高中数学直线和圆的方程复习训练
高考数学直线与圆的方程复习题及答案
高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
高中数学 第二章 直线和圆的方程 课后练习、课时练习
一、单选题1. 已知直线：与：垂直，则实数a的值为（）A．0或3 B．0或-3 C．-3 D．02. 已知为圆内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（）A．B．C．D．3. 点在圆上运动，则和的最大值分别为（）A．6 ，B．5，C．6，D．5，4. 以点为圆心，2为半径的圆的标准方程为（）A．B．C．D．5. 点在直线上，则的最小值是（）A．8 B．2 C．D．166. 若直线与平行，则的值为（）A．0 B．2 C．3 D．2或3二、多选题7. 设有一组圆：，（），则下列命题正确的是（）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．存在一条定直线始终与圆相切D．若，则圆上总存在两点到原点的距离为18. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）A．B．所在直线的方程为C．四边形的外接圆方程为D．的面积为三、填空题9. 过点，且倾斜角为的直线的方程为________．10. 已知圆，直线，则圆关于直线对称的圆的标准方程为______.11. 过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．12. 已知两条平行直线和之间的距离等于2，则实数的值为________．四、解答题13. 已知圆，点在圆C上.过P点作两条倾斜角互补的直线，，分别交圆C于、两点.(1)求圆C的方程；(2)若点A是圆C与x轴正半轴的交点，求直线AB的方程；(3)求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.14. 已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．15. (1)求与x轴切于点(5,0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程．(2)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．16. 设，若，，求的最小值.。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (5)(含答案解析)
B． 的最大值是
C．过点 做 的切线，则切线方程为
D．过点 做 的切线，则切线方程为
19．已知直线 ： 与 ： 平行，则 的值可能是（）
A．1B．2C．3D．5
三、填空题
20．已知 方程为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，则弦 中点 的轨迹方程为___________.
21．圆 关于直线 对称的圆的方程为___________.
2．C
【解析】
先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解.
圆 ： 的圆心坐标为 ，圆 ： 的圆心为 ，
由题得线段 的垂直平分线就是两圆的连心线，
所以 ,
所以线段 的垂直平分线为 .
所以线段 的垂直平分线为 .
故选：C
方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．D
【解析】
由|PA|=2|PB|得动点 的轨迹方程为圆 ，将题意转化为两圆有交点，根据两圆的位置关系列出关于 的不等式解出即可.
设 的坐标为 ，
因为|PA|=2|PB|，A(-2，0)，B(1，0)，即 ，
化简得： ，
又因为点 在圆 上，
所以 ， ，解得 ，
故选：D.
关键点点睛：（1）根据题意得出动点的轨迹为圆；
（2）当 时， 为方程 表示曲线上的任意一个点，求 到直线 距离的最大值.
39．（1）求过点 且与原点距离为2的直线方程；
（2）求过直线 与 的交点，并且与 垂直的直线方程.
