2014~2015学年度 最新 北师大版八年级数学下1.2《直角三角形》同步练习含答案
最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师大版八年级下册数学《1.2第2课时直角三角形全等的判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第2课时直角三角形全等的判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第2课时直角三角形全等的判定》这一节的内容是在学生已经掌握了全等图形的概念和性质的基础上进行讲解的。
在全等图形的概念和性质的学习过程中，学生已经了解了全等图形的大小、形状、位置关系是相同的，而且已经学会了使用SSS、SAS、ASA、AAS等方法来判定两个图形是否全等。
本节课的内容是让学生学习直角三角形全等的判定方法，主要包括HL和RHS两种方法。
这两种方法是判定直角三角形全等的基本方法，对于学生理解和掌握全等图形的判定方法有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了全等图形的概念和性质，也已经学习了判定两个图形全等的方法。
但是，对于直角三角形全等的判定方法，学生可能还不是很熟悉，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对于全等图形判定方法的混淆，需要教师在教学过程中进行引导和纠正。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法HL和RHS，能够运用这两种方法判定两个直角三角形是否全等。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的观察能力、动手能力、思维能力和交流能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法HL和RHS。
2.教学难点：对于不同情况下直角三角形全等的判定方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、示范法、练习法、小组合作法等教学方法，结合多媒体课件、几何画板等教学手段，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过观察、操作、思考、交流等过程，掌握直角三角形全等的判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习全等图形的概念和性质，引导学生进入本节课的学习。
2.讲解：讲解直角三角形全等的判定方法HL和RHS，并通过示例进行说明。
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质；
2.掌握HL定理的证明过程和判定方法；
3.学会运用HL定理解决实际问题时，正确识别直角三角形的直角边和斜边；
4.能够运用HL定理与其他全等判定方法（如SSS、SAS等）相结合，解决复合型全等问题。
4.强调HL定理在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的应用意识。
5.布置课后作业，让学生在课后进一步巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对直角三角形全等判定（HL定理）的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成教材课后练习题1-5题，要求学生在解题过程中，准确识别直角边和斜边，熟练运用HL定理进行判定。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1.引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现并理解HL定理；
2.采用问题驱动法，设计具有启发性和挑战性的问题，激发学生的求知欲和探究精神；
3.组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力；
4.引导学生运用HL定理解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力；
5.反馈评价，查漏补缺：通过课堂练习、小组互评等方式，了解学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导；
6.归纳总结，提炼方法：在课程结束时，引导学生对所学知识进行归纳总结，提炼解题方法，提高学生的几何素养。
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1.关注学生个体差异，实施差异化教学，使每位学生都能在原有基础上得到提高；
b.分享：组内成员在学习HL定理过程中遇到的困难和解决方法；
新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形
巩固练习： 说出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0,b=0.
提问：一个命题是真命题，它的逆命题一 定是真命题吗？
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是 真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆 定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 你还能举出一些例子吗?
想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
互逆定理：如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它也是个定理，这 两个定理称为互逆定理，其中一个定理称 为另一个定理的逆定理.
判断正误： （1）互逆命题一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命题. 我们已经学习了一些互逆定理，如勾 股定理及其逆定理、“两直线平行，内错 角相等与“内错角相等，两直线平行”等 . 请你再举出一些互逆定理的例子.
2 、 在 △ ABC 中 ， 已 知 AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线 AD=12cm.求证：AB=AC.
