第二章数值代数

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数值代数主要知识点

20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数，－范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2）了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。

数值代数---第二章第三节

计算机有限精度带来的问题

Format long X=4/3-1 Y=3*x Z=1-y
精确计算：z=0 数值结果：z=2.220446049e-16 （舍入得到的）

舍入误差是如何影响数值计算的？

例考虑用Matlab程序
x 0.988: 0.0001:1.012
y x7 7 x6 21x5 35x 4 35x3 21x 2 7 x 1 y ( x 1)
Plot(x,y)
源程序：第二章密度与误差分析\ploytry1, \ploytry2
7
基本运算的舍入误差
a和b是两个浮点数，考虑两者之间的加、减、乘、除运算。何谓上溢？何谓下溢？定理2.3.2（公理）基本浮点运算的相对误差界

浮点数运算满足的法则
a, b F fl (a b) a b(1 ), u.
fl ( x) x(1 ),
u
其中 u 为机器精度，即
1 1t , 用舍入法， u 2 1t , 用截法。
Matlab-使用IEEE双精度二进制

使用64个位存储一个数尾数符号 1位；尾数52位；阶码（包括符号）11位；机器精度
实数x→浮点数fl(x) (舍入或截断)
x 0.d1d2 dt dt 1 s fl ( x) 0.d1d2 dt
t 1
s
1 0.100 a 0.1001
t 2
1 1 t a 1 0.0 01 2 2 t 1
定理 2.3.1 设 m x M ，则
人物介绍：J.Wilkinson

数值代数

预备知识
什么是数值代数？ – 用数值的方法求解线性代数问题。数值代数的研究对象是什么？ – 数值计算方法。数值代数的研究内容是什么？ – 分析数值算法的精度、复杂度、稳定性。算法的精度Accuracy – 系统误差（算法本身的误差） – 舍入误差（计算过程的误差） – 绝对误差（准确值－近似值） – 相对误差（绝对误差／准确值）
求解多项式方程
问题：求多项式f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+xn的根。根的位置
z ≤ max{a0 ,1 + a1 , ,1 + an 1 } z≥ max{ , a0 + a1 , , a0 + an 1 } 1
0 ≤ k ≤ n 1
a0
z ≤ max (n ak
0 ≤ k ≤ n 1
j≠ j ≠k
迭代公式
xinew = xi
f ( xi ) ∏ ( xi x j )
j ≠i
上式也是求解
x1 + x2 + + xn = an 1 的Newton迭代公式。 k ∑ xi1 xik = (1) an k 1≤i1 <<ik ≤ n x1 x2 xn = (1) n a0
求解多项式方程
Laguerre方法求多项式f(x)=0的一个根方法原理
f ( x) = ( x z1 )( x z 2 ) ( x z n ) f ′( x) 1 1 1 A= = + ++ f ( x) x z1 x z 2 x zn f ′′( x) f ′( x) 1 1 1 = + ++ B= 2 f ( x) ( x z )2 ( x z )2 f ( x) ( x zn ) 1 2

数值代数课程

开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
数值线性代数,1. 徐树方，高立，张平文,北京大学出版社,2000；
矩阵计算的理论与方法,2. 徐树方,北京大学出版社,1995,Applied Numerical Linear Algebra,3. J.W.Demmel,Philadephia,1997,
向量范数和矩阵范数，线性方程组的敏度分析，基本运算的舍入误差分析，列主元 Gauss 消去法的舍入误差分析，计算解的精度估计和迭代改进。
三、最小二乘问题的解法(4学时)
最小二乘问题的数学理论，正交变换，正交化方法。
四、线性方程组的古典迭代解法(8学时)
Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代，收敛性分析，模型问题，超松弛迭代法。
教学评估
胡俊：
本课程以课堂讲授为主，辅以课后作业和上机实验。本课程每周3学时, 按每学期17周计, 共计51学时。为了学生更好地掌握所学方法, 每周应安排3小时的上机实验, 实验内容和题目可根据学生的具体情况来安排。本大纲所包括内容可根据具体情况进行适当的增减。
平时成绩40%（上机作业20%，书面作业20%），期末考试成绩60%
五、共轭梯度法(6学时)
最速下降法，共轭梯度法及其基本性质，实用共轭梯度法及其收敛性，预优共轭梯度法，Krylov 子空间法。
六、非对称特征值问题的计算方法(10学时)
基本概念与性质，幂法，反幂法，QR 方法，求解矩阵广义特征值问题的QZ方法。
七、对称特征值问题的计算方法(8学时)
基本性质，对称 QR 方法，Jacobi 方法，二分法，分而治之法。

