高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修5(1)

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苏教版必修5高考题单元试卷：第1章解三角形1

苏教版必修5高考题单元试卷：第1章解三角形1一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）1.在△ABC中，a=15，b=10，sin A=√32，则sin B=()A. √55B. √53C. √35D. √332.在△ABC中，若，且，则△ABC是()A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形3.在△ABC中，若b=2asinB，则角A的值是()A. 30°B. 60°C. 30°或120°D. 30°或150°4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin2A+√3asinB=0，b=√3c，则ca的值为()A. 1B. √33C. √55D. √775.在△ABC中，sin2A−sin2C=(sinA−sinB)sinB，则角C等于()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66.在△ABC中，∠A，B，C的对边分别为a=3，b=4，c=√13，则∠C为()A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘7.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40米的基线AB，在点A处测得点P的仰角为30∘，在点B处测得点P的仰角为45∘，若，则建筑物OP的高度ℎ=()A. 20米B. 20√2米C. 20√3米D. 40米二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）8.在△ABC中，a=2，b=√2，B=π6，则A=_______．9.在△ABC中，若∠A=30°,∠B=105°,BC=√2，则AB=______．10.在ΔABC中，a=3,b=√6,A=2π3,则B=________．11.在△ABC中，A=45°，C=105°，a=√2，则b的长度______ ．12.在△ABC中，BC=1，B=60°，当△ABC的面积等于√3时，AC=______ ．13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=−14，a=6，△ABC的面积为3√15，则sin A的值等于______．14.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山高BC为_______m。

高中数学第1章解三角形综合检测苏教版必修5

第1章解三角形(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，a ＝2，则b ＝________. 【解析】由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2×2212＝2 2.【答案】 2 22．(2013·合肥高二检测)在▱ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.【解析】 AD ＝BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝462＋432－2×46×43×22＝4 3. 【答案】 4 33．(2013·九江高二检测)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.【解析】 ∵b sin B ＝csin C，∴sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵C ＞π2，∴B ＝π6.∴A ＝B ＝π6，∴a ＝b ＝1.【答案】 14．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则此三角形是________．【解析】设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，其中t ＞0. 由于a ＜b ＜c ，所以C 是最大角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14＜0，所以C 是钝角．【答案】钝角三角形5．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________．【解析】 c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝219.∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719. 【答案】57196．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【解析】 ∵S ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，∴a ＝42＋12－2×4×cos 60°＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2339.【答案】2339 7．(2013·厦门高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为________．【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，∴c ＝3，∴B 为最大角．∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－17.【答案】－178．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＝3，则△ABC 的面积为________．【解析】由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴3sin 60°＝bsin 45°，∴b ＝2，C ＝180°－60°－45°＝75°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 75°＝3＋34.【答案】3＋349．下面四个命题：①若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 必是等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 是直角三角形；③若cos A ·cos B ·cos C ＜0，则△ABC 是钝角三角形；④若cos(A －B )·cos(B－C )·cos(C －A )＝1，则△ABC 是等边三角形．其中正确的是________．(填序号)【解析】对于①，由sin 2A ＝sin 2B ，得2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，因此①不正确；对于②，假设A ＝120°，B ＝C ＝30°，符合sin A ＝cosB ，但此时三角形不是直角三角形，因此②不正确；对于③，由cos A ·cos B ·cosC ＜0可知cos A ，cos B ，cos C 中必有一个负值，两个正值，因此△ABC 必为钝角三角形，所以③正确；对于④，由cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1可知，只有满足cos(A －B )，cos(B －C )，cos(C －A )都等于1时，才有cos(A －B )·cos(B －C )·cos(C －A )＝1成立，所以A ＝B ＝C ，故此三角形为等边三角形，所以④正确．综上可知③④正确．【答案】 ③④10．(2013·镇江高二检测)已知△ABC 的三边长满足等式a 2－b －c2bc＝1，则A 的值为________．【解析】等式可化为a 2－(b 2＋c 2)＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°11．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为________．【解析】画出示意图如图． △ABC 中，AB ＝10，BC ＝53， ∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°，得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5. 【答案】 5海里12．(2013·苏州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )·cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.【解析】由题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∴cos A ＝33. 【答案】3313．如图1所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，则BD ＝________.图1【解析】在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， ∵AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， ∴sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，∵AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，∴BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝5×91022＝922.【答案】92214．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整．【解析】将A ＝60°看作已知条件，由2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°，由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，sin C ＝sin(45°＋30°) ＝2＋64，由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由asin A ＝bsin B，得sin A ＝32， ∴A ＝60°或120°，不合题意；若已知条件为c ＝2＋62，则 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴b ＝2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的条件为c ＝2＋62. 【答案】 c ＝2＋62二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A . 【解】 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)cos 45° ＝8，∴b ＝2 2.cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12， ∴A ＝60°.16．(本小题满分14分)(2013·泰州高二检测)在△ABC 中，已知AC ＝3，sin A ＋cos A ＝2，(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S ＝3，求BC 的值．【解】 (1)∵sin A ＋cos A ＝2，∴2sin(A ＋π4)＝ 2∴sin(A ＋π4)＝1，A ＝π4，∴sin A ＝22.(2)∵S ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×22AB ＝3，∴AB ＝22， ∴BC ＝32＋222－3×22×2×22＝ 5. 17．(本小题满分14分)如图2所示，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得点P 的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .图2【解】在Rt △AOP 中，AO ＝OP ·cot 30°＝3h . 又OP ⊥OB ，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ＝h . 在△ABO 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ，即202＝3h 2＋h 2－2·3h ·h cos 60°，即4h 2－3h 2＝202，∴h ＝204－3. ∴旗杆的高h 为204－3.18．(本小题满分16分)(2013·无锡高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，(1)求角C ；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0＜C ＜π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而a ＝b ＝3.所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.19．(本小题满分16分)(2013·临沂高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13，(1)求sin2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值．【解】 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223，cos 2A ＝－79，∴sin 2B ＋C2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos A2＋cos 2A ＝1＋132－79＝－19.(2)在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴3＝b 2＋c 2－23bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，∴3≥2bc －23bc ，即3≥43bc ，∴bc ≤94(b ＝c ＝32时取等号)，∴bc 的最大值为94.20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．【解】 (1)证明：∵AB →·AC →＝3BA →·BC →， ∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，∴sin B ·cos A ＝3sin A ·cos B . 又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3·sin Acos A，即tan B ＝3tan A . (2)∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ·tan B＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1，tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.。