40．已知圆 经过 ， ， 三点，直线 过定点 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
高中数学 直线和圆的方程十年高考题(带详细解析) 知识点+例题
直线和圆的方程一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95B.91C.88D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ）A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（ ） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（ ）A.21B.22C.23D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 11.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ）A.等于0B.等于4π C.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（ ）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（ ） A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1 C.x －y =1 D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（ ） A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（3,33） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ） A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）A.6πB.4π C ．3πD.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ）A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A A D.2121A A B B =122.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ）A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（ ）A.－3B.－6C.－23 D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］ D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ） A.25B.5C.23D.25图7—130.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x －1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为．34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b） C1∩C2的一个充分条件为．37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程.46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D 两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B 解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个） 评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．图7—2解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案． 7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>00y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.图7—3图7—4解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1 解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t·xy=－1，得x +ty =0 ①∵|OP |=|OQ |，∴2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1②由①得t =－y x ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21y）=0.∵x 2+y 2≠0，∴1－21y=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的斜率k 2＝23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ． 解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美图7—5结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（4π－12π，4π）∪（4π，4π+12π）即:（6π，4π）∪（4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.18.答案：B解析：由方程（x +2）2+（y －2）2=4如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称 故选B.评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.19.答案：C解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C解析：如图7—7所示，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+4032322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A图7—6图7—7解法一：当两直线的斜率都存在时，－11B A ·（22B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或， 同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22.答案：C解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－a A sin ，k 2=Bbsin . 由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·Bbsin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.23.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B解析一：若两直线平行，则22123-≠-=a ， 解得a ＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0， 当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）图7—8不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0，d =55|5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5. 评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形P ACB ＝2S △P AC图7—9＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形P ACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S P ACD =22. 34.答案：34解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为34． 解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43， 图7—10图7—11即tan α＝43 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=∅或P ∉C 1等解析：点P （a ，b ）∉C 1∩C 2，则 可能点P 不在曲线C 1上； 可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上； 可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0 解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2 ① （x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2 ② （a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为： （x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0， 即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1 解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°. 