高考圆锥曲线中的定点和定值问题(题型总结超全)

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【省市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为，

由消去y整理得，

设，，

要使其为定值，需满足，

解得.

故定点的坐标为.

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线

2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1

2

k =

时，弦MN 的长为415. （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2

4y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-

【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()

2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1

2

MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=；

同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=

()1212:220NQ x t t y t t -++=.

由()1,0-在直线MN 上1

1

t t ⇒=（1）；

由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．

（2）设()()()

2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则122

11

222

=MN t t k t t t t -=-+， 则()

21

2

:2MN y t x t t t -=

-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；

()1212:220NQ x t t y t t -++=.

由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即1

1

t t =

（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-

3．【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2

:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为2

3

-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；

（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.

【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=

【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2

y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；

（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入2

4y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合

斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标2

3

-

，化简可12k k + 的值；

因为PAB ∆的重心的纵坐标为23

-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，

所以()()()()()()

1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=

+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--

()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦

()()()12122122x x b x x b =-+-+--

()()()22212220b b b b =-+-+--=.

所以120k k +=.

4．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，

2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．

【答案】(1) 22

143

x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关

于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.

（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，

由()

2

2

1{ 143

y k x x y =-+=，消元得()2

2

223484120k x

k x k +-+-=，

设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且2

122

2

122

834{ 412

34k x x k k x x k +=

+-⋅=

+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以111

41PA x AF x λ-==-.

同理222

41PB x BF

x λ-=

=

-，且1141x x --与2241x x --异号，