第12章_1 联立方程估计与模拟

这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的异方差性， 方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未加权的系统参数的估计 值。如果方程组没有联立约束，该方法与加权单方程最小二乘法产生相同 的结果。 加权最小二乘法的估计值为： ˆ ˆ (12.11) bWLS ( X 'V 1 X ) 1 X 'V 1 y 其中
V E (uu) 2 I m IT
时，最小二乘法是非常有效的。 的估计值为：
bOLS ( X X ) 1 X y
估计值的协方差阵为：
(12.9)
var( bOLS ) s 2 ( X X ) 1
其中，s 2系统残差方差估计值。
(12.10)
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二、加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS)
系，而是相互依存、互为因果的，这时，就必须用一组方
程才能描述清楚。我们称这些经济现象为经济系统。
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经济系统并没有严格的空间概念。国民经济是一个系
统，一个地区的经济也是一个系统，甚至某一项经济活动也 是一个系统。例如我们进行商品购买决策，由于存在收入或 预算的制约，在决定是否购买某一种商品时，必须考虑到对 其他商品的需求与其他商品的价格，这样，不同商品的需求
当然也可以说明附加约束，例如有如下方程：
y=c(1)*x1+c(2)*x2+c(3)*x3 若希望使c(1)+c(2)+c(3)=1，则可以这样描述方程： y=c(1)*x1+c(2)*x2+(1-c(1)-c(2))*x3
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规则2
系统方程可以包含自回归误差项（注意不能有MA、
SAR或SMA误差项），每一个AR项必须伴随系数说明（用 方括号，等号，系数，逗号），例如： cs=c(1)+c(2)*gdp+[ar(1)=c(3), ar(2)=c(4)] 我们可以为每个方程赋予相同的AR系数值，使得系统
MM MM
(12.8)
这里，ij 是第i个方程和第j个方程的自相关矩阵。
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一、普通最小二乘法（Ordinary Least Squares , OLS）
这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的情况下，使 每个方程的残差平方和最小。如果没有这样的参数约束，这种方法和使用 单方程普通最小二乘法估计每个方程式是一样的。 在协方差阵被假定为
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§12.1 联立方程系统概述
迄今为止我们讨论的都是单一方程的经济计量模型。
单方程计量经济模型是用单一方程描述某一经济变量与影
响该变量变化的诸因素之间的数量关系。所以，它适用于 单一经济现象的研究，揭示其中的单向因果关系。但是， 经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多 情况下，不是单一方程所能描述的那样简单的单向因果关
虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方
法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定 了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如
果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但
如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数 估计就会“传播”给系统中的其它方程。
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这里，应该区分方程组系统和模型的差别。模型 是一组描述内生变量关系的已知方程组，给定了模型
值，但反过来又影响国内生产总值。所以就无法用一个方
程描述它们之间的关系，就需要建立一个由多个方程组成 的方程系统。
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例如，可以建立如下的模型：
log Ct 0 1 log Yt 2 log Ct 1 3 log rt 1 1t log I t 0 1 log Yt 2 log I t 1 3 log rt 2 2t Y C I G t t t t （12.1）
a11 B a12 B a1m B a B a B a B 22 2m A B 21 an1 B an 2 B anm B
显然，AB 是 npmq 阶矩阵，是分块矩阵，其第 (i , j) 块是aij B 。 18
其次，不同方程除了异方差还可能是同期相关的。我们定义M×M 的 同期相关矩阵，它的第i行第j列的元素ij = E(uit , ujt ) ，如果残差是同期 不相关的，若 i≠j，则ij = 0，如果残差是异方差且同期相关的，则V 可以
0 1 u1 X 2 0 2 u2 0 X M M u M 0
(12.3)
在标准假设下，分块系统残差的协方差阵为：
式中算子表示克罗内克积(Kronecker Product)，简称叉积[注]，有的模型残差
中所有方程得到相同的自回归项，或者分别为每个方程赋予
其自己的系数来估计每一个不同的自回归过程。 规则3 如果方程没有未知参数，则该方程就是恒等式，即定义 方程，系统中不应该含有这样的方程，如果必须有的话，应
该先解出恒等式将其代入行为方程。
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规则4
方程中的等号可以出现在方程的任意位置，例如： log(unemp/(1-unemp))=c(1)+c(2)*dmr 等号也可以不出现，只输入没有因变量的表达式，例如： (c(1)*x+c(2)*y+4)^2