又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426k k k ++-=6，解得k =1.解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4 解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理， 得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3. ① ②图7—12所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9314. 但y =－9314不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310.又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0． 解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．45.解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0. |y 1－y 2|=222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2②由①、②，得2b 2－a 2=1又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为55， 得d =555|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得⎩⎨⎧=-=-;12,1222b a a b 或⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a于是r 2=2b 2=2.所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2. 46.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1， 从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1 当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =， 又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2） 由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====.由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13 将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.48.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2= t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t1（x －1），令x =0得y =t +t 1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t)1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞ S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 图7—13图7—14当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.49.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）； 当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆. 评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.图7—15。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(含答案解析)
一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。
高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)
直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，P 、Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则EPQ △周长的最小值为（ ）A ．BC ．D ．2．已知直线l 过定点()0,1，则“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一束光线，从点A (-2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：()()22331x y -+-=上的最短路径的长度是（ ）A ．1B ．1C ．1D ．14．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．2y x =-+ D ．2y x =+5．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ）A ．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+6．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，则41b c+的最小值是（ ）. A ．9 B ．8 C ．4 D ．28．在[2-，2]上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．349．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4二、多选题10．定义点()00,P x y 到直线l :()2200ax by c a b ++=+≠的有向距离为=d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d .以下命题不正确的是（ ） A ．若121d d ==，则直线12PP 与直线l 平行 B ．若11d =，21d =-，则直线12PP 与直线l 垂直 C ．若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直 D ．若120d d ⋅≤，则直线12PP 与直线l 相交11．已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．412．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 15．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是______．17．已知点Q 是直线l ：40x y --=上的动点，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，18．已知直线:l y x b =+，曲线:C y b 的取值范围是______． 19．已知()3,1A -，()5,2B -，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则点P 的坐标是___________.20．已知圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，且与直线20x y -=相交于,A B 两点，若AB 4=，则实数m =___________.21．已知直线l 经过点()4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程______． 22．已知(),P x y 为圆221x y +=上的动点，则3410x y ++的最大值为________．23．设点P (x ，y )是圆C ：x 2+(y -2)2=1上的动点，定点A (1，0)，B (－1，0)，则PA PB ⋅的最大值为_____24．已知(),0C m ，若以C 为圆心的圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则圆C 的标准方程是______．25．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______. 26．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________. 27．已知复数z 满足1i z z -=-（其中i 为虚数单位），则2i z +-的最小值为________． 28．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈与圆222(1)(0)x y r r -+=>交于A ，B 两点，C 为圆心，当实数m 变化时，ABC 面积的最大值为4，则2mr =______.29．圆2221: 290C x y ax a +++-=和圆2222: 4140C x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2241a b +的最小值为___________. 30．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.四、解答题31．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.32．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=.（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 33．