2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.2.1、二次函数y=ax2的图象与性质课件1

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华东师大版九年级数学下册《26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质》同步练习(含答案解析

D .②④平面直角坐标系中，画出下列函数的图象. 2 1 2（1）y = — 3x ; （2）y = 4X .知识点2二次函数y = ax 2的性质1 26. 在二次函数y = — 4X 中，当x>0时，若X 1>X 2，贝U y 1时，若 X 1>X 2，贝卩 y 1 ______ 2.（填 “ >或 “ <”）7. 抛物线y =fx 2，y =x 2，y = — x 2的共同性质是： ①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点； ③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称. 其中正确的个数为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 42621二次函数y = ax 2的图象与性质知识点1二次函数y = ax 2的图象 1 .二次函数y = — 5x 2的图象开口 __________ 对称轴为 ________ 为 ________ . 2 .抛物线y = ax 2（a<0）经过（）A .第一、二象限B .第三、四象限C .第一、三象限D .第二、四象限 3.经过测试，某种汽车的刹车距离 s （单位：米）与刹车时的速度，顶点坐标满足关系式s = ( 4. 2017启东市校级月考已知 ax 2的图象可能是（）图 26 — 2—1 a M 0, 在同一直角坐标系中，函数 v （千米/时）） y = ax 与 yA .①②C .①③ 5.在同-y 2；当 x<01 28 •关于二次函数y =卞2，有下列说法：⑴其图象是轴对称图形； ⑵当x<0 时，y 随x 的增大而减小；⑶当x>0时，y 随x 的增大而增大；⑷当x = 0时，y 有最小值•其中说法正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 9. 2017连云港已知抛物线y = ax 2（a >0）经过A （—2, y i ），B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A . y i >0>y 2B . y 2>0>y iC . y i >y 2>0D . y 2>y i >010. 已知抛物线y = ax 2经过点（i ，3）. （i ）求 a 的值；⑵当x = 3时，求出y 的值；（3）说出此二次函数的三条性质.1 211 .如图26— 2— 3,在同一平面直角坐标系中画出函数y =^x 和函数O 为正方形ABCD 对角线的交点，且正方形的边分别1 22x 2的图象，已知坐标原点与x 轴、y 轴平行，如果点D的坐标为（2, 2），那么阴影部分的面积为（）A. 4B. 8C. 1212.函数y= k（x—k），正确的是（）D. 162 ky= kx与y=］化工0）在同一平面直角坐标系内的图象图26 —2 —4=—4.则函数y = 2探x 的图象大致是( )图 26 — 2 — 514. 已知y = (k + 2)xk 2+ k — 4是关于x 的二次函数，且当x >0时，y 随x 的增大而增大，则k 的值为 _________ .15. 根据下列条件求m 的取值范围：(1)二次函数y = (m + 3)x 2，当x > 0时，y 随x 的增大而减小，当x v 0时，y 随x 的增大而增大；⑵二次函数y = (2m — 1)x 2有最小值.16. 教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：① y = |x 2;② y = 2x 2 ；③ y = — 2x 2; ® y = — 2x 2.(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a 对抛物线的形状有什么影响.13•定义运算“※”为:Eb 2 (b>0), k -ab 2 (b < 0),如丨※(一2)= — 1 x (— 2)217. 如图26-2-6①所示，P为抛物线y=x2在第一象限内的一点，点A的坐标为(4，0).(1) 设点P的坐标为(x，y),试求出△ AOP(O为坐标原点)的面积S关于点P 的横坐标x之间的函数关系式；(2) 试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S关于x的函数图象.①图26 - 2 -622 X18.如图26-2-7,平行于x轴的直线AC与抛物线y i= x (x>0)和y2=§(x>0)分别交于B, C两点，过点C作y轴的平行线交y i于点D，直线DE // AC, 交y2于点E,则.图26 - 2 -7详解详析1 •向下 y 轴(或直线x = 0) (0, 0)2. B ［解析］T a<0,A 抛物线的开口向下. 又•••抛物线y = ax 2的顶点坐标为(0, 0), •••该抛物线经过第三、四象限•故选 B.1 1 23. C ［解析］因为100>0,所以函数s = 100V 2的图象开口向上.由于自变量 v>0,故选C.4. B ［解析］当a >0时，贝U 函数y = ax 中，y 随x 的增大而增大，函数y =ax 2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当 av0时，贝U 函数y = ax 中，y 随x 的增大而减小，函数y = ax 2的图象开口向下，故④不正确，③正确.•••两函数的图象可能是②③，故选 B.5. 略6. < >7. B ［解析］抛物线y =2%2，y =x 2的开口向上，y = — x 2的开口向下，故① 错误；抛物线 y =—x 2 ,y = — x 2的顶点坐标为(0, 0),对称轴为y 轴，②③ 正确；④错误.故选B. 8. D 9. C ［解析］•••抛物线y = ax 2(a >0),二A( — 2, y i )关于y 轴的对称点的坐标为(2, y i ).又T a >0, 0v 1v 2,二 y i >y 2>0.故选 C.10. 解：(1)T 抛物线y = ax 2经过点(1, 3), • a x 1 = 3, • a = 3.⑵把 x = 3 代入 y = 3x 2 中，得 y = 3x 32 = 27. ⑶抛物线的开口向上；坐标原点是该抛物线的顶点；当x >0时，y 随着x 的增大而增大(答案合理即可). 11. B ［解析］由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半, 1即？x 4X 4= 8.故选 B.12. C ［解析］一次函数 y = k(x — k)= kx — k 2, -k M 0 ,• — k v 0,• 一次函数的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上. 对称轴右侧的部分；当x < 0时，图象是抛物线y = — 2x 2对称轴左侧的部分.故选C.A 项，一次函数图象与B 项，一次函数图象与C 项，一次函数图象与D 项，一次函数图象与 y 轴交点在y 轴正半轴上, y 轴交点在y 轴正半轴上, y 轴交点在y 轴负半轴上, y 轴交点在y 轴正半轴上,A 不正确;B 不正确;C 正确；D 不正确.14. 2 ［解析］因为该函数是二次函数，所以x 的指数为2.又因为在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系k? + k —4 = 2，数大于0•由题意，得**+ 2> 0，— 3 或 k = 2，解得”k>— 2， k = 2.15. 解：(1厂•二次函数y = (m + 3)x 2，当x >0时，y 随x 的增大而减小，当 x v 0时，y 随x 的增大而增大，二m + 3v 0,解得m v — 3.(2)v 二次函数y = (2m — 1)x 2有最小值，1••• 2m — 1 >0，解得 m >216. 解：⑴列表如下：x —2 —1 0 1 2 1 221r 12y = 2x222y = 2x8 2 0 ° 81 21 0 1y = — 2x —2 — 2—2 —2 y = — 2x 2 —8 —2 0 —2—8 描点：以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描点. 连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：(2)答案不唯一，如|a|相同，两条抛物线的形状就相同；|a|越大，抛物线的开口就越小.17.解：(1)由于P 为抛物线y = x 2在第一象限内的一点，且点P 的坐标为(x ,2 1 2 2y)，所以点P 到x 轴的距离为y =x ，所以S = 2X 4X x 二2x (x >0).(2)由于x>0，所以画出的图象为抛物线S = 2x 2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图.13. C2x 2 (x>0),［解析］尸恥 x=〔— 2x 2 (x < 0) 当x >0时，图象是抛物线y = 2x 218. 3—3 ［解析］设点A的坐标为（0, a）,令x2= a,解得x=.a（负值已2 舍去），二点B（ a, a）.令X3 = a,则x= 3a（负值已舍去）,•••点C（ ,3a, a）.•••CD // y轴，•••点D的横坐标与点C的横坐标相同，为3a,「.点D的纵坐标为（，3a）2=3a,•••点D的坐标为「.3a, 3a）.•DE// AC,•点E的纵坐标为3a.2 令3 = 3a,「. x= 3 .a（负值已舍去）,•点E的坐标为（3 a, 3a）,•DE = 3 a—\/3a.故DE_ 3晶-辰—3—苗故AB _ a _3 3.。