第二章数值代数

x1 2x2 2x3 2x1 2x2 x3
2 1
3x1 2x2 x3 9
1 2 2 2
[A b] 2 2 1 1
3
2
1 9
1 2 2 2 0 2 5 3 0 8 5 3
回代过程:
x1
2x2 2x3 2 2x2 5x3 3
15x3 15
1 2 2 2 0 2 5 3 0 0 15 15
矩阵形式 Ax b 增广阵形式 [A | b]
顺序高斯消去法的主要思路：
将增广阵[A|b]中的系数矩阵 A 化为上三角矩阵，然后回代求解。分为消元过程 (elimination) 和回代过程 (backward substitution)
=
举例（一）
例：用顺序高斯消去法求解解：消元过程：
2 0
6 4
1 5
0.5
8.5
0 4 0.5 8.5 (选主元) 0 0 1.5 1.5
回代: 42x2x10.65xx23x83.5, 5, 1.5x3 1.5.
x3 x2
1, 2,
x1 3.
举例（二）
例：取8位有效数字，分别用Gauss消去法和列主元
Gauss消去法求解线性方程组:
解
a%11 x1
L
L
a%1n xn
b%1
a%m1
x1
L
a%mn xn
b%m
2. 顺序高斯(Gauss)消去法
考虑 n 阶线性方程组：
a11x1 a12x2 ... a1nxn b1
a21
x1
a22x2 M
... M
a2n xn
b2 M
an1x1 an2x2 ... annxn bn

《数值代数》课程教学大纲.doc

《数值代数》课程教学大纲Numerical Algebra课程代码：课程性质：专业方向理论课庞修适用专业：信息计算开课学期：7总学时数：48总学分数：3编写年月：200徉阴修订年月：200强阴执笔：徐圣兵一、课程的性质和目的本课程是信息与计算科学专业信息计算方向的一门专业方向选修课，它是科学与工程计算的核心。

本课程的主要内容就是，如何针对各类科学与工程问题所提出的矩阵计算问题的特点，设计出相应的快速可靠的算法。

要求学生根据计算机的特点研究计算时间最短、需要计算机内存最少的矩阵计算方法，并具备对矩阵计算问题的理论进行研究和探讨的能力，为参加大型科学工程计算实践打下必要的基础二、课程教学内容及学时分配第一章绪论（2学时）本章要求懂得数值代数研究的基本问题，了解研究数值方法的必要性，初步了解矩阵分解、敏度分析与误差分析、算法复杂性与收敛速度等数值代数的基本概念。

重点是要懂得数值代数所研究的基本问题。

本章知识点为：矩阵分解，敏度分析与误差分析，条件数，数值稳定性，算法复杂性与收敛速度。

_第二章线性方程组的直接解法（8学时，其中实验2学时）本章要求掌握解线性方程组的最基本的直接解法一Gauss消去法，懂得三角分解与选主元三角分解、平方根法、分块三角分解等算法。

重点掌握列主元三角分解算法。

本章知识点为：前代法，回代法，Gauss变换，三角分解，选主元三角分解，平方根法，改进平方根法，分块三角分解。

为进一步加强对线性方程组直接法求数值解的理解，安排实验一次:直接法求解线性方程组。

第三章线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析（8学时，其中实验2学时）本章要求掌握向量范数和矩阵范数的概念及其基本性质，懂得对线性方程组进行敏度分析和舍入误差讨论，并对列主元Gauss消去法进行详细的舍入误差分析，最后就是了解一种估计计算解的精度的实用方法以及改进其计算精度的迭代方法。