苏教版数学高二必修五作业第一章《解三角形》章末检测

(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝ 3 ，B ＝60°，那么角A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22，又a <b ,∴A <B ，∴A ＝45°. 答案：45°2．在△ABC 中，已知(a ＋c )(a －c )＝b 2＋bc ，则A ＝________. 解析：a 2－c 2＝b 2＋bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°. 答案：120°3．(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C .若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．解析：如图所示，由∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，可得∠ACB ＝180°－75°－60°＝45，则由正弦定理可得AC sin ∠CBA ＝ABsin ∠ACB ，即得AC ＝AB sin ∠CBA sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.解析：∵三角形ABC 的面积为3，即12bc sin A ＝ 3.∴12×1×c ×sin60°＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－2×1×4×12＝13，a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案：23935．(2011·临沂高二检测)某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________千米．解析：作出示意图，如图由题意得∠ABC ＝30°，AB ＝x 千米， BC ＝3千米，AC ＝3千米，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x cos30°，即x 2－33x ＋6＝0. 解得x ＝23或x ＝ 3. 答案：3或2 36．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为________．解析：∵三边不等， ∴最大角大于60°.设最大角为α，故α对的边长为a ＋2， ∵sin α＝32，∴α＝120°. 由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a . 解得a ＝5. ∴三边长为3,5,7.∴S ＝12×3×5×sin120°＝1534.答案：15347．(2012·洛阳高二检测)在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为________三角形．解析：由正弦定理知：sin B ＝2sin A ，又∵B ＝2A ， ∴sin2A ＝2sin A . ∴2cos A ·sin A ＝2sin A . ∴cos A ＝22. ∴A ＝45°，B ＝90°.故△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角8．在△ABC 中，已知b ＝1，sin C ＝35，b cos C ＋c cos B ＝2，则AC ·BC ＝________. 解析：由余弦定理推论知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.∵b cos C ＋c cos B ＝2，∴a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2，∴a ＝2，即|BC |＝2. 又∵b ＝1，∴|AC |＝1.∵sin C ＝35，0°<C <180°，∴cos C ＝45或cos C ＝－45.∴AC ·BC ＝85或AC ·BC ＝－85. 答案：85或－859．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，即tan A ＝3，∴A ＝π3.又∵a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c ＝c sin C ， ∴sin C ＝1，∴C ＝π2.∴B ＝π6.答案：π610．(2011·北京高考)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝____.解析：因为在△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，代入数据解得a ＝210.答案：255210 11.如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．解析：由题可知，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，∴∠ABS ＝45°－15°＝30°，AS ＝1 000. 由正弦定理可知BS sin15°＝1 000sin30°，∴BS ＝2 000sin15°，∴BD ＝BS ·sin75°＝2 000sin15°cos15°＝1 000sin30°＝500，且DC ＝1 000sin30°＝500. ∴BC ＝DC ＋DB ＝1 000米答案：1 00012．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个实根，那么BC 边的长为________．解析：由已知可设最大边与最小边分别为b ，c ，则b ＋c ＝9，b ·c ＝323.因为A ＝60°，所以BC 既不是最大边也不是最小边，所以BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49，即BC ＝7. 答案：713．(2012·江西师大附中月考)在△ABC 中，∠A ＝60°，且角A 的角平分线AD 将BC 分成两段BD 、DC ，且BD ∶DC ＝2∶1，若AD ＝43，则C ＝________.解析：因为AD 是角A 的角平分线，所以AC ∶AB ＝CD ∶DB ＝1∶2，设AC ＝x ，则AB ＝2x .易知3S △ACD ＝S △ABC ，即3×12×43x ×sin30°＝12×2x 2sin60°，解得x ＝6，所以AB＝12.由余弦定理得BC ＝6 3.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以C ＝π2.答案：π214．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．解析：画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°， AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ，在△BCO 中，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，所以塔高为10米．答案：10米二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求c 及最大角的余弦值．解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3.∵b >a >c ，∴在△ABC 中，B 最大． ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋32－822×7×3＝－17.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B＝60°，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵角A ，B ，C 为三角形内角，且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝ 3.∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.17．(本小题满分14分)(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求ba ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sinA ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分16分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD ＝α， ∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°) ＝sin βcos60°－sin60°cos β ＝437·12＋32·17＝5314. 在△ACD 中，21sin60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin60°＝15(千米)．所以这人再走15千米就可到城A .19．(本小题满分16分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且 (sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )。

苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节测试题有答案

解三角形一、填空题：（每小题5分，共70分）1．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对的边长为8，那么30º角所对的边长是2．若三条线段的长分别为7，8，9；则用这三条线段组成三角形3．在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ，若1a =，b ∠A ＝30º；则△ABC 的面积是4．在三角形ABC中，若sin :sin :sin 2A B C =，则该三角形的最大内角等于5．锐角三角形中,边a,b是方程220x -+=的两根,且c =则角C =6. 钝角三角形ABC 的三边长为a ,a +1,a +2(a N ∈)，则a=7．∆ABC 中，(sin sin )(sin sin )(sin sin )a B C b C A c A B -+-+-=8. 在△ABC 中，若cos cos cos 222ab c ABC==，那么∆ABC 是三角形9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，cc b A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 10．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________11. 在∆ABC 中，若tan 2,tan A c b B b-=，则A= 12．海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60º的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75º的视角；则B 、C 间的距离是海里.13．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测得该渔轮在方位角45º、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是小时.14．已知ABC ∆中,,2,45a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围是二、解答题：（共80分）15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是a .b .c ；求证：22sin 2sin 22sin a B b A ab C +=.16.如图在ABC ∆中,32,1,cos 4AC BC C ===;(1)求AB 的值(2)求sin(2)A C +A B C17．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为2的军事基地C 和D 测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处和B 处,且30ADB ∠= 30BDC ∠= 60DCA ∠= 45ACB ∠= ,如图所示,求伊军这两支精锐部队的距离.18. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且222b c a bc +=+（1）求∠A 的大小；（2）若a =，3b c +=，求b 和c 的值.A D C B19. 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，；2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．20． ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积满足22()S c a b =--，且a + b=2,求面积S 的最大值一、填空题：1.锐角 3.424.1205.606.27.08.等边 9直角三角形 10. 等腰三角形11.60 12.23 14.2x << 二、解答题：15．证明：由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===；左边＝22222(2sin sin 22sin sin 2)2[(1cos2)sin 2(1cos2)sin 2]R A B B A R A B B A +=-+-＝222[sin 2sin 2(sin 2cos2cos2sin 2)]2[sin 2sin 2sin(22)]R B A B A B A R B A A B +-+=+-+＝28sin sin sin R A B C =右边＝28sin sin sin R A B C = 原题得证。

【数学】第一章《解三角形》测试1(苏教版必修5)

第1章解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R(sin 2A-sin 2C)＝(3a-b)sinB ．(1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos2c C ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是。

