§2.2.2：对数函数及性质(4)
对数函数及其性质
教学课题对数函数及其性质教材分析本章内容是必修一第二章基本初等函数2.2.2节对数函数及其性质的内容。
主要内容是学习对数函数的定义、图像、性质。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，学生已经学习过函数概念，函数的单调性、奇偶性等性质，学习过指数函数的图象和性质，学习过对数函数的概念以及对数的运算。
这些都构成了学生的认知基础，教学中一方面利用研究指数函数所获得的经验，按照研究函数的一般方法来研究对数函数，进一步体验研究函数的一般方法；另一方面，加强与指数函数的联系，在知识与知识间的联系中学习新知识，帮助他们形成良好的知识结构，发展理性思维，提高认识能力。
学情分析学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受中，不同的值时反映出不同的函数图像，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
教学目标（一）知识与技能（1）理解对数函数的概念；（2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题；（2）过程与方法（1） 经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2） 学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力；（3）情感态度与价值观在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质
探究1：对数函数的定义 一般地，我们把函数_y_=_l_o_g_a_x_(_a_>_0_,_且__a_≠_1_)_叫
做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 _〔__0_，__+_∞__〕__．__ 注意:〔1〕对数函数定义的严格形式;
〔2〕对数函数对底数的限制条件：
a 0且a 1.
思考1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？ 提示：对数函数的解析式具有以下三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)真数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)logax的系数是1.
1
2
4
……
y=2x
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以 等于1万个、10万个细胞？细胞个数y，如何求细 胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4 ……
y=2x
x=? x log2 y y 2x
现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些 问题吧！
1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与 性质.〔重点〕 2.知道对数函数是一类重要的函数模型； 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函 数〔a>0,且a≠1)．〔难点〕
4,
1 2
.
①求f(x)的解析式; ②解方程f(x)=2. 分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解 即可;(2)根据设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数; 然后利用指对互化解方程.
变式训练1(1)假设函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,那么 a= .
所以函数 y 1 的定义域为{x|x>0,且x≠1}. log2 x
〔3〕因为
2.2对数函数及其性质
三、性质应用
例1： 求 下 列 函 数 的 定 义 ： 域 1. y loga x 2 2. y loga (4 x ) 4. y log0.5 (4 x 3)
2. log0.3 1.8和 log0.3 2.7
3. y log( x 1) ( 3 x )
例2： 比 较 大 小 ： 1. log2 3.4和 log2 8.4 3. log0.5 3.1和 log2.2 3.1
对数函数及其性质
河北巨鹿中学 兰青
学习目标：
1.掌握对数函数的定义、 图象与性质 .
2.能利用对数函数的性质 解决一些 简单的问题 .
( y 0)
a N
x
( x R ) x y a (a 0, 且a 1)
x log a N
x log a y y log a x(a 0, 且a 1) ( x 0)
y loga x
y loga x
y loga x
y loga x
y loga x
探究：在这个变化过程 中，底 数a是如何变化的？
y loga x
y loga x
y loga x
y loga x
y loga x
y loga x
y loga x
( y R)
一、对数函数的定义
函数 y loga x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定 义域是（0，+∞）。
，
4 判断：以下函数是对数函数的是 _______
1. y log2 (3 x 2) 2. y log( x 1) x 3. y log2 x 5
2.2.2 对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质教学目标（一)知识目标： 1、通过教学，使学生理解对数函数的概念.2、会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质。
(二)能力要求：1、通过例题，使学生掌握利用函数的性质，比较两个数的大小的方法，从而加深学生对对函数性质的理解。
2、掌握对数函数的图象和性质.(三)德育目标：1、.用联系的观点分析问题；2、认识事物之间的互相转化.教学重点：1、对数函数的图象和性质2、对数函数性质的初步应用。