重点是对线性方程组进行敏度分析和舍入误差分析。

数值代数

５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U 都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。

因为A 非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。

因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。

即，从而即A的LU分解是唯一的。

20．证明：若是对称的，而且其前个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。

[证明] 先证明存在性。

根据定理1·1·2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU，且U的主对角线上元素除外，其余都不为零。

令，则有单位上三角阵使，即有又因为，则从而根据L和的可逆性知：该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。

因此它们等于对角阵。

再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。

因此两端都等于D。

于是从而有再证唯一性。

令，故有。

左边为下三角阵，右边为上三角阵，故等于对角阵。

又因，故。

22．利用改进的平方根法设计一种计算正定对称矩阵的逆的算法。

[解] 算法可分为以下几个步骤：（1）首先利用算法1·3·2计算出正定矩阵的如下分解其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。

（2）求解矩阵方程其解矩阵.（3）求解矩阵方程其解矩阵（4）求解矩阵方程其解矩阵[注意] 以上（2）、（3）、（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。

2.7 设是上的一个向量范数，并且设. 证明：若，则是上的一个向量范数。

证明当时，当且仅当是上的零向量。

再由假设是上的一个向量范数，于是可证得满足：正定性。

事实上，对任意，，而且当且仅当.齐次性。

事实上，对所有的和有，因此.三角不等式。

事实上，对所有的有，因此有２．设求对应的ＬＳ问题的全部解．［解］由定理３.1.4可知, ＬＳ问题的解就是下列正则化方程组解：经初等行变换得其同解方程组从而即,其中3.设,求一个Householder变换和一个正数使得[解]由于2范数具有正交不变性, 故. 于是于是,令那么,可以验证满足该题的要求.1. 设方程组的系数矩阵为证明：对来说，Jacobi迭代不收敛，而G-S迭代收敛；而对来说，Jacobi迭代收敛，而G-S迭代不收敛。