已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求斜率为1且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP △面积的最大值.34．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质： （1）120APBAPC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．35．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值36．已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 37．如图，已知圆()22:19M x y -+=，点()2,1A -．（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围．38．已知直线l ：450x ay +-=与直线l ′：20x y -=相互垂直，圆C 的圆心与点(2，1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (-1，-1)． （1）求直线l 与圆C 的方程．（2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ =0，求证：直线PQ 的斜率为1．39．已知直线l ：10x y -+=，点()12，A --． （1）求过点A 且与l 垂直的直线方程； （2）求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；40．已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12//l l ()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l（1）A 点坐标； （2）直线l 的方程．41．已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分∠EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．42．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()30A -,. （1）设动点(),M x y ，满足2=MA MO ，求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知Q 点的坐标为()3,3-，求过点Q 且与C 相切的直线方程.43．已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交； （3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．44．如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB 的面积为24.点P 为线段AB 上一动点，且//PQ OB 交OA 于点Q .（1）求直线AB 斜率的大小； （2）若APQ 的面积APQS与四边形OQPB 的面积OQPB S 满足：13APQ OQPB S S =△时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.45．已知ABC 的三个顶点()30A -，，2(3)B -，，(01)C ，. （1）求ABC 外接圆的方程； （2）求ABC 内切圆的方程.46．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .（1）求切点1P 坐标和切点n P 的坐标；（2）已知()f x x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭n n x y <.47．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，（1）求AB 所在圆与CB 所在圆的公共弦方程； （2）求CB 与BA 的公切线方程.48．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45︒的方向做匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1tan 2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方向作匀速直线航行，速度为/小时.（1）求出发后3小时两船相距多少海里？ （2）求两船出发后多长时间距离最近？49．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程； （2）当1t =时，求点P 的横坐标； （3）求PBC 面积的最小值.五、双空题50．已知直线1:30l x y -+=，2:20l x y +=相交于点A ，则点A 的坐标为_________，圆22:+C x y 2410x y -++=，过点A 作圆C 的切线，则切线方程为__________.【答案与解析】1．B 【解析】先分析出P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，过P 作在平面BCC 1B 1的投影P ',连接,P Q P E '',则,PQ P Q PE P E ''>>,所以只有P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，把△PEQ 的周长转化为PQ PN QM ++，当,,,N P Q M 共线时，周长最短，即可求解.所以△PEQ 的周长可以转化为PQ PN QM ++. 当,,,N P Q M 共线时，周长最短.则=PQ PN QM MN ++.因为E 为中点,所以111,1C N C E CM CE ====，所以△PEQ 的周长为MN即EPQ △. 故选:B距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 2．B 【解析】首先根据题意求直线l ，再判断充分，必要条件. 当直线斜率存在时，直线l 的方程是1y kx =+，圆心()2,0到直线10kx y -+=的距离2d =，解得：34k =，当直线斜率不存在时，直线l 的方程是0x =与圆()2224x y -+=相切，综上可知，“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的必要不充分条件.故选：B 3．A 【解析】求出点A 关于x 轴对称点A '，再求点A '与圆C 上的点距离最小值即可. 依题意，圆C 的圆心(3,3)C ，半径1r =，点A (-2，2)关于x 轴对称点(2,2)A '--，连A C '交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，如图，圆外一点与圆上的点距离最小值是圆外这点到圆心距离减去圆的半径，于是得点A '与圆C 上的点距离最小值为1A B A C r ''=-=1=， 在x 轴上任取点P ，连,,AP A P PC '，PC 交圆C 于点B '，而,AO A O AP A P ''==，AO OB A O OB A B A C r A P PC r AP PB '''''+=+==-≤+-=+，当且仅当点P 与O 重合时取“=”，所以最短路径的长度是1. 故选：A 4．D 【解析】本题首先可求出两圆的圆心，然后根据题意得出直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果. 224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，224440x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为2，因为圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称， 所以直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直， 则直线l 过点()1,1-，斜率112020k，故直线方程为11y x -=+，即2y x =+， 故选：D. 5．A 【解析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB＝2，BC ，则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=；故选：A ．6．C【解析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9 故选：C 7．A 【解析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解：圆22250x y y +--= 即22(1)6x y +-=，表示以(0,1)C 的圆． 由于直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，故有1b c +=．∴()()5414152494c b c b b c b cb c +=+=++++= 当且仅当223b c ==时，取等号， 故41b c+的最小值为9， 故选：A ． 8．B 【解析】先求出直线与圆有公共点的k 值区间，再利用几何概型即可求出概率.显然，圆(224x y -+=的圆心坐标为0)，半径为2，直线y kx =与圆(224x y -+=2≤，解得11k -≤≤，在[2-，2]上随机取一个数k 的试验的全部结果构成的区间长度为4，“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”的事件A 的区间长度为2，于是得21()42P A ==，事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为12.故选：B 9．