=5，b=6，a+b=11；∴集合M 中元素的个数为86.下列各数属于哪些集合，请填出它们所属的集合 -5，－0.5，0，53，3解：－5∈Z ；－0.5∈Q ；0∈N ；53∈R ；3∈N +7.集合{ｘ︱－2< ｘ< 3}可以用列举法表示吗？这个不能用列举法,这个集合有无数个元素，列举法适用于有限个元素的集合；如果x ∈Z ，就可以用列举法了8.用列举法表示下列集合：①{平方为1的数}；②{x||x|=3}；③{x|x 2﹣4x ﹣5=0}；④{x ∈Z|﹣2≤x ＜10}；⑤方程组的解集 分析：对于这几个集合，要用列举法表示，只需根据限制条件求出集合的所有元素，然后列举法表示出来即可 解：①平方为1的数为1，和﹣1；∴列举法表示为{1，﹣1}； ②|x|=3；∴x=±3；∴列举法表示为：{﹣3，3}； ③解x 2﹣4x ﹣5=0得，x=﹣1，或5；∴列举法表示为：{﹣1，5}；④x ∈Z ，﹣2≤x ＜10；∴x 的取值为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；∴列举法表示为：{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；⑤解得：；∴列举法表示为{（3，1）}9.用列举法表示集合 ①{x ∈N|x -56∈N} ②﹛（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z}分析：根据已知条件，分别让x 从0，取到6，判断是否为自然数，并且能看出x ≥6时，x -56＜0，这样找出使x -56∈N 的x 即求出了集合{x ∈N|x-56∈N}解：①∵x ∈N ，x -56∈N ；∴x=0，x -56=56；x=1，x -56=23；x=2，x -56=2；x=3，x-56=3；x=4，x -56=6；x=5,x -56不存在；x=6，x -56=-6，即x ≥6时，x -56＜0；所以集合{x ∈N|x-56∈N}={2，3，4}②分析：首先根据0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z 分别写出x 与y 的值，然后按照题意写出集合即可．解：∵集合为{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z}，∴x=0，1；y=0，1，∴集合为：{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}10.用描述法表示下列集合：（1）小于100但不小于10的奇数；（2）{1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…}；（3）直角坐标平面内第四象限内的点2ｃ的图象上所有点的集合；（5）抛物线y=x 2-2x+2的点组成的集合；（6）使分析：根据描述法的表示方法，不难求出答案解：（1）小于100但不小于10的奇数的集合={x|x=2n ﹣1，n ∈N *，6≤n ≤50}；（2）{1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…}={x|x=（﹣1）n ﹣1（2n ﹣1），n ∈N *}；（3）直角坐标平面内第四象限内的点集：{（x ，y ）|x ＞0且y ＜0}；（4）抛物线y=ａx 2+ｂx+ｃ的点组成的集合：{（x ，y ）|y=ａx 2+ｂx+ｃ}；（5）抛物线y=x 2-2x+2的点组成的集合：{（x ，y ）|y=x 2-2x+2}；（6）使x 的集合：11.用适当的方法表示下列集合 （1）方程组⎩⎨⎧=+=-8231432y x y x 的解集：（2）所有的正方形；（3）抛物线y=x 2上的所有点组成的集合；（4）方程x （x 2+2x+1）=0的解；（5）不等式x ﹣3＞4的解集；（6）已知集合P={x|x=2n ，0≤n ≤2且n ∈N}；（7）抛物线y=x 2﹣2x 与x轴的公共点的集合；（8）直线y=x 上去掉原点的点的集合；（9）小于20的素数组成的集合；（10）方程x 2﹣4=0的解的集合；（11）由大于3小于9的实数组成的集合；（12）所有奇数组成的集合；（13）台州九个县市区构成的集合；（14）大于2且小于6的所有实数构成的集合；（15）由小于10的所有质数组成的集合；（16）两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的集合．分析：根据列举法和描述法的定义可以表示各集合解：（1）用有序数对（x ，y ）表示该方程组的解，所以描述法表示方程组解集为：{（x ，y ）|⎩⎨⎧=+=-8231432y x y x }； （2）{x|x 是正方形}；（3）点表示为（x ，y ），所以描述法表示该集合为：{（x ，y ）|y=x 2}；（4）解方程x （x 2+2x+1）=0得：x=0或x=﹣1，故方程x （x 2+2x+1）=0的解集为{﹣1，0}；（5）解不等式x ﹣3＞4得：x ＞7，故不等式x ﹣3＞4的解集为{x|x ＞7}；（6）已知集合P={x|x=2n ，0≤n ≤2且n ∈N}={0，2，4}；（7）抛物线y=x 2﹣2x 与x 轴的公共点的集合={（0，0），（2，0）}；（8）直线y=x 上去掉原点的点的集合={（x ，y ）|y=x ，（x ≠0）}；（9）小于20的素数组成的集合，列举法为{2，3，5，7，11，13，17，19}；（10）方程x 2﹣4=0的解的集合．列举法为：{﹣2，2}；（11）由大于3小于9的实数组成的集合．描述法为：{x|3＜x ＜9，x ∈R}．（12）所有奇数组成的集合．描述法为：{x|x=2n+1，n ∈z}（13）{x|x 是台州九个县市区}；（14）用描述法表示{x|2＜x ＜6，x ∈R}；（15）由于质数又称素数．指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数 故10以内所有质数：2、3、5、7，则它们组成的集合是{2，3，5，7}；（16）设三角形第三边长度为x ，根据三角形三边长度的关系得：x ＞5﹣3，x ＞2；x ＜5+3，x ＜8，所以x 的取值范围为：2＜x ＜8．又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{x|2＜x ＜8，x ∈N}。
集合的含义与表示 习题(含答案)
集合的含义与表示 习题（含答案）一、单选题1．已知A 中元素x 满足x ＝3k －1，k∈Z，则下列表示正确的是( )A ． －1∉AB ． －11∈AC ． 3k 2－1∈A D ． －34∉A2．下列说法正确的有（ ）①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；②0∈N ∗；③集合{y |y =x 2−1}与集合{(x,y )|y =x 2−1}是同一个集合；④空集是任何集合的真子集.A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个3．已知集合A={1，x ，x 2-2x}，且3∈A ，则x 的值为（ ）A ． -1B ． 3C ． -1或3D ． -1或 -34．下列说法：①集合{x∈N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；③方程组{x +y =3x −y =−1的解集为{x ＝1，y ＝2}． 其中正确的有( )A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个5．集合M ={（1，2），（2，1）}中元素的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．如果A ={x|x >−1}，那么( )A ． 0⊆AB ． {0}∈AC ． φ∈AD ． {0}⊆A7．设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S 时，有x 2∈S，给出如下三个命题：①若m=1则S={1}； ②若m=−12，则14≤n≤1； ③若n=12，则−√22≤m≤0．其中正确的命题的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 38．若集合A={x|ax 2+ax −1=0}只有一个元素，则a =（ ）A ． -4B ． 0C ． 4D ． 0或-49．已知集合A {x|x =a 0+a 1×2+a 2×22+a 3×23}，其中a k ∈{0,1}(k =0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和是（ ）．A ． 120B ． 112C ． 92D ． 8410．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为A ． 