2019-2020年高二上学期学业水平测试数学试卷(理科) 含解析

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2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，命题q：，，则A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：当时，成立，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，故A错误；命题是假命题，故B错误；命题￢是真命题，故C正确；命题￢是真命题，故D错误；故选：C．举出正例可知命题p为真命题；举出反例可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．2.在中，，，，则边c等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，则，即得，故选：D．根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础．3.若实数x，y满足，则的最小值为A. 2B. 1C. 0D.【答案】D【解析】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得．故选：B．设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：，，a，b的等差中项是，又当且仅当时，等号成立，取得最小值5故选：C．先由等差中项求得，又，再构造基本不等式求解．本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．6.已知四棱锥的底面是正方形，且底面ABCD，，则异面直线PB与AC所成的角为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，所以，即异面直线PB与AC所成的角为，故选：B．由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，即，即异面直线PB与AC所成的角为，得解．本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．7.若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为A. 或B. 或C.D.【答案】C【解析】解：不等式对一切实数x都成立，则，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C．根据题意得出，由此列出不等式组求出a的取值范围．本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则A. B. 1 C. 3 D. 4【答案】C【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，与抛物线方程联立，得，消去y可得：，，，解得：．故选：C．写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得p的值．本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．9.如图，已知顶角A为的三角形ABC满足，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足，当的面积取得最大值时，DE的最小值为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：的面积．当且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，当时，取得最小值，故DE的最小值为，故选：B．易得且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，，故DE的最小值为，本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.已知不等式的解集为，则______．【答案】3【解析】解：不等式的解集为，和b为的解，将代入方程得：，即，方程化为，将代入方程得：，解得：不合题意，舍去或，则．故答案为：3由不等式的解集，得到方程的解为1和b，将与代入求出a 与b的值，即可求出的值．此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程的解为1和b 是解本题的关键．11.设等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】45【解析】解：，，所以，则．故答案为：45由减得到的值，然后利用等差数列的性质找出的和与的和即与的关系，由的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列的性质找出与d和的关系，把d和的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．12.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．【答案】5【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知海里，海里，，由正弦定理可得：，即，解得，，海里．故答案为：5．利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算AM即可．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．13.如图，双曲线C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足，，则双曲线的离心率e的值为______．【答案】【解析】解：，可得，在中，，，在直角三角形ABF中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．故答案为：运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）14.已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．Ⅰ当且为真命题时，求实数x的取值范围；Ⅱ若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由得得，由得，若为真命题时，则p，q同时为真命题即，得，即实数x的取值范围是Ⅱ由，得，若p是q的必要不充分条件，则，则，即，即实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求出p，q为真命题的等价条件，结合为真命题时，则p，q同时为真命题进行求解即可Ⅱ利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ若的面积为，求a，b的值；Ⅱ若，求的面积．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ，，由余弦定理，可得：，的面积为，解得：，由可得：，分Ⅱ，，又由余弦定理，可得：，解得：，，，分【解析】Ⅰ由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，联立即可得解a，b的值．Ⅱ利用正弦定理可求，又由余弦定理可得，解得a，b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设是公比为正数的等比数列，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求证：数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设是公比为q的等比数列，，，，可得，解得，则，；Ⅱ证明：，则，可得前n项和，由，可得．【解析】Ⅰ设是公比为q的等比数列，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．17.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．【答案】解：Ⅰ：依题意可得，解得，Ⅱ设投入B商品的资金为x万元，则投入A商品的资金为万元，设收入为万元，当时，，，则，当且仅当，解得时，取等号．当时，则，此时．，最大收益为17万元，答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．18.如图，平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，、，，．Ⅰ求证：平面ABF；Ⅱ求二面角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，，平面ADEF，，四边形ADEF为梯形，、，，平面ABF．解：Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．平面ABF的法向量1，，，，0，，0，，，0，，，设平面BDF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值．【解析】Ⅰ推导出，平面ADEF，从而，由此能证明．Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．Ⅰ求的方程；Ⅱ过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，O为原点，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，又，，，故椭圆的方程为；易知直线l的斜率k存在，设其方程为．设，则由消去y得：，由，得．则，．则又原点到直线l的距离为，且，所以设，则，当且仅当，即，即时等号成立，所以面积取得最大值．【解析】Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程Ⅱ易知直线l的斜率k存在，设其方程为，设，根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l的距离可求d从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理)(解析版)

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2.已知a，，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：a，，若，对A，，若，则；，则；，则，故A错误；对B，若，则；若，则；若，则，故B错误；对C，a，，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，在R上递增，可得，故D正确．故选：D．讨论b的符号，即可判断A，B，C；运用在R上递增，即可判断D．本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．3.设等比数列的公比是q，则”是“数列是为递增数列的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：若，时，递减，数列单调递增不成立．若数列单调递增，当，时，满足递增，但不成立．“公比”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4.不等式的解集是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：不等式等价于如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为，故选：A．原不等式等价于把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．5.在等差数列中，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】解：在等差数列中，由，且，得，即，．故选：B．由已知结合等差数列的性质可得，则答案可求．本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．6.某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程的正跟，即有，可得，又，所以．即b是a，c的等比中项．故选：B．通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项．本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力．7.已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为A. eB.C.D.【答案】C【解析】解：设切点坐标为，，，切线的斜率是，切线的方程为，将代入可得，，切线的斜率是；故选：C．设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标．8.若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，；又函数有极大值和极小值，；故或；故选：B．由题意求导；从而化函数有极大值和极小值为；从而求解．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．9.已知平面内有一个点，的一个法向量为1，，则下列点P中，在平面内的是A. B. C. D.【解析】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，0，，，故不在平面内；同理可得：选项B，，，故在平面内；选项C，2，，，故不在平面内；选项D，，，故不在平面内；故选：B．由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可．本题考查平面法向量的定义，属基础题．10.设数列的前n项和为，且，为常数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：数列的前n项和为，且，，为常数列，由题意知，，当时，，从而，，当时上式成立，．故选：B．由题意知，，当时，，由此能求出．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．11.下列命题正确的是若，则与、共面；若，则M、P、A、B共面；若，则A、B、C、D共面；若，则P、A、B、C共面．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：对于，若，则由平面向量基本定理知与、共面，正确；对于，若，则、、共面，所以M、P、A、B四点共面，对于，若，则，这里系数，A、B、C、D不共面，错误；对于，若，则，所以P、A、B、C共面，正确．综上所述，正确的命题序号是，共3个．故选：C．在中，由平面向量基本定理知与、共面；在中，由平面向量基本定理判断、、共面，M、P、A、B四点共面；在中，由题意得，不能判断A、B、C、D四点共面；在中，由，能判断P、A、B、C四点共面．本题考查了平面向量基本定理的应用问题，是基础题．12.已知函数，，对任意存在使，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令，则，令，可得，则，．显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．故当时，取得最小值为，故选：D．令，则，令，可得，利用导数求得取得最小值．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则取得最大值时的最优解为______【答案】【解析】解：画出约束条件的可行域，如图：由得：，显然直线过时，z最大，所以最优解为：故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，则点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，，．因此的最小值为．故答案为：2．平面内，线段AB的长度为10，动点P满足，即，可得点P在以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，即可得出答案．本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10米到位置D，测得，则塔AB的高是______米【答案】【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则故答案为：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．16.记为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：设正项等比数列的公比为，，，，可得：解得．则，当且仅当时取等号．的最小值为8．故答案为：8．设正项等比数列的公比为，由，可得，可得：解得可得，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列为单调递增数列，，其前n项和为，且满足求数列的通项公式；若数列其前n项和为，若成立，求n的最小值．【答案】解：，可得时，，相减可得，即为，数列为单调递增数列，即，可得，为首项为1，公差为2的等差数列，可得；，可得前n项和为，即，解得，即n的最小值为10．【解析】由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C；若，求面积的最大值．【答案】解：，由正弦定理可得：．，．．由余弦定理可得：，可得，当且仅当时取等号．面积的最大值．【解析】利用正弦定理与和差公式即可得出．利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料点A，B在直径上，点C，D在半圆周上，并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗．若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【答案】解：连接OC，设，则，其中，，当且仅当，即时，S取最大值900；取时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．设圆柱底面半径为r，高为x，则，解得，，其中；，令，得；因此在上是增函数，在上是减函数；当时，取得最大值，取时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为．【解析】设，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S 的最大值；用x表示出圆柱的底面半径，得出体积关于x的函数，判断的单调性，得出的最大值．本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题．20.在中，点，，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．求E的方程；设点，过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，是否可能为直角，并说明理由．【答案】解：由题意得，，，则M的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，．的方程为；证明：设直线PQ的方程为，代入，得．设，，则，．．不可能为直角．【解析】由题意得，，则，可得M 的轨迹E是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明不可能为直角．本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题．21.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．若点M是线段BF的中点，证明：平面AMC；求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【答案】证明：连接MD ，FD ．四边形BDEF 为菱形，且，为等边三角形．为BF 的中点，．，，又D 是AC 的中点，．平面平面，平面平面BDEF ，平面ABC ，平面BDEF ．又平面BDEF ，．由，，，平面AMC ；解：设线段EF 的中点为N ，连接易证平面以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，0，， 1，．，，，．设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为，．由．解得．取，．又由解得．取，．．平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．【解析】连接MD，FD，可得为等边三角形又M为BF的中点，得，进一步求得，再由面面垂直的性质可证平面AMC；设线段EF的中点为N，连接易证平面以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF，平面BCF的法向量，即可求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键，是中档题．22.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ0)'/>，当，即时，时，，时，0'/>，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，0'/>，时，，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．Ⅱ令，原问题等价于在区间上恒成立，可见，要想在区间上恒成立，首先必须要，而，另一方面当时，，由于，可见0'/>，所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，成立，故原不等式成立．综上，若在区间上恒成立，则实数a的取值范围为【解析】Ⅰ当时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数的单调性；Ⅱ利用函数恒成立，转化为函数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2019-2020年高考(学业水平考试)数学试卷含答案