华师大版初中数学九年级下册26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质

是
.
；对称轴是
；顶点
；而在对称轴的右侧是 y 随着
时的值最
是
.
．
3.若点 A（-5，y1）、B（2，y2）都在 y=2x2 上，则 y1 ____ y2 （填“>”或“<”）
4.如图，⊙O 的半径为 2．C1 是函数 y=x2 的图象，C2 是函数 y=﹣x2 的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．
x 的增大而
；此时函数 y＝x2 当 x＝
（3）y＝-x2 的图像是
；开口向
坐标是
；
（4）在抛物线 y＝-x2 的对称轴左侧 y 随 x 的减小而
x 的增大而
；此时函数 y＝-x2 当 x＝
2.若点 A（3，m）是抛物线 y=－x2 上一点，则 m=
；对称轴是
；顶点
；而在对称轴的右侧是 y 随着
时的值最
B.关于 y 轴对称，y 随 x 的增大而减小;D.关于 y 轴对称，抛物线顶点在原点.
7.已知原点是抛物线 y (m 3)x 2 的最高点，则 m 的范围是 ( ) A． m 1 B． m 3 C． m 2 D． m 3
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8.二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax＋a 在同一坐标系中的图象大致为（
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26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数 y ax 2 的图象和性质
1.填空：
（1）y＝x2 的图像是
；开口向
坐标是