高中数学第1章解三角形章末综合检测(一) 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题

章末综合检测(一)[学生用书P79(单独成册)] (时间：120分钟，满分：160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b ＝______．解析：由正弦定理得asin 30°＝b sin 60°，故b ＝sin 60°sin 30°＝ 3.答案： 32．在三角形中，夹60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________．解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，所以a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝135°，则△ABC 的面积＝________．解析：由面积公式得，S △ABC ＝12×2×3×sin 135°＝322. 答案：3224．设l ，l ＋1，l ＋2是钝角三角形的三边长，则l 的取值X 围是__________．解析：因为l ，l ＋1，l ＋2是钝角三角形的三边长，所以l >0且l ＋2<l ＋(l ＋1)，所以l >1.设最长边所对的角为C ，由题意知cos C <0，即cos C ＝l 2＋（l ＋1）2－（l ＋2）22l （l ＋1）<0，所以 l 2－2l －32l （l ＋1）<0，即l 2－2l －3<0，－1<l <3，所以1<l <3. 答案：(1，3)5．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A ＝________．解析：在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2a sin B ＝3b ，所以2sin A sin B ＝3sin B .所以sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，所以A ＝π3.答案：π36．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积＝______．解析：因为c 2＝(a －b )2＋6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3327．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin B b，又因为a ＝52b ，A ＝2B ，所以sin 2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0，所以2cos B 52＝1，所以cos B ＝54.答案：548．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值X 围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°9．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为________．解析：根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b )·b 2R ，所以a 2－c 2＝(2a －b )b ，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab ，所以cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22.又因为C ∈(0°，180°)，所以C ＝45°. 答案：45°10．已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是________．解析：由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2－a 22bc＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，所以a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，所以(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )·c 2，所以a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形11．在△ABC 中，b ＝2，B ＝45°，若这样的三角形有两个，则边a 的取值X 围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＜a ，sin A ＝a sin B b ＜1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，]22a 2＜1⇒2＜a ＜22.答案：2＜a ＜2 212．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)，① ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)，② ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)，③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61213．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x，将其代入上式，得S △ABC ＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝ 128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 214．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α， ∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，所以BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC ，所以sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）. 又∠BDC ＝90°＋θ，所以sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ.所以cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又因为sin B ∶sin C ＝2∶3，所以b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)因为AB 边上的高为33，A ＝60°，作CD ⊥AB 于D ，则CD ＝h ＝3 3.在Rt △ACD 中，h b＝sin A ，所以b ＝h sin A ＝33sin 60°＝6.又b c ＝23，所以c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63，所以a ＝37.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5. 17．(本小题满分14分)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝AB ＝1，∠BAD ＝θ，且△BCD 为正三角形． (1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ的值．解：(1)△ABD 的面积S 1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，△BCD 的面积S 2＝34BD 2＝34(12＋12－2×1×1×cos θ)＝32(1－cos θ)，所以四边形ABCD 的面积S ＝S 1＋S 2＝12sin θ－32cos θ＋32＝32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3(0<θ<π)．(2)由S ＝32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3(0<θ<π)知，当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形ABCD 的面积S 最大，且最大值为1＋32.18．(本小题满分16分) 已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，在水平面上有一条公路为北偏西60°方向，公路上有一测量车在小山M 的正南方向点P 处，在点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，汽车沿公路向北偏西60°方向行驶了1003米后，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经计算tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，所以PM ＝1003，连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，又PQ ＝1003，所以△PQM 为等边三角形，所以QM ＝100 3. 在Rt △AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200.在Rt △BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，所以BQ ＝1005，cos θ＝55. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ ＝(1005)2，所以BA ＝100 5.即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 米．19．(本小题满分16分) 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ； (2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ），所以7sin(120°－x )＝5sin x ，整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2x ＋cos 2x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326. 所以sin ∠ADB ＝71326.(2)在△ABD 中利用正弦定理得，ABsin ∠ADB＝BDsin ∠BAD ，即1471326＝BD32，解得BD ＝239.在△BDC 中利用正弦定理得，BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD，即BCsin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°，所以BC ＝239×cos ∠ADBsin 135°＝239×392622＝3 2.20．(本小题满分16分)如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2.由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形，所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20，在△A 1B 2B 1中，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. 由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，所以B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．。

高中数学第1章解三角形过关检测苏教版必修5

高中数学第1章解三角形过关检测苏教版必修5(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2,即b2-6b+8=0,解得:b=2或4.又因为b<c,所以b=2.4.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.120°(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a+c2-b2=ac.又因为cos B=,所以B=30°.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)7.在△ABC中,若AB=2,AC=2,△ABC的面积为,则cos B=.S△ABC=AB·AC·sin A,∴sin A=,∴cos A=±.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos A,∴BC=2或BC=2.当BC=2时,B=A,∴cos B=cos 30°=.当BC=2时,由余弦定理cos B=.8.在△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=.b=2a,∴sin B=2sin A,∴sin(A+60°)=2sin A,∴sin A+cos A=2sin A,∴tan A=,∴A=30°.9.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则=,AC的取值范围为.().∵B=2A,BC=1,∴.∴=2.∵△ABC是锐角三角形,∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,∴30°<A<45°.从而<2cos A<,即<AC<.10.已知两座灯塔A,B与一岛C的距离都等于a km,灯塔A在岛C的北偏东20°,灯塔B在岛C 的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为km.,△ABC中,AC=BC=a km,∠ACB=120°,∴由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·=3a2,∴AB=a(km).三、解:答题(本大题共4小题,共50分)11.(本小题满分12分)(2016课标全国高考乙卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.(导学号51830087)解:(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,即2cos C sin(A+B)=sin C.故2sin C cos C=sin C.可得cos C=,所以C=.(2)由已知,ab sin C=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2ab cos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+.12.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin C=p sin B(p ∈R),且ac=b2.(1)当p=,b=1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围.解:(1)由已知及正弦定理,得解得:(2)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac-2ac cos B=p2b2-b2-b2cos B,即p2=cos B,∵0<cos B<1,∴p2∈.由题设知p>0,∴<p<,即p的取值范围是.13.(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向,距离12 n mile的海面上有一走私船正以10 n mile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜.缉私艇的速度为14 n mile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追.求追缉所需的时间和α角的正弦值.解:设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,则有AB=14x n mile,BC=10x n mile,∠ACB=120°.∴(14x)2=122+(10x)2-240x cos 120°,整理得,4x2-5x-6=0,∴x=2,AB=28 n mile,BC=20 n mile,在△ABC中,由正弦定理得,sin α=.答:追缉所需时间为2小时,α角的正弦值为.14.(本小题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cos B=,b=2,求△ABC的面积.(导学号51830088)由正弦定理,设=k,则,∴,∴(cos A-2cos C)sin B=cos B(2sin C-sin A),化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=2sin A.∴=2.(2)由=2,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B及cos B=,b=2,知4=a2+4a2-4a2×,∴a2=1.∴a=1,c=2.又∵cos B=,0<B<π,∴sin B=.∴S△ABC=ac sin B=×1×2×.。