知识拓展
已知：△ABC中，∠ C=600，AB=14，AC=10， AD是BC边上的高，求BC的长 A 解后反思： 在直角三角形中，利用勾股定理 计算线段的长，是勾股定理的一 C 个重要应用，在有直角三角形时， 可直接应用，在没有直角三角形 时，常作垂线构造直角三角形， 为能应用勾股定理创造条件。
D
B
独立作业
3
3.如图,正四棱柱的底面边长为 5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正 四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面 到点C1处吃食物,那么它需要爬行的 D C 最短路径是多少？ C
1 1
习题1.4
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形全等的判定优秀教学案例
（二）过程与方法
1.通过引入生活中的实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发他们的学习兴趣。
2.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和总结直角三角形全等的判定方法。
3.培养学生动手操作的能力，让他们在动手操作中感知数学知识，提高他们的数学思维能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，鼓励他们进行合作讨论，共同解决问题。
2.设计小组合作任务，让学生在实践中运用直角三角形全等的判定方法，提高他们的实践操作能力。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同成长。
4.鼓励学生互相评价和反馈，提高他们的沟通能力和自我认知能力。
（四）总结归纳
在课堂结束后，我及时对学生的学习情况进行反馈，鼓励他们总结经验、巩固知识。通过这份优秀教学案例，我希望能够帮助学生在数学学习中找到乐趣，提高他们的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握HL判定法、SAS判定法、ASA判定法和AAS判定法，能够运用这些方法判定直角三角形的全等。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使他们在生活中能够发现和运用数学知识。
4.培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中体验到团队的力量，培养良好的团队合作习惯。
5.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，使他们认识到数学在生活中的重要性和价值。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用实物模型和图片，展示直角三角形的实际应用场景，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.通过设计有趣的问题和案例，引发学生的思考，激发他们对直角三角形全等判定方法的兴趣。
1.教师引导学生总结直角三角形全等的判定方法，加深他们对知识点的理解。
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿一. 教材分析《直角三角形》是北师大版数学八年级下册第1章第2节的内容。
本节课主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的定义、直角三角形的边角关系、直角三角形的应用等。
通过学习本节课，学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但是，学生可能对直角三角形的性质和应用还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要通过引导学生观察、思考、讨论等方式，帮助学生理解和掌握直角三角形的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生能够通过观察、思考、讨论等方式，培养自己的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质及其应用。
2.教学难点：直角三角形的边角关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和性质，引出直角三角形的定义。
2.探究直角三角形的性质：引导学生观察、思考直角三角形的性质，并通过几何画板软件进行演示。
3.小组讨论：学生分组讨论直角三角形的应用，分享自己的解题心得。
4.总结直角三角形的性质：引导学生总结直角三角形的性质，并进行解释。
5.练习与拓展：布置一些有关直角三角形的练习题，帮助学生巩固所学知识，并拓展学生的思维。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：有一个角是直角的三角形a.两个锐角的和为90度b.直角对边最长c.直角三角形的一条直角边等于另一条直角边的平方根乘以斜边d.计算直角三角形的边长e.证明几何命题八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和课后作业的完成情况进行评估。
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》(第2课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》（第2课时）教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》是学生在学习了全等图形的概念和性质、全等三角形的判定方法的基础上进行学习的。
本节课主要让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等，并能够运用这一方法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生探索、发现、验证和应用知识，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了全等图形的概念和性质、全等三角形的判定方法。
但部分学生对于如何运用判定方法解决实际问题还不够熟练，特别是对于一些复杂图形的处理能力有待提高。
此外，学生的数学思维能力、观察能力和合作能力也有待进一步提高。
三. 教学目标1.理解HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的条件；2.学会运用HL判定方法解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力、观察能力、合作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法；2.教学难点：如何运用HL判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境导入，激发学生的学习兴趣；2.问题驱动法：引导学生发现并提出问题，培养学生解决问题的能力；3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作能力；4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等；2.准备教学课件，以便进行多媒体教学；3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活情境，如建筑工人测量角度，引入直角三角形全等的概念。
提问：如何判断两个直角三角形是否全等？2.呈现（10分钟）展示PPT，引导学生发现并提出问题。
如：如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边，如何求解另一个直角三角形的对应边长？3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过合作学习，探索并验证HL判定两个直角三角形全等的方法。
《 直角三角形》(第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
第一章三角形的证明1.2直角三角形教学设计第1课时一、教学目标1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.2．证明直角三角形的性质定理和判定定理.3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、教学重点及难点重点：1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源微课，知识卡片图片五、教学过程【情境导入】问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少?解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”，得到BC=3.7 m．由此提问：“我们曾经探索过的直角三角形，还有哪些性质和判定方法?”．设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．【探究新知】1．忆一忆回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流．（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？定理：直角三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.求证：∠A＋∠B=90°.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=180°－∠C=180°－90°=90°.