教学难点：难点是底数对对数函数性质的影响．教学方法：联想、类比、发现、探索教学辅助：多媒体（一）复习提问：1、指数函数图像和性质2、指数式与对数式的互化（二）引入课题：材料1：北京青年报曾报道：潮白河底挖出冰冻古树可能是山杨，专家经过检测可推断树的埋藏时间．你知道专家是根据什么推断数的埋藏时间的吗？材料2：湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时考古学家推测汉墓女尸保存二千多年，你知道考古学家是怎么计算出这个时间的么？（三）对数函数定义：一般地，我们把函数xyalog=（0>a且1≠a）叫做对数函数，其中x是之变量，函数的定义域是（0，+∞）。
（四）对数函数的图像性质：（课件给出）（五）例题：例1：求下列函数的定义域：例2：比较下列各题中两个值的大小：（六）小结：（七）作业：习题7.2 7、8 ()()x y a -=4log 2()2log 1x y a =5.8log 4.3log 22， )1,0(9.5log 1.5log ≠>a a a a 且，7.2log 8.1log 3.03.0，。
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
高中数学人教A版必修1课件：2、2、2对数函数及其性质
个元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B
的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作： f : A B
其中，如果 a A,b B ，且元素a和元素b对应，那么我们
把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：1 映射 f : A B有方向性，即它只表示从集合A
a 1
0 a 1
y
y
图
y loga x
(1,0)
像
o (1,0)
xo
x
y loga x
定义域 性值 域 质 单调性
奇偶性 过定点
(0,)
(0,)
R 在(0,)上递增
R 在(0,)上递减
非奇非偶
非奇非偶
(1,0), 即x=1时，y=0
单调性的应用
例 比较对数值大小
1. 同底的两个对数比较
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解:(3)当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数, log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, log a5.1＞log a5.9
⑧ y log 1 x
概念辨析
例2 下列函数是对数函数的是（D） A. y=log2(3x-2) B. y=log(x-1)x C. y=log0.3x2 D. y=lnx
2.对数函数的图像和性质
用描点法作y=log2x与y=log0.5x的图象.
x
1 4
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (4)(1)
第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质(第一课时)学习目标①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律;②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.合作学习一、设计问题,创设情境在研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题(1个细胞一次分裂为2个细胞),某种细胞分裂时,得到的细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x表示.现在,我们来研究相反的问题,要想得到1万个,10万个,…细胞,1个细胞要经过多少次分裂?二、自主探索,尝试解决经过分析,发现分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式.如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数是.三、信息交流,揭示规律1.对数函数的定义问题1:请同学们类比“指数函数”的定义,给出“对数函数”的定义.问题2:在函数的定义中,为什么要限定a>0,且a≠1?问题3:为什么对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域是(0,+∞)?2.对数函数的图象与性质问题4:画出函数y=log2x与y=lo g1x的图象(师生一起用几何画板画出图象).2问题5:y=log2x与y=lo g1x的图象有什么关系?并且说明这两个函数的相同性质和不同性2质.问题6:选取底数a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,看看是否还有类似于问题5中的结论.问题7:由问题5和问题6的结论,试猜测函数y=log a x与y=lo g1x(a>0,且a≠1)的图象之间a有怎样的位置关系?并证明你的结论.问题8:由问题5和问题6的结论,结合指数函数的性质,试猜测函数y=log a x(a>0,且a≠1)有怎样的性质.先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质.(投影)四、运用规律,解决问题【例1】求下列函数的定义域(1)y=log a x2;(2)y=log a(4-x);(3)y=log a(9-x2).【例2】比较下列各组数中两个值的大小:(1)log 23.4,log 28.5;(2)log 0.31.8,log 0.32.7;(3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,且a ≠1).小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:①②③小结2:分类讨论的思想.五、变式演练,深化提高1.求下列函数的定义域:(1)y=log 3(1-x );(2)y=1log 2x ; (3)y=log 711-3x;(4)y=√3x .2.函数y=log a (x+1)-2(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点 .3.已知函数y=log a (x+1)(a>0,a ≠1)的定义域与值域都是[0,1],求a 的值.4.让学生每人各编一个关于对数函数的定义域的题和单调性的题.