C 【解析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d =<（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC ==解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 10．BCD 【解析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可 设()111,P x y , ()222,P x y ,选项A, 若121d d ==, 则1122ax by c ax by c ++=++=则点12,P P 在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP 与直线l 平行, 所以正确;选项B, 点12,P P 在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等, 直线12PP 不一定与l 垂直, 所以错误; 选项C, 若120d d ==, 满足120d d +=, 即11220ax by c ax by c ++=++=, 则点12,P P 都在直线l 上, 所以此时直线12PP 与直线l 重合, 所以错误; 选项D, 若120d d ⋅≤, 即()()11220ax by c ax by c ++++≤, 所以点12,P P 分别位于直线l 的两侧或在直线l 上, 所以直线12PP 与直线l 相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 11．AC 【解析】根据ABC 的形状先判断出CAB ∠的大小，然后结合圆心到直线的距离d 以及sin CAB ∠的取值范围求解出a 的取值范围.由题意，圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒， 设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则0sin 2d CAB r <∠==<， 且直线不经过圆心，即20a a +-≠，整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<+，且1a ≠.所以()(21,2a ∈⋃. 故选：AC. 12．ABD 【解析】对A ，根据斜率相乘为1-可判断；对B ，可直接求出定点可判断；对C ，取特殊的点代入即可判断；对D ，联立直线求出交点即可表示出MO 即可求出最值.对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO MO，故D 正确. 故选：ABD. 13．ABD 【解析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为44，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误； 对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确； 故选：ABD ． 14．BCD 【解析】首先求出线段AB 的中点，即可求出线段AB 的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出P 到直线AB 的距离的最值，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，数形结合即可求出cos APB ∠的最大值； 解：(4,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的中点为()2,1M ，201042AB k -==--，所以线段AB 的垂直平分线为()122y x -=-，即23y x =-，因为圆C ：()()22455x y -+-=，圆心()4,5C ，半径r = 又点()4,5C 恰在直线23y x =-上，所以点P 到直线AB 的距离最小值为2CM r -=，最大值为6CM r +=，由正弦定理可知，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，此时cos APB ∠最大，此时P 恰在23y x =-与()()22455x y -+-=的一个交点上，由()()2245523x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩解得57x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以()5,7P ，所以AP =PMcos PM APM AP ∠==24cos cos 22cos 15APB APM APM ∠=∠=∠-=，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，此时2APB π∠=，故C 、D 正确；故选：BCD15．AC 【解析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解.选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成11y y x x y y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b+=， 因为过定点(3,4)P ，所以341a b +=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况， 故综合起来应该有7条，故选项D 错误． 故选：AC.16．(3230x y -- 【解析】先求出射线OA ，OB 的方程，(),A m m，(),B n ，可得点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =以及Ap BP k k =列方程组可得m 的值，再求出Ap k ，由点斜式可得直线方程. 由题意可得tan 451OA k ==，()3tan 18030tan1503OB k =-==-，所以直线OA 的方程：y x =，直线OB 的方程：y =， 设(),A m m ，(),B n ，所以AB 的中点2m n C ⎫+⎪⎪⎝⎭， 由点C 在直线12y x =上，且,,A P B 三点共线得：12201m n m m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：m ，所以A又()1,0P，所以AB AP k k =，所以直线AB 的方程是：)1y x =-，即(3230xy --=， 故答案为：(3230x y --=. 17．(1，－1) 【解析】恒过的定点坐标.由题意可设Q 的坐标为(m ，n )，则m －n －4＝0，即m ＝n ＋4，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为mx ＋ny －4＝0，又由m ＝n ＋4，则直线AB 的方程变形可得nx ＋ny ＋4x －4＝0，则有0440x y x +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则直线AB 恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).18．1b ≤<【解析】由直线、曲线方程画出对应的图形，应用数形结合法，确定对应图形有两个交点时参数b 的取值范围.y x b =+表示斜率为1的平行直线系；y x 轴及其上方的半圆，如图所示．当l 通过()1,0A -，()0,1B 时，l 与C 有两交点，此时1b =，记为1l ；当l 与半圆相切时，此时b =2l ； 当l 夹在1l 与2l 之间时，l 和C 有两个不同的公共点．综上，1b ≤<故答案为：1b ≤<19．1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求出点A 关于直线0x y +=的对称点E ，则直线BE 与0x y +=的交点即为所求. 点()3,1A -关于直线0x y +=的对称点为()1,3E -，又()5,2B -， 则直线BE 的方程为135123x y -+=--+，即4130x y --=，联立41300x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得135x =，135y =-，所以使PA PB +取最小值的点P 的坐标是1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．-7 【解析】根据题意可知半径r m =-，进而算出圆心到直线的距离，再根据弦长为4，通过勾股定理列出等式即可解出.因为圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，所以半径r m =-，圆心到直线20x y -=的距离d =又因为AB 4=，由()2222212||425m AB r d m -⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，因为0m <，所以7m =-. 故答案为：-7.21．7y x =-+或34y x = 【解析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为1-，或直线过原点，结合直线过点()4,3P 即可求解，有两种情况因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为1-，或直线过原点，当直线斜率为1-时，因为直线过点()4,3P ，根据点斜式，直线方程为：()34y x -=--，化简得：7y x =-+； 当直线过原点时，34k =，所以直线方程为34y x =故答案为：7y x =-+或3y x =22．15 【解析】设3410t x y =++，即34100x y t ++-=，由直线与圆相切可得t 的范围，即可求解. 设3410t x y =++，则34100x y t ++-=，直线与圆相切时圆心()0,0到直线34100x y t ++-=的距离1d =，1=，解得：5t =或15t =，所以515t ≤≤，所以5341015x y ≤++≤， 所以3410x y ++的最大值为15， 故答案为：15. 