9B ． 8C ． 5D ． 4二、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.12．用另一种方法表示下列集合：(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x ＝|x|，x<5且x∈Z}；(4){(x ，y)|x ＋y ＝6，x∈N ＋，y∈N ＋}；(5){－3，－1,1,3,5}．三、填空题13．给出下列集合：①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠－3}；②{(x，y)|{x ≠1y ≠1 且{x ≠2y ≠−3 }；③{(x，y)|{x ≠1y ≠1或{x ≠2y ≠−3}； ④{(x，y)|[(x －1)2＋(y －1)2]·[(x－2)2＋(y ＋3)2≠0]}．其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有________．14．列举法表示方程x 2−(2a +3)x +a 2+3a +2=0的解集为______．15．若集合{x ∈R|a <x <2a －4}为空集，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．C【解析】【分析】判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件x=3k−1,k∈Z；判断一个元素是集合A的元素，只需令这个数等于3k−1，解出k，判断k是否满足k∈Z，据此可完成解答.【详解】当k=0时，3k−1=−1，故−1∈A，故选项A错误；∉Z，故选项B错误；若−11∈A，则−11=3k−1，解得k=−103令3k2−1=3k−1，得k=0或k=1，即3k2−1∈A，故选项C正确；当k=−11时，3k−1=−34，故−34∈A，故选项D错误；故选C.【点睛】该题是一道关于元素与集合关系的题目，解题的关键是掌握集合的含义.2．A【解析】【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假．【详解】对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N*，错误；对于③，集合{y=x2-1}列举的是一个等式，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选：A．【点睛】本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题．3．A【解析】【分析】推导出x=3或x2-2x=3，分别代入集合A，能求出x的值．【详解】：∵集合A={1，x，x2-2x}，且3∈A，∴x=3或x2-2x=3，当x=3时，A={1，3，3}，不满足元素的互异性，故x≠3，当x2-2x=3时，解得x=-1或x=3（舍），当x=-1时，A={1，-1，3}，成立．故x=-1．故选：A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是基础题．4．D【解析】【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误．【详解】∵x3=x的解为-1，0，1，∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组{x+y=3x−y=−1的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D．【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题．5．B【解析】【分析】根据题意，集合是用列举法表示的，集合M 是点集，只包含两个点。
集合的含义及表示（含答案）
集合的含义及表示（含答案）集合的含义及表示一、单选题(共14道，每道7分)1.在直角坐标内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的表示法2.已知集合，用列举法可表示为( )A.{0，1，2}B.{-3，-1，0，1}C.{-3，0，1，2}D.{-2，-1，1，2}答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的表示法3.设集合，，则下列关系中正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系4.下面关于集合的表示，正确的个数是( )①；②；③．A.0B.1D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等5.下列集合中，是空集的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空集的定义、性质及运算6.下列集合中与相等的是( )A.{1，-1}B.{1，0，-1}C.{2，-2}D.{2，0，-2}答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等7.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系8.已知：①；②；③；④，上述四个关系中，错误的个数是( )B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的子集9.若集合中只有一个元素，则a=( )A.4B.2C.0D.0或4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系10.若以正实数a，b，c，d四个元素构成集合A，则以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合中元素的互异性11.下面各数中，集合中的x不能取的一个值是( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系12.若，则x的值为( )A.-1B.2C.-1或2D.1或-2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：元素与集合的关系13.已知集合，集合．若集合A=B，则a的值为( )A.1B.3C.0D.0或1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等14.已知集合，且A=B，则x，y的值分别为( )A.-1，0B.1，0C.1，-1或0D.-1，1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：集合的相等。
集合的含义与表示例题练习及讲解讲课讲稿
第一章第一节 集合的含义与表示1.1典型例题例1：判断下列各组对象能否构成一个集合（1）班级里学习好的同学（2）考试成绩超过90分的同学 （3）很接近0的数（4）绝对值小于0.1的数 答： 否 能 否 能例2：判断以下对象能否构成一个集合（1）a ，-a（2）12，0.5 答：否 否例3：判断下列对象是否为同一个集合｛1，2，3｝ ｛3，2，1｝答：是同一个集合例4：42=x 解的集合答：｛2，-2｝例5：文字描述法的集合（1）全体整数（2）考王教育里的所有英语老师答：｛整数｝ ｛考王教育的英语老师｝例6：用符号表示法表示下列集合（1）5的倍数（2）三角形的全体构成的集合（3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合（4）所有绝对值小于6的实数的集合答：（1）},5z k k x x ∈=｛（2）｛三角形｝ （3）(){}12,-=x y y x（4）{}R x x x ∈<<-,66例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4}答：例8：指出以下集合是有限集还是无限集（1）一百万以内的自然数； （2）0.1和0.2之间的小数答：有限集；无限集例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。
(2)分析并指出其含义：0；｛0｝；∅；{}；{∅}答：（1）∅；（2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。