（2）已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.321证明：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C =180°.∵∠A ＋∠B =90°，∴∠C =180°－（∠A ＋∠B ）=180°－90°=90°.∴△ABC 是直角三角形.2．证一证我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用拼图及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?图1图2利用图1 的边长为a ，b ，c 的全等的四个直角三角形拼成一个以c 为边的正方形如图2，则图中的小正方形边长为(a -b )，它的面积为(a -b )2 ，四个直角三角形的面积和为(4×2ab ) 由此可得：c 2 = (a -b )2+2ab = a 2-2ab +b 2+2ab = a 2+b 2．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的cb acba方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?师生共同来完成．已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2求证：△ABC 是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt △A ′B ′C ′，使∠A ′＝90°，A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC (如图)，则A ′B ′2＋A ′C ′2 ＝B ′C ′2 (勾股定理)．∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴BC 2＝B ′C ′2．∴BC ＝B ′C ′．∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．∴∠A ＝∠A ′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC 是直角三角形．总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．设计意图：勾股定理及其逆定理的证明对学生有一定难度，接受并经历定理的探究过程，即明确有关定理即可．3．议一议 CB AA'B'C'观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗?通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如：“两直线平行，内错角相等”，“内错角相等，两直线平行”．“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题．活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结．活动时可以先让学生观察下面三组命题：第一组：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．第二组：如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．第三组：三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．▲在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．设计意图：通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，得到互逆命题的概念．注意原命题正确，其逆命题不一定正确.4．想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，它们都是真命题吗？答：逆命题是“如果两个有理数的平方相等，那么它们相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题.从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理．能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．设计意图：本环节关键是让笑死我验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致．【典例精讲】例 1 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余解析：C．如图（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图（2）所示，可知此时两角互补．例2 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，内旁内角互补；（3）如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0．解析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．（3）如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．设计意图：例题巩固了本节所学知识，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．【课堂练习】1．以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．3+1，3－1，22B ．4，7.5，8.5C ．7，24，25D ．3.5，4.5，5.52．在直角三角形中，锐角顶点所引的两条线中线长为5的斜边长（ ）A ．10 B．CD．3．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA ＝AB ＝2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：（1）DE ＝AC ；（2）DE ⊥AC ；（3）∠CAB ＝30°；（4）∠EAF ＝∠ADE ，其中结论正确的是（ ）A ． （1），（3）B ． （2），（3）C ． （3），（4）D ． （1），（2），（4） 4．如图所示，∠ACB ＝90°，BC =DB ，AC =AE ，则∠DCE=（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°F ED CBA5．直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________．6．如图所示，在高为3m ，斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯多少米？设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 参考答案：1．D 2．D ． 3．D ． 4．C ．5．4.86．解析：毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和．解：52－32＝16＝42，∴3＋4＝7．∴至少需要地毯7米．六、课堂小结1．直角三角形的性质和判定定理：三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．2．命题与逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．E D CBA3．定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．七、板书设计1.2直角三角形（1）1．直角三角形的性质和判定2．命题与逆命题3．定理与逆定理。
北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1
北师大版数学八年级下册《直角三角形全等的判定》教案1一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是北师大版数学八年级下册的一章内容。
本节课主要让学生掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
本节课的内容是学生学习几何知识的重要基础，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念、性质和判定方法。
他们具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，能够理解和掌握新的知识。
但是，对于一些具体的全等判定方法，学生可能还不是很清楚，需要通过实例进行讲解和练习。
三. 教学目标1.让学生掌握直角三角形全等的判定方法。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法，通过小组合作学习，培养学生的合作精神和团队意识。
六. 教学准备准备相关的教学材料，如PPT、实例图片、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索直角三角形全等的判定方法。
例如，如何判断两个直角三角形是否全等？2.呈现（10分钟）通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。
例如，演示两个直角三角形全等的情况，让学生观察和分析，引导学生总结全等的条件。
3.操练（10分钟）让学生进行相关的练习题，巩固所学的直角三角形全等判定方法。
例如，给出两个直角三角形，让学生判断它们是否全等。
4.巩固（5分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形全等判定方法解决实际问题。