2019-2020年高考（学业水平考试）数学试卷含答案xx.1 一．填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1.复数3+4i （i 为虚数单位）的实部是；2.若=3，则x= ；3.直线y=x-1与直线y=2的夹角为；4.函数=的定义域为；5.三阶行列式121004531--中，元素5的代数余子式的值为； 6.函数的反函数的图像经过点（2,1），则实数a= ；7.在中，若A=，B=，BC=，则AC= ；8.4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为。

（结果用数值表示）9.无穷等比数列的首项为2，公比为，则的各项和为；10.若2+i （i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程的一个虚根，则a= ； 11.函数y=在区间[0,m]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是； 12.在平面直角坐标系xOy 中，点A,B 是圆上的两个动点，且满足|AB|=，则的最小值为；二．选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）13.满足且的角属于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A. B. C.2 D.415.在的二项展开式中，的系数是（）A.2B.6C.15D. 2016.幂函数的大致图象是（）17.已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A.1B. 2C.（1，0）D.（0，2）18.设直线l 与平面平行，直线m 在平面上，那么（）A.直线l 平行于直线mB.直线l 与直线m 异面C.直线l 与直线m 没公共点D.直线l 与直线m 不垂直19.用数学归纳法证明等式)(223212*∈+=++++N n n n n 的第（ⅱ）步中，假设n=k 时原等式成立，那么在n=k+1时，需要证明的等式为（）A.)1()1(22)1(2232122+++++=++++++k k k k k kB.)1()1(2)1(223212+++=++++++k k k kC.)1()1(22)1(2)12(232122+++++=++++++++k k k k k k kD.)1()1(2)1(21223212+++=++++++++k k k k k ）（20.关于与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A.焦距相等，渐近线相同B.焦距相等，渐近线不同C.焦距不相等，渐近线相同D.焦距不相等，渐近线不相同21.设函数y=的定义域为R ，则“f （0）=0”是“y=f （x ）”为奇函数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（）A. B.C. D.23.设单位向量和既不平行也不垂直，则非零向量，，有结论：①若，则；②若，则；关于以上两个结论，正确的判断是（）A.①成立，②不成立B.①不成立，②成立C.①成立，②成立D.①不成立，②不成立24.对于椭圆：),0,(12222b a b a by a x ≠>=+，若点（）满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆内或上，则满足条件的点A 构成的图形为（）A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部三．解答题：（本大题共5小题，共8+8+8+12+12=48分）25.如图，已知正三棱柱的体积为，底面边长为3，求异面直线与AC 所成角的大小；26.已知函数=，求的最小正周期及最大值，并指出取得最大值是x 的值。

2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案

2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为()A.5B.4C.3D.22．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.A ．2xyB ．2yx C.2yx D ．2yx 3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为A ．2πB ．3π2C ．3πD ．4π4．已知角的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（）A ．4tan3B ．4sin5C ．3cos5D．3sin55．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为（）A ．12 B．13C ．14D．166．三个数21log ,)21(,33321c ba 的大小顺序为（） A ．a cbB ．c abC．a bcD．bac7．在等比数列n a 中，)(0*N na n且,16,464a a 则数列n a 的公比q 是（）A ．1B ．2 C．3 D ．48．设R ba,且3ba，则ba22的最小值是( ) A. 6B. 24 C. 22 D. 629．已知直线n m l 、、及平面，下列命题中的假命题是（） A.若//l m ，//m n ，则//l n . B.若l，//n ，则ln .主视图左视图俯视图C.若//l ，//n ，则//l n .D.若l m ，//m n ，则l n .10．把正弦函数R)(xsinx y 图象上所有的点向左平移6个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍，得到的函数是（）A ．y=sin 1()26xB.y=sin 1()26xC.y=sin(2)6xD.y=sin (2)3x11．不等式组131y x yx的区域面积是( )A ．12B ．52C ．32D ．112．已知圆4)1(22yx 内一点P （2，1），则过P 点最短弦所在的直线方程是（） A ．01y xB ．03y xC ．03y xD ．2x二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高二上学期期末统考数学(理)试题解析