1.1 随堂测验1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围2、集合{}2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x.3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）young 中的字母； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）门前的大树 （4）漂亮的女孩4、用列举法表示下列集合（1）方程()()0422=--x x 的解集；（2）平方不超过50的非负整数；（3）大于10的奇数.5、指出以下集合的区别{}1-=x y {}1-=x y x {}1-=x y y (){}1,-=x y y x6、某班有30个同学选修A 、B 两门选修课，其中选修A 的同学有18人，选修B的同学有15人，什么都没选的同学有4人，求同时选修A 、B 的人数。
集合知识点总结带例题
集合知识点总结带例题一、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合是一个无序的整体，它只关心集合中包含的元素，与元素的排列顺序无关。
2. 元素集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物或对象，例如数字、字母、集合等。
3. 空集一个不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅ 或 {} 表示。
4. 包含关系若集合 A 中的所有元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 包含在集合 B 中，通常用符号A⊆B 表示。
5. 相等关系若集合 A 包含在集合 B 中，并且集合 B 包含在集合 A 中，则称集合 A 和集合 B 相等，通常用符号 A=B 表示。
6. 子集若集合 A 包含在集合 B 中，且集合 A 不等于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的子集，通常用符号A⊂B 表示。
7. 并集若集合 A 和集合 B 的元素都包含在一个新的集合中，则称该集合为 A 和 B 的并集，通常用符号A∪B 表示。
8. 交集若集合 A 和集合 B 的公共元素构成一个新的集合，则称该集合为 A 和 B 的交集，通常用符号A∩B 表示。
9. 完全集一个包含所有可能元素的集合称为完全集。
10. 互斥集若集合 A 和集合 B 没有共同的元素，则称集合 A 和集合 B 互斥。
二、运算1. 并集对于两个集合 A 和 B，它们的并集是一个包含 A 和 B 所有元素的集合。
例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集对于两个集合 A 和 B，它们的交集是一个包含 A 和 B 共同元素的集合。
例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∩B={3}。
3. 补集对于一个集合 A，它在另一个集合 U 中的补集是指 U 中不属于 A 的元素所组成的集合，通常用符号 A' 或 A^c 表示。
4. 差集对于两个集合 A 和 B，它们的差集是包含在 A 中但不包含在 B 中的元素所组成的集合，通常用符号 A-B 表示。
专题1 集合的含义与表示(解析版)
专题1 集合的含义与表示题组1 集合的概念1.对于以下说法：①接近于0的数的全体构成一个集合；②长方体的全体构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合；⑤0,0.5，，组成的集合含有四个元素.其中正确的是（）A.①②④B.②③⑤C.③④⑤D.②④【答案】D【解析】①③中的元素不能确定，⑤中的集合含有3个元素，②④中的元素是确定的，所以②④能构成集合.故选D.2.下列各组对象可以组成集合的是（）A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数【答案】B【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.3.下列说法中正确的是（）A.班上爱好足球的同学，可以组成集合B.方程x（x－2）2＝0的解集是{2,0,2}C.集合{1,2,3,4}是有限集D.集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是含有相同元素的集合【答案】C【解析】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x（x－2）2＝0的所有解的集合可表示为{0,2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合{1,2,3,4}中有4个元素，所以集合{1,2,3,4}是有限集，选项C正确；集合{x2＋5x＋6＝0}不符合集合的表示形式，既不是列举法，也不是描述法，表示形式错误，选项D不正确.故选C.4.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（）A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合B.P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C.P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集【答案】A【解析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.题组2 集合中元素的特征5.数集{x2＋x,2x}中，x的取值范围是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，0）∪（0，＋∞）C.（－∞，1）∪（1，＋∞）D.（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）【答案】D【解析】根据题意，由集合中元素的互异性，可得集合{x2＋x,2x}中，x2＋x≠2x，即x≠0，x≠1，则x的取值范围是（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）.故选D.6.数集{1,2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A.{2，}B.{－2，－}C.{±2，±}D.{2，－}【答案】C【解析】由x2－3≠1解得x≠±2.由x2－3≠2解得x≠±.∴x不能取得值的集合为{±2，±}.故选C.7.若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素，则a等于（）A.4B.2C.0D.0或4【答案】A【解析】当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故选A.8.若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为（）A.1B.0C.0或1D.以上答案都不对【答案】C【解析】k＝0时，适合题意；k≠0，由Δ＝0，可得k＝1.9.由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含（）A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素【答案】A【解析】由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.10.设集合A＝{－1,1,2，－2}，B＝{0,3，－3}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由集合中元素的互异性，可知集合M＝{0，－3,3,6，－6}，所以集合M中共有5个元素.题组3 元素与集合的关系11.由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则（）A.a∈AB.a2∈AC.∉AD.a＋1∉A【答案】A【解析】a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.a2＝（）2＋2·＋（）2＝5＋2>5.∴a2∉A.＝＝＝－<5.∴∈A.故选A.12.已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{y|y＝3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0与集合M，N的关系是（）A.x0y0∈M但x0y0∉NB.x0y0∉M且x0y0∉NC.x0y0∈N但x0y0∉MD.x0y0∈M且x0y0∈N【答案】C【解析】设x0＝3m＋1，y0＝3n＋2，m，n∈Z，则x0y0＝（3m＋1）（3n＋2）＝9mn＋6m＋3n＋2＝3（3mn＋2m＋n）＋2，∴x0y0∈N但x0y0∉M，故选C.13.