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.2.2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质课件27

2.(2012·襄阳中考)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)
与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型
1.解答要全面，有时需要分类讨论(如涨价与降价、投入与产出
等).
2.分清每件的利润与销售量，理清价格与它们之间的关系. 3.自变量取值范围的确定，需保证实际问题有意义. 4.一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图象分析.
【跟踪训练】
1.(2012·贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象
80+x )元，【解题思路】(1)单价上涨x元后每件商品的售价为(_____ 80+x-60 =(_____ 20+x )元，每月的销售量为(____ 300 每件商品的利润为________
－10x )件，每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的 ______
20+x )·(_________ 300－10x )=_________________ -10x2+100x+6 000 . 函数关系式为y=(_____
(2)ω=(x-6)(-30x+600)
=-30x2+780x-3 600，即ω与x之间的函数关系式为 ω=-30x2+780x-3 600.„„„„„„„„„„„„„„„7分
(3)由题意得6(-30x+600)≤900，解得x≥15,„„„„8分
ω=-30x2+780x-3 600的图象的对称轴为 x=
的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示：
(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润ω (元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

华东师大版数学九年级下册26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质教学设计

华东师大版数学九年级下册26.2.1二次函数y=ax2的图像和性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数y=ax^2的定义，知道a对图像的影响，并能根据a的不同取值，判断图像的开口方向和形状。
2.能够正确绘制二次函数y=ax^2的图像，并从图像中观察出对称轴、顶点等关键特征。
3.掌握二次函数y=ax^2的性质，包括但不限于：对称性、单调性、最值等，并能够运用这些性质解决相关问题。
4.能够通过具体的数学问题，运用二次函数的知识，建立函数模型，解决实际问题。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下过程与方法达到学习目标：
1.采用探究式学习，通过自主探究和小组合作，发现二次函数图像与性质之间的关系，提高观察、分析和解决问题的能力。
2.利用数形结合的思想，将函数图像与性质相结合，通过图像直观地理解性质，通过性质准确地描述图像。
2.强调二次函数在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
"二次函数不仅仅是一个数学概念，它在我们的生活中有着广泛的应用。希望同学们能够运用所学知识，解决实际问题。"
3.鼓励学生主动发现数学的美，培养他们的审美情趣。
"数学中有很多美的元素，比如二次函数图像的对称美。希望大家在今后的学习中，能够发现并欣赏这些美。"
"现在，让我们来看一下这些解答，大家一起来评析一下，哪些地方做得好，哪些地方需要改进。"
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我们将完成以下任务：
1.引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数y=ax^2的图像和性质。
"今天我们学习了二次函数y=ax^2的图像和性质。请同学们回顾一下，我们学到了哪些主要内容？"

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.2.2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质课件24

可以通过相同的平移方法得到．
【跟踪训练】
4.抛物线y=-3(x-5)2的对称轴是直线______,顶点坐标为_____,
有最___值为_____．
【解析】抛物线y=-3(x-5)2的对称轴是直线x=5,顶点坐标为
(5,0),有最大值为0．答案：x=5 (5,0) 大 0
5.函数y=-3(x+1)2,当x______时，函数值y随x的增大而减小；
2.在平面直角坐标系中,函数y=-x-1与 y 3 (x 1) 2 的图象大致
2
是(
)
【解析】选A.∵y=-x-1的图象过第二、三、四象限,y 3 (x 1) 2
2
的开口向下,顶点为点(1,0),∴同时符合上述条件的图象只有选项 A．
3.抛物线y=-10(x+9)2由y=-10x2向_________平移______个单位
(-1,0),对称轴为直线x=-1；………………………………4分 (3)因为函数y=6(x+1)2的图象开口向上,所以当x≥-1时,y随x的增大而增大；当x≤-1时,y随x的增大而减小.……………6分
【规律总结】
检验平移后函数关系式是否正确的方法
特殊点法：分别写出两函数的顶点坐标,观察它们的顶点是否也
则为y=a(x-h+m)2,向右平移m个单位则为y=a(x-h-m)2,简记为
“左加右减”．
【跟踪训练】
1.(2011·乐山中考)将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的
抛物线的关系式是( )(A)y=-(xຫໍສະໝຸດ 2)2(C)y=-(x-2)2
(B)y=-x2+2
(D)y=-x2-2
【解析】选A.抛物线y=a(x-h)2可以由y=ax2经过适当的平移得到, 自变量值加减左右移,函数值加减上下移．