2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修5章末测评1 解三角形

章末综合测评(一) 解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个A [由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A.π4或3π4 B.3π4 C.π4D.π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.]4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.53A [因为a sin A ＝b sinB ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.]5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6B [∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.]6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋22D ．2 3B [∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6. 又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.]7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D [由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)， ∴k >12.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A .在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，从而有sin A cos C＋cos A sin C＝sin C cos A，即sin A cos C＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos C＝0.由此得C＝π2，故△ABC为直角三角形．]9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A．2 2 B．8 2C. 2D.2 2C[∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8，∴sin C＝c8，∴S△ABC＝12ab sin C＝abc16＝16216＝ 2.]10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为()A.154 B.1534C.2134 D.3534B[∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝12×3×5×sin 120°＝153 4.]11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A.12小时 B ．1小时 C.32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66D [设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C .∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．a 2＋b 2<c 2 [∵cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ，且C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.]14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.2π3 [由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b . 又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.] 15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．2 (2，3) [设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．]16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________.4 [∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C (sin B cos A ＋cos B sin A )sin A sin B cos C ＝sin C sin (B ＋A )sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2ab a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4.] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .[解] (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． [解] (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)∵cos A ＝2cos 2A2－1， ∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?[解] 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． [解] (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；- 11 - (2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)[解] (1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1， ∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2，∴A ＝π6. (2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝2 2.∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。

【金版学案】高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修5

第1章解三角形(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：由余弦定理得AC 2＝32＋22－2×3×2cos π4⇒AC ＝ 5.再由正弦定理5sinπ4＝3sin∠BAC ⇒sin∠BAC ＝31010.答案：C2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，∴B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.答案：C3．△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( )A. 2 B ．2 2 C.3＋1 D.12(3＋1)解析：由正弦定理，得2si n 30°＝csin 45°，解得c ＝22，∴△ABC 的面积 S ＝12ac ×sin B ＝12×2×22×sin 105° ＝22(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋1.答案：C4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为( )A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sin α＝45，由三角形面积公式，得12ab ×45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D.答案：D5．(2013·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin(A ＋C )＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，∴B ＝π6.答案：A6．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19解析：AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos〈AB →，BC →〉＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－|AB →|·|BC→|·cos B ＝－|AB →|·|BC →|·|AB →|2＋|BC →|2－|AC →|22·|AB →|·|BC →|＝－49＋25－362＝－19.答案：D7．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于( )A.63B.62C.12D.32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝63. 答案：A8．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( ) A ．90° B．120° C．135° D．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B ＝52＋82－722×5×8＝12，∴B ＝60°，即最大角、最小角之和为A ＋C ＝180°－B ＝120°.答案：B9．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵A ＝60°，∴第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16， ∴a ＝4. 答案：C10．在某海域，一货轮航行到M 处，测得灯塔P 在货轮的北偏东15°并与灯塔P 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P 在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(6＋2) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(6＋3) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h解析：如右图，由题意可知，∠M ＝15°＋30°＝45°，∠N ＝60°＋45°＝105°，故知∠P ＝30°，由正弦定理，得20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10＋＝406＋2＝10(6－2)，故知速度为20(6－2) nmile/h.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，∴c ＝3，sin C＝＝223， ∴R ＝c 2 sin C ＝98 2.答案：98212．在△ABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C ＝30°，那么sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 的值是________．解析：sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12R ×(a 2＋b 2－2ab cos C )＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12R ×c 2＝sin 2C ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12＝14. 答案：1413．三角形的一边为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另外两边分别为8x 、5x ，由余弦定理，得cos 60°＝64x 2＋25x 2－1422×5x ×8x ，解得x 2＝4，S △ABC ＝12×8×5x 2×sin 60°＝40 3.答案：40314．(2013·安徽卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，且3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B ⇒3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ⇒b ＝35a ，c ＝75a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案：2π3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)15．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3.(1)求△ABC 的面积；解析：(1)cos A ＝2cos 2A2－1＝2×2⎛⎫⎪⎝⎭5－1＝35，∴sin A ＝45，AB →·AC →＝bc ×35＝3.∴bc ＝5.故面积S ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)若c ＝1，求a 的值．解析：(2)由bc ＝5和c ＝1得b ＝5， ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋1－2×5×1×35＝2 5.16．(12分)在锐角三角形中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos A ＝55，sin B ＝31010.(1)求角C ；解析：(1)∵A ，B ，C 为锐角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝1010.∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝22， ∴C ＝π4.(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解析：(2)由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin Csin A ＝4×22255＝10，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×10×31010＝6.17.(14分)在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3.(1)求C ；解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，∴m·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C .又m·n ＝|m|·|n |cos π3＝cos π3＝12，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)已知c ＝3，三角形面积S ＝433，求a ＋b .解析：( (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝3，∴9＝a 2＋b 2－ab ，由S ＝12ab sin C ＝34ab ＝433，得ab ＝163，从而(a ＋b )2＝9＋3ab ＝25，∴a ＋b ＝5.18．(14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解析：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，∴AC ＝352si n 30°＝354.∴船与灯塔间的距离为354n mile.19.(14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由A ＋B ＋C ＝π，得cos B ＝－cos(A ＋C )，于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1⇒sin A sin C ＝12，①由a ＝2c 得sin A ＝2sin C ，②由①②得sin C ＝12，又a ＝2c ＞c ，∴C ＝π6.20．(14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝223.(1)求tan 2B ＋C 2＋sin 2 A 2的值；解析：(1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝223，得cos A ＝13，∴tan 2B ＋C 2＋sin 2 A 2＝sin 2 B ＋C 2cos2B ＋C 2＋sin 2 A 2.＝1－cos B ＋C 1＋cos B ＋C ＋12(1－cos A ) ＝1＋cos A 1－cos A ＋12(1－cos A ) ＝1＋131－13＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝73.(2)若a ＝2，S △ABC ＝2，求b 的值．解析：(2)因为S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·223＝2，则bc ＝3.将a ＝2，cos A ＝13，c ＝3b 代入a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 4－6b 2＋9＝0，解得b ＝ 3.。

苏教版数学必修5解三角形检测题

苏教版数学必修5解三角形检测题苏教版数学必修五第一章解三角形试题一、填空1．（2021上海文）在?abc中,若sina?sinb?sinc,则?abc的形状是222a．钝角三角形.b．直角三角形.c．锐角三角形.d．不能确定.2.（2022粤语）（在“ABC”中，如果“a”60、“B”45、“BC”32，那么“AC”？3（2021湖北理）设△abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.若(a?b?c)(a?b?c)?ab,则角c？____;。