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，且a∈P，b ∈Q，则有（）A.a＋b∈PB.a＋b∈QC.a＋b∈RD.a＋b不属于P、Q、R中的任意一个【答案】B【解析】由P＝{x|x＝2k，k∈Z}可知P表示偶数集；由Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}可知Q表示奇数集；由R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}可知R表示所有被4除余1的整数；当a∈P，b∈Q，则a为偶数，b为奇数，则a＋b一定为奇数，故选B.14.若集合A＝{x|0<x<7，x∈N*}，则B＝中元素的个数为（）A.3B.4C.1D.2【答案】B【解析】A＝{x|0<x<7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,6}，∵A∩B＝B，∴B＝中元素的个数为4.15.定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素数字之和为（）A.7B.9C.5D.6【答案】A【解析】∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，则A*B中的所有元素数字之和为1＋2＋4＝7，故选A.16.（1）设A表示集合{2,3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a 的值；（2）已知集合A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，若（2,3）∈A，且（2,3）∉B，试求m，n的取值范围.【答案】（1）∵5∈A，且5∉B，∴即解得a＝－4.（2）∵（2,3）∈A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1.∵（2,3）∉B，∴2＋3－n>0，∴n<5.∴所求m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.17.已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，则（6－x）∈S”时回答下列问题：（1）试写出元素个数为2的全部集合S；（2）试写出满足条件的全部集合S.【答案】（1）∵S中有两个元素，且x∈S,6－x∈S，∴这两个元素的和为6，∴S可能为{1,5}，{2,4}.（2）当6－x＝x时，x＝3，∴S可能为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4}，{1,5,2,4,3}.题组4 常用的数集及表示18.下列关系中正确的个数为（）①∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①③正确.19.下列四个说法中正确的个数是（）①集合N中的最小数为1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合；⑤π∈Q；⑥0∉N；⑦－3∈Z；⑧∈R.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①错，因为N中最小数是0；②错，因为0∈N，而－0∈N；③错，当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错，小的正数是不确定的；⑤错，因为π不是有理数；⑥错，因为0是自然数；⑦正确，因为－3是整数；⑧正确，因为是实数.题组5 用列举法表示集合20.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N*}为（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】B【解析】∵x－2<3，∴x<5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故选B.21.方程组的解构成的集合是（）A.{（1,1）}B.{1,1}C.（1,1）D.{1}【答案】A【解析】由得即方程组的解构成的集合为{（1,1）}，故选A.22.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（）A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}【答案】A题组6 用描述法表示集合23.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（）A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}【答案】A24.用描述法表示一元二次方程的全体，应是（）A.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R}B.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0}C.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R}D.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}【答案】D【解析】∵一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0.则描述法表示一元二次方程的全体构成的集合为：{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}.故选D.25.集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（）A.方程y＝2x－1B.点（x，y）C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合【答案】D【解析】集合{（x，y）|y＝2x－1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y＝2x－1}表示函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.26.第一象限的点组成的集合可以表示为（）A.{（x，y）|xy>0}B.{（x，y）|xy≥0}C.{（x，y）|x>0且y>0}D.{（x，y）|x>0或y>0}【答案】C27.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由于[k]＝，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5（n1－n2）能被5整除，∴a－b∈[0]，∴③正确；对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m ∈Z，k＝0,1,2,3,4，则a＝5n＋5m＋k＝5（m＋n）＋k，m∈Z，n∈Z，∴a，b属于同一“类”，∴④正确，则正确的有①③④，共3个.28.已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（）A.x0∈NB.x0∉NC.x0∈N或x0∉ND.不能确定【答案】A【解析】M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，∵2k＋1（k∈Z）是一个奇数，k＋2（k∈Z）是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.题组7 集合的表示综合29.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n ＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M ＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（）A.18B.17C.16D.15【答案】B【解析】因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.30.用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数}；（2）{能被3整除，且小于10的正数}；（3）{x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；（4）{（x，y）|x＋y＝6，x，y均为正整数}；（5）{－3，－1,1,3,5}.【答案】（1）{－2，－1,0,1,2}；（2）{3,6,9}；（3）{0,1,2,3,4}；（4）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}；（5）{x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}.11/ 11。
