函数的单调性微课课件
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1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
1.3.1函数的单调性
2014年11月12日
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了
解函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律。
在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。 问题1：观察下图中各个函数的图象，你能说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律吗？
y y 6 4 y 2 0 x -1 0 -2 1 x
作业： 教材P39第1、2、3题。
x2 x
0
0
图象 特征 数量 特征
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左源自文库右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
y随x的增大而增大 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
1 问题5：画出反比例f(x)= 的图象，并回答下列问题： x
(1)指出这个函数的单调性；
(2)是否可以说“这个函数在定义域上单调减”，为什么？
y
f(x2)
x1 o
x2 f(x1)
x
练习
k 物理学中玻意耳定律p= （k为正常数）告诉我们， v
对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大。试用函 数的单调性定义证明之。
由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
f(x1)＜f(x2)＜…＜f(b),能不能说明它在(a,b)
上单调增？请你说明理由。（举例或画图）
y
o
a
x1
x2
b x
问题4：
如果对于区间（a,b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数 f(x)在区间(a,b)上单调增，这个说法对吗？请你说明理由。
y
（举例或画图）
a
b
x
一、函数单调性定义 1．增函数
100 50
2
6 -2 x -1 -2 -4 1 2
-6
-50 0 -100
设函数的定义域为I，区间D I，
1. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为
函数的单调增区间；
2. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为
问题2：
根据函数的定义，对于自变量X的每一个确定的值，
变量Y有唯一确定的值与它对应，那么，当一个函数在某 个区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的自变量 的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？
问题3： 函数f(x)区间（a,b）上有无数个自变
量x, 使得当a＜x1＜x2＜…＜b时，有f(a)＜
（4）结论: （作出单调性的结论）
知识小结： 1、 这节课我们学习了函数的单调性，请问你 有什么收获和感悟？ 2、如果函数在区间(a,b)单调减，那么这个函 数有什么特征？
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
证明函数单调性的四步骤：
（1）设值: （在所给区间上任意设两
个实数 x1 , x2且x1 x2 .）
（2）比较: （作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ，然后变形，常
通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形）
（3）判号: （判断的
f ( x1 ) f ( x2 ) 符号）
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 D上是减函数 ． 如果函数y=f(x)在区间Ｄ上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间Ｄ叫做函数y=f(x)的单调区间.
函数的单调减区间。
例1．下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上， 它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),
[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间 [-5,-2), [1,3)上是减函数， 在区间 [-2,1), [3,5]上是增函数.
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
1.3.1函数的单调性
2014年11月12日
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了
解函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律。
在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。 问题1：观察下图中各个函数的图象，你能说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律吗？
y y 6 4 y 2 0 x -1 0 -2 1 x
作业： 教材P39第1、2、3题。
x2 x
0
0
图象 特征 数量 特征
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左源自文库右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
y随x的增大而增大 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
1 问题5：画出反比例f(x)= 的图象，并回答下列问题： x
(1)指出这个函数的单调性；
(2)是否可以说“这个函数在定义域上单调减”，为什么？
y
f(x2)
x1 o
x2 f(x1)
x
练习
k 物理学中玻意耳定律p= （k为正常数）告诉我们， v
对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大。试用函 数的单调性定义证明之。
由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
f(x1)＜f(x2)＜…＜f(b),能不能说明它在(a,b)
上单调增？请你说明理由。（举例或画图）
y
o
a
x1
x2
b x
问题4：
如果对于区间（a,b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数 f(x)在区间(a,b)上单调增，这个说法对吗？请你说明理由。
y
（举例或画图）
a
b
x
一、函数单调性定义 1．增函数
100 50
2
6 -2 x -1 -2 -4 1 2
-6
-50 0 -100
设函数的定义域为I，区间D I，
1. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为
函数的单调增区间；
2. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为
问题2：
根据函数的定义，对于自变量X的每一个确定的值，
变量Y有唯一确定的值与它对应，那么，当一个函数在某 个区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的自变量 的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？
问题3： 函数f(x)区间（a,b）上有无数个自变
量x, 使得当a＜x1＜x2＜…＜b时，有f(a)＜
（4）结论: （作出单调性的结论）
知识小结： 1、 这节课我们学习了函数的单调性，请问你 有什么收获和感悟？ 2、如果函数在区间(a,b)单调减，那么这个函 数有什么特征？
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
证明函数单调性的四步骤：
（1）设值: （在所给区间上任意设两
个实数 x1 , x2且x1 x2 .）
（2）比较: （作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ，然后变形，常
通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形）
（3）判号: （判断的
f ( x1 ) f ( x2 ) 符号）
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 D上是减函数 ． 如果函数y=f(x)在区间Ｄ上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间Ｄ叫做函数y=f(x)的单调区间.
函数的单调减区间。
例1．下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上， 它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),
[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间 [-5,-2), [1,3)上是减函数， 在区间 [-2,1), [3,5]上是增函数.