23．8 【解析】用点P 的坐标表示出PA ，PB ，再求出PA PB ⋅并借助点P 在圆C 上的条件即可作答. 因点(,)P x y 在圆C 上，即22(2)1x y +-=，则22(1)2x y =--，且13y ≤≤， 而(1,),(1,)P PA x y x y B =--=---，于是得22221(2)44PA x y y y y PB ⋅=-+=--+=-，显然44y -在[1,3]y ∈上单调递增，则当3y =时，max (44)8y -=，即max ()8P PA B ⋅=， 所以PA PB ⋅的最大值为8. 故答案为：824．()22740x y -+=． 【解析】根据题意直接可求出n ，再根据切线的性质可得直线CT 与直线310x y +-=垂直，从而求出m ，进而求得半径，即可得出答案.解：根据题意，圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ， 则()1,T n 在直线310x y +-=上，则有310n +-=，解可得2n =-， 又由圆心C 的坐标为(),0m ，直线310x y +-=的斜率为3-， 则有0113n m -=-，解可得7m =，圆的半径r TC == 故圆C 的标准方程是()22740x y -+=； 故答案为：()22740x y -+=． 25．(1,2) 【解析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --= 点()00,x y 到直线l的距离为d===()20150y x =-+>在01x =时，min d ==02y =，故答案为：(1,2) 26【解析】根据题意,设原点到直线的距离为d ,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M (1,2),分析可得d OM ≤，即可得答案.根据题意，设原点到直线的距离为d .直线()()():1130l m x m y m ++-+-=,即()130m x y x y -+++-=则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即直线l 恒过定点(1,2).设M (1,2),则d OM ≤即原点到直线l故答案为:.27【解析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数1和i 对应点(1,0)A ，(0,1)B 距离相等，即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则2i z +-的最小值即可转化为点(2,1)-到垂直平分线的距离求解．如图所示,设复数z ，1，i 对应的点分别为(),P x y ，(1,0)A ，(0,1)B , 由题意1i z z -=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:0x y -=, 由|i 2i ||(2)(1)i |2i z x y x y =++-=+-++-,所以2i z +-的最小值即为点(2,1)C -到直线l 的距离,则由d CP ==,即2i z +-的故答案为:本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题． 28．4-或28-． 【解析】求出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出弦长，计算ABC 的面积，从而求出直线的斜率与方程．解：直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈， 直线l 的方程可化为：()(23)0x y m x y -++++=， 可得230y xx y =⎧⎨++=⎩，直线恒过：(1,1)--．圆222(1)(0)x y r r -+=>的圆心(1,0)，半径为：r ． 圆心C 到直线l 的距离为：d ；所以三角形ABC 的面积为211||22ABCS AB d r =⋅⋅≤，2142r =，解得r =2d =．2，解得12m =-或72m =-所以，24mr =-或28-． 故答案为：4-或28-． 29．4 【解析】首先将两圆方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相内切，即可得到31-，从而得到2244a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；解：因为圆2221:290C x y ax a +++-=和圆2222:4140C x y by b +--+=，所以圆()221:9C x a y ++=和圆()222:21C x y b +-=，圆心分别为()1,0C a -，()20,2C b ，半径分别为3和1，依题意可知两圆31=-，所以2244a b +=，因为a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，所以()22222222224416411111884444a b a b a a b b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝+⎝⎭，当且仅当222216b a a b =时，等号成立，所以2241a b +的最小值为4； 故答案为：430．【解析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =， 所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠， 圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大， 此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：31．（1）40x -=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）算出OP k ，然后可算出答案；（2）可得()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，然后表示出直线1AQ ，2AQ 的方程，然后可得0m =n =，然后可算出mn 的值.（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O在点P处的切线方程为)1y x =-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x=，得0m =由20:1)AQ y x -，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 32．（1）158390x y +-=或1x =；（2）()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由条件求出圆心到直线l 的距离，然后分直线l 的斜率不存在、直线l 的斜率存在两种情况求解即可；（2）设()00,N x y ，(),P x y ，然后由()()2200214x y -++=，中点坐标公式可得答案.（1）因为直线l 被圆C截得的弦长为所以圆心到直线l1=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，满足 当直线l 的斜率存在时，则其方程为()13y k x =-+所以1518d k ==⇒=-，此时直线方程为158390x y +-= 综上：直线方程为158390x y +-=或1x = （2）设()00,N x y ，(),P x y 则()()2200214x y -++= 因为P 是MN 中点，则满足000012122332x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入方程得：()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭33．（1）1y x =±；（2）10+【解析】（1）设直线方程为：y x b =+，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解. （2）易得点P 到直线AB 的距离的最大值为圆心到直线的距离d 与圆的半径之和，即max h d r =+，然后()()max12ABP SAB d r =⨯⨯+求解. （1）设直线方程为：y x b =+， 圆C ：()2214x y ++=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即21d b ==⇒=±，所以直线l 方程为：1y x =±.（2）AB == 直线AB 的方程为：4y x =-+，圆心到到直线AB 的距离为：d ==所以点P 到直线AB 的距离的最大值为max 2h d r =+，所以()max 12102ABP S⎫=⨯=+⎪⎪⎝⎭.34．2【解析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果． 根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC 是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合， 令ABC 的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC 是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =a =P ⎫∴⎪⎪⎝⎭到A 、B 、C 的距离分别为PA PB =2PC =，,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=35．