(完整版)集合知识点总结与习题《经典》
集合详解集合的含义与表示1、集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. 2、常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.3、集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4、集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). 二、集合间的基本关系 1、子集、真子集、集合相等2、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.三、集合的基本运算1、交集、并集、补集【经典例题】1.知集合{(,)|,A x y x y=为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},A By x =I 则的元素个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 2.已知集合{{},1,,A B m A B A==⋃=，则m = （ ）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或33.A={1，2，3，4}，B==⋂∈=B A A n n x x 则},,|{2( ) A,{1,4} B,{2,3} C,{9,16} D,{1,2}4.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则)(B A C U ⋃=（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}5.已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（ ）A ．{1}B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,26.若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或47.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =IA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-8.下列八个关系式①{0}=φ；①φ=0；①φ={φ}；①φ∈{φ}；①{0}⊇φ；①0∉φ；①φ≠{0}；①φ≠{φ}其中正确的个数（ ）A.4B.5C.6D.7 9.下列各式中，正确的是（ ） A.2}2{≤⊆x x B.{}≠<>12x x x 且φC.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}练习：一、选择题1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆2．已知集合{}2|10,A x x A R φ=+==I 若，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4<m B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 3．下列说法中，正确的是（ ）A ． 任何一个集合必有两个子集；B ． 若,A B φ=I则,A B 中至少有一个为φC ． 任何集合必有一个真子集；D ． 若S 为全集，且,A B S =I 则,A B S ==4．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （ ） A ．0 B ．{}0 C ．φ D ．{}1,0,1- 二、填空题 7．已知{}Rx x x y y M ∈+-==,34|2，{}Rx x x y y N ∈++-==,82|2则__________=N M I 。
集合的含义与表示例题练习及讲解
第一章第一节集合的含义与表示1.1典型例题例1：判断下列各组对象能否构成一个集合（1）班级里学习好的同学（2）考试成绩超过90分的同学 （3）很接近0的数（4）绝对值小于0.1的数答：否能否能例2：判断以下对象能否构成一个集合（1）a ，-a（2），0.5 答：否否例3：判断下列对象是否为同一个集合｛1，2，3｝｛3，2，1｝答：是同一个集合 例4：42=x 解的集合答：｛2，-2｝例5：文字描述法的集合（1）全体整数（2）考王教育里的所有英语老师答：｛整数｝｛考王教育的英语老师｝例6：用符号表示法表示下列集合（1）5的倍数（2）三角形的全体构成的集合（3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合（4）所有绝对值小于6的实数的集合答：（1）},5z k k x x ∈=｛（2）｛三角形｝ （3）(){}12,-=x y y x （4）{}R x x x ∈<<-,66例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4}答：例8：指出以下集合是有限集还是无限集 （1）一百万以内的自然数；（2）0.1和0.2之间的小数 答：有限集；无限集例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。
(2)分析并指出其含义：0；｛0｝；∅；{}；{∅}答：（1）∅；（2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。
1.1随堂测验1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围2、集合{}2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x. 3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）young 中的字母；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）门前的大树（4）漂亮的女孩4、用列举法表示下列集合（1）方程()()0422=--x x 的解集； （2）平方不超过50的非负整数；（3）大于10的奇数.5、指出以下集合的区别6、某班有30个同学选修A 、B 两门选修课，其中选修A 的同学有18人，选修B 的同学有15人，什么都没选的同学有4人，求同时选修A 、B 的人数。
1.1.1集合的含义与表示 练习
中有且仅有一个元素，
∴所求集合B＝{0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括两种情况： ②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且Δ＝4
－4a＜0，∴a＞1； 综合①、②知所求a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}．
①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1；
*[例 9]
1 数集 A 满足条件： a∈A， 若 则 ∈A(a≠1)． 1－a
C．所有的等腰三角形
D．全班成绩好的同学
[答案]
[解析]
C
对于选项A、B、D没有明确的标准来
衡量，故选C.
[例 2] 4
设 x∈R，由实数 x、－x、|x|、 x 、－ x3、－ )
2
3
x4、 x4所组成的集合 M，最多含有元素的个数为( A．3 个 C．6 个 B．4 个 D．7 个
[分析] 意义．
1．1.1 集合的含义与表示
[例1]
下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体； ⑤ 的近似值的全体． ( ) 其中能构成集合的组数是 A．2组 C．4组 B．3组 D．5组
[分析] 集合中的元素必须是确定的． [解析] “ “接近于0的数”、“比较小的正整数”标准
[分析]
注意五个集合的各自特点：
9 集合 A 中的元素是自然数 x， 它必须满足条件 也是 9－x 自然数； 9 集合 B 中的元素是 P＝ ，它必须满足条件 P 和 x 9－x 都是自然数； 集合 C 中的元素是自然数 y， 它必须满足的条件实际上 是二次函数 y＝－x2＋6 当 x∈N 时的函数值的取值范围；