数学专业的数值代数研究

数学专业的数值代数研究数值代数是应用数学的一个重要分支，它研究的是线性代数和数值计算在科学和工程领域中的应用。

数学专业的学生在学习过程中需要深入了解数值代数的原理和应用，以提高他们在实际问题中的计算和分析能力。

本文将深入探讨数值代数的相关内容。

一、数值代数的基本概念和方法数值代数是现代数学的重要分支，它主要研究线性代数和数值计算的结合。

线性代数是数值代数的基础，它研究的是向量空间、线性变换、线性方程组等概念和方法。

而数值计算则是应用数学的一个重要方向，它通过使用数值方法来解决实际问题中的数学计算和模拟。

在数值代数中，我们经常会遇到线性方程组的求解问题。

线性方程组是数值代数中的一个基本概念，它是由一组线性方程组成的方程组。

解线性方程组的过程就是找到满足所有方程的解。

数值代数提供了多种方法来求解线性方程组，比如高斯消元法、LU分解法、迭代法等。

每种方法都有其适用范围和特点，需要根据具体情况选择合适的方法来求解。

二、数值代数的应用领域数值代数在科学和工程领域中具有广泛的应用。

在物理学中，数值代数可以用来模拟天体运动、电磁场分布等问题。

在工程领域中，数值代数可以用来计算结构力学、流体力学等问题。

此外，数值代数还应用于计算机图形学、计算机辅助设计等领域。

数值代数还与其他学科有着密切的关联。

在统计学中，数值代数可以用来进行数据拟合和参数估计。

在金融学中，数值代数可以用来对金融模型进行求解和优化。

在计算机科学中，数值代数可以用来进行矩阵计算和图像处理。

三、数值代数的发展和挑战随着科学技术的不断发展，数值代数在计算能力和应用领域上都面临着巨大的挑战。

首先，数值代数需要处理的问题越来越复杂，需要更加高效和精确的算法来求解。

其次，随着大数据时代的到来，数值代数需要处理的数据规模越来越大，对计算能力和存储能力提出了更高的要求。

最后，数值代数的发展也面临着理论和方法的创新，需要不断提出新的算法和模型来解决实际问题。

为了应对这些挑战，数值代数的研究者们需要不断地深入研究数值方法和算法，提高计算效率和求解精度。

数值代数-第二章第五节

已知，如何估计
A1 ?
思路：取
x0
1,
使得
A 1 x0 尽可能大。
.
2
盲人爬山法
B max Bx
设 B Cnn,估计
1
x 1 1
1。定义
nn
f (x)
Bx 1 i 1
bij x j , D
j 1
xRn :
x 1 1
。
f 凸函数,D 凸集。凸函数在凸集的边界上取得最值。
.
3
定理 2.5.1 假定 B, x0,v,w和 z 如上所述,则有
else
x ej , 其中 zj
z
;k=1
end
end
.
5
估计计算解的精度
x xˆ A
A1
r
x
b
.
6
算法 (估计逆矩阵的无穷范数) k=1 while k=1
解 AT w x;v=sgn(w); Az v ;
if z zT x,
v w 1;k=0 else
x ej , 其中 z j z ；k=1
称A 正的定特若征不值然x，/T*Ae则xigeA 0nx 存va 在lu0 e非存*/零在i解>非。0零解，即
*/
Ak
亦对
A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) > 0
.
12
设 A Rnn ，则下述命题等价：
（1）A 正定；
A AT （2）A 的对称分量 S 2 正定；
（3）存在
P
R nn n
其中 D=diag(A).
.
11
对称正定 PK 正定
定义一个矩阵 A = ( aij )nn 称为对称阵，如果 aij = aji 。

数学中的数值代数与数值微分方程

数学中的数值代数与数值微分方程数值代数（Numerical Algebra）是数学中的一个重要分支，它运用数值计算方法处理代数问题，解决各类线性和非线性代数问题。

数值微分方程（Numerical Differential Equations）是数学中研究微分方程在数值计算上的解法，通常通过一系列数值逼近方法来得到微分方程的数值解。