4．（2021陕西理）在?abc中,角a,b,c所对边长分别为a,b,c,若a?b?2c,则cosc的最小值为222cosc?5（．2021重庆文））设△abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c,且a=1，b=2，6．（2021陕西文）在三角形abc中,角a,b,c所对应的长分别为a,b,c,若a=2,b=7．（2021福建文）在?abc中,已知?bac?60?,?abc?45?,bc?8．（2021北京文）在△abc中,若a?3,b?1,则sinb?____4, C=23，然后B=63，然后AC___3,?a??3,则?c的大小为___________.9.（2022年重庆工程学院）？ABC的内角a、B和C的对边分别是a、B和C，以及cosa？35，cosb？，B3，然后是C_________________10（2021天津理）在?abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,c=2b,则cosc?11．（2021年高考（福建理））已知?abc得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.1，然后是B？_______;412.（2022年高考（北京理科））年△ 美国广播公司，如果是？2，b？C7，cosb？？13.（2022湖南）年△ ABC，AC=7，BC=2，B=60°，那么BC边缘的高度等于14．（2021湖北文）设?abc的内角a,b,c,所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A.Bc、 3b？20acosa，然后是Sina:SINB:sinc二、解答题15.（2022年浙江文本）△ ABC，内角a、B和C的对边分别是a、B和C，bsina=3acosb（1）求出角B的大小；（2）如果B=3，sinc=2sina，求a和C的值16．（2021天津文）在?abc中,内角a,b,c所对的分别是a,b,c.已知a?2,c?2,cosa??2.4(i)求sinc和b的值;(ii)求cos(2a?3）价值117.（2022年山东省高考）△ ABC，内角a、B和C的对边分别是a、B和C。

苏教版高中数学必修五第一章《解三角形》综合测试题(教师版)