集合 D 中的元素是点， 这些点必须满足的条件是它们 在二次函数 y＝－x ＋6 的图象上，且横坐标、纵坐标都必 须是自然数；
211 集合的含义与表示 (分层练习)-2022年初升高数学无忧衔接(解析版)
第2.1章集合2.1.1 集合的含义与表示【A组---基础题】1.下列选项能组成集合的是()A．著名的运动健儿B．英文26个字母C．非常接近0的数D．勇敢的人答案B解析著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；故选B．2.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案D3.下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②√3∉Q；③0∈N∗；④|−4|∉N∗.A．1B．2 C．3 D．4答案B解析①②对，故选B.4.若1∈{x+2,x2}，则实数x的值为()A．−1B．1C．1或−1D．1或3答案B解析由1∈{x+2,x2}，可得x2=1，则x=±1．当x=1时，x+2=3，满足要求，当x=−1时，−1+2=1，不满足元素的互异性，∴x=1．故选：B．5.若集合A={1,2,3}，B={(x,y)|x+y−4>0,x,y∈A}，则集合B中的元素个数为()A．9B．6C．4D．3答案D解析通过列举，可知x,y∈A的数对共9对，即(1,1),(1,2),(1,3)，(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9种，∵B={(x,y)|x+y−4>0,x,y∈A}，∴易得(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y−4>0，∴集合B中的元素个数共3个．故选：D．6. 对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C．{x|x=4t−3,t∈N,且t≤5}D．{x|x=4s−3,s∈N∗,且s≤5}答案D解析A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t=0时多了−3这个元素，只有D是正确的．7.已知集合A含有两个元素a−3和2a−1，若−3∈A，则实数a=．答案 0或−1解析∵−3∈A，∴−3=a−3或−3=2a−1.若−3=a−3，则a=0，此时集合A含有两个元素−3，−1，符合题意．若−3=2a－1，则a=−1，此时集合A含有两个元素−4，−3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或−1.8.将集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N}用列举法表示为.答案{(2,4),(5,2),(8,0)}解析∵3y=16−2x=2(8−x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x=2时，y=4，当x=5时y=2，当x=8时，y=0．故答案为：{(2,4),(5,2),(8,0)}．9.已知集合A={a,b}，a，b∈R，若a+b∈A，则ab=．答案0解析∵集合A={a,b}，a,b∈R，a+b∈A，∴a+b=a或a+b=b，∴b=0，a≠0或a=0，b≠0，∴ab=0．10.已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}，则a2017+b2018=．答案−1解析根据题意，由{a,ba ,1}={a2,a+b,0}可得a=0或ba=0，又由ba 的意义，则a≠0，必有ba=0，则b=0，则{a,0,1}={a2,a,0}，则有a2=1，即a=1或a=−1，集合{a,0,1}中，a≠1，则必有a=−1则a2017+b2018=(−1)2017+02018=−1.11.设集合A={x,xy,xy−1}，其中x∈Z，y∈Z且y≠0，若0∈A，则A中的元素之和为.答案0解析因为0∈A，所以若x=0，则集合A={0,0,−1}不成立．所以x≠0．若因为y≠0，所以xy≠0，所以必有xy−1=0，所以xy=1．因为x∈Z，y∈Z，所以x=y=1或x=y=−1．若x=y=1，此时A={1,1,0}不成立，舍去．若x=y=−1，则A={−1,1,0}，成立．所以元素之和为1−1+0=0．【B组---提高题】1.集合P={x|x=2k,k∈Z}，M={x|x=2k+1,k∈Z}，S={x|x=4k+1,k∈Z}，a∈P，b∈M，设c= a+b，则有()A．c∈P B．c∈M C．c∈S D．以上都不对答案B解析∵a∈P，b∈M，c=a+b，设a=2k1，k1∈Z，b=2k2+1，k2∈Z，∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1，又k1+k2∈Z，∴c∈M.2. 已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M 答案A解析根据题意，分4种情况讨论；①、x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=−4，②、x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0，③、x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0，④、x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=4；则M={4,−4,0}；分析选项可得A符合．3.设集合A={x,xy,xy−1}，其中x∈Z，y∈Z且y≠0，若0∈A，则A中的元素之和为. 答案0解析因为0∈A，所以若x=0，则集合A={0,0,−1}不成立．所以x≠0．若因为y≠0，所以xy≠0，所以必有xy−1=0，所以xy=1．因为x∈Z，y∈Z，所以x=y=1或x=y=−1．若x=y=1，此时A={1,1,0}不成立，舍去．若x=y=−1，则A={−1,1,0}，成立．所以元素之和为1−1+0=0．4 .用列举法表示集合M={m|12m+1∈N,m∈Z}=；答案M={0,1,2,3,5,11}解析∵12m+1∈N,m∈Z；∴M={0,1,2,3,5,11}．5.已知非空集合M满足：若x∈M，则11−x∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于．答案 −1解析 依题意，得当4∈M 时，有11−4=−13∈M ，从而11+13=34∈M ，11−34=4∈M ，于是集合M 的元素只有4，−13，34所有元素之积等于4×(−13)×34=−1．【C 组---拓展题】1.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k −1∉A 且k +1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 答案 6解析 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素.因此符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个集合.2.已知集合A ={x ∣ax 2−3x +2=0}．(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．答案 (1) 当a ＝0时，A ={23}，当a ≠0时，A ={43}． (2) a ≤98解析 (1)当a =0时，A ={23}，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2−3x +2=0应有两个相等的实数根，则Δ=0，即9−8a =0，解得a =98，此时A ={43}，符合题意． 综上所述，当a ＝0时，A ={23}，当a ≠0时，A ={43}． (2)由(1)知，当a =0时，A ={23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2−3x +2=0应有实数根，则Δ≥0，即9−8a ≥0，解得a ≤98．综上所述，若A 中至少有一个元素，则a ≤98．。
集合经典大题及解析 -回复
集合经典大题及解析一、集合的基本概念1.1 集合与元素问题：什么是集合？什么是元素？它们之间的关系是什么？解析：集合是由一组具有共同特征的元素组成的整体。
这个整体称为集合，而组成这个整体的每一个元素称为元素。
元素是集合的一部分，且必须满足集合的定义。