2019-2020年高二上学期期末统考数学（理）试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数121iz i+=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是（） A.23 B.21 C.12- D.12i -2.已知命题:,sin p x R x x ∃∈>，则p 的否定形式为（） A.x x R x p sin ,:<∈∃⌝ B.x x R x p sin ,:≤∈∀⌝ C.x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D.x x R x p sin ,:<∈∀⌝3.“双曲线C 的一条渐近线方程为430x y -= ”是“双曲线C 的方程为221916x y -=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．不充分不必要条件【答案】B4.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低13，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（） A. 3000元B.2400元C. 1600元D. 1000元5.在复平面上，点1Z 对应的复数是4i +，线段12Z Z 的中点对应的复数是12i +，则点2Z 对应的复数是（） A. 23i -+B. 23i --C. 23i -D. 23i +考点：1.复数的几何意义；2.中点坐标公式.6.不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.)2,(-∞B.(2,2)-C.)2,(--∞D. ]2,2(-7.等差数列{}n a 中，已知11312,0a S =-=，使得0n a <的最大正整数n 为（） A.6B.7C.8D.98.已知ABC ∆中，若sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+，则ABC ∆是（）A.直角三角形 B ．等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形9.已知点(,)P x y 满足条件0290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则y x z 3-=的最小值为（）A.9B.6-C. -9D. 610.已知ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是（） A.9 B.12 C. 15 D. 1811.已知等比数列123,,a a a 的和为定值3(0)m m >，且公比为(0)q q >，令123t a a a =，则t 的取值范围为（） A.3(0,]mB.3[,)m +∞C.30,()3m ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.3(),3m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F ∆的最小内角为30︒，则C 的离心率为（） A.2B.26 C.23D.3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.不等式211xx-≥+的解集为 .14.如图，从高为200米的气球()A上测量铁桥(BC)的长，如果测得桥头B的俯角是60︒，桥头C的俯角是30︒，则桥BC长为米.15.已知数列{}n a 中，12a =，点1(,)(1n n a a n ->且)n N ∈满足21y x =-，则1210a a a +++= .16.过点(0,2)A 且和抛物线2:6C y x =相切的直线l 方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos ,a b C c B -=⋅7,c =8a =.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的面积.18.（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）已知点(6,0)B 和(6,0)C -，过点B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A ，设直线l 的斜率为1k ，直线m 的斜率为2k ，如果1249k k ⋅=-，求点A 的轨迹；（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在ABC ∆中，A ∠的外角平分线AD 与边BC 的延长线相交于点D ，则BD ABDC AC=.19.（本小题满分12分）已知命题P ：复数133z i =-，复数222410(212),()2m m z m m i m R m --=+--∈+，12z z +是虚数；命题Q ：关于x 的方程2224(1)70x m x m --++=的两根之差的绝对值小于2；若P Q∧为真命题，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项14a =，公差0d >，且1521,,a a a 分别是正数等比数列}{n b 的357,,b b b 项.（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对任意n *均有12112n n nc c c a b b b ++++=成立，设{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .21.（本小题满分12分）设a 为正实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. （1）若(0)1f ≤-，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值；（3）若(,)x a ∈+∞，求不等式()1f x ≥的解集.当2(0,]2a ∈时，解集为232[,)a a +-+∞………11分22.（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)1(1222>=+a a y x 的离心率为 e ，点F 为其下焦点，点O 为坐标原点，过F 的直线 l ：c mx y -=（其中12-=a c ）与椭圆C 相交于,P Q 两点，且满足：2222()12a c m OP OQ c --⋅=-. （1）试用 a 表示 2m ；（2）求 e 的最大值；（3）若 )21,31(∈e ，求 m 的取值范围.。

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)带答案

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），=（a，a，﹣a），又=（0，，），=0+=0，∴PB⊥DE．由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，∴PB⊥平面EFD，∴PB与平面EFD所成角为90°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．【分析】⊥（﹣λ）⇔•（﹣λ）=0，解出即可得出．【解答】解：﹣λ=（﹣3+λ，2，1﹣4λ），∵⊥（﹣λ），∴•（﹣λ）=﹣3（﹣3+λ）+4+1﹣4λ=0，解得λ=2．∴向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷(理科)附解答

2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（）A. 21n a n =-B. (1)(12)nn a n =-- C. (1)(21)n n a n =-- D. (1)(21)nn a n =-+2.“ 0,2sin x x x ∀>>”的否定是（） A. 0,2sin x x x ∀>< B. 0,2sin x x x ∀>≤ C. 0000,2sin x x x ∃≤≤ D. 0000,2sin x x x ∃>≤3.在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点，且DF AC AB αβ=+，则（）A. 1,12αβ==-B. 1,12αβ=-=C. 11,2αβ==-D. 11,2αβ=-=4.在ABC ∆中，A B ∠∠∠、、C 所对的边分别为a b c 、、，若3A π∠=，3a =，2b =，则 B ∠=（）A. 6πB. 4πC. 3πD. 2π5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 86.已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为53，其左焦点为1(5,0)F =-，则双曲线C 的方程为（）A. 22143x y -=B. 22134x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -= 7.下列命题正确的是（）A. 命题“p q ∧ ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C. “ 22am bm <”是“ a b <”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在0x R ∈，使得 20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(1,2)P ，法向量为(2,3)n =-的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,1)P -，且法向量为(2,3,1)n =-的直线的点法式方程应为（）A. 2330x y z --+=B. 2350x y z -++=C. 2370x y z ++-=D. 2390x y z +--=9.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知0,0,1a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是（）A. 10B. 9C. 8D. 711.已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，12PF F ∆为等腰三角形，1223F F P π∠=,则C 的离心率为（）A.14 B. 12 C. 13 D. 23 12.如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --， Q OR P --， R OP Q--的平面角为,,αβγ，则（）A. γαβ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.αβγ<< 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

2019-2020年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）A．3 B．9 C．27 D．817．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）A．B．C．D．||10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.615．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是．19．计算log28+log2的值是．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为．22．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算直接求出M∩N．【解答】解：因为集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，所以M∩N={1，3}，故选：C．3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可．【解答】解：对于A是偶函数，对于B是奇函数，对于C、D是非奇非偶函数，故选：B．4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接由正切函数的定义得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，﹣3），由正切函数的定义得：tanα=故选：A．5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可．【解答】解：y=cos（x∈R）∴函数f（x）的最小正周期T=；故选D．6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件a＞30，跳出循环，计算输出a的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a=3×1=3；第二次循环a=3×3=9；第三次循环a=3×9=27；第四次循环a=3×27=81，满足条件a＞30，跳出循环，输出a=81．故选：D．7．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=，故选：B．8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：对于A，c≤0时，不成立，对于B，﹣a＜﹣b，对于C，根据不等式的性质，成立，对于D，a，b是负数时，不成立，故选：C．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴+=．故选；A．10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由条件根据这两条直线的斜率互为负倒数，可得这两条直线垂直．【解答】解：两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的斜率分别为﹣、2，它们的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故选：B．11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】根据题意得直线的斜率k=﹣，从而得到倾斜角α满足tanα=﹣，结合倾斜角的取值范围，可得α．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣，∵α∈[0，π），∴α=，故选C．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c 的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，可得a=2，b=，则c=3，且其焦点在x轴上，则其焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），故选：B．13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2=﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P=4，∴=2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，进而计算可得c的值，结合椭圆的几何性质可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：25x2+9y2=225，变形可得+=1，则其中a==5，b==3，则有c==4；故椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==0.8；故选：B．15．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设等轴双曲线的方程为：﹣=1，从而可求得其离心率．【解答】解：设等轴双曲线的方程为：﹣=1，则c=a，∴其离心率e==．故选B．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵集合A=（2，+∞）⊊B=[1，+∞），∴“a＞2”是“a≥1”的充分不必要条件，故选：A．17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是∀x∈R，使x2+2x+1≥0．【考点】命题的否定．【分析】根据命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使x2+2x+1≥0．从而得到答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0故答案为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0．19．计算log28+log2的值是2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为==3﹣1=2．故答案为：2．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y即可得出．【解答】解：由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y=．∴直线在y轴上的截距是．故答案为：21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】分析函数y=2x在[0，1]上单调性，进而可得答案．【解答】解：函数y=2x在[0，1]上为增函数，故当x=0时，函数取最小值1，故答案为：122．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=27．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由数列性质得a5=S5﹣S4=3，由等差数列的通项公式及前n项和公式得S9==9a5，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∵S5﹣S4=3，∴a5=S5﹣S4=3，∴S9==9a5=27．故答案为：27．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【分析】（1）由条件利用二倍角的正弦公式可得y=1+sin2x，再根据正弦函数的周期性性和最大值得出结论．（2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的递增区间．【解答】解：（1）∵y=（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，∴函数的最1=2．小正周期为，y最大值=1+（2）由，k∈z，可得要求的递增区间是，k∈z．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由lg，得＞0，进而求出x的取值范围，得到答案．（2）证明f（﹣x）+f（x）=0，进而证明f（x）=﹣f（﹣x）得出答案【解答】（1）解：∵由lg，得出＞0，且1+x≠0∴有（1﹣x）＞0且（1+x）＞0或者（1﹣x）＜0且（1+x）＜0∵解得第一个不等式有﹣1＜x＜1，第二个不等式不存在∴函数的定义域{x|﹣1＜x＜1}（2）证明∵f（﹣x）+f（x）=lg+lg=lg1=0∴f（x）=﹣f（﹣x）∴函数f（x）为奇函数26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．【考点】抛物线的应用．【分析】（1）由准线的方程为x=﹣1可求p的值；（2）直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，利用抛物线过焦点的弦长公式|AB|=x1+x2+2=8．可求【解答】解：（1）由准线的方程为x=﹣1，可知：，即p=2（2）易得直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，消去x得y2﹣4y﹣4=0，y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴x1+x2=y1+y2+2=6，所以：弦长|AB|=8．2017年2月18日。