六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获吗?1.2.3.七、作业精选,巩固提高1.课本P 74习题2.2A 组第7,8,10题;2.继续完成课堂上自编的尚未解决的求定义域和单调性的题目;3.已知log m 7<log n 7<0,按大小顺序排列m ,n ,0,1;4.已知0<a<1,b>1,ab>1.比较log a 1b ,log a b ,log b 1b 的大小; 参考-=-=答案=-=-一、设计问题,创设情境10000=2x 1,100000=2x 2,…二、自主探索,尝试解决x=log 2y y=log 2x三、信息交流,揭示规律问题1:一般地,我们把函数y=log a x (a>0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).问题2:根据对数式与指数式的关系,知y=log a x可化为a y=x,由指数的概念,要使a y=x有意义,必须规定a>0且a≠1.问题3:因为y=log a x可化为x=a y,不管y取什么值,由指数函数的性质知,a y>0,所以x∈(0,+∞).问题4:通过列表、描点、连线作y=log2x与y=lo g12x的图象:问题5:y=log2x与y=lo g12x的图象关于x轴对称;相同性质:两图象都位于y轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且x=1时,y=0.不同性质:y=log2x的图象是上升的曲线,y=lo g12x的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞)上是减函数.问题6:分别取a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出对数函数y=log3x,y=lo g13x,y=log4x,y=lo g14x的图象.图象如右:有类似于问题5中的结论.问题7:函数y=log a x与y=lo g1ax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.证明如下:y=lo g1a x=-log a x,又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以y=log a x与y=lo g1ax的图象关于x轴对称.问题8:(0,+∞)R(1,0)10增减四、运用规律,解决问题【例1】(1){x|x≠0};(2){x|x<4};(3){x|-3<x<3}.【例2】(1)log23.4<log28.5(2)log0.31.8>log0.32.7(3)a>1时,log a5.1<log a5.9;当0<a<1时,log a5.1>log a5.9.小结1:①确定所要考查的对数函数;②根据对数、底数判断对数函数的单调性;③比较真数大小,然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.小结2:对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.五、变式演练,深化提高1.解:(1)由1-x>0,得x<1,故所求函数定义域为{x|x<1};(2)由log 2x ≠0,得x ≠1,又x>0,故所求函数定义域为{x|x>0,且x ≠1};(3)由{11-3x>0,1-3x ≠0,得x<13,故所求函数定义域为{x|x<13}; (4)由{x >0,log 3x ≥0,得{x >0,x ≥1,则x ≥1,故所求函数定义域为{x|x ≥1}. 2.(0,-2)3.24.略六、反思小结,观点提炼1.学习了对数函数的定义、图象与性质;2.用到了类比的思想方法;同时,更近一步熟悉了研究函数的方法和步骤;3.学习了用对数函数的图象与性质解对数典型题的基本方法.七、作业精选,巩固提高3.0<n<m<14.log a b<log b 1b <log a 1b。
2.2.2 第一课时对数函数及其性质
(
)
x－1>0， 解析：由题意得 解得 2－x>0.
1<x<2.
答案：B
3．求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1＋x)； (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝ log2x； (4)y＝ log0.5（4x＋3）. 3
3．求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1＋x)；
大，图象向右越靠近x轴；0<a<1时，a越小，图象向
右越靠近x 轴． (2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的 横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
答案：[1，2]
[例3] 求函数y＝log2(x2－4x＋6)的值域．
[思路点拨] 先确定真数的取值范围，再运用对数函数的单调
性求解．
解: ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2， 又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数， ∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1. ∴函数的值域是[1，＋∞)．
[一点通] 解决与对数函数有关的定义域问题时，经常 需要考虑的问题 1 (1) 中 f(x)≠0； f（x） (2) 2n f（x）(n∈N*)中 f(x)≥0；
(3)logaf(x)(a>0，且 a≠1)中 f(x)>0； (4)logf(x)a 中 f(x)>0 且 f(x)≠1； (5)[f(x)]0 中 f(x)≠0； (6)实际应用问题中自变量的取值要有实际意义．
8．求下列函数的值域： (1)y＝log2(x ＋4)； (2)y＝log1(3＋2x－x )．
2
2
2
(2)设 u＝3＋2x－x2，则 u＝－(x－1)2＋4≤4.
2＋4)的定义域为R. 解：(1) y ＝ log ( x ∵u >0 ， ∴ 0 ＜ u≤4. 2 2＋4)≥log 又 y＝ log1u 在 (0 ，＋ ∞)上是减函数， ∵ x 2＋ 4≥4 ，∴ log ( x 2 24＝2.