1.2 集合的子集问题：什么是子集？如何判断一个集合是否为另一个集合的子集？解析：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
判断一个集合是否为另一个集合的子集，可以通过将两个集合进行比较，检查前者是否包含在后者中。
1.3 集合的并集与交集问题：什么是并集和交集？如何计算两个集合的并集和交集？解析：并集是将两个集合的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
交集则是从两个集合中选出共同的元素组成一个新的集合。
计算并集和交集可以通过简单的数学运算来实现。
1.4 集合的补集问题：什么是补集？如何计算一个集合的补集？解析：补集是指在一个集合中去掉所有属于另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
计算补集可以通过先找出不属于另一个集合的元素，然后将这些元素组成一个新的集合。
二、集合的关系2.1 子集与真子集问题：什么是真子集？如何判断一个集合是否为另一个集合的真子集？解析：真子集是指在一个集合中去掉所有不属于另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
判断一个集合是否为另一个集合的真子集，可以通过比较两个集合的大小来确定。
2.2 集合相等问题：什么是集合相等？如何判断两个集合是否相等解析：如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等。
判断两个集合是否相等，可以通过比较两个集合中的每一个元素来确定。
2.3 空集问题：什么是空集？空集有哪些性质？解析：空集是指没有任何元素的集合。
空集具有以下性质：(1) 空集是任何非空集合的真子集；(2) 任何元素都属于空集；(3) 空集的补集也是空集。
三、集合的运算性质3.1 集合的并运算问题：什么是并运算？如何计算两个集合的并运算？解析：并运算是指将两个或多个集合合并成一个新集合的操作。
高中数学集合的含义与表示课时练习题(含解析)
高中数学集合的含义与表示课时练习题（含解析）人教A版必修一集合的含义与表示课时练习题（含答案）一、选择题:1.设，则下列正确的是（）A. B. C. D.2. 一次函数与的图象的交点组成的集合是（）A. B. C. D.3．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x| ＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判定正确的是()．A．0M B．2M C．－4M D．4M4．满足“aA且4－aA”，aN且4－aN的有且只有2个元素的集合A 的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题:5.用列举法表示集合为.6.集合, 用填空：4 A；4 B；5 A；5 B.7.设为两个非空实数集合，定义集合若，则用列举法表示出集合为：.8*.设则在中但不是A与B的公共元素组成的集合为：.三、解答题：9.试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数的函数值组成的集合；（2）函数的自变量的值组成的集合.10*.(1) 设集合，试用列举法表示集合A.（2）设集合，集合，求属于A且属于B的元素所组成的集合.11*.若集合，集合，且A=B,求实数a、b.1.1.1（2）集合的含义与表示答案1---4 D D D C5.6.7.8.9.(1) .(2)10.(1) .唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
而对那些专门讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，要紧协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显要，也称得上朝廷要员。
集合概念及其表示经典练习题
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作aa∉∈A ，相反，a不属于集合A 记作A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}∈| x-3>2}或{x| x-3>2}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合X=－5｝3．空集不含任何元素的集合例：{X|2二、例题解析例1、判断下列说法是否正确？说明理由（1）高一（2）班个子较高的同学组成的集合；（2）1,3，-1,4这些数组成的集合有4个元素；（3）由a,b,c组成的集合与由b,c,a组成的集合；（4）所有与2非常接近的数字；（5）所有与小明走的很近的朋友例2、用列举法表示下列集合（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程0)43)(32)(1(22=+++--x x x x x 的所有实数根组成的集合（3）由小于15的所有质数组成的集合；例3、用描述法表示下列集合：（1）坐标平面内抛物线12-=x y 的点的集合；（2）所有偶数的和；（3）3和4的所有正的公倍数的集合例4、试分别用列举法和描述法表示下列集合（1）七大洲组成的集合；（2）由大于10小于16的所有整数组成的集合。
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第一章第一节 集合的含义与表示1.1典型例题例1：判断下列各组对象能否构成一个集合（1）班级里学习好的同学（2）考试成绩超过90分的同学 （3）很接近0的数（4）绝对值小于0.1的数 答： 否 能 否 能例2：判断以下对象能否构成一个集合（1）a ，-a（2）12，0.5 答：否 否例3：判断下列对象是否为同一个集合｛1，2，3｝ ｛3，2，1｝答：是同一个集合例4：42=x 解的集合答：｛2，-2｝例5：文字描述法的集合（1）全体整数（2）考王教育里的所有英语老师答：｛整数｝ ｛考王教育的英语老师｝例6：用符号表示法表示下列集合（1）5的倍数（2）三角形的全体构成的集合（3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合（4）所有绝对值小于6的实数的集合答：（1）},5z k k x x ∈=｛（2）｛三角形｝ （3）(){}12,-=x y y x （4）{}R x x x ∈<<-,66例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4}答：例8：指出以下集合是有限集还是无限集（1）一百万以内的自然数； （2）0.1和0.2之间的小数答：有限集；无限集例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。
(2)分析并指出其含义：0；｛0｝；∅；{}；{∅}答：（1）∅；（2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。
1.1 随堂测验1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围2、集合{}2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x.3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）young 中的字母； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）门前的大树 （4）漂亮的女孩4、用列举法表示下列集合（1）方程()()0422=--x x 的解集；（2）平方不超过50的非负整数；（3）大于10的奇数.5、指出以下集合的区别{}1-=x y {}1-=x y x {}1-=x y y (){}1,-=x y y x6、某班有30个同学选修A 、B 两门选修课，其中选修A 的同学有18人，选修B的同学有15人，什么都没选的同学有4人，求同时选修A 、B 的人数。