当然也包含了工具变量和参数初值。
§12.2.1 建立方程组
使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统中
的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。例如， 含有两个方程的系统是这样的：
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这里使用了EViews缺省系数如c(1)、c(2)等等，当然可以使 用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单上
第十二章 联立方程模型的估计与模拟
本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括 最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归 法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘
法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法
FIML和广义矩法GMM等估计方法。 在估计了联立方程组的参数后就可以利用不同的解释 变量值对被解释变量进行模拟和预测。
中外生变量的信息就可以使用模型对内生变量求值。
系统和模型经常十分紧密地一起使用，估计了方 程组系统中的参数后可以创建一个模型，然后对系统 中的内生变量进行模拟和预测。
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§12.2 建立和说明系统
为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对象 并说明方程系统。单击Object/New Object/system或者在命令 窗口输入system，系统对象窗口就会出现，如果是第一次建 立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输入方程，
这里yi 是T 维向量，Xi 是T×ki 矩阵， i 是ki维的系数向量，i=1, 2,...,M，误差项u的协方差矩阵是 MT×MT 的方阵V。我们简单 的将其表示为： (12.4) y Xβ u
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y1 X 1 y 0 2 yM 0
f ( yt , xt , ) ut
(12.2)
这里 yt是一个内生变量向量，xt是外生变量向量，ut可以是 序列相关的扰动项向量。估计的任务是寻找参数向量 的 8 估计量。
§12.1.4 参数估计方法
EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是单方
程估计方法，使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方程 分别进行估计。第二类方法是系统估计方法，同时估计系统 方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数进 行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。
其中，前两个方程是行为方程，第三个方程表示国内生产总 值在假定进出口平衡的情况下，由居民消费、投资和政府消 费共同决定，是一个衡等方程，也称为定义方程。这就是一 个简单的描述宏观经济的联立方程模型。
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§12.1.2 变 量
在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量仍然
有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系统而言，
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§12.2.2 系统估计
创建和说明了系统后，单击工具条的 Estimate 键，出现系统
估计对话框，在弹出的对话框中选择估计方法和各个选项：
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§12.2.3 系统估计方法
EViews将利用下述方法估计方程组系统的参数。系统中方 程可以是线性的也可以是非线性的，还可以包含自回归误差项。 下面的讨论是以线性方程所组成的平衡系统为对象的，但是 这些分析也适合于包含非线性方程的系统。若一个系统，含有M 个方程，用分块矩阵形式表示如下：
V E (uu) 2 I M IT
(12.5)
方差的结构不满足标准假设。首先，不同方程的残差可能是异方差的，但是他
们不同期相关，
2 2 V diag ( 12 , 2 , , M ) I T
(12.6)
[注] 设A=(aij)nm , B=(bij)pq ，定义A与B的克罗内克积(简称叉积) 为
量之间是互相影响、互为因果的。那么，商品购买决策就是
一个经济系统。 联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一 些多元方法可以对系统进行估计，这些方法考虑到了方程之 间的相互依存关系。
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以一个由国内生产总值(除掉净出口)（Y）、居民消
费总额（C）、投资总额（I）、政府消费额（G）和短期
利率（r）等变量构成的简单的宏观经济系统为例，如果 政府消费额和短期利率由外部给定，并对系统内部其他变 量产生影响，就国内生产总值、居民消费和投资来讲，是 互相影响并互为因果。居民消费和投资取决于国内生产总
此时，EViews自动地把表达式等于隐含的误差项。
规则5
应该确信系统中所有扰动项之间没有衡等的联系，即应该
避免联立方程系统中某些方程的线性组合可能构成与某个方程 相同的形式。例如，方程组中每个方程只描述总体的一部分，