2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的概念、图象与性质
学习目标
1. 理解对数函数的概念;
2. 掌握对数函数的图象与性质; 3. 对数函数的图象与性质应用.
北京青年报曾报道：潮 白河底挖出冰冻古树可 能是山杨，专家经过检 测可推断树的埋藏时 间．
• 你知道专家是根据什 么推断树的埋藏时间 的吗？
y
描 点
2
1 11
42
0 1 23 4
连 -1
线
-2
2 4 ….. 1 2…
x
作y=log0.5x图像
列
x
1/4 1/2 1 2 4
表 y log 2 x -2 -1 0 1 2
y log 1 x
2
1 0 -1 -2
y
2
描
2
点
1 11
42
0 1 23 4
x 这两个函
连
-1
线
-2
数的图象 有什么关
系呢？
关于x轴对称
(3)根据对称性（关于x轴对称）已知 f (x) log3 x
的图象，你能画出 f (x) log 1 x
3
y
的图象吗？
1
o
1
x
(4)当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a＞1 图
0＜a＜1
象
定义域 : 值域:
3.已知对数函数过点（16，4）则函数解析式为—
2. 对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
图象与性质
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
y log2 x和y log 1 x 的图象。
高考数学第一轮复习：2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质
【例 1】 (1)若 a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正 确的是( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
(2)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( )
A．loga5.1<loga5.9
B．log1 2.1>log1 2.2
2
2
C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2
单调性
在(0，＋∞)上是 ____增__函__数
在(0，＋∞)上是 ___减__函__数_
知识点3 反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与__y____a_x_(_a___0_,_a___1_)___
互为反函数．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型一 对数函数的概念及应用
例1若函数f(x) ＝log(a＋ 1)x ＋(a2－2a－8)是对数函数， 则a＝
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学 会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分 析．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
________.
a2－2a－8＝0， 解析 由题意可知a＋1>0，
a＋1≠1，
解得 a＝4.
答案 4
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型二 对数型函数的定义域
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ 21－x＋ln(x＋1)的定义域为________； (2)函数 f(x)＝ log1 12x＋1的定义域为________．
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问题：你能类比前面讨论指数函数性质的 思路，提出研究对数函数性质的内容和方 法吗？
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调 性、最大（小）值、奇偶性．
类比指数函数图象和性质的研究，研究对 数函数的性质并填写如下表格：
x
1 3
,
2 3
.
(2).y 2 log (x2 2x 3) 4
x R.
x 1 (3).y log
3 3x 1
x
x
x
1或x
13.
(1).y log (3x 1) 0.5
解：3loxg0.15 (3
0 x
1)
0
log 0.5
1
3x 3x
1 1
0 1
1 x 2 x {x | 1 x 2}
x 这两个函数
连
-1
线
-2
y=log1/2x
的图象有什 么关系呢？
关于x轴对称
2.思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化？有规律吗？
: 对数函数 y log 3 x和y log 1 x 的图象。
3
底y
大2 y=1 1
图
11 42
0 1 23 4
注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数 的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
例3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴.log 67 , log 7 6 ; ⑵.log 3π , log 2 0.8 .
人教版数学必修一.2对数函数图像及其性质PPT课件
人教版数学必修一.2对数函数图像及 其性质P PT课件
2.（71页）探究：
画出对数函数 y log 3 x和y log 1 x的图象。
y
1.函数图象分布在哪些 象限？ 一、四
2
2.函数图象有哪些
1 11
特殊点? （1,0）
42
0 1 23 4
3
y log 2 x y log 3 x
x
3.函数图象的单调性 -1 与底数a的关系？ -2
注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数 的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
人教版数学必修一.2对数函数图像及 其性质P PT课件
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴.log 67 , log 7 6 ; ⑵.log 32 , log 2 0.8 .
x
定义域
奇偶性 值域
定点
单调性 函数值 符号
(0,+∞)
非奇非偶函数
非奇非偶函数
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0
当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
x…
列 表
y log 2
y log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
2.2.2对数函数及其性质
当0＜a＜1时
y
1
5.1 5.9
o
1
5.1 5.9 x
o
x
loga5.1＜ loga5.9
loga5.1＞ loga5.9
(4) log0.37，log97.
log0.37＜log0.31＝0， log97＞log91＝0， ∴log0.37＜log97.