2019-2020学年度高二上学期期末考试数学试题(理)(解析版)

2021- 2021学年度高二上学期期末测试数学试题〔理〕一、选择题〔本大题共12小题,共60.0分〕1,经过点,倾斜角为的直线方程为A. B. C, D.【答案】D【解析】解：倾斜角为的直线的斜率为,再根据经过点,用点斜式求得直线的方程为,即,应选：D.根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率,再用点斜式求得直线的方程.此题主要考查直线的倾斜角和斜率,用点斜式求得直线的方程,属于根底题.2.为了解某地区中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取局部学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C,按学段分层抽样 D.系统抽样【答案】C【解析】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比拟合理.应选：C.假设总体由差异明显的几局部组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基此题.3,阅读如图的程序框图,运行相应的程序,假设输入N的值为15,那么输出N的值为【解析】解：模拟程序的运行,可得满足条件N 能被3整除, 不满足条件 ,执行循环体,不满足条件 N 能被3整除, 不满足条件 ,执行循环体,不满足条件 N 能被3整除, 满足条件 ,退出循环,输出 N 的值为3.应选：D.由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环Z 构计算并输出变量 N 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 此题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是根底题.4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转, 相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种互相转化,相对统一的形式美根据太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆 O 被 -的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为 1,现在大圆内随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率为A. 一B. 一C. 一D. 一面积为一 ,一个小圆的面积为,在大圆内随机取一点,此点取自阴影局部的概率为:应选：B.根据几何概型的概率公式,求出大圆的面积和小圆的面积,计算面积比即可. 此题考查了几何概型的概率计算问题,是根底题. 5.设两个正态分布和的密度曲线如下图,那么有A. ,B. ,C.上.币 Qo3 ~i o f【解析】解：根据题意,大圆的直径为的周期,且 —D.【答案】A【解析】解：从正态曲线的对称轴的位置看,显然,正态曲线越“瘦高〞,表示取值越集中, 越小,应选：A.从正态曲线关于直线对称,看的大小,从曲线越“矮胖〞,表示总体越分散；越小,曲线越“瘦高〞,表示总体的分布越集中,由此可得结论.此题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 以及数形结合的思想,属于根底题.6 .由数字1, 2, 3, 组成的三位数中,各位数字按严格递增如“156〞或严格递减如“421〞顺序排列的数的个数是A. 120B. 168C. 204D. 216【答案】B【解析】解：由题意知,此题是一个分步计数问题,首先要从9个数字中选出3个数字,当三个数字确定以后,这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况,根据分步计数原理知共有应选：B.此题是一个分步计数问题,解题时先要从9个数字中选出3个数字,当三个数字确定以后,这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情,根据分步计数乘法原理,得到结果.此题考查分步计数原理,分步要做到完成了所有步骤,恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘得到总数.7 . 假设直线过点 ,那么该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】解：直线过点 ,,即一一 ,-- -- -- ,当且仅当时上式等号成立.直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为 4.应选：C.把点代入直线,得到- - ,然后利用- -,展开后利用根本不等式求最值.此题考查了直线的截距式方程,考查利用根本不等式求最值,是根底题.8 .登山族为了了解某山高与气温之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表：由表中数据,得到线性回归方程,由此请估计出山高为处气温的度数为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意,代入到线性回归方程,可得 ,由,可得应选：D.求出------------- , ----------- ,代入回归方程,求出a,代入,将代入可求得x的估计值.此题考查回归方程的运用,考查学生的计算水平,属于根底题.9 .假设直线：与：平行,那么与间的距离为A. 一B. 一C. 一D. 一【答案】B【解析】解：由得：-------- --- --- ,解得：,与间的距离—二,应选：B.先由两直线平行可求a得值,再根据两平行线间的距离公式,求出距离d即可.此题主要考查了两直线平行, 的条件的应用,及两平行线间的距离公式^=的应用.10 .甲、乙两组数据如茎叶图所示,假设它们的中位数相同,平均数也相同,那么图中的RJA. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】解：甲、乙两组数据如茎叶图所示,它们的中位数相同,平均数也相同,解得应选：C.由中位数相同,得到---- ,由平均数也相同,得到-一,由此能求出此题考查两数和的求法,考查平均数、中位数、茎叶图的性质等根底知识,考查运算求解水平,是根底题.11 . 一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回, 直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,那么等于A. - -B. _ _ _C. - -D. - -【答案】D【解析】解：由题意可得,取得红球的概率为说明前11次取球中,有9次取得红球、2次取得白球,且底12次取得红球,故- - -,应选：D.由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式,即可求得的值.此题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率,属于根底题.12 .AC, BD为圆O：的两条相互垂直的弦,垂足为一,那么四边形ABCD的面积的最大值为A. 4B. —C. 5D. 一【答案】C【解析】解：设圆心 O 到AC 、BD 的距离分别为、,那么 .四边形ABCD 的面积为：--,当且仅当时取等号,应选：C.设圆心到AC 、BD 的距离分别为、,那么 ,代入面积公式 - ,使用根本不等式求出四边形 ABCD 的面积的最大值. 此题考查圆中弦长公式得应用以及根本不等式的应用, 四边形面积可用互相垂直的 2条对角线长度之积的一半来计算,属于根底题. 二、填空题〔本大题共 4小题,共20.0分〕 13 . ,那么 .【答案】【解析】解：中, 通项公式为 ,令 ,得, 故答案为:根据二项式展开式的通项公式,求出展开式中含x 项的系数即可.此题考查了二项式展开式的通项公式应用问题,是根底题. 14 .在某市“创立文明城市〞活动中,对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图,但是年龄组为的数据不慎丧失,据此估计这800名志愿者年龄在的人数为.【解析】解：根据频率分布直方图中频率和等于 1,得;年龄组为的数据频率为估计这800名志愿者年龄在的人数为故答案为：160. 根据频率分布直方图中频率和等于 1,计算年龄组为的数据频率,求出对应的频数即可.目.15 .在平面直角坐标系内, 到点 , , , 的距离之和最小的点此题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率频数样本容量的应用问题, 是根底题» W » » 45 印的【答案】160的坐标是.【答案】【解析】解：如图,设平面直角坐标系中任一点P, 冈P到点,,,的距离之和为：故四边形ABCD对角线白^交点Q即为所求距离之和最小的点.,,,,,BD的方程分别为：————,————,即,解方程组得故答案为：如图,设平面直角坐标系中任一点P,利用三角形中两边之和大于第三边得,从而得到四边形ABCD对角线白^交点Q即为所求距离之和最小的点再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程,联立方程组求交点坐标即可.本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等根底知识,考查运算求解水平,考查数形结合思想、化归与转化思想属于根底题.16 .从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛每科一人,其中甲不能参加生物竞赛,那么不同的参赛方案种数为 .【答案】96【解析】解：根据题意,分2种情况讨论：,从5名学生中选出的4名学生没有甲,需要将选出的4名学生全排列,参加四科竞赛,有种情况,,从5名学生中选出的4名学生有甲,那么甲可以参加数学、物理、化学这三科的竞赛,有3种情况,在剩余的4名学生中任选3人,参加剩下的三科竞赛,有种情况,此时有种情况,故有种不同的参赛方案种数,故答案为：96.根据题意,分2种情况讨论：,从5名学生中选出的4名学生没有甲,需要将选出的4名学生全排列,参加四科竞赛, ,从5名学生中选出的4名学生有甲,那么甲可以参加数学、物理、化学这三科的竞赛,在剩余的4名学生中任选3人,参加剩下的三科竞赛,由加法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的实际应用,注意优先分析受到限制的元素,属于根底题.三、解做题〔本大题共6小题,共70.0分〕17 .求过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程.【答案】解：当直线过原点时,由于斜率为———故直线方程为一,即当直线不过原点时,设方程为 - 一 ,把点代入可得,故直线的方程为,故满足条件的直线方程为或【解析】当直线过原点时,由点斜式求出直线的方程当直线不过原点时,设方程为-- ,把点代入可得a的值,从而得到直线方程.此题主要考查用待定系数法求直线的方程,表达了分类讨论的数学思想.18 .向量I假设x, y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1,2,3,4, 5, 先后抛掷两次时第一次,第二次出现的点数,求满足的概率；n假设x, y在连续区间上取值,求满足的概率【答案】解：I将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的根本领目件总数为满足即的根本领件为, , 故概率为一一n假设x, y在上取值,那么全部根本领件的结果为, , 分满足的根本领件的结果为, 且画出图形如图,矩形的面积为矩形 ,阴影局部的面积为阴影 - ,故满足的概率为一分【解析】I利用列举法确定根本领件,即可求满足n以面积为测度,满足的根本领件的结果为且即可求出.此题考查概率的计算,考查古典概型,几何概型,属于中档题.19 .如图,四边形ABCD是直角梯形,求SC与平面ASD所成的角余弦；求平面SAB和平面SCD所成角的余弦. ,共3个,的概率;平面ABCD,又面ABCD ,, , 面SAD, SE是SC在面SAD内的射影, 是SC与平面ASD所成的角, 易得一,",在中, ——由面ABCD,知面面SAB, 在面SAB的射影是,而的面积 - -,设SC的中点是M, 二,, 一的面积一一设平面SAB和平面SCD所成角为,那么由面积射影定理得———【解析】作交AD的延长线于E,由, 平面ABCD,可证得面ABCD,进而面SAD,那么是SC与平面ASD所成的角,解即可得到答案.由面ABCD,知面面SAB, 在面SAB的射影是,分别求出而的面积和的面积,代入——,即可得到答案.此题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角,其中的关键是证得是SC与平面ASD所成的角, 的关键是证得, 在面SAB的射影是,进而 ----------- -20 .如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、,当元件A、B、C都正常工作时,系统正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统正常工作系统,正常工作的概率分别为,,I假设元件A、B、C正常工作的概率依次为, , ,求 ,；n假设元件A B、C正常工作的概率的概率都是,求,,并比拟, 的大小关系.：―【答案】解：设元件A、B、C正常工作为事件A, B, C,那么A, B, C相互独立, , ,故, 分分, , 分, 分分又,故,即分【解析】设元件A、B、C正常工作为事件A, 8,5那么人田«相互独立,那么,,由此能求出结果., ,,由此能比拟,的大小关系.此题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式的性质等根底知识, 考查运算求解水平,是中档题.21 , 2021年9月,台风“山竹〞在沿海地区登陆, 小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失,将收集到的数据分成五组：, , , , 单位：千元,并作出如下频率分布直方图I 台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的 100户居民捐款情况如表格,在表格空白处填写正确数字, 并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到 4千元有关？n 将上述调查得到的频率视为概率,现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样的方法每次抽取一户居民,连抽3次,记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4千元的户数为,假设每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列和数学期望.附：临界值表：随机变量：【答案】解： I 由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,经济损失不超过 4千元的有70人,经济损失超过 4千元白^有30人, 分那么表格数据如下：-------------- , 分故有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到 4千元有关;分n 由频率分布直方图可知,抽到自身经济损失超过 4千元的居民的频率为,由题意可知：所有可能的取值为 0, 1, 2, 3,且〜一；分分数学期望为一一分【解析】I由频率分布直方图,结合题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论；n由频率估计概率,结合题意知的可能取值,计算对应的频率值,写出分布列,求出数学期望值.此题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题, 也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题,是中档题.22 .直线：一,半径为2的圆C与l相切,圆心在x轴上且在直线l的右上方.I求圆C的方程；n过点的直线与圆C交于A, B两点在x轴上方,问在x轴上是否存在定点N ,使得x轴平分？假设存在,请求出点N的坐标；假设不存在,请说明理由.【答案】解：设圆C的方程为：,由得或分又圆心在在直线l的右上方故故所求圆C的方程为：分设过点的直线方程为：由分故————分设, ,由------ --------对任意即恒成立故即分【解析】I根据圆心到直线的距离等于半径列等式解得或 ,再根据圆心在l的右上方可得,从而可得圆的方程；n联立直线与圆的方程消去y的一元二次方程,根据韦达定理和斜率公式列式化简可得.此题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.。