华东版九年级数学下册第26章26.226.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质

3. 二次函数 y＝－5x2 的图象是一条抛物线，它的对称轴是 y 轴，顶点是 (0，0) ，开口方向
向下，
经过三、四象限，当 x 大而减小．
＞0
时，函数值随 x 的增
1 4. 已知二次函数 y＝ax 的图象经过点 A(－1，－ )． 2
2
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴m＝， 4
7 9 ， P 4 4代入
∴P 36 ＝ . 49
7 9 ，点坐标为 4 4，将点
y＝ax2 得 a
18. 已知二次函数 y＝ax2 的图象经过点(2，1)． (1)求二次函数 y＝ax2 的解析式； 3 (2)一次函数 y＝2x＋4 的图象与二次函数 y＝ax2 的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：△AOB 为直角三角形．
11. 如图所示的四个函数的图象分别对应的函数是 ①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则 a、b、 c、d 的大小关系为( A )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【解析】由二次函数 y＝ax2 的性质知：(1)抛物线 y ＝ax2 的开口大小由|a|决定，|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大；(2)开口方向由 a 决定，a>0 时，开口向上， a<0 时，开口向下，由以上结论知：a>b>0，d<c<0，故 a>b>c>d.
16. 已知函数 y＝(k－2)xk2－4k＋5 是关于 x 的二次函数，求： (1)满足条件的 k 的值； (2)当 k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点； (3)当 k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.2.1、二次函数y=ax2的图象与性质同步练习2