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作一、填空题1．在△ ABC 中， A ＝ 45°， B ＝ 60°， a ＝ 10，则 b ＝ ________.a ＝b 得， b ＝ asinB 10sin60 ° 6.5 6＝＝ 5[分析 ] 由sinA sinB sinA sin45 ° 2．在△ ABC 中，若 △12＋ b 2 －c 2)，那么角 C ＝ ________.S ABC ＝4( a π 依据三角形面积公式得，1 1[分析 ] S ＝ absinC ＝ (a 2＋ b 2－ c 2)，4 2 4∴ sinC ＝ a 2＋ b 2－ c 2cosC ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .又由余弦定理： 2ab ，π∴ sinC ＝cosC ，∴ C ＝ .43．在△ ABC 中， a ＝6， B ＝30°， C ＝ 120 °，则△ ABC 的面积是 ________ ．9 3[分析 ] 由条件易得 A ＝ B ＝ 30°，所以 b ＝ a ＝6，S ＝ 1absinC ＝ 1× 6× 6×2 23＝9 3.24. 轮船 A 和轮船 B 在正午 12 时同时走开海港 C ，两船航行方向的夹角为 120 °，两船的航行速度分别为 25 n mile/h ， 15 n mile/h ，则下午 2 时两船之间的距离是 ________n mile.70 [分析 ] d 2＝ 502＋ 302 －2× 50× 30× cos120°＝ 4 900，所以 d ＝ 70，即两船相距 70 n mile.5．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ，c ，若 sinA ＝ 3sinC ，B ＝ 30°， b ＝2，则△ ABC 的面积是 ________．sinA ＝ a ＝2223? a3? a ＝3c ， cosB ＝ a＋ c － b＝3 [ 分析 ] 由 sinA ＝ 3sinC ，得 sinC c2ac 2＝ 213， c ＝ 2，所以 S △ ABC ＝ acsinB ＝ 3.25，sinB ＝ 3，则 cosC 的值为 ________．6．在△ ABC 中，已知 cosA ＝ 13516 [分析 ] 由已知可得 sinA ＝ 12， sinA>sin B ，因为在△ ABC 中，由 sinA>sinB? A>B65 13知角 B 为锐角，故 cosB ＝ 4，57. 在一个塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为 θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为 2θ，再向塔底行进 10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为 ________ m. [分析 ] 如图，依题意有 PB ＝ BA ＝ 30，PC ＝BC ＝ 10 3，在△ BPC 中由余弦定理可得 cos2θ＝ 10 3 2＋302－ 10 3 2 3，所以 2θ＝ 30°，4θ＝60°，在△ PCD 中，可得 PD ＝PCsin60 °＝ 2 2× 10 3× 30＝10 3×3＝ 15(m) ．2图 88．如图 8，已知 A ， B 两点的距离为 100 n mile ， B 在 A 的北偏东 30°方向，甲船自 A 以 50 n mile/h 的速度向 B 航行，同时乙船自 B 以 30 n mile/h 的速度沿方向角 150 °方向航行，航行 ________ h ，两船之间的距离最小． 6549[ 分析 ] 设经过 x h ，两船之间的距离最小，由余弦定理得S 2＝ (100－ 50x)2＋ (30x)2－ 2·30x(100 －50x) ·cos60° ＝ 4 900x 2 －13 000x ＋ 10 0002 130 ＝ 4 900 x －49 x ＋10 000267 500＝ 4 900 x － 49 ＋ 49 ，65所以当 x ＝ 65时， S 2 最小，进而两船之间的距离最小．499．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α、β的关系为 ________．α＝ β [ 分析 ] 如下图，从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视野均为 AB ，而 α，β同为 AB 与水平线所成的角，所以 α＝ β.10．一船自西向东匀速航行，上午10 时抵达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 n mile 的 M 处，下午 2 时抵达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 n mile/h.17 6 [分析 ] 如下图，在△ PMN 中，PM＝ MN ，2sin45 °sin120 °∴ MN ＝ 68× 3＝ 34 6，2 ∴ v ＝MN＝17 6(n mile/h) ． 42图 1111．如下图，要丈量河对岸A、B 两点间的距离，今沿河岸选用相距两点，测得∠ ACB ＝ 60°，∠ BCD＝ 45°，∠ ADB＝ 60°，∠ ADC ＝ 30°，则40 m 的 C、DA、 B 间的距离是________ m.206[分析 ]由已知可知△BDC为等腰直角三角形，∴ DB ＝ 40 m.由∠ ACB＝ 60°和∠ ADB ＝ 60°知A、B、C、D四点共圆，所以∠ BAD ＝∠ BCD ＝ 45°.在△ BDA 中，由正弦定理可得BD·sin60 °AB＝＝20 6.sin45 °12．某海岛四周航行 30 n mile “有”或“无”38 n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，后测得此岛在东北方向．若不改变航向，则此船________触礁的危险 (填)．无 [ 分析 ] 由题意，在△ ABC 中， AB＝ 30，∠ BAC＝ 30°，∠ ABC＝ 135°，∴∠ ACB＝ 15°，由正弦定理AB·sin ∠ BAC ＝30 ·sin30 ＝° 15＝ 15( 6＋ 2)．BC ＝sin15 6－ 2 sin ∠ ACB ° 4在 Rt △ BDC 中，∠ CBD ＝45°， CD ＝ BCsin ∠ CBD ＝15( 3＋ 1)>38，故无触礁危险．13．在△ ABC 中，若 AB ＝AC ，则 cosA ＋cosB ＋ cosC 的取值范围为 ________．3 [ 分析 ] 因为 AB ＝AC ，所以 b ＝ c ，由余弦定理得1， 2b 2＋c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 1 a a ＋ 1＝－ 1 a3，因为cosA ＋cosB ＋ cosC ＝＋ 2· ＝－ 2 b2＋2 b －1 2＋2bc 2ac b 2b ＋ c>a ，即 2b>a ，所以 0< a <2，于是 1<－ 1 a － 1 2＋ 3≤ 3.b 2 b 2 214．在三角形 ABC 中， A ， B ， C 是其三个内角，内角 A ， B ， C 对边的边长分别是 a ， b ，πc ，c ＝ 2， C ＝ 3，记 m ＝ (sinC ＋ sin(B － A)， 2)， n ＝ (sin2A,1)，若 m 与 n 共线，则△ ABC 的面积为 ________．2 3. [ 分析 ] ∵m 与 n 共线，∴ sinC ＋ sin(B － A)－ 2sin2A ＝ 0，3 sin(A ＋ B)－ sin(A － B)＝ 4sinAcosA ，即 sinBcosA ＝ 2sinAcosA.当 cosA ＝ 0 π π 4 3 ， b ＝ 2 3 1 absinC ＝时， A ＝， B ＝， a ＝ 3 3 ， S ＝ 2 6 2 当 cosA ≠ 0 时，得 sinB ＝ 2sinA ，由正弦定理得 b ＝ 2a.由 c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcosC 得 4＝ a 2＋ b 2－ ab ，a 2＋b 2－ ab ＝ 4，联立方程b ＝2a. 解得 a ＝2 3， b ＝4 312 33 3 .S ＝2absinC ＝ 3 .2 3所以△ ABC 的面积为 S ＝.3二、解答题2 33 .π 1 15． (14 分 )在△ ABC 中， C－ A＝2， sinB＝3.(1)求 sinA 的值；(2)设 AC＝6，求△ ABC 的面积．π[解答 ] (1) 由 C－ A＝和 A＋ B＋ C＝π，2ππ得 2A＝－ B,0< A<.24故 cos2A＝ sinB，即 1－ 2sin2A＝1 3，3sinA＝3 .6(2)由 (1) 得 cosA＝3 .又由正弦定理，得BC＝AC，sinAsinA sinBBC＝sinB·AC＝ 32，11所以 S ABC＝AC·BC·sinC＝ AC ·BC·cosA＝ 3 2.△2216.（ 14 分）如图 16，某河段的两岸可视为平行，为了丈量该河段的宽度，在河的一边选用两点 A、 B，察看对岸的点 C，测得∠ CAB＝ 75°，∠ CBA＝ 45°，且 AB＝ 100 m.(1)求 sin75 ；°(2)求该河段的宽度．图 16[解答 ] (1)sin75＝ sin(30°＋°45°)＝ sin30 cos45° °＋ cos30 °sin45 °＝1×2＋3×6＋ 2 2＝4.2222(2)∵∠ CAB＝ 75°，∠ CBA＝ 45°，∴∠ ACB＝ 180°－∠ CAB－∠ CBA＝60°，由正弦定理得：AB＝BCsin ∠ ACB sin ∠ CAB.∴ BC ＝ ABsin75 °.sin60 °如图过点 B 作 BD 垂直于对岸，垂足为 D ，则 BD 的长就是该河段的宽度．在 Rt △ BDC 中，∵∠ BCD ＝∠ CBA ＝ 45°， sin ∠BCD ＝BD，BC∴ BD ＝ BCsin45 °＝ ABsin75 ° sin60 ·sin45°＝25 6＋ 2 3 ＝ 50 3＋ 3 (m)．336＋ 2100×4× 2，＝°3 2 217． (15)在△ ABC 中， a 、 b 、 c 分别为内角 A 、B 、C 的对边，且 2asinA ＝(2b ＋ c)sinB ＋ (2c ＋ b)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sinB ＋ sinC ＝ 1，试判断△ ABC 的形状． [解答 ] (1) 由已知，依据正弦定理得2a 2＝ (2b ＋ c)b ＋ (2c ＋ b) c. 即 a 2＝ b 2＋ c 2＋ bc.由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故 cosA ＝－ 1， A ＝120°. 2(2)由 (1) 得 sin 2A ＝ sin 2B ＋ sin 2C ＋sinBsinC ＝ 3.4又 sinB ＋ sinC ＝ 1，得 sinBsinC ＝14，解得 sinB ＝ sinC ＝ 12.因为 A ＝ 120°，所以 0°＜ B ＜ 60°， 0°＜ C ＜60°，故 B ＝ C ＝30°.所以△ ABC 是等腰钝角三角形．18． (5 分 )如图 18，在一条海防戒备线上的点 A 、 B 、 C 处各有一个水声监测点， B 、 C 两点到点 A 的距离分别为 20 km 和 50 km. 某时辰， B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号， 8 s 后离为 A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的流传速度是 x km ，用 x 表示 B ，C 到 P 的距离，并求 x 的值；1.5 km/s.设A 到P 的距图 18[解答 ] 依题意，有 PA ＝ PC ＝ x ， PB ＝ x －×8＝ x － 12. 在△ PAB 中， AB ＝ 20，cos ∠ PAB ＝ PA 2＋ AB 2－ PB 2 x 2＋ 202－ x － 12 2 3x ＋ 32.2PA ·AB ＝ 2x ·20 ＝ 5x在△ PAC 中， AC ＝ 50，2 2 2 2 2 2 25，cos ∠ PAC ＝ PA ＋AC －PC ＝ x ＋ 50 － x ＝2PA ·AC 2x ·50 x∴3x ＋32＝ 25，解之得 x ＝ 31.5xx 故 PC ＝ x ，PB ＝x －＝ 31.19． (16 分)在△ ABC 中，已知角 A ，B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 (a ＋ b ＋ c)( b ＋ c － a)＝ 3bc.(1)求 A ；(2)若 B － C ＝ 90°， c ＝4，求 b.(结果用根式表示 )[解答 ] (1) 由条件，得 ( b ＋ c)2－ a 2＝ 3bc ，即 b 2＋c 2－ a 2＝ bc ，∴ cosA ＝ b 2＋ c 2－ a 2 12bc ＝ .2 ∵ 0°<A<180°，∴ A ＝60°.B ＋C ＝ 120 °，得 B ＝ 105°， C ＝ 15°.(2)由B －C ＝ 90°由正弦定理得 b ＝ 4 ，即 b ＝ 4sin105 °sin105 sin15 ，°sin15 ° °∴ b ＝ 4tan75 °，∵ tan75 °＝ tan(45 °＋ 30°)＝ 1＋ tan30 °3，＝ 2＋1－ tan30 °∴ b ＝ 8＋ 4 3.20．(16 分 ) 已知 a ，b ，c 分别为△ ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边，且 acosC ＋ccosA ＝ 2bcosB.(1)求角 B 的大小；(2)求 sinA ＋ sinC 的取值范围．[解答 ] (1) 方法一：由 acosC ＋ccosA ＝ 2bcosB 及余弦定理，得a × a 2 ＋b 2 －c 2 ＋c × b 2＋ c 2－ a 2 a 2＋ c 2－ b 2 2ab ＝ 2b × 2ac .2bc 化简，得 a 2＋ c 2－ b 2＝ ac ，a 2＋ c 2－b 2 1所以 cosB ＝ 2ac ＝ 2，π因为 B ∈ (0， π)，所以 B ＝3.方法二：由 acosC ＋ ccosA ＝2bcosB 及正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝ 2sinBcosB ，即 sin(A ＋ C)＝2sinBcosB ，因为 A ＋ B ＋C ＝ π，所以 sin(A ＋ C)＝sinB ≠ 0，1 所以 cosB ＝ 2.π因为 B ∈ (0， π)，所以 B ＝3.2π (2)sin A ＋ sinC ＝ sinA ＋ sin 3 －A33＝ 2sinA ＋ 2 cosA＝ 3sin A ＋ π，6 因为 0<A< 2π π π 5π3 ，所以 <A ＋ < ，6 6 6 1 π所以 2<sin A ＋ 6 ≤ 1，所以 sinA ＋sinC 的范围是3， 3.2苏教版高中数学必修五第一章《解三角形》综合测试题(教师版)11 / 11。