2019-2020年高二上学期入学数学(理)试卷含解析

2019-2020年高二上学期入学数学（理）试卷含解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=( )A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．采用系统抽样的方法从2005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )A．40，5B．50，5C．5，40D．5，503．在△ABC中，=，设=，=，则向量=( )A．+B．+C．﹣D．﹣+4．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是( )A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜0.65＜50.6D．log0.65＜50.6＜0.655．已知x、y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值（精确到0.1）为( )A．1.5B．1.6C．1.7D．1.86．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入( )A．k≤10B．k≥10C．k≤11D．k≥117．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为( )A．B．C．D．8．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为( )A．6+2B．6+C．6+4D．109．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．已知直线x+y=2a与圆x2+y2=4交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|+|=|﹣|，则实数a的值为( )A．2B．2或﹣2C．1或﹣1D．或11．定义在R上的偶函数满足f（x+2）=f（x）且f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则( )A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）12．已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x），若g（x）=sinπx，则函数y=f（x﹣2）与y=g（x）图象所有公共点的横坐标之和为( )A．10B．12C．20D．22二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数，则f（f（﹣1））的值等于__________．14．在区间（0，6）上随机取一个数x，log2x的值介于0到2之间的概率为__________．15．已知sinα=﹣cosα，则的值为__________．16．在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=，则•的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l1：ax﹣y﹣2=0经过圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0的圆心（1）求a的值；（2）求经过圆心C且与直线l：x﹣4y+1=0平行的直线l2的方程．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x，（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．19．如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．20．某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在[80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100）之间的概率．21．已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．22．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=ksin（x﹣），（k≠0）．（1）问α取何值时，方程f（sinx）=α﹣sinx在[0，2π]上有两解；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围？2015-2016学年江西省宜春中学高二（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=( )A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：直接根据交集的定义即可求解．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}∴A∩B={0，1}故选C点评：本题主要考查了交集的定义，属常考题型，较易．解题的关键是透彻理解交集的定义，但此题一定要注意集合A是孤立的点集否则极易出错!2．采用系统抽样的方法从2005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )A．40，5B．50，5C．5，40D．5，50考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据的整数值是系统抽样的抽样间隔，余数是应随机剔除的个体数，即可得出答案．解答：解：∵2005÷50=40余5，∴用系统抽样法从2005个个体中抽取一个容量为50的样本，抽样间隔是40，且应随机剔除的个体数为5．故选：A．点评：本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．3．在△ABC中，=，设=，=，则向量=( )A．+B．+C．﹣D．﹣+考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：将向量利用三角形法则用=，=表示，整理即可．解答：解：=；故选A．点评：本题考查了平面向量的三角形法则；熟练法则的运用是关键；属于基础题．4．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序是( )A．0.65＜log0.65＜50.6B．0.65＜50.6＜log0.65C．log0.65＜0.65＜50.6D．log0.65＜50.6＜0.65考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵50.6＞1＞0.65＞0＞log0.65，∴50.6＞0.65＞log0.65，故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．已知x、y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值（精确到0.1）为( )A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：将代入回归方程为可得，则4m=6.7，即可得出结论．解答：解：将代入回归方程为可得，则4m=6.7，解得m=1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．故选：C．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．6．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入( )A．k≤10B．k≥10C．k≤11D．k≥11考点：循环结构．专题：规律型．分析：经过第一次循环得到的结果，判断是否是输出的结果，不是说明k的值满足判断框的条件；经过第二次循环得到的结果，是需要输出的结果，说明k的值不满足判断框中的条件．得到判断框中的条件．解答：解：当k=12，S=1，应该满足判断框的条件；经过第一次循环得到S=1×12=12，k=12﹣1=11应该满足判断框的条件；经过第二次循环得到S=12×11=132，k=11﹣1=10，应该输出S，此时应该不满足判断框的条件，即k=10不满足判断框的条件．所以判断框中的条件是k≥11故选D点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找到规律．7．袋中共有6个大小质地完全相同的小球，其中有2个红球、1个白球和3个黑球，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为( )A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从口袋中6个小球中随机摸出2个小球，共有10种选法，则没有黑球只有3种，根据互斥事件的概率公式计算即可解答：解：从口袋中6个小球中随机摸出2个小球，共有C62=15种选法，则没有黑球C32=3种，∴每个小球被抽到的机会均等，从袋中任取两球，至少有一个黑球的概率为1﹣=，故选：D．点评：本题考查了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题．8．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为( )A．6+2B．6+C．6+4D．10考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征是什么，求出它的表面积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，∴它的表面积为3×2×1+2××22×=6+2．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，根据==﹣，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把f（x）的图象向右平移个长度单位，可得g（x）=sin2x的图象，故选：C．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．已知直线x+y=2a与圆x2+y2=4交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|+|=|﹣|，则实数a的值为( )A．2B．2或﹣2C．1或﹣1D．或考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据|+|=|﹣|，得即，如图所示故圆心到直线的距离d=，可求得a=±1．解答：解：∵|+|=|﹣|，两边平方，得=0，即，如图所示故圆心（0，0）到直线x﹣y﹣2a=0的距离d==，求得a=±1．故选：C．点评：本题考查了直线与圆相交的性质，熟练正确运用已知条件以及点到直线的距离是解决此问题的关键．11．定义在R上的偶函数满足f（x+2）=f（x）且f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则( )A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．解答：解：由f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，因为f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，所以f（x）在[﹣1，0]上为减函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调增函数．因为在锐角三角形中，π﹣α﹣β＜，所以，所以＞0，所以，因为f（x）在[0，1]上为单调增函数．