例如，给出一个实际问题，让学生分组讨论和解决。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索直角三角形全等判定方法的应用。
北师大版八年级数学下册第一章《直角三角形》精品课件
w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;真
w两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 真
w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的
两个直角三角形全等. 真
A
E
C
D
BG
H
F
2、如图，两根长度为12m的绳子，一端系 在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木 桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 说明理由。 解：相等。
用HL可证Rt△ACD≌Rt△AED； 证明Rt△ACD≌Rt△AED
（3）不能
•
你们得到的三角形全等吗？你能得到什么样的结论呢？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简述为：“斜边、直角边”或“HL”
你能证明它吗？
合作探究
w已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900
BC=B′C ′, AB=A′B′
w求证:△ABC≌△A′B′C′.
B
B′
C
A C′
测试评价 l1、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF， 求证：△ABC是等腰三角形
l证明：∵ D是△ABC的BC边的中点
l∴BD=CD
l∵ DE⊥AC，DF⊥AB
l∴∠1=∠2=90° l∵BD=CD,DE=DF
1
2
l∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)
A′
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
AB=A′B′B′
C
A C′
A′
证明： ∵在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理) ∵ AB=A'B'，BC=B'C'，∴AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第一单元1.2节《直角三角形》。教学内容主要包括以下方面：
1.直角三角形斜边与直角边的关系，即勾股定理；
4.勾股定理的应用；
5.直角三角形面积的计算。
二、核心素养目标
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作探究，提高学生的交流表达能力；
5.激发学生的创新思维，鼓励学生在解决问题过程中，探索不同的解题方法和技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）直角三角形的定义及性质：理解直角三角形的定义，掌握其内角和为180°，其中一个角为90°的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：通过实际操作教具或绘制图形，让学生直观感受直角三角形的特征，强调直角三角形内角和为180°，其中一个角为90°。
（2）勾股定理：理解并掌握勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，并能运用勾股定理解决实际问题。
举例：通过实际操作教具或绘制图形，让学生发现勾股定理，然后给出具体数值，让学生计算验证。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的基本概念。直角三角形是一种有一个角为直角（90°）的三角形。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于建筑、测量等领域。
北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)
2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（）A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．9．下列定理中，没有逆定理的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为．12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A．HL B．ASAC．AAS D．SAS第1题图第2题图2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．75°第3题图第4题图4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．第12题图第13题图13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案：2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，∴AB2＋BD2＝AD2.∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴S阴影＝S△ABD－S△ABC＝12AB·BD－12BC·AC＝30－6＝24.9．下列定理中，没有逆定理的是(C)A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB 于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.∴b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k ＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS第1题图 第2题图2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A) A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B) A ．40° B ．50° C ．60°D ．75°第3题图 第4题图4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ＝BD.求证：∠ABC ＝∠BAD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ACB ＝∠BDA ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)． ∴∠ABC ＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB第12题图 第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ； (2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F.若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MD ＝MB ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MD ＝MB 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.。
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
北师大版八年级数学下册第一章1.2.1直角三角形的性质与判定课件
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么 它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理 的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
证明： 如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ， ∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
例3 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a2＞b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假．
AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12 ＝ 36 ，即点C到AB的距离为 3 6 .
15 5
5
新知小结
应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求 线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得 简明 易懂．
巩固新知
1 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3， 求AB的长.
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT课件(第1课时)
∴ = ’’
∴∆ ≅ ∆’’’()
∴∠ = ∠’ = 90°(全等三角形的对应角相等)．
∴∆ 是直角三角形．
实践探究，交流新知
议一议：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样
的关系？
第三个和第四个定理呢？与同伴交流.
