2013年广东省中学数学教育教学优秀论文--罗苑华

解题过程中转化的等价性与非等价性
广东省佛山市南海区南海中学 罗苑华
摘要 对于充要条件或充分条件的命题,在问题解决过程中,其转化都可以是等价的或
非等价的
关键词 转化 等价 非等价 条件 结论 充要条件 充分条件
在中学数学里，转化不仅是一种最基本的思维策略，更是一种重要的解题思想.“转化”就是把未知解法的问题转化为己有知识范围内可解的一种数学思维方法,它包括等价转化和非等价转化.等价转化要求转化过程中的前因与后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果，而非等价转化则没有这些要求.在解题过程中，有时必须进行等价转化，有时则可以是非等价转化.
1、转化的等价性
解题过程中的“转化”，有时是从条件开始的，有时又是从结论开始的，因此，正确进行转化的逻辑依据是有关充分条件、必要条件的知识，是否为等价转化，还得从命题的条件与结论的关系说起.
(1) 对于充要条件的问题,由于条件与结论是等价的,一般来讲,转化必须是等价的，如： 例1
0>
【解析】不等式的解集与原不等式中x 的取值范围是相同的，故解题过程中的转化必需是等价的.
解:原不等式等价于:34030343x x x x −≥⎧⎪−≥⎨⎪−>−⎩
解得:3x ≥
故原不等式等解集为{x|3x ≥}
(2) 对于充分条件的问题,如果从命题的结论出发,去寻找解决问题的方法, 则转化往往也必须是等价的.如:
例2 m 为何值时，函数f （x ）=862++−m mx mx 的定义域为R.
【解析】本题命题中，条件是A ：m 的取值，结论是B ：函数f （x ）的定义域为R.在寻找解题思路过程中，我们往往是从结论B 出发，去寻找条件A 的，故转化过程必须是等价的.
解：m=0时，f （x ）=8，定义域为R ，适合
m ≠0时，等价于不等式0862≥++−m x mx 的解集为R ，
故⎩
⎨⎧≤∆>00m ，解得：10≤<m 综上所述：10≤≤m 对于这一类问题，往往由于考虑得不周全，而造成转化过程的不等价. 避免转化过程中出现逻辑上的错误，保持等价转化，除能准确表述原题中各知识所包含的定义、概念、定理、公式外，还应对题设与结论的关系有较深刻的理解.
例3 已知抛物线 C: ,12−+−=mx x y 点A(3,0) ,B(0,3)，m 为何值时，抛物线与线段AB 有两个交点.
错解：AB 方程为:x+y-3=0,代入抛物线方程并化简得：
04)1(2=++−x m x ∵抛物线与线段有两交点
∴△= 16
)1(2−+m ＞0 解得：m ＞3或m ＜-5 ∴m ＞3或m ＜-5时，抛物线与线段AB 有两个交点.
【解析】本题的要求是：抛物线C 与线段AB 有两个交点的充分条件,而解题过程的表述是：抛物线C 与线段AB 有两个交点的必要条件，显然与题目的要求不等价，还应进一步作出限制.
解： 线段AB 方程为：x+y-3=0(0≤x ≤3)，代人抛物线方程得：
04)1(2=++−x m x 令f(x)=4)1(2++−x m x
抛物线C 与线段AB 有两个交点，等价于方程 f(x)=0在［0,3］内 有 两个 不同的实根，等价于 ：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=≥+−=<+<>+∆0
4)0(0103)3(32100 16-1)(m =2f m f m 解得：3103≤<m 故 3
103≤<m 时，抛物线C 与线段AB 有两个交点. 例4 a 为何值时，f(x)= 1
222+−+x x a a 为奇函数， 错解：∵f(x) 为奇函数，且在x=0处有意义
∴f(0)=0 即1
22200+−+a a = 0 解得：a=1 故a=1时，f(x) 为奇函数 .
【解析】本题要求是：f （x ）为奇函数的充分条件，而解题过程所表述 的是：f （x ）为奇函数的必要条件，也就是说，a 的取值只对x=0成立，对 x ∈R 且x ≠0是否成立，并未说明 ，应再补充：
a=1时，f(x)= 1212+−x x f(-x)= 1212+−−−x x =-1
212+−x x =- f(x) ，故f(x)为奇函数. 很多时候，我们寻找解题思路时，都是从命题的结论出发，寻求使这一结论成立的条件，这时，转化过程往往必须是等价的.
2.转化的非等价性
等价转化的问题是较多的，但仍有不少非等价转化的问题，应予以区分.
(1) 对一些充要条件的问题,我们也可以采用非等价的转化(将范围扩大),再对其结果进行
必要的修正,从中筛选出充要条件.
例5 解方程1)1lg()811lg(2=+−++x x x 解：把原方程化为：10lg 1
811lg 2=+++x x x （这一步的转化是非等价的） 等价于1
8112+++x x x = 10 解得：x=-2或x=1 经检验：x=-2不适合原方程，故原方程的解为x=1
例6 求函数y=3
5522−+−x x x （x ＞3）的最小值. 【解析】注意到x ＞3，在策略上可以先退一步，求出x ∈R 的值域，再作筛选、验证. 解：原函数式化为：035)5(22=+++−y x y x
若此方程有实根，则∆= 0)35(8)5(2≥+−+y y 解得：1−≤y 或15≥y
因为3>x 时，03
5522>−+−x x x ， 故1−≤y 舍去 将y=15代入原函数式得：15=3
5522−+−x x x 解得x=5 又5∈（3，+∞）,故x=5时，5min =y
（2）对于充分条件的问题，寻找解题思路时，如果从命题的条件出发，去推导或寻求结论成立，则转化可以是不等价的.如
例7 己知a,b,c,d ∈R +,求证:(ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd
【解析】取a=0, b,c,d ∈R +,则左边=bcd 2>右边=0 . 可见这里命题的条件和结论之间并不是充要条件，只是充分条件，因此证明过程的转化可以是非等价的.
证明：由a,b,c,d ∈R +得：
02
>⋅≥+cd ab cd ab ， ∴abcd bd ac cd ab ≥++4
))(( （这一步的转化是非等价的） 即（ab+cd ）(ac+bd)≥4abcd
参考文献:
《高中数学学习词典》四川人民出版社出版
2013-1-25 02>⋅≥+bd ac bd ac。