所以f（sinα）＞f（cosβ），故选A．点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．12．已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x），若g（x）=sinπx，则函数y=f（x﹣2）与y=g（x）图象所有公共点的横坐标之和为( )A．10B．12C．20D．22考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x），在同一坐标系中画出函数y=f（x﹣2）与y=g（x）图象，结合函数图象的对称性，可得答案．解答：解：由已知中函数y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x），故函数y=f（x）的图象如下图所示：在同一坐标系中画出函数y=f（x﹣2）与y=g（x）图象，如下图所示：结合函数图象可得：函数y=f（x﹣2）与y=g（x）图象共有十一个交点，且这些交点有十组两两关于（2，0）点对称，另外一个就是（2，0）点，故函数y=f（x﹣2）与y=g（x）图象所有公共点的横坐标之和为22，故选：D点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，画出函数y=f（x﹣2）的图象是本题的难点所在．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数，则f（f（﹣1））的值等于﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先求出f（﹣1），对其函数值当作自变量，再求函数值．解答：解：由已知f（﹣1）=，f（）==﹣1；故f（f（﹣1））=﹣1；故答案为：﹣1．点评：本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式求值．14．在区间（0，6）上随机取一个数x，log2x的值介于0到2之间的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：本题利用几何概型求概率．先解对数不等式0≤log2x≤2，再利用解得的区间长度与区间（0，6）的长度求比值即得．解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵0≤log2x≤2得1≤x≤4，∴log2x的值介于0到2之间的概率为：P（log2x的值介于0到2之间）==．故答案为：．点评：本题主要考查了与长度有关的几何概型的求解，属于基础试题．15．已知sinα=﹣cosα，则的值为﹣．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：已知可化为sinα+cosα=，由三角函数公式可得=﹣（sinα+cosα），代值计算可得．解答：解：===﹣（sinα+cosα），∵sinα=﹣cosα，∴sinα+cosα=，∴原式=﹣（sinα+cosα）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和和差角的三角函数，属基础题．16．在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=，则•的取值范围为[，2]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将•=2（b ﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（2，0），B（0，2），∴AB所在直线的方程为：，则y=2﹣x，设M（a，2﹣a），N（b，2﹣b），且0≤a≤2，0≤b≤2不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤1∴•=（a，2﹣a）•（b，2﹣b）=2ab﹣2（a+b）+4=2（b2﹣b+1），0≤b≤1∴当b=0或b=1时有最大值2；当b=时有最小值∴•的取值范围为[，2]故答案为[，2]点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l1：ax﹣y﹣2=0经过圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0的圆心（1）求a的值；（2）求经过圆心C且与直线l：x﹣4y+1=0平行的直线l2的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）将圆心（﹣2，6）代入得直线l1，得a的值；（2）设所求直线方程x﹣4y+n=0C（﹣2，6）点在直线x﹣4y+n=0上，得n，即可得出结论．解答：解：（1）将圆心（﹣2，6）代入得直线l1，得a=﹣4；（2）设所求直线方程x﹣4y+n=0，C（﹣2，6）点在直线x﹣4y+n=0上，得n=26，故所求直线l2方程为：x﹣4y+26=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x，（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）要使函数f（x）=有意义，则log 2（x﹣1）≥0，利用对数的单调性可得x的范围，即可得到其定义域为集合A；对于函数g（x）=（）x，由于﹣1≤x≤0，利用指数函数的单调性可得≤，即可得出其值域为集合B．利用交集运算性质可得A∩B．（2）由于C∩B=C，可得C⊆B．分类讨论：对C=∅与C≠∅，利用集合之间的关系即可得出．解答：解：（1）要使函数f（x）=有意义，则log 2（x﹣1）≥0，解得x≥2，∴其定义域为集合A=[2，+∞）；对于函数g（x）=（）x，∵﹣1≤x≤0，∴≤，化为1≤g（x）≤2，其值域为集合B=[1，2]．∴A∩B={2}．（2）∵C∩B=C，∴C⊆B．当2a﹣1＜a时，即a＜1时，C=∅，满足条件；当2a﹣1≥a时，即a≥1时，要使C⊆B，则，解得．综上可得：a∈．点评：本题考查了函数的单调性、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AE∥平面BDF；（2）取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO=，即可求三棱锥E﹣BDC的体积．解答：（1）证明：设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．（2）解：取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO=，∴三棱锥E﹣BDC的体积==．点评：本题主要考查空间平行的位置关系的判断，考查三棱锥的体积，正确运用线面平行的判定定理是关键．20．某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高三（1）班全体女生的人数；（2）求分数在[80，90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100）之间的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60）之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60）之间的频率，根据频率、频数和样本容量之间的关系解出样本容量．（2）算出分数在[80，90）之间的人数，算出分数在[80，90）之间的频率，根据小矩形的面积是这一段数据的频率，做出矩形的高．（3）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数，看出满足条件的事件数，根据古典概型公式得到结果．解答：解：（1）由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2．由频率分布直方图知：分数在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08．∴全班人数为=25人．（2）∵分数在[80，90）之间的人数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人∴分数在[80，90）之间的频率为=0.16，∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4；[90，100]之间的2个分数编号为5，6．则在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个．至少有一个在[90，100]之间的基本事件有（1，5）（1，6）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．点评：这是一个统计综合题，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．21．已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）根据向量的数量积公式，倍角公式，辅助角公式，化简函数的解析式，结合f（x）图象的一条对称轴为x=，求出ω=1，代入可得f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，可得α，β的余弦值，代入差角的余弦公式，可得答案．解答：解：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x=．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（π）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=．点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，数量积公式，倍角公式，辅助角公式，两角差的余弦公式，难度中档．22．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=ksin（x﹣），（k≠0）．（1）问α取何值时，方程f（sinx）=α﹣sinx在[0，2π]上有两解；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围？考点：复合三角函数的单调性；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论；（2）据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，先求f（x1）值域，然后分类讨论，求出g（x2）值域，建立关于k的不等式，可求k的范围．解答：解：（1）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在[0，2π]上有两解，令sinx=t，h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，则方程f（sinx）=α﹣sinx在[0，2π]上有两解相当于：h（t）=2t2﹣2t+1﹣α在[﹣1，1]上有两解或一解，两解的情况是：h（﹣1）=h（1）=0；当t∈（﹣1，1）时，h（t）=0有一个解；则有：，解得：＜α≤1，故α的取值范围为（，1]．（2）当x1∈[0，3]时，f（x1）值域为[]，当x2∈[0，3]时，x2﹣∈[﹣，3﹣]，有sin（x2﹣）∈[﹣，1]①当k＞0时，g（x2）值域为[﹣，k]②当k＜0时，g（x2）值域为[k，﹣]而依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集∴或∴k≥10或k≤﹣20．点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了化归与转化思想的应用，方程与函数的思想的应用．。