高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修5

【金版学案】2016-2017学年高中数学第1章解三角形章末过关检测卷苏教版必修5(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求))(等于B 则°，30＝A ，34＝b ，4＝a ，中ABC △已知．1 A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° .°120或°60＝B 所以，b <a 又.32＝43×124＝B sin 得，b sin B ＝a sin A 由解析：答案：D)(则最大角的余弦是，1314＝C cos ，8＝b ，7＝a 若，中ABC △在．2 18．－D 17．－C 16．－B 15－．A ，3＝c 得，13142×7×8×－28＋27＝2c 由解析： .17＝－72＋32－822×7×3＝B cos ，是最大角B 所以答案：C3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) 53D. 53－．C 23B. 53．±A ，20sin B ＝15sin 30°所以，b sin B ＝a sin A 因为解析：，有两解B 故，A >B 所以，a >b 因为.23＝B sin 解得 .53±＝B cos 所以答案：A4．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝)(＝b 则，c <b 且，32＝A cos ，32 32 D.．C 22．3 B ．A ＝b 所以，c <b 又4.或2＝b 解得，b 6－12＋2b ＝4得，A cos bc 2－2c ＋2b ＝2a 由解析：2.答案：C且这个三角形的面积为，35这两边夹角的余弦值为，2三角形的两边之差是已知．514，那么这两边的长分别为() A ．3，5 B ．4，6 C ．6，8 D ．5，7由三角，45＝αsin ，可知35＝αcos 由，α夹角为，b ，a 设三角形的两边为解析： D.观察选项知选，35＝ab 得，14＝45·ab 12得，形面积公式答案：D6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cos C ＋c sin )(＝B 则，b ＞a 且，b 12＝A cos B 5π6D. 2π3C. π3B. π6A. 解析：由正弦定理得，，B sin 12＝A cos B sinC sin ＋C cos B sin A sin ，12＝)C ＋A (sin ⇒12＝C sin A cos ＋C cos A sin 即 .π6＝B 所以，b ＞a 又，12＝B sin 亦即答案：A7．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于() 32D. 12C. 62B. 63A. ＝b sin B由正弦定理，最短b 边，最长a 故边，°75＝A 由大边对大角知解析：.63＝b 得，csin C 答案：A) (等于B cos 则，B 2＝A ，b 52＝a 若，中ABC △在．8 56D. 55C. 54B. 53A. 可化为b 52＝a 所以，sin Asin B ＝a b 由正弦定理得解析：sin A sin B .52＝，52＝sin 2B sin B 所以，B 2＝A 又 .54＝B cos 所以答案：B tan，A tan (＝n ，)2b ，2a (＝m ，c ，b ，a 的对边分别为C ，B ，A 角，中ABC △在．9B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是() A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形＝sin B sin A所以，tan B tan A ＝sin2B sin2A 结合正弦定理有，A tan 2b ＝B tan 2a 得：n ∥m 由解析：，cos A cos B 所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.是等腰或直角三角形．ABC △即，π2＝B ＋A 或B ＝A 所以答案：D，的两个根0＝11＋x 7－2x 且最大边长和最小边长是方程°，60＝A ，中ABC △在．10则第三边的长为()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为A ＝60°，所以第三边即为a .又b ＋c ＝7，bc ＝11，×3－27＝c b 3－2)c ＋b (＝A cos bc 2－2c ＋2b ＝2a 所以 11＝16.所以a ＝4.答案：C 11．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解，bsin B ＝a sin A 因为，中A 解析：，1＝16×sin 30°8＝B sin 所以所以B ＝90°，即只有一解；，b ＞c 且，539＝20sin 60°18＝C sin 因为，中B 所以C ＞B ，故有两解；C 中，因为A ＝90°，a ＝5，c ＝2，D.用排除法应选，都不正确C 、B 、A 即有解．故，21＝25－4＝a2－c2＝b 所以答案：D12．(2015·湖北卷)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝______m.6200．D 6120．C 6100．100 B ．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. ．)m ( 2300＝BC 得BC sin 30°＝600sin 45°由，m 600 ＝AB 又．)m (6100＝33×2300°＝tan 30·BC ＝CD ，中BCD △Rt 在答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)则，13＝C cos ，3＝b ，2＝a 且，的对边C ，B ，A 分别是角c ，b ，a ，中ABC △在．13其外接圆半径为________．，9＝13×32×2×－9＋4＝C cos ab 2－2b ＋2a ＝2c 因为解析： .223＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ＝C sin ，3＝c 所以 .298＝c 2sin C ＝R 所以 298答案：．________＝sin 2A sin C 则，6＝c ，5＝b ，4＝a ，中ABC △在)北京卷(2015·．14 ＝b ，4＝a 因为，b2＋c2－a22bc ＝A cos 由余弦定理得，a c ＝sin A sin C 由正弦定理得解析：5，c ＝6，1.＝52＋62－422×5×6×462×＝A cos ·sin A sin C 2·＝2sin Acos A sin C ＝sin 2A sin C 所以答案：115．(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C．________＝c 则，B sin 2＝A 3sin ，14＝－解析：因为 3sin A ＝2sin B ，所以 3a ＝2b .又a ＝2，所以 b ＝3.4.＝c 得，16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142×2×3×－23＋22＝C cos ab 2－2b ＋2a ＝2c 由答案：4的面积为ABC ，△时π6＝A 当，A tan ＝AC →·AB →已知，中ABC △在)山东卷(2014·．16________．的面积ABC △所以，23＝|AC →||AB →|π6tan ＝π6|cos AC →||AB →|由题意得，π6＝A 已知解析：·|AC →||AB →|12＝S .16＝12×23×12＝π6sin 16答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(2015·课标全国Ⅱ卷)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .；sin B sin C 求(1) (2)若∠BAC ＝60°，求B .解：(1)由正弦定理，得AD sin B.DC sin∠CAD ＝AD sin C ，BD sin∠BAD ＝因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，.12＝DC BD ＝sin B sin C 所以 (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，.B sin 12＋B cos 32＝)B ∠＋BAC (∠sin ＝C sin 所以，33＝B tan 所以，C sin ＝B sin 2知(1)由所以B ＝30°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝.35＝B cos ，2 (1)若b ＝4，求sin A 的值；的值．c ，b 求，4＝ABC △S 的面积ABC △若(2) ，<πB 0<且，>035＝B cos 因为(1)解： .45＝1－cos2B ＝B sin 所以，b sin B ＝a sin A 由正弦定理得 .25＝2×454＝asin B b ＝A sin ，4＝B sin ac 12＝ABC △S因为(2) 5.＝c 所以，4＝45·c ·2×12所以 .17＝b 所以，17＝35×52×2×－25＋22＝B cos ac 2－2c ＋2a ＝2b 由余弦定理得 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向.n ∥m 且，⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos2B 2－1＝n ，)3－，B sin (2＝m 量 (1)求锐角B 的大小；的最大值．ABC △S的面积ABC △求，2＝b 如果(2) ，⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos2B 2－1＝n ，)3－，B sin (2＝m 因为(1)解： m ∥n .，B cos 23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2B 2－1B 2sin 所以 .3＝－B tan 2所以又因为角B 为锐角，.π3＝B 即，2π3＝B 2所以 (2)已知b ＝2，由余弦定理，得：．)时等号成立2＝c ＝a 当且仅当(ac ＝ac －ac ≥2ac －2c ＋2a ＝4 ，3≤ac 34＝B sin ac 12＝ABC △S 的面积ABC △因为 .3的最大值为ABC △S 的面积ABC △所以 20．(本小题满分12分)如图所示，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A，352＝BC ，°90＝°60－°30－°180＝ .354＝°sin 30352＝AC 所以 n mile.354所以船与灯塔间的距离为 21．(本小题满分12分)(2014·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，.π2＋A ＝B ，63＝A cos ，3＝a 已知.c ，b (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．，π2＋A ＝B 又因为，33＝1－cos2A ＝A sin ，由题意知，中ABC △在(1)解： .63＝A cos ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2sin ＝B sin 所以 .23＝3×6333＝asin B sin A ＝b 得，由正弦定理得，π2＋A ＝B 由(2) .33＝－A sin ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2cos ＝B cos 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．×33＝B sin A cos ＋B cos ×A sin ＝)B ＋A (sin ＝)]B ＋A (－[πsin ＝C sin 所以.13＝63×63＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33 因此△ABC 的面积为.322＝13×23×3×12＝C sin ab 12＝S 22．(本小题满分12分)(2014·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.的值；C cos 求，52＝b ，2＝a 若(1) 的b 和a 求，C sin 92＝S 的面积ABC △且，C sin 2＝A22cos B sin ＋B22cos A sin 若(2)值．.72＝)b ＋a (－8＝c 由题意可知：(1)解：由余弦定理得，.15＝－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52＝a2＋b2－c22ab＝C cos 可得：，C sin 2＝A 22cos B sin ＋B 22cos A sin 由(2) ，C sin 2＝1＋cos A 2·B sin ＋1＋cos B 2·A sin 化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知：a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.，9＝ab 所以，C sin 92＝C sin ab 12＝S 由于，0＝9＋a 6－2a 从而解得a ＝3，b ＝3.。