知能提升作业(二)(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2011·贺州中考)函数y=ax-2(a≠0)与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )2.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=5t2,则s与t的函数图象情况大致是( )(A)开口向下,且关于y轴对称(B)开口向上,且关于x轴对称(C)顶点是原点,且关于y轴对称(D)顶点是原点,且关于x轴对称3.(2012·内江中考)如图，正三角形ABC的边长为3 cm,动点P从点A出发，以每秒1 cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设运动的时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数图象大致是( )二、填空题(每小题4分,共12分)4.已知2n2y nx-=是二次函数，且有最大值，则n的值为______.5.一长方形的长为2x,宽为x,面积为S,则S与x之间的函数关系式为_________, 它们的图象在第____象限.6.(2011·茂名中考)给出下列命题：与抛物线y=x2的一个交点.命题1.点(1,1)是双曲线y=1x与抛物线y=2x2的一个交点．命题2.点(1,2)是双曲线y=2x与抛物线y=3x2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线y=3x…请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数)：__________．三、解答题(共26分)7.(8分)已知y=2a7(2a)x--是二次函数,且当x＞0时,y随x的增大而增大．(1)求a的值；(2)用描点法画出函数的图象(不要求作答)．8.(8分)如图，点P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点，点A的坐标为(3，0).(1)令点P的坐标为(x,y)，求△OPA的面积S与y的关系式；(2)S是y的什么函数？S是x的什么函数？【拓展延伸】9.(10分)某地拆迁,需要安置部分活动板房,如图(1)所示，板房一面的形状由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12 m,抛物线拱高为5.6 m.(1)在如图(2)所示的平面直角坐标系中，求抛物线所对应的函数关系式；(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m.请计算最多可安装几扇这样的窗户？答案解析1.【解析】选A.由于直线y=ax-2与y轴的交点为(0,-2),所以排除B，D.再分情况讨论当a＞0时,二次函数图象开口向上,一次函数的图象从左到右上升,故A 正确；当a＜0时,二次函数的图象开口向下,一次函数的图象从左到右下降,故C 不正确.2.【解析】选C.函数s=5t2,a=5＞0,顶点坐标为(0,0),∴抛物线开口向上,顶点为原点,对称轴为y轴．3.【解析】选C.①当点P在AB边上时：开始时，PC=AC；点P从A出发到PC⊥AB之前，PC的长度是越来越短的；当PC⊥AB时，PC的长度达到最短；然后PC 的长度越来越长，当P到达B点时，PC=BC=AC，这个时候PC的长度和开始时相等；因此，在运动的前3秒，它的图形是一个左右对称且开口向上的抛物线；②当点P在BC边上时：PC的长度是越来越短的，又y=PC2，所以它的图形是一个呈下降趋势的抛物线.综上所述，符合要求的图象是C.4.【解析】由题意知n2-2=2得n=〒2,由于二次函数有最大值,所以n<0.∴n=-2.答案:-25.【解析】由题意得,函数关系式为S=2x2(x>0),因为x>0,所以它们的图象在第一象限．答案：S=2x2(x>0) 一6.【解析】从已知得出点的横坐标都是1,纵坐标与反比例函数的k相同,与二次与抛物线y=nx2的一个交点.函数的a相同,得出点(1,n)是双曲线y=nx答案：点(1,n)是双曲线y=n与抛物线y=nx2的一个交点x7.【解析】(1)由已知,得a2-7=2且2-a≠0,解得a=〒3.又当x＞0时,y随x的增大而增大，∴2-a ＞0,即a ＜2.∴a=-3.(2)函数图象如图所示.8. 【解析】(1)过点P 作PB ⊥OA,则PB=|y|, ∵点P 是抛物线y=x 2上第一象限内的点，∴y ＞0，∴PB=y ，∴S=113PB OA y 3y(y 0)222=⨯⨯= ＞.(2)∵S=3y 2,∴S 是y 的正比例函数.∵y=x 2，∴S=233y x 22=，∴S 是x 的二次函数.9.【解析】(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=ax 2, 点B(6,-5.6)在抛物线的图象上,∴-5.6=36a, a=745-， ∴抛物线的关系式为y=27x 45-. (2)设窗户上边所在直线交抛物线于C ，D 两点，D 点坐标为(k,t)(k ＞0),已知窗户高1.6 m, ∴t=-5.6-(-1.6)=-4,-4=27k 45, k 1≈5.07,k 2≈-5.07(舍去),∴CD ≈5.07〓2=10.14(m).又设最多可安装n 扇窗户,∴1.5n+0.8(n+1)≤10.14,n ≤467115≈4. 答：最多可安装4扇这样的窗户.。

新华东师大版九年级数学下册《26章二次函数二次函数y=ax2的图象与性质》教案_0

教学设计方案一、教学内容分析本节课使用的教材是华东师大版九年级数学下册第26章第2节第一课时“26.2.1二次函数2ax y =的图象与性质”的内容。

在学习了一次函数、反比例函数图象与性质的基础上，学习二次函数2ax y =的图象和性质，为后面二次函数的一般形式c bx ax y ++=2的图象与性质打下基础。

本课时具体教学内容：教会学生怎样画二次函数2ax y =的图象，经历列表、描点、连线三个重要步骤的画图过程，让学生亲身体会二次函数的图象形状、特征。

根据自己的体会，总结图象的性质是本节课的重点。

二、教学对象分析九年级学生对函数图象描点已熟练掌握，但画一次函数时由多个点的位置观察出它是的图象是一条直线，于是两点确定一条直线就简化成只需描两个点。

对于反比例函数的图象是两支曲线，取点时根据对称性要取足够多有代表性的点。

而二次函数的图象是一条抛物线，学生在画之前是不知道的，有的即使知道也不一定画得标准，这对于自变量的取值的代表数据。

三、教学目标知识与技能1.掌握二次函数图象的画法及性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质2.能分清a 的符号不同，图象之间的区别和联系，如开口方向，开口大小，对称性，增减性即图象走势。

过程与方法通过对二次函数2ax y =的图象和性质的发现，提高学生分析、归纳的能力，体验数形结合思想的应用。

情感态度价值观引导学生全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示，学生动手画图，分析，激发学生学习数学的积极性。

四、教学重难点重点：在直角坐标系中正确画出二次函数的图象，能说出图象的基本特征。

难点：1.选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象；2.画出的曲线光滑、准确。

五、教学策略本节课主要是让学生能体会到二次函数图象的画法，由于学生对画直角坐标系及描点有一定的基础，为了节约时间，提前给每位学生准备了标准的直角坐标系网格图备用，在完成“第一步描点”时提供了便利，为本节课解决重难点问题争取时间。