5.
log 67 , log 7 6 ;
定义域 : 值 域 :
( 0,+∞) R
在(0,+∞)上是：减函数
(3)根据对称性（关于x轴对称）已知 f ( x) log3 x 的图象，你能画出 y 1
f ( x) log1 x 的图象吗？
3
o
1
x
(4)当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?
对数函数y=logax
(a＞0,且a≠1) 的图象与性质
下列是6个对数函数的图象，比较它们底数的 大小
规律：在 x=1的右边看图象,图 象越高底数越小.即图高底小
y loga1 x
y
y loga2 x y loga3 x
0 1
x
y loga4 x
y loga5 x y loga6 x
y
图 形
y=log
2
x
y=log
10
x
0
1
y=log
(2) log a2 a2 1.9 与 log a2 a2 1.7；
(2)∵a ＋a＋2＝a＋2 ＋4≥4>1， ∴y＝ log a2 a2 x 是增函数. 又 1.9>1.7， ∴ log a2 a2 1.9> log a2 a2 1.7.
2016高一人教A版数学必修1课件：2.2.2第1课时 对数函数的图象及性质
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• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)y ＝ log2x2 与 y ＝ logx3 都 不 是 对 数 函 数．( )
• (2) 对 数 函 数 的 图 象 一 定 在 y 轴 右 侧．( )
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• 求下列函数的定义域：
(1)y＝ lg（2－x）；
(2)y＝log3（31x－2）； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
• 【思路探究】 对于(1)首先要保证根式有
意义，对于(2)首先要保证分母不为0，对于
• 【解】 当a＞1时，a越大图象越靠近x 轴，
• ∴C2对应的a值大于C4对应的a值，
• ∴C2对应的a值为2.2，C4对应的a值为1.1.
• 当0＜a＜1时，a越小图象越靠近x轴，
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∴C1 对应的 a 值为110，C3 对应的 a 值为12. 综上所述，C1，C2，C3，C4 对应的 a 值依次为110， 2.2，12，1.1.
【解析】 因为 y＝ xln(1－x)，所以x1≥ －0x， >0，
解得 0≤x<1.
【答案】 B
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• 4．(1)函数y＝loga(x－1)＋1(a>0，且a≠1) 恒过定点________．
对数函数及其性质
定的年代t与它对应，所以， 是 的函数 的函数． 定的年代 与它对应，所以，t是P的函数． 与它对应
1 2
P，都有一个确
a 一般地， 一般地，把函数 y = log a x(a > 0,且 ≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义 叫做对数函数，其中 是自变量， 是自变量 域是 (0,+∞) ．
如果碳14的含量是下表中的数值， 如果碳 的含量是下表中的数值，根据关 的含量是下表中的数值 系：t = log
5730
1 2
试用计算器填写下表． P试用计算器填写下表．
0.3 0.1 0.01 0.001 碳14的含量P 0.5 生物死亡年数t 5730 9953 19035 38069 57104 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14 含量P， 含量 ，通过对应关系 t = log
人们经过长期实践，获得了生物体内碳 含量 含量P与死 人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量 与死 t 亡年数t之间的关系 之间的关系： 亡年数 之间的关系：
1 5730 P = . 2
1 2
由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是： 由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：
数形结合
图象
性质
二、如图曲线是对数函数(1)y=logax,(2)y=logbx,(3)y=logcx, (4)y=logdx的图象，则相应a,b,c,d与1的大小关系是
y (2) (1) 0 1 (4) (3) x
a>b>1>c>d
通过本节的学习，你对对数函数有什么 通过本节的学习， 认识？你能概括一下吗？ 认识？你能概括一下吗？ 对数函数 概念
对数函数及其性质教学设计
对数函数及其性质教学设计本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址教学设计2.2.2 对数函数及其性质整体设计教学分析有了指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出做一些准备．三维目标．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实践中的简单应用，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．2．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用的意识．3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．重点难点重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．课时安排3课时教学过程第1课时作者：郝云静导入新课思路1．如课本2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax 中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质．思路2．我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质．推进新课新知探究提出问题用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的164，则至少要漂洗几次？你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1?你能求出对数函数的定义域、值域吗？如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．讨论结果：若每次能洗去污垢的34，则每次剩余污垢的14，漂洗1次存留污垢x＝14，漂洗2次存留污垢x＝142，…，漂洗y次后存留污垢x＝14y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得，当x＝164时，y＝3，因此至少要漂洗3次．对于式子，如果用字母a替代14，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：函数y＝logax叫做对数函数，对数函数y＝logax的定义域为，值域为．根据对数式与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈，对数函数的值域为．只有形如y＝logax的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．提出问题前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤．利用上面的步骤，作下列函数的图象：y＝log2x，.观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？把y＝log2x和的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？你能证明上述结论吗？能否利用y＝log2x的图象画出的图象？请说明画法的理由．活动：教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表2-3，及图2.2-1,2.2-2及2.2-3，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识．讨论结果：我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．