2019-2020年高二上学期期末联考数学(理)试题含答案

2019-2020年高二上学期期末联考数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

参考公式：球的表面积公式：柱体的体积公式：球的体积公式：锥体的体积公式：棱台的体积公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的准线方程是( )2．圆在点处的切线方程为（）A．B．C．D．3．若直线与直线平行，则实数的值为（）A．B．1 C．1或D．4．长方体有共同顶点的三条棱长分别为1，2，3，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球体的表面积为（）（）A．B．C．D．5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）第6题图D 1C 1B 1A 1DC BA6．如图，平行六面体中，则等于（）A ．B ．C ．D ．7．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是（）A ．a ⊥α，b//β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α//βC ．a ⊂α，b//β，α⊥βD ．a ⊂α，b ⊥β，α//β8．在下列结论中，正确的是（） ①为真是为真的充分不必要条件； ②为假是为真的充分不必要条件； ③为真是为假的必要不充分条件； ④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④9．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为（） A . B . C . D .10．已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为（） A. B. C. D.第Ⅰ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上相应位置上． 11．已知直线与关于轴对称，直线的斜率是_____. 12．曲线表示双曲线，则的取值范围为 . 13．已知且与互相垂直，则的值是 .14．是椭圆的上一点，点分别是圆和上的动点，则的最大值为 .15．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到时，则所形成轨迹的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应位置上.15题D EABC F M第17题图C 1B 1A 1CBA16．（本小题满分为13分）已知直线经过点．求解下列问题（最后结果表示为一般式方程）（Ⅰ）若直线的倾斜角的正弦为；求直线的方程；（Ⅱ）若直线与直线垂直，求直线的方程.17.（本小题满分为13分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．18．（本小题满分为13分）设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且直线被圆截得的弦长为. （Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）求圆的标准方程．19．（本大题满分13分）已知命题命题若命题“且”为假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.20．（本小题满分为12分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，,,点是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的大小；（Ⅲ）试在线段上一点，使得与所成的角是．21．（本小题满分为12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，曲线是以坐标原点为顶点，以为焦点的抛物线，自点引直线交曲线于为两个不同的交点，点关于轴的对称点记为．设．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若，求得取值范围.xx 学年（上）高xx 级过程性调研抽测数学（理科）参考答案一、选择题1～5：BDACC 6～10：BDBCA 二、填空题11. 12. 13. 14.13 15. 三、解答题 16.解：（Ⅰ）由题意：设直线的倾斜角为，则…………………………2分即的斜率…………………………4分直线的方程为：…………6分（Ⅱ）设所求直线方程为：············9分又过， ······················12分直线的方程为：················13分17．解：（Ⅰ）直三棱柱中，，又可知，………………………2分由于，则由可知，，…………………… 4分则……………………………………………6分所以有平面 ………………………………7分（Ⅱ）直三棱柱中，，则，又…………………….9分由于.....................................................11分 ......................................13分18. 解：（Ⅰ）由题意：设的坐标为，则的中点坐标为..........2分点关于对称解得....................................4分即...........................................................6分（利用其他方法求解酌情给分）（Ⅱ）由题意易知过圆的圆心设圆标准方程为：......................8分则由题中条件可得()()2222320a b r a b ⎧⎪-+-=⎪⎪+=⎨=.....................................10分解得：即圆的标准方程为或.......13分 19. 解：由命题可知： ···········3分由命题可知：····5分A BC DE FMN A B C DE F M H AB C DEF M P G···································7分是假命题，或”是真命题，所以有为真，为假，或者为假，为真。