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.2.1、二次函数y=ax2的图象与性质课件11

4
大于0,当x>0时,y值随x值的增大而增大；而反比例函数 y
1 的 x
图象的两个分支分别位于第一、三象限,当x>0时,y值随x值的增大而减小.
4.(2011·玉林中考)已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是( (A)第一、二、三象限 (C)第一、二、四象限 ) (B)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限
4 4
( (A)关于y轴对称,开口向上 (B)关于y轴对称,y随x的增大而增大 (C)关于y轴对称,y随x的增大而减小
)
(D)关于y轴对称,顶点是原点
【解析】选D.因为抛物线y=4x2, y 1 x 2 , y 1 x 2 都符合抛物线
4 4
的最简形式y=ax2,其对称轴是y轴,顶点是原点.
答案：2π
二次函数y=ax2的性质的应用【例2】(9分)已知函数y=(m+2)xm (1)求满足条件的m的值． (2)当m为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值
2+m-4
是关于x的二次函数．
时,y随x的增大而增大？
(3)当m为何值时,函数有最大值？最大值是多少？当x为何值
时,y随x的增大而减小？
… …
-3 4.5
-2 2
-1 0.5
0 0
1 0.5
2 2
3
…
4.5 …
1 y x2 2
… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 … … 18 -18 8 -8 2 -2 0 0 2 -2
-2 -4.5 … 8 -8 18 …
y=2x2 y=-2x2
-18 …
4.从上表可以看出函数y=2x2和y=-2x2，当x=-3或x=3时,|y|的值较大,在描点时要求y轴画得较长,这样画出的坐标系就不太协调, 因此可在描点时只描5个点.所以这四个函数在同一坐标系中画出的图象如下：

华师版九年级数学下册第二十六章26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质

夯实基础
【点拨】由于a＝－1，所以图象开口向下，且最高点是原点，所以函数的最大值为0.又因为图象开口向下，所以当x＜0时，y随x的增大而增大．【答案】D
夯实基础
*8.【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，
y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2
1．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必
经过点( A )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
夯实基础
2．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有 ( A) ①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数y ＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口向下；⑤它们的图象关于x轴对称． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
夯实基础
*4.【中考·山西】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥 (如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图 ②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象—— 抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在m(即最高点O到AB的距离为78 m)，跨径为 90 m(即AB＝90 m)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )
夯实基础
5．【中考·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋ a在同一坐标系中的大致图象可能是( D )
夯实基础
6．二次函数 y＝－115x2 的最大值是( D ) A．x＝－115 B．x＝0 C．y＝－115

华师大版数学九年级下册26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质

HS九(下) 教学课件
第26章二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
1. 二次函数y=ax2的图象与性质
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象
的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.
（难点）
新课引入
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
新课讲解
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
y
1.y＝x2是一条抛物线;
y=x2
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5 0 0.5
2
4.5 8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
思考1：从二次函数 y 1 x2, y x2 , y 2x2
于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点 D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
新课讲解
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？解：当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上.
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y 轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
新课讲解
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.

华东师大版九年级数学下册26.2-二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件

当x<0时，y随x取值的增大而增大.
1 2 2 y x , y 2 x 例2 在同一直角坐标系中，画出函数的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
y -4 -2 0 -3 -6 -9 2 4
0 0
1 -1
2 -4
3 -9… …ຫໍສະໝຸດ x议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． o x y=x2
yx
2
y ax
2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x
(-1,-1)
2
y ax
(1,-1)
2
(-2,-4)
(2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; o x