再观察下面三组命题：
已知：如图，在∆中， + = .
求证：∆是直角三角形．
证明：如图，作∆’’’，使∠’ = 90°，’’ = ，’’ =
，则’’2 + ’’2 = ’’2 ．
∵2 + 2 = 2 ，’’ = ，’’ =
（2）在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗
？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
已知在△ABC中，∠ACB＝90°，Leabharlann BAC，∠ABC，∠ACB的对边长
分别为 ，， .求证：2 + 2 = 2 .
解：整个图形可以看作是边长为 的正方形，它的面积为 2 ．
北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时
）
前 言
学习目标
1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明.
2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题.
3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证
明，激发学生的探索热情，并在小组合作中体会交流与合作的重要性.
命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
（2）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教材，主要介绍了直角三角形的性质与判定方法。
内容包括：直角三角形的定义、性质以及直角三角形的判定方法。
通过本节课的学习，使学生掌握直角三角形的性质与判定，为后续学习勾股定理和相似三角形打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质和分类，对三角形有了一定的认识。
但直角三角形的性质和判定较为抽象，需要通过实例和动手操作来加深理解。
此外，学生可能对数学证明过程感到困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握直角三角形的性质与判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究、归纳等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作意识，体验成功的喜悦。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质与判定方法的运用。
2.难点：对直角三角形性质与判定方法的理解和应用。
五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法、直观演示法、实践操作法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。
2.准备几何画图工具，如直尺、圆规、三角板等。
3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的直角三角形的实例，如建筑工人使用的勾股尺、三角板等，引导学生回顾直角三角形的定义，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示直角三角形的性质与判定方法，引导学生观察、思考，并通过几何画图工具进行实际操作，让学生感受直角三角形的性质与判定方法。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关直角三角形性质与判定的问题，学生进行小组讨论，引导学生运用所学知识解决问题。
在此过程中，教师应及时给予指导和鼓励，提高学生的问题解决能力。
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第6节 HL定理判定直角三角形全等
以 2/秒的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当
点 E 运动
秒时，△DEB 与△BCA 全等．
解：①当 E 在线段 AB 上，AC＝BE 时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4， ∴AE＝8﹣4＝4，∴点 E 的运动时间为 4÷2＝2（秒）； ②当 E 在 BN 上，AC＝BE 时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12， ∴点 E 的运动时间为 12÷2＝6（秒）； ③当 E 在线段 AB 上，AB＝EB 时，△ACB≌△BDE，这时 E 在 A 点未动，因此时间为 0 秒； ④当 E 在 BN 上，AB＝EB 时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16， 点 E 的运动时间为 16÷2＝8（秒）， 故答案为：0，2，6，8．
解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°， 分两种情况：
①当 AP＝BC＝5时，在 Rt△ABC和 Rt△QPA中，
，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当 AP＝CA＝10 时，在△ABC 和△PQA 中，
，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点 P 运动到 AP＝5 或 10 时，△ABC 与△APQ 全等； 故答案为：5 或 10．
练习：如图所示，已知 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为 E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt
△ABE≌Rt△DCF 的是
（填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD， 选择①可利用 AAS 定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择②可得∠A＝∠D，可利用 AAS 定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择③可利用 HL 定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择④不能定理证明 Rt△ABE≌Rt△DCF．故答案为：①②③．
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1.2直角三角形
一、选择题
1．下列命题中，是真命题的是（）
A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补
2．若三角形三边长之比为12，则这个三角形中的最大角的度数是（）
A．60°B．90°C.120° D．150°
3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（）
A1∶2 B．1∶2C．1∶2 D．2∶1∶4．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第
三条边所对的角的关系是（）
A．相等B．互补C．相等或互补 D．相等或互余5．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）
A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的斜边对应相等
二、填空题
6．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．
7．已知△ABC中，边长a，b，c满足a2＝1
3
b2＝
1
4
c2，那么∠B＝ .