苏教版必修5高一数学第1章解三角形章节能力测试题有答案

章节能力测试题（一）（测试范围：解三角形）一．填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三角形ABC 中，如果A=60º，C=45º，且a=则c= 。

1.。

【解析】由正弦定理得sin 45sin sin 603a C c A ===。

2. 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2.12。

【解析】B A s i n si n =1sin cos sin 22A A A=，故B A s i n s i n 的最大值是12。

3．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3.1200.【解析】2221cos 22b c a A bc +-==-，A=1200.4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4.26-。

【解析】A=1800-300-1350=150.sin150=sin(450-300)=4.由正弦定理得sin 2sin15sin sin 30b A a B ===5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为 .5.【解析】∵三角形两边夹角为方程57602x x --=的根，不妨假设该角为θ，则易解得得53cos -=θ或cos θ=2（舍去），∴据余弦定理可得13252cos 3523522==⨯⨯⨯-+=θ三角形的另一边长。

6.在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= 。

6.B=105º或B=15º。

提示:由正弦定理可得sinC=sin 2c A a == ,∴C=45º或者C=135º，∴B=105º或者B=15º。

7.科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０º，则这两颗恒星之间的距离为亿光年。

苏教版数学高二学案必修5习题第一章《解三角形》章末检测

章末检测一、填空题 1．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝________. 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为________．3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →＝________.4．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝______.5．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.6．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝________.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b＝______.8．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/时．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝________.10．在△ABC 中，cos 2 A 2<b ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 为________三角形．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b的大小关系是______________．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为______．13．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b＝ 6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________. 二、解答题15．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . 16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．17．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sinA )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积． 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 19.如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？20．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．答案1．0 2.60° 3.－32 4.25或5 5.1 6.6127.2 8.10 9.1 10．钝角 11．a >b 12.π3或2π313.1 000 14.4 15．解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12. 由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6. (2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.16．解设我艇追上走私船所需要的时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°－105°＋45°＝120°，根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2或t ＝－34(舍去)．答我艇追上走私船所需要的时间为2小时．17．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R，其中R 是△ABC 外接圆的半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)解由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3. 18．解 (1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin C sin A＝2. (2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.19．解如图所示，连结A 1B 2，由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102， ∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，得A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B 1B 2＝10 2. 因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(海里/小时)．答乙船每小时航行302海里．20．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 又cos B cos C ＝－b 2a ＋c， ∴cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ， ∴2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin A cos B ＋sin A ＝0，∵sin A ≠0，∴cos B ＝－12， ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac (1－12)，求得ac ＝3. 于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝343.。