新华东师大版九年级数学下册《26章二次函数二次函数y=ax2的图象与性质》教案_7

第-课时二次函数y＝ax2的图象与性质【学习目标】1.通过例子认识二次函数的图像，并能画二次函数y＝ax2的图像，知道二次函数图象是一条抛物线.2.利用“形”的直观发现“数”的规律，探究二次函数y＝ax2的性质.3.掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用. 【学习重难点】二次函数y=ax2,a>0和a<0的图象和性质的异同.【学法指导】仔细阅读教材5—6页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.【自学互助】1.函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x＝______时，有最_____值是_________，当x>0时，y随x增大而_______；当x<0时，y随x增大而_______.2.请在直角坐标系中画出函数y＝x2 y＝2x2的图象．3.（1）列表，（2）描点，（3）连接（用光滑的曲线连接）观察二次函数y=ax2(a>0)的图像：总结：这两个二次函数的a都，对称轴都是，图象都有最（）点（填“高”或“低”），在对称轴左边，函数图像从左向右是逐渐，在对称轴的右边，函数图像从左向右是逐渐3.请在直角坐标系中画出函数y=-x2,y=-2x2(a<0)的图像观察总结：这两个二次函数的a都是对称轴都是，图像都有最（）点（填“高”或“低”）在对称轴左边，函数性质：在对称轴左边，函数图像从左向右是逐渐，即当x 时，函数值y随x的增大而，在对称轴的右边，函数图像从左向右是逐渐，即当x 时，函数值y随x的增大而；当x=0时，函数都取得值（填最大或最小）,是 .3.二次函数y＝ax2（a<0时）的图像和性质：①图象：，②开口方向：③顶点：④对称轴：，⑤最值当x= ，函数都取得值是.⑥增减性：x<0时，，x>0时，.【展示互导】归纳总结二次函数y＝ax2图像和性质：【质疑互究】比较第2课时和本节课的函数图像：1.抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于______对称，开口大小__________．但方向 .2.当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，｜a ｜越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a ｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜越小，抛物线的开口越________．【检测互评】1.抛物线223y x =-的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点坐标是，当____x 时，y 随x 的增大而增大.2.函数y ＝37 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________．3.若二次函数()21x m y -=的图象的开口方向向下，则m 的取值范围为 .4.两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）2y x =2y x =-A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值5.二次函数y=-x 2的图象上的两个点（x 1 y 1）,(x 2,y 2),设x 1＞x 2＞0,则y 1 y 2 . 6.已知y=mx 2mmx +,当m= 时，它的图像是开口向下的抛物线，当x时，y 随x 的增大而增大.增大7.若二次函数()23x m y -=在对称轴左边的图象上，y 随x 的而减小，则m 的取值范围为 .8.如图，① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________ 9.已知抛物线210k k y kx+-=中，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，求k 的值．【总结提升】 1.你达成本堂课预定的学习目标吗？；2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节未按老师的要求去做；3.学案上所呈现的学习方法是否掌握。