本文将探讨数学中的数值代数与数值微分方程的相关内容，介绍其基本概念和应用。

一、数值代数1. 线性方程组的数值解法线性方程组是数值代数中的经典问题之一。

对于形如Ax = b的线性方程组，其中A是一个已知的矩阵，x和b是向量，我们可以通过高斯消元法、LU分解法、迭代法等一系列数值方法求解。

这些方法可以在计算机上进行迭代计算，得到线性方程组的近似解。

2. 矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量是矩阵理论与数值代数中的重要概念。

它们在各个领域中都有广泛的应用，如物理学、力学、化学等。

数值计算矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解和分析问题。

3. 多项式插值与拟合多项式插值与拟合是数值代数中的重要内容，在实际问题中有着广泛的应用。

通过给定的数据点，我们可以利用插值多项式或拟合多项式来逼近真实函数，从而在给定区间内近似计算函数的值。

在计算机图形学、数据分析、信号处理等领域中都有着重要的应用。

二、数值微分方程1. 常微分方程与数值解法常微分方程是数学中研究物理、生物等领域中连续变化的规律的数学模型。

通常情况下，我们无法得到常微分方程的解析解，因此需要使用数值方法求解。

常见的数值解法包括Euler方法、Runge-Kutta方法等，它们通过离散化时间步长，逐步逼近微分方程的解。

2. 偏微分方程与数值解法偏微分方程是描述多维空间中连续变化的规律的数学模型。

与常微分方程类似，偏微分方程的解析解很难获得，需要借助数值方法求解。

常见的数值解法包括有限差分法、有限元法、谱方法等，它们将偏微分方程离散化为代数方程组，通过求解代数方程组得到数值解。

2.2 代数式的值(课件)2024-2025-华东师大版数学七年级上册

3-2.已知 x+y=－3，则7－2x－2y=___1_3____ .
感悟新知
知1－练
例4 [中考·金华]如图 2.2-1 ①，将长为 2a+3、宽为 2a 的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2.2-1 ②)，得到大小两个正方形． (1) 用含 a 的代数式表示图 2.2-1 ②中小正方形的边长． (2) 当 a=3 时，该小正方形的面积是多少？
解： S＝23ab＋12π×a22＝23ab＋π8a2(cm2)．
感悟新知
(2) 当 a =15， b =8 时，求 S 的值( π 取 3.14，结果保留两位小数) . 解：当 a＝15，b＝8，π 取 3.14 时， S＝23×15×8＋3.814×152≈168.31(cm2)．
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.如果 |a+3| 与(b － 2)2互为相反数，那么代数式 (a+b)2 024的值是( ALeabharlann )A.1B. － 1
C.0
D.± 1
感悟新知
例3 [中考 ·巴中] [教材 P94 习题 A 组 T3 ]若 x 满足知1－练
x2+3x － 5=0，则代数式2x2+6x － 3 的值为( B )
感悟新知
知1－练
例2 若 | a |=2， | b |=3，且 ab<0， a>b，求(a+b) a的值 . 解题秘方：根据条件求出字母的取值，然后代入求值 .
解：因为 ab<0， a>b，所以 a>0， b<0. 又因为 |a|=2， |b|=3，所以 a=2， b= － 3. 所以 a+b= － 1. 所以(a+b) a=( － 1) 2=1.

数值代数知识点总结

数值代数知识点总结一、基本运算1.加减乘除加减乘除是数值代数中最基本的四则运算。

在进行加减乘除运算时，我们需要遵循一定的运算法则，比如乘除优先于加减，带括号的部分先进行运算等。

同时，我们需要注意运算符的优先级和结合性，以及负数的运算规则。

2.整数的性质在代数中，我们经常会接触到整数，整数在加减乘除以及求幂运算中有着独特的性质。

比如，整数的加法和乘法具有封闭性、结合性和交换性，整数的乘法对加法有分配律等。

3.分数的加减乘除分数是数值代数中重要的概念，我们经常需要对分数进行加减乘除运算。

比如，分数的加减法需要找到它们的公共分母，分数的乘法是将分子和分母相乘，分数的除法是将除数倒数后再和被除数相乘等。

4.多项式的运算多项式是代数中的一种特殊形式，它是由数和字母的乘积组成的。

对多项式进行加减乘除的运算需要掌握多项式的规范形式、同类项的概念、加减法的运算法则、乘法的分配律等。

5.绝对值在数值代数中，绝对值是一个重要的概念，它表示一个数到原点的距离，是一个非负数。

对绝对值进行运算时，我们需要注意它的性质，比如绝对值的基本性质、绝对值不等式等。

二、方程和不等式1.一元一次方程一元一次方程是数值代数中最基础的方程类型，它的解法包括用逆运算法则、移项变号、求等值代换等。

解一元一次方程时，我们需要注意去分母、去括号、合并同类项等步骤。

同时，我们还需要注意方程的等效变形和检验解的方法。

2.一元一次不等式一元一次不等式是数值代数中的另一个重要概念，解一元一次不等式时，我们需要考虑不等号的性质和方向，以及解法中的变号不等式的性质。

3.方程组和不等式组方程组和不等式组是由多个方程或不等式组成的一个系统，我们需要掌握用消元法和代入法来解方程组，以及用图象法和数值法来解不等式组的方法。

4.二次方程和二次不等式二次方程和二次不等式是数值代数中比较复杂的方程类型，解这类方程时，我们需要掌握配方法、公式法、因式分解等方法，解二次不等式时，需要理解不等式性质和判别式等概念。

第二章 数值代数

数值代数主要知识点

数值代数---第二章第三节

数值代数

数值代数课程

第二章 数值代数

《数值代数》课程教学大纲.doc

数值代数

数学专业的数值代数研究

数值代数-第二章第五节

数学中的数值代数与数值微分方程

2.2 代数式的值(课件)2024-2025-华东师大版数学七年级上册

数值代数知识点总结

第二章数值代数

第二章数值代数