列表：x0.250.5248632…y＝log2x－2－10[:Z&xx&]2345…2－1－2－3－4－5…作图1、图2：图1图2通过观察图1，可知y＝log2x的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点，当x＞1时y＞0，当0＜x＜1时y＜0，图象不关于x 轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象经过点，当x＞1时y＜0，当0＜x＜1时y＞0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画下列函数的图象：y＝log6x，，以作比较，重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．通过以上观察我们得到对数函数图象的特点进而得出函数的性质．图象的特征函数的性质图象都在y轴的右边定义域是函数图象都经过点1的对数是0从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降当a＞1时，y＝logax是增函数，当0＜a＜1时，y＝logax 是减函数当a＞1时，函数图象在点右边的纵坐标都大于0，在点左边的纵坐标都小于0；当0＜a＜1时，图象正好相反，在点右边的纵坐标都小于0，在点左边的纵坐标都大于0当a＞1时，x＞1，则logax＞0，0＜x＜1，则logax＜0；当0＜a＜1时，x＞1，则logax＜0，0＜x＜1，则logax＞0由上述表格可知，对数函数的性质如下：a＞10＜a＜1图象性质[定义域：值域：R过点，即当x＝1时，y＝0x∈时，y＜0；x∈时，y＞0x∈时，y＞0；x∈时，y＜0在上是增函数在上是减函数在同一坐标系中作出y＝log2x和x两个函数的图象如图3.经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x轴对称．图3证明：设点P是y＝log2x上的任意一点，它关于x轴的对称点是P1，它满足方程y＝＝－log2x，即点P1在的图象上，反之亦然，所以y＝log2x和两个函数的图象关于x 轴对称．因为y＝log2x和两个函数的图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x的图象，利用轴对称的性质画出的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．应用示例例1求下列函数的定义域：y＝logax2；y＝loga．活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1.解：由x2＞0得x≠0，所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；由4－x＞0得x＜4，所以函数y＝loga的定义域是{x|x ＜4}．点评：该题主要考查对数函数y＝logax的定义域为这一限制条件，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.变式训练．课本本节练习2.2．求下列函数的定义域：y＝log3；y＝1log2x；y＝log711－3x；y＝log3x.解：由1－x＞0得x＜1，所以所求函数定义域为{x|x ＜1}．由log2x≠0，得x≠1，又x＞0，所以所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}．由得x＜13，所以所求函数定义域为{x|x＜13}．由得所以x≥1.所以所求函数定义域为{x|x≥1}.例2溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数的性质求解．首先利用对数的运算性质把pH＝－lg[H＋]化为pH＝lg1[H＋]，再利用对数函数的性质来说明．解：根据对数的运算性质，有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1＝lg1[H＋].在上，随着[H＋]的增大，1[H＋]减小，相应地，lg1[H＋]也减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越大．当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7＝7，所以纯净水的pH是7.点评：注意数学在实际问题中的应用．知能训练课本本节练习1.拓展提升在同一坐标系中，画出函数y＝log3x，，y＝log2x，的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．活动：教师引导学生回顾作函数图象的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图象．图4可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是；当a＞1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；在点的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．当0＜a＜1时，图象向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23＜log1.53，log20.5＜log30.5，log0.52＞log0.62等．除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5＜0，log0.50.3＞0，所以log1.50.5＜log0.50.3；又如log21.5与log0.50.4，因为log21＜log21.5＜log22，所以0＜log21.5＜1.又因为log0.50.4＞log0.50.5＝1，所以log0.50.4＞log21.5.课堂小结．对数函数的概念．2．对数函数的图象与性质．3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．4．数形结合与转化的数学思想．作业课本习题2.2A组7,8,9,10.设计感想本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第2课时作者：路致芳导入新课思路1．复习以下内容：对数函数的定义；对数函数的图象与性质．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质．思路2．上一节，大家学习了对数函数y＝logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在上是增函数；当0＜a＜1时，在上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质．推进新课新知探究提出问题根据你掌握的知识，目前比较数的大小有什么方法？判断函数的单调性有哪些方法和步骤？判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题学生回顾数的大小的比较方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，又用到某些函数的图象和性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．问题学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：比较数的大小：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．③计算出每个数的值，再比较大小．④是两个以上的数，有时采用中间量比较．⑤利用图象法．⑥利用函数的单调性．常用的方法有定义法、图象法、复合函数的单调性的判断．利用定义证明单调性的步骤：①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商，注意变形．③判断差的符号，商与1的大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f[g]的单调性的判断步骤可以总结为：当函数f和g的单调性相同时，复合函数y＝f[g]是增函数；当函数f和g的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g]是减函数．又简称为口诀“同增异减”．有两种方法：定义法和图象法．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f与f的关系；③作出相应结论：若f＝f或f－f＝0，则f是偶函数；若f＝－f或f＋f＝0，则f是奇函数．图象法：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．