7、将下列集合用区间表示出来（1）{}R x x x ∈>,2（2）1+=x y ,自变量x 的取值范围.第一章第二节 集合之间的关系与运算1.2 典型例题例1：下列各组三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系? 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系(1)S={-2,-1,1,2}, A={-1,1}, B={-2,2};(2)S=R, A={x 丨x ≤0}， B=｛x 丨x>0｝.答：（1）S B S A ⊆⊆,(2) S B S A ⊆⊆,例2：1、写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.答：子集有｛a ，b ｝，真子集有｛a ｝，｛b ｝，｛｝.例3：已知A={1，x,2x},B={1,y,y^2},若B A ⊆且A B ⊆,求实数x 和y 的值.答：例4：{}10<<=x x A ，{}21<<-=x x B 对于任意A x ∈,则B x ∈,故B A ⊆.例5： 已知集合{}N a a x x M ∈+==,12,集合{}N b b b y y P ∈++==,222，试问M 与P 相等吗？并说明理由.例6：列举集合｛1，2，3｝的所有子集、真子集、非空子集、非空真子集例7：已知全集,,},3,2{},1{},6,5,4,3,2,1{B A B A B A I 求===,,B C A C I I )()(B C A C I I ,)]()[(B C A C C I I I .例8：设{}062<--=x x x A ，{}90<-<=m x x B ，（1）若B B A = ，求实数m 的取值范围；（2）若∅=B A ，求实数m 的取值范围。
例9：全集U=｛x 丨x 是不大于9的正整数｝，A,B 都是U 的子集，C U A ∩ B=｛1，3｝，C U B ∩ A=｛2，4,8｝,（C U A ）∩（C U B ）={6，9}，求集合A,B.1.2 随堂测验1、已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．2、设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．3、已知集合A ＝{x ∈R |－8≤x －4≤1}，B ＝{x |2x ≥14}，则集合A ∩B ＝________. 4、若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}5、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．6、已知集合A ＝{x |－2<x <－1或x >1}，B ＝{x |a ≤x <b }，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1<x <3}，求实数a ，b 的值．1.3强化提高A 级1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N 等于( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}3．设集合A ＝{x |x ∈Z 且－15≤x ≤－2}，B ＝{x |x ∈Z 且|x |<5}，则A ∪B 中的元素个数是( )A ．10B ．11C ．20D ．21(第4题要理解集合中代表元素的几何意义，使集合元素具体化)4．已知集合M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．[1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[1,2)D ．[－1,2) 5．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∩B ＝________.6．已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集用列举法可表示为________．7．已知集合A ＝{3,4,5,12,13}，B ＝{2,3,5,8,13}，则A ∩B ＝________.B 级8．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )等于( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} (第9题考查集合的概念，首先要理解集合B 中代表元素的意义)9．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(第10题化简集合，将集合具体化是解决本题的关键)10．已知全集为R ，集合A ＝{x |(12)x ≤1}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 11．已知集合A ＝{－1，a }，B ＝{2a ，b }，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝________.12．已知集合A ＝{1,2，a ＋1}，B ＝{－1,3，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值是________． (第13题先解不等式，再根据集合相等、集合交集等意义求解)13．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．14．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .答案精析随堂测验1、－32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不合乎题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3合乎题意． 所以m ＝－32. 2、 1解析 若a ＋2＝3，a ＝1，检验此时A ＝{－1，1,3}，B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，满足题意． 若a 2＋4＝3，无解．故a ＝1.3、 {x |－2≤x ≤5}解析 解不等式组得A ＝[－4,5]，又由初等函数的单调性得B ＝[－2，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2,5]．4、 B [∵A ＝{x |－1≤x ≤1}， B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．]5、解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上：m ≤4. 6、解 ∵A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴b ＝3，－1≤a <1，又A ∪B ＝{x |x >－2}，∴－2<a ≤－1，∴a ＝－1.强化提高1．B [∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．]2．D [M＝{x|x＝0或x＝－2}＝{0，－2}，N＝{0,2}，∴M∪N＝{－2,0,2}．]3．C [∵A∪B＝{x|x∈Z且－15≤x<5}＝{－15，－14，－13，…，1,2,3,4}，∴A∪B中共20个元素．]4．A [M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}，∴M∩N＝{y|y≥1}．]5．{1}解析A∩B＝{－1,0,1}∩{x|0<x<2}＝{1}．6．{1}解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.又x∈N，∴x＝1.7．{3,5,13}解析作出Venn图如图，故A∩B＝{3,4,5,12,13}∩{2,3,5,8,13}＝{3,5,13}．8．D [∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．]－2，－1，0，1，2.]9．C [x－y∈{}10．C [A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}＝{x|0≤x<2或x>4}．]11．{－1,1,2}解析由A∩B＝{1}，得1∈A，a＝1,2a＝2，所以b＝1.故A∪B＝{－1,1,2}．12．－1解析因为A∩B＝{2}，所以2∈B，于是由a2＋1＝2，得a2＝1，解得a＝±1，当a＝1时，a＋1＝2(舍去)．当a＝－1时，A＝{0,1,2}，B＝{－1,3,2}满足条件．所以a＝－1.13．解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.所以实数m 的取值范围是{m |m >5，或m <－3}．14．解 A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}， B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1≥4，a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．第一章第二节典型例题。