流体力学课后答案第七章
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1. 已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2,y xy u y 522+=。求在点(1,-1)处流体
微团的线变形速度,角变形速度和旋转角速度。
解:(1)线变形速度:y x x
u x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u y
y θ 角变形速度:()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度:()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222
121ω 将点(1,-1)代入可得流体微团的1=x θ,1=y θ;23/z =ε;21/z =ω
2.已知有旋流动的速度场为z y u x 32+=,x z u y 32+=,y x u z 32+=。试求旋转角速度,角变形速度和涡线方程。 解:旋转角速度:2
121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2
121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y
z ω 角变形速度:2521=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2
521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y ε 2
521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dx
ωωω==积分得涡线的方程为:
1c x y +=,2c x z +=
3.已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=,0=y u ,0=z u ,式中c 为常数,试求流
场的涡量及涡线方程。
解:流场的涡量为:
0=∂∂-∂∂=z
u y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=∂∂-∂∂=
Ω 22z
y cy y u x u x y
z +-=∂∂-∂∂=Ω 旋转角速度分别为:0=x ω
222z
y cz
y +=ω 222z y cy
z +-=ω 则涡线的方程为:c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰
可得涡线的方程为:c z y =+22
4.求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。(1)Ax u x =,0=y u ;(2)Ay u x =,0=y u ;(3)0=y u ,r A u =θ。其中A 为常数。
解:(1)由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。
在z =0的平面上速度分布为:
Ax u x =,0=y u
涡量分布为:0=z Ω
根据斯托克斯定理得:0==⎰z A z s dA ΩΓ
(2)涡量分布为:A z -=Ω
根据斯托克斯定理得:2b A dA z A z s πΩΓ-==⎰
(3)由于0=r u ,r A u =θ 则转化为直角坐标为:22b Ay y r A u x -=-=,2b
Ax u y =
则22b
A y u x u x y
z =∂∂-∂∂=Ω 根据斯托克斯定理得:A dA z A z s πΩΓ2==⎰
5.试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件?
答:不可压缩流体连续性方程 直角坐标:0=∂∂+∂∂+∂∂z
u y u x u z y x (1) 柱面坐标:0=∂∂+∂∂+∂∂+z
u r u r u r u z r r θθ (2) (1)0,,=-==z y x u ky u kx u 代入(1) 满足
(2)y x u x z u z y u z y x +=+=+=,, 代入(1) 满足
(3)0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x k u 代入(1) 不满足
(4)0,sin ,sin =-==z y x u xy k u xy k u 代入(1) 不满足
(5)0,,0===z r u kr u u θ 代入(2) 满足
(6)0,0,==-=z r u u r
k u θ 代入(2) 满足 (7)0,sin 2,cos sin 22=-==z r u r u r u θθθθ 代入(2) 满足
6.已知流场的速度分布为y x u x 2=,y u y 3-=,22z u z =。求(3,1,2)点上流体质
点的加速度。 解:y x y x x y xy y x z
u u y u u x u u t u a x z x y x x x x 22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y z u u y u u x u u t
u a y z y y y x y
y 9=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 38z z
u u y u u x u u t u a z z z y z x z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 将质点(3,1,2)代入a x 、a y 、a z 中分别得:
27=x a ,9=y a ,64=z a
7.已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x +-
=,2
22y x x u y +=。求0=t 时,在(1,1)点上流体质点的加速度。
解:
()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=2222222222222420222244y x y y x y x x y x y x y x y t y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时,()()
322223222222)(84y x y x x y x xy a x +--+-= 将(1,1)代入得3=x a
()()()22222222222224242240y x xy y x x y x x y x y x y t y u u x u u t u a y y y x y
y +-⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂= 当t=0时,将(1,1)代入得:1-=y a
8.设两平板之间的距离为2h ,平板长宽皆为无限大,如图所示。试用粘性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流的流速分布。
解:z 方向速度与时间无关,质量力:g f x -=
运动方程:z 方向:2210dx
u d z p υρ+∂∂-= x 方向:→∂∂--=x
p g ρ10 积分:)(z f gx p +-=ρ
∴p 对z 的偏导与x 无关,z 方向的运动方程可写为z p dy
u d ∂∂=μ122 积分:212
2
1C x C x z p u ++∂∂=μ 边界条件:h x ±=,0=u
得:01=C ,221h z
p C ∂∂-=μ ∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∂∂-=22)(12h x z p h u μ 9.沿倾斜平面均匀地流下的薄液层,试证明:(1)流层内的速度分布为()θμ
γsin y by u 222-=;(2)单位宽度上的流量为θμγsin 33b q =。 解:x 方向速度与时间无关,质量力θsin g f x =,θcos g f y -=
运动方程:x 方向:221sin 0dy
u d x p g υρθ+∂∂-= ① y 方向:y
p g ∂∂--=ρθ1cos 0 ②