2019-2020年高二上学期期末考试数学(理)试卷含答案

2019-2020年高二上学期期末考试数学（理）试卷含答案一、选择题（每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 给出以下的输入语句，正确的是A. INPUT a;b;cB. INPUT x=3C. INPUT 20D. INPUT “a=”;a2. 若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是A. （3，－4）B. （－3，－4）C. （3，4）D. （－3，4）3. 命题甲“a>2”；命题乙：“方程x2+2x+a＝0无实数解”，则命题甲是命题乙成立的A. 充分不必要条件B. 充分且必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 两次都不中靶D. 只有一次中靶5. 下边的程序框图表示的算法的功能是A. 计算小于100的奇数的连乘积B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积C. 在从1开始的连续奇数的连乘积运算中，当乘积大于100时，计算奇数的个数D. 计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n的值6. 椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A. B. C. D.7. 设平面上四个互异的点A、B、C、D，若·（）＝0，则△ABC的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形8. 已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆+＝1（m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9. 命题“对任意x∈R，|x| ≥0”的否定是_________.10. 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____，气温波动较大的城市是____.11. 某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样方法，应该选取大学____所，中学____所，小学____所．12. 如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为____.13. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为______.14. 已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x=______.三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分8分）用三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种，求：（Ⅰ）3个矩形颜色都相同的概率；（Ⅱ）3个矩形颜色都不同的概率．16. （本小题满分8分）将一颗骰子分别投掷两次，观察出现的点数 .（Ⅰ）求出现点数之和为7的概率；（Ⅱ）若记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝（m，n），q=（2，6），求向量p与q共线的概率.17. （本小题满分9分）已知，如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P－BCG的体积为.（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角余弦值；（Ⅱ）若点F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.18. （本小题满分9分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理数据得到频数分布表和频率分布直方图.组号分组频数频率1 [0，2） 6 0.062 [2，4）8 0.083 [4，6）x 0.174 [6，8）22 0.225 [8，10）y z6 [10，12）12 0.127 [12，14） 6 0.068 [14，16） 2 0.029 [16，18） 2 0.02合计100（Ⅰ）求出频率分布表及频率分布直方图中的x，y，z，a，b的值；（Ⅱ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅲ）若从一周课外阅读时间超过12小时（含12小时）以上的同学中随机选取2名同学，求所抽取同学来自同一组的频率.19. （本小题满分10分）已知椭圆+＝1（a>b>0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2.（Ⅰ）求椭圆的方程.（Ⅱ）若直线l：y=k（x－1）与椭圆相交于A、B两点，以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，求直线l的方程.参考答案一、选择题（每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，若有2－3空题错一空扣1分，共24分.9. 存在x0∈R，使得|x0|<0 10. 乙，乙11. 1，20，2912. 13. 或14. 11三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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2019-2020年高二上学期学业水平测试数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1个B．2个C．4个D．8个2．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a（c2+1）＞b（c2+1）D．a|c|＞b|c|3．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β4．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）5．化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣16．已知非零向量，满足||=||，（﹣）⊥，则向量与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）A．9 B．1 C．2 D．38．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．359．若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）A．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值610．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．711．已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B． C．D．12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．+a n=16，若S n=50，则n的值14．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3=6，a n﹣2为．15．已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值．16．过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内一点M（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=1，S10=45（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．①求角A的大小．②若．19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．20．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）学业水平测试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1个B．2个C．4个D．8个【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】通过已知条件便知，3是B的元素，1，2可以是集合的元素，所以B的可能情况为：B={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，所以集合B的个数便是4．【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}；∴3∈B，1，2可能是集合B的元素；∴B={3}，{1，3}，{2，3}，或{1，2，3}；∴集合B的个数是4．故选C．【点评】考查并集的概念及运算，以及元素与集合的关系．2．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a（c2+1）＞b（c2+1）D．a|c|＞b|c|【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】题中给了一个条件a＞b，四个选项就是在考四条不等式的基本性质．逐个选项应用性质进行简单证明，即可得出正确答案．【解答】解：当ab＞0时，∵a＞b，∴，但A选项中没有ab＞0的条件，如果a＞0，b＜0，则a＞b时，，∴A选项不正确；当a＞0，b＞0时，∵a＞b，∴a2＞b2，但B选项中没有a＞0，b＞0的条件，如果a=3，b=﹣5，则a＞b，∴a2=32=9，b2=（﹣5）2=25，即a2＜b2，所以B选项也不正确；在C选项中，∵c2+1＞0，a＞b，∴a（c2+1）＞b（c2+1），即C选项为正确选项；在D选项中，∵|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，∴D选项也不正确．故选C．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用不等式的性质是关键．3．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面垂直的性质．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．4．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】根据函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的解析式，根据对数的真数部分必须为正，我们可以求出函数的定义域，在各个区间上分类讨论复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调性，即可得到函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间．【解答】解：要使函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的解析式有意义x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1，或x＞3当x∈（﹣∞，﹣1）时，内函数为减函数，外函数也为减函数，则复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）为增函数；当x∈（3，+∞）时，内函数为增函数，外函数为减函数，则复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）为减函数；故函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（3，+∞）故选A【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中复合函数单调性的确定原则“同增异减”是解答问题的关键，但解题中易忽略函数的定义域而错选B．5．化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．【解答】解：===2．故选：B．【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．6．已知非零向量，满足||=||，（﹣）⊥，则向量与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的定义公式进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即•=2，∵||=||，∴2||=||，则向量与的夹角满足cosθ==，则θ=30°，故选：A．【点评】本题主要考查向量夹角的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．7．在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）A．9 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比中项的性质可知，a3a11=a72，a5a9=a72，代入题设等式求得a7，进而利用等比中项的性质求得的值．【解答】解：a3a5a7a9a11=a75=243∴a7=3∴=a7=3故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题过程充分利用等比中项的性质中G2=ab的性质．等比中项的性质根据数列的项数有关．8．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．35【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】根据题意，设班中的女生数为x，由班级的总人数可得“选出代表是女生”的概率与“选出代表是男生”的概率，依题意可得=，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设班中的女生数为x，则“选出代表是女生”的概率为，“选出代表是男生”的概率为1﹣，则有==，解可得x=30，故选C．【点评】本题考查概率的运用，关键是根据题意用x表示出“选出代表是女生”与“选出代表是男生”的概率．9．若实数x 、y 满足=1，则x 2+2y 2有（）A ．最大值3+2B ．最小值3+2C ．最大值6D ．最小值6【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得 x 2+2y 2=（ x 2+2y 2）•（）=1+2++，再利用基本不等式求得它的最小值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得 x 2+2y 2=（ x 2+2y 2）•（）=1+2++≥3+2，当且仅当=时，即 x=±y 时，等号成立，故x 2+2y 2有最小值为 3+2，故选 B ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k 值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．已知直线3x+2y ﹣3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（）A ．4B ．C ．D ．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】利用直线平行关系求出m ，然后求解平行线之间的距离．【解答】解：直线3x+2y ﹣3=0与6x+my+7=0互相平行，可得m=4，直线3x+2y ﹣3=0与3x+2y+=0，它们之间的距离是： =．故选：B ．【点评】本题考查两条直线平行，平行线之间距离的求法，考查计算能力．12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题．【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，．故选B．【点评】本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180【点评】本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．+a n=16，若S n=50，则n的值为10．14．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3=6，a n﹣2【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．+a n=16可得公差d=，利用S n=50计算即【分析】通过S3=3a2=6可得a2=2，利用a n﹣2得结论．【解答】解：∵S3=3a2=6，∴a2=2，+a n=16，又a n﹣2化为：a2+d（n﹣4）+a2+d（n﹣2）=16，∴4+d（2n﹣6）=16，即d（n﹣3）=6，∴d=，而S n=na1+d=n（2﹣）+=50，化简得：（n﹣3）（n﹣10）=0，解得n=10或n=3（增根，舍去），故答案为：10．【点评】本题考查等差数列的相关知识，注意解题方法的积累，属于中档题．15．已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值12．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由可解得，x=5，y=2；故z=2x+y的最大值为2×5+2=12；故答案为：12．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．16．过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内一点M（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是x+y﹣3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标，由垂径定理得到与直径AM垂直的弦最短，根据A和M的坐标求出直线AM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出直线l的斜率，由求出的斜率及M的坐标，即可得到直线l的方程．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+2）2=9，∴圆心A坐标为（1，﹣2），又M（3，0），∵直线AM的斜率为=1，∴直线l的斜率为﹣1，则直线l的方程为y=﹣（x﹣3），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据垂径定理得到与直径AM垂直的弦最短是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=1，S10=45（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出首项和公差，由此能求出a n=n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n==2﹣（n﹣1）=，由此能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，S10=45，∴，解得a1=0，d=1，∴a n=n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n==2﹣（n﹣1）=，∴T n==2﹣．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．18．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．①求角A的大小．②若．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】①把已知等式的左边去括号后，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得出sin（2A﹣）的值为1，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；②利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，根据完全平方公式变形后，将cosA，a及bc的值代入，求出b+c的值，将bc=8与b+c=2联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到b与c的值．【解答】解：①∵cosA（sinA﹣cosA）=，∴sinAcosA﹣cos2A=sin2A﹣（1+cos2A）=sin2A﹣cos2A﹣=，即sin（2A﹣）=1，又A为三角形的内角，∴2A﹣=，解得：A=；②∵a=2，S△ABC=2，sinA=，∴bcsinA=2，即bc=8①，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，即8=（b+c）2﹣24，解得：b+c=4②，联立①②，解得：b=c=2．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．【专题】图表型．【分析】（1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数．（2）利用各个小矩形的中点乘以各个矩形的面积求出高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．【解答】解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9∴x=6，y=3补全频率分布直方图（2）该校高一学生历史成绩的平均分+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=210【点评】解决频率分布直方图时一定要注意直方图的纵坐标为：；频数=样本容量×频率．20．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF 垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，求出中的相关向量，直接求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【解答】解：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．故．又．∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则设异面直线AB1与BC所成的角为θ，则，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为，（3）由（2）得，设=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．由得，，即显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．则，故．即所求二面角的大小为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数便可得到，这样便可求出a=2，b=1；（2）分离常数可以得到，根据指数函数y=2x的单调性可以判断出x 增大时，f（x）减小，从而可判断出f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（3）根据f（x）的奇偶性和单调性便可由f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得到（3x）2﹣（k+1）•3x﹣2＞0对于任意的x≥1恒成立，可设3x=t，从而有t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意的t≥3恒成立，可设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，从而可以得到，这样解该不等式组便可得出k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）在R上为奇函数；∴；∴；解得a=2，b=1；（2）；x增大时，2x+1增大，减小，f（x）减小；∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（3）∵f（x）为奇函数，∴由f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得，f（k•3x）＞f（9x﹣3x﹣2）；又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴k•3x＜9x﹣3x﹣2，该不等式对于任意x≥1恒成立；∴（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0对任意x≥1恒成立；设3x=t，则t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意t≥3恒成立；设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，△=（k+1）2+8＞0；∴k应满足：；解得；∴k的取值范围为．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，减函数的定义，指数函数的单调性，根据减函数的定义解不等式，换元法的运用，要熟悉二次函数的图象．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．。