8．如图1－46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为海里（结果保留根号）．
三、解答题
9．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10
3
c m，底边BC＝
16
3
c m，求底边上的
高A D
的长．
10．如图1－47所示，把矩形ABC D沿对角线B D折叠，点C落在点F处，若AB＝
12 c m，BC＝16 c m．
（1）求A E的长；
（2）求重合部分的面积．
11．如图1－48所示，把矩形纸片ABC D沿EF折叠，使点B落在边A D上的点B′处，点A落在点A′处．
（1）求证B′E＝B F；
（2）设A E＝a，AB＝b，B F＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．
12．三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1－49（1）所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图1－49（2）所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图1－49（3）所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．
（1）牧童B 的划分方案中，牧童 （填“A ”“B ”或“C ”）在有情
况时所需走的最大距离较远．
（2）牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?（提示：在计算
时可取正方形边长为2）
参考答案
1．C [提示：可以举出例子说明A ，B ，D 为假命题．]
2．B [提示：设三边长分别为a ，a ，2a ，则a 2+a ）2＝（2a ）2，为直角三角形．
3．D [提示：∠A ＝90°，∠B ＝30°，∠C ＝60°．]
4．C [提示：如图1－50（1）所示，已知AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，A D ⊥BC 于点D ，A ′D ′上B ′C ′于D ′点，且A D ＝A ′D ′，根据HL 可判定Rt △AB D ≌Rt △A ′B ′D ′，从而证得∠B ＝∠B ′．如图1－50（2）所示，可知此时两角互补．]
5．B [提示：利用HL 可证明．]
6．12
a a [提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．]
7．60°[提示：b2=3a2，c2=4a2 c2=a2+b2，b a，c=2a．
8． [提示：在Rt△AC P中，A P C=45°，A ,∴AC=P C=40．在Rt
△P CB中，∠P BC=30°，BC , ∴AB=AC+BC. ]
9．解：∵A D为底边上的高∴B D=C D=1
2
BC=
1
2
×
16
3
=
8
3
(c m)．在Rt△AB D中由勾
股定理，得A==2c m
10．解：(1) ∵∠CB D= ∠ F B D(轴对称图形的性质)，又∠CB D=∠A D B(两直线平行，内错角相等)，∴∠F B D=∠A D B(等量代换)．∴E B=ED(等角对等边)．设A E=xc m，则DE=(16一x)c m，即E B=(16一x)c m，在Rt△AB E中，AB2=B E2一A E2即l22=(16
一x)2一x2，解得x=3．5．即A E的长为3．5 c m． (2)BA⊥A D，∴S△B DE=1
2 DE•
BA=1
2
×(1 6—3.5)×12=75(c m2)．
11．(1)证明：由题意得B′F=B F，∠B′FE=∠B FE．在矩形
ABC D中，A D∥BC，
∴∠B′EF=∠B FE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E．∴B′
E=B F． (2)解：a，b,f三者关系有两种情况．①a，b,c三
者存在的关系是a2十b2=c2.证明如下：连接B E，则B E= B′E．由(1)知B′E=B F=c∴B E=c．在△AB E中，∠A=90°∴A E2+AB2=B E2∵A E=a AB=b，∴a2+b2=c2．②a．b，c三者存在的关系是a+b>c证明如下：连接B E，则B E=B′E．由(1)知B′E=B F=c，B E=f．在△AB E中，A E+AB>B E∴a+b>c.
12．解：(1)C [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法
适用于标准作图．] (2)牧童C的划分方案不符合他们商量的．
划分原则．理山如下：如图1－52所示，在正方形DEFG中，四边
形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，则EN=NF， S
矩形HENM =S
矩形MNFP
，
取正方形边长为2．设HD=x，
则HE=2一x,在 Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得
EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x =1
4
,∴HE=2－ x =
7
4
,
∴S
矩形HENM =S
矩形MNFP
=1×
7
4
=
7
4
,∴S
矩形DHPG
≠S
矩形HEMN
∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则．。