应用示例例比较下列各组数中两个值的大小：log23.4；log28.5；log0.31.8，log0.32.7；loga5.1，loga5.9；log75，log67.活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对与由数形结合的方法或直接利用对数函数的单调性来完成；作出图象，利用图象法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对因为底数的大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．解：解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如图5.图5在图象上，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以log23.4＜log28.5.解法二：由函数y＝log2x在上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.解法三：直接用计算器计算，得log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5.解法四：作差log23.4－log28.5＝log23.48.5，因为2＞1，3.48.5＜1，根据对数函数的性质，所以log23.48.5＜0，即log23.4＜log28.5.log0.31.8＞log0.32.7.解法一：当a＞1时，y＝logax在上是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9.当0＜a＜1时，y＝logax在上是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.解法二：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．令b1＝loga5.1，则，令b2＝loga5.9，则.当a＞1时，y＝ax在R上是增函数，且5.1＜5.9，所以b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，y＝ax在R上是减函数，且5.1＜5.9，所以b1＞b2，即loga5.1＞loga5.9.解法三：作差loga5.1－loga5.9＝loga5.15.9，5.15.9＜1，由对数函数的性质，当a＞1时，loga5.15.9＜0，因此loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.15.9＞0，因此loga5.1＞loga5.9.解法一：因为函数y＝log7x和函数y＝log6x都是定义域上的增函数，所以log75＜log77＝1＝log66＜log67.所以log75＜log67.解法二：直接利用对数的性质，log75＜1，而log67＞1，因此log75＜log67.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.变式训练比较log20.7与两值的大小．解：考查函数y＝log2x.因为2＞1，所以函数y＝log2x在上是增函数．又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝log13x，因为0＜13＜1，所以函数在上是减函数．又1＞0.8，所以.所以log20.7＜.知能训练课本本节练习3.【补充练习】函数y＝log2x－2的定义域是A．B．[3，＋∞)c．D．[4，＋∞)答案：要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x ≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)，选D.拓展提升探究y＝logax的图象随a的变化而变化的情况．用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，，的图象，如图6.图6通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝logax的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y ＝logax的图象越远离x轴．课堂小结本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．作业课本习题2.2B组2,3.【补充作业】．求函数y＝lgx＋lg的定义域．解：要使函数有意义，只需lgx≥0，5－2x＞0，即x≥1，x＜52，解得1≤x＜52.所以函数的定义域是1，52.2．已知y＝loga在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．解：因为a＞0且a≠1，当a＞1时，函数t＝2－ax是减函数；由y＝loga在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a ＜2.当0＜a＜1时，函数t＝2－ax是增函数；由y＝loga在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，所以0＜a＜1.由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.设计感想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容．对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广、容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．第3课时作者：高建勇导入新课思路1．复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y ＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质．思路2．在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝ax与函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质．推进新课新知探究提出问题用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y ＝2x与y＝log2x的函数图象．通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．结合与推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系．讨论结果：y＝2x与x＝log2y.x…－3－2－123…y…842248…y＝log2x. y…－3－2－123x…842248…图象如图7.图7在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈〕叫做函数y＝2x的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈〕是指数函数y＝2x的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈〕是指数函数y＝2x的反函数；同时，指数函数y＝2x也是对数函数y＝log2x〔x∈〕的反函数．因此，指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x〔x∈〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y ＝log3x，x∈与y＝3x互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x 互为反函数．从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．通过与类比归纳知道，y＝ax的反函数是y＝logax，且它们的图象关于直线y＝x对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．提出问题用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3；③y＝log3.从图象上观察它们之间有什么样的关系？用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝。
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恒成立,
练习 :
a , 2a 上的最大值是最小值的3倍, 求a的值.