华东师大版九年级数学下册教案：26.2.1 二次函数y=ax2

26．2二次函数的图象与性质26．2.1二次函数y＝ax2的图象与性质知识与技能1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象．2．能够从图象上认识二次函数y＝ax2的性质．3．在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学习方法．过程与方法先画出y＝ax2的图象，然后观察图象并结合所列函数对应值表探究其性质，最后归纳整理使之得以概括整合．情感、态度与价值观1．在结合所列函数对应值表描点画二次函数图象的过程中渗透数形结合思想．2．在探究二次函数y＝ax2的性质活动中，体会通过探究得到发现的乐趣．重点二次函数y＝ax2的图象．难点从有关的图象中得出二次函数y＝ax2的性质．一、创设情境，导入新课问题1：我们已经学习了一次函数、正比例函数和反比例函数，在研究这些函数时，通常是按照怎样的顺序进行的？问题2：我们已经学习了一次函数、正比例函数和反比例函数，这些函数的图象分别是什么形状？二次函数的图象又会是怎样的形状？教师出示问题，引导学生按“概念——图象——性质——应用”的顺序．教师引出新课并板书课题．二、合作交流，探究新知探究(一)：1．用描点法画y＝x2的图象．(1)用描点法画图象通常有哪些步骤？列表、描点、连线．(2)列表时，应注意什么问题？自变量的取值：x …－3－2－10123…y＝x2……(3)描点时应以哪些数值作为点的坐标？(4)连线时应注意什么？教师出示问题，适时引导、点拨，然后由小组讨论解决．教师引导点拨：第(1)个问题描点法画图象的一般步骤：第一步，列表(表中给出自变量的值及其相对应的函数值)；第二步，描点；第三步，连线．第(2)个问题需要弄清：y ＝x 2中的自变量x 可以是任意实数．对问题(3)引导：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．2．思考与归纳让学生观察教师所画的图象，给出抛物线的概念．并说明：二次函数y ＝x 2的图象是一条抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．思考：(1)表格中的数据是否反映了一种规律？(2)观察图象，这条抛物线有什么特征？请把你的发现说出来．问题(4)连线时应注意：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连结起来．教师引导：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，验证一下这个点关于y 轴的对称点是否也在这条抛物线上，从而给出抛物线的对称轴、顶点等概念．学生观察、探究、交流、总结．跟踪练习：在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12x 2，y ＝2x 2的图象：让学生叙述画图步骤，教师与学生同步进行画图(两个图象用不同颜色的粉笔在同一坐标系中画出)．(1)画完图象后思考：函数y ＝12x 2、y ＝2x 2的图象与y ＝x 2的图象相比，有什么共同点和不同点？教师点拨：列表与连线特别注意：连线要用平滑的曲线，顶点处更要注意．学生与教师同步作图．共同点：开口方向相同——都向上，对称轴相同——都是y 轴，顶点相同——都在坐标原点．不同点：开口大小的程度不同．(2)猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由谁决定？二次函数的开口方向是由二次项系数a 决定，开口大小的程度与二次函数的二次项系数a (a ＞0)有关，a 越大，抛物线的开口反而越小．探究(二)：画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．共同点：开口方向都向下，都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：开口大小的程度不同．开口大小的程度与二次函数的二次项系数a (a ＜0)有关，a 越大，抛物线的开口越大．进一步探究：抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2有什么关系？由此猜想y ＝ax 2与y ＝－ax 2的关系．结论：(1)对称轴都是y 轴，顶点都是原点(其中一个是最高点，另一个是最低点)．(2)y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于y 轴对称．(3)开口方向与a 有关，当a ＞0时，抛物线的开口向上，当a ＜0时，抛物线的开口向下；开口大小的程度与二次函数的二次项系数|a |有关，|a |越大，抛物线的开口越小．教师引导学生通过观察、猜想、归纳得出结论．教师根据学生画图熟练程度和需要的时间，决定是否要求学生画出，可以根据实际情况而定．教师拿出课前准备的图象，学生观察、探究、归纳．三、运用新知，深化理解例1 已知函数y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y ＝ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k ＋2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2≠0，k 2＋k －4＝2，解得k ＝2或k ＝－3.所以当k ＝2或k ＝－3时，函数y ＝(k ＋2)xk 2＋k －4是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k ＋2＞0.由(1)知k ＝2，最低点是(0，0)，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．例 2 填空：①函数y ＝(－2x )2的图象是________，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．②函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，(0，0)，y 轴，向上；②根据抛物线y ＝ax 2中|a |与开口大小的关系来判断，上面最外面的抛物线为y ＝12x 2，中间为y ＝x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2.【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下．|a |越大，开口越小．例3 已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，－1)，求y ＝－4时x 的值．【分析】把点(1，－1)的坐标代入y ＝ax 2，求得a 的值，得到二次函数的表达式，再把y ＝－4代入已求得的表达式中，即可求得x 的值．解：∵点(1，－1)在抛物线y ＝ax 2上，－1＝a ·12，∴a ＝－1，∴抛物线为y ＝－x 2.当y ＝－4时，有－4＝－x 2，∴x ＝±2.【教学说明】在求y ＝ax 2的解析式时，往往只需一个条件代入即可求出a 值．四、课堂练习，巩固提高1．教材P7练习．2．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．本节课我们学习了哪些内容？2．画函数图象应注意哪些问题？3．对本节课你有什么困惑？说给同学听听．教师引导学生．同学谈谈自己的收获和疑惑．六、布置作业学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”．。

2015年春季新版华东师大版九年级数学下学期26.2.2、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质课件25

简记
y=a(x-h+m)2+k
左加
移动方向
向上平移
平移前的关系式
平移后的关系式
简记
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k+m
m(m>0)个单位
向下平移 m(m>0)个单位
上加
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k-m
下减
【跟踪训练】
1.(2012·兰州中考)抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平
y=-x2的图象？
提示：函数y=-(x-1)2+1的图象先沿直线x=1向下平移1个单位得
到函数y=-(x-1)2的图象，再沿x轴向左平移1个单位得到函数 y=-x2的图象，或先沿x轴向左平移1个单位得到函数y=-x2+1的图象，再沿直线x=1向下平移1个单位得到函数y=-x2的图象.
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移【例1】把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个
上平移__ 1 个单位得到的；向___
④函数y=(x-1)2+1的图象也可以看作是函数y=x2的图象沿x轴向右平移__ 1 个单位，再沿直线x=1向___ 上平移__ 1 个单位得到的； ___
1 ，y=(x-1)2+1的对称轴是x=__ 1 ； ⑤函数y=(x-1)2的对称轴是x=__
【规律总结】函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2的图象平移的规律可简记为：左加右减，上加下减.具体如下表：移动方向向左平移 y=a(x-h)2+k m(m>0)个单位向右平移 m(m>0)个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h-m)2+k 右减