1 x ( 2)求证:函数f ( x ) log 2 x 在 0,1 上是增函数.
(1)若函数f ( x ) log a x ( 0 a 1)在区间
(3)已知函数f ( x ) log a a a (a 1).
例3.(1)求满足不等式 : 2(log 2 x ) 9 log 0.5 x 9 0
2
的x的取值范围. ( 2)当x在(1)中的范围内变动时, 求函数 x x f ( x ) log 1 log 2 的最大值与最小值. 2 4 2
例4.已知函数y log 2 (3 ax )在 1, 2 上是x的 减函数, 求实数a的取值范围.
变式 :已知函数y log a ( 2 ax )在 0,1 上是x的 减函数, 求实数a的取值范围.
a 1 例5.已知a 0, 且a 1, f (log a x ) 2 x . a 1 x (1)求f ( x )； ( 2)判断f ( x )的单调性； (3)对于f ( x )，当x ( 1,1)时有: f (1 m ) f ( 2m 1) 0, 求m的取值范围.
二.对数函数的综合应用
1 x 例1.已知函数f ( x ) log a ( a 0, a 1). 1 x (1)求f ( x )的定义域; ( 2)判断奇偶性并证明; (3)求使f ( x ) 0的x的取值范围.
2 例2.已知函数y log 2 1 . 1 x (1)求f ( x )的定义域; ( 2)判断奇偶性并证明; 1 1 (3)求函数f ( x )在 , 上的最值. 3 3
2 2
a 1
练习 : 求函数 1 y 2(log 2 x ) 4 log 0.5 x 5, x , 4 2 的最大值与最小值.
2
例8.若对于区间 m , n 上有意义的两个函数f x 与g x , 如果对任意的x m , n , 均有 f x g x 1, 则称f x 与g x 在 m , n 上是接近的, 否则称f x 与g x 在 m , n 上是非接近的.现有两个函数 : 1 f1 x log a x 3a , f 2 x log a (a 0, a 0) xa 给定区间 a 2, a 3 . (1)若f1 x , f 2 x 在给定的区间 a 2, a 3 上都有意义, 求a的取值范围. ( 2)讨论f1 x , f 2 x 在给定的区间 a 2, a 3 上是否是 接近的.
x
①求f ( x )的定义域和值域; ②判断并证明f ( x )的单调性.
( 4)求函数f ( x ) log 0.25 x 2 log 0.25 x 5在
2
x 2, 4 上的最大值与最小值.
9 57 0a 12
1 ax 例9.设f ( x ) log 1 为奇函数, a为常数. x 1 2 (1)求a的值; ( 2)试说明f ( x )在区间(1, )内单调递增; (3)若对于区间[3, 4]的每一个x值, 不等式 1 f ( x) m 2 求实数m的取值范围. (创新设计P75,T5 )
例6.已知函数y log 1 x ax a 在区间
2
ห้องสมุดไป่ตู้
,1 3 上是增函数, 求实数a的取值范围.
22 3 a 2
2
1 例7.若不等式2 log a x 0,当x 0, 时 2 恒成立, 求a的取值范围.
x
1 2
对数函数及其性质
(4)
对数函数的应用
一、对数函数的实际应用 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公 式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离 子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公 式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之 间的变化关系； (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.