（1）2122k y kx =++；（2）2；（3）-【解析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A 点落在G 点，则斜率相乘为1-，从而得到G 点的坐标关于k 的表达式，写出折痕所在的直线方程（2）当20k -+≤≤，分析可得折痕交在BC 和y 轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于k 的表达式，结合k 的范围求出最大值（3）当21k -≤≤-时，折痕交在DC 和x 轴上，求出PQ 的表达式，代入求出t 关于k 的表达式，结合k 的范围求出t 的最大值（1）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =； ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有111OG k k k a k a⋅=-⇒⋅=-⇒=-， 故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标，即线段OG 的中点为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++，由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++；（2）当0k =时，折痕的长为2，当折痕刚好经过B 点时，将()2,0代入直线方程得：2410k k ，2k =-+2k =-时，A 点不在线段DC 上，舍）当20k -<时，折痕两个端点一定在BC 和y 轴上，直线交BC 于点212,222k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y轴于210,2k Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(22222211||224444732222k k PQ k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴2= ，而22>，故折痕长度的最大值为2；()3当21k -≤≤-时，折痕的两个端点一定在DC 和x 轴上，直线交DC 于1,122kP k ⎛⎫-⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2222111||11222k k PQ k k k ⎡⎤+⎛⎫=---+=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，22(2||1)t k PQ k k∴=-=+， 21k -≤≤-，2k k∴+≤-当且仅当()21k =--，时取“=”号)，∴当k =t 取最大值，t 的最大值是-本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．36．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+. 【解析】（1）设圆C 的圆心和半径，根据已知条件用待定系数法列方程求解（2）设设直线方程1y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=，所以需要含参直线与圆联立方程，根据韦达定理进行计算，一个方程求解一个未知数 解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-= （2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并。
高中数学 圆的方程测试题及答案
圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B .1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ）A ．21± B ．22± C ．2221-或 D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C≠0，D 2+E 2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB . 求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21. 自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x △已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 △ △△作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(答案解析)
一、选择题1．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2224x y -+= B ．()2224x y ++= C ．()()22448x y -+-=D ．()()22448x y ++-=2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．53．点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A ．()()22211x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22421x y ++-=D ．()()22211x y ++-=4．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D5．已知圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>，若圆C 上至少有3个点到直线20x y ++=，则实数r 的取值范围为（ ）A ．(0,B ．C ．)+∞D ．+∞[)6．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．22⎡-⎢⎣⎦7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．48．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案9．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y -= C ．230x y -+=D ．20x y +=10．若直线y x b =+与曲线3y =2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A．[1-+ B．(11]-- C．[3,1+D ．[1,3]-11．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ） ABCD12．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ ） A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-二、填空题13．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是______.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.16．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．17．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.18．已知等腰三角形的底边所在直线过点()2,1P ，两腰所在的直线为20x y +-=与740x y -+=，则底边所在的直线方程是_____________.19．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．已知直线l 过点(2,1)M ，且分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ，（O 为坐标原点）（1）当ABO 的面积为4时，求直线l 的一般式方程； （2）当MA MB ⋅取最小时，求直线l 的一般式方程.23．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．24．已知圆1C 过点(0,6)A ，且与圆222:10100C x y x y +++=相切于原点，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 被圆1C 截得的弦长最小值．25．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上，且过点(2,1),(0,3)-- （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 26．圆心在直线:10l x y ++=上的经过点(1,2),(1,0)A B -； （1）求圆C 的方程（2）若过点(0,3)D 的直线1l 被圆C 截得的弦长为31l 的方程；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程. 【详解】设圆心为(),24C a a -，由AC BC ==整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2224x y -+=.故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.2．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．A解析：A 【分析】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由此得解轨迹方程．【详解】设圆上任意一点为()11,x y ，中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，112422x x y y =-⎧⎨=+⎩代入224x y +=得()()2224224x y -++=，化简得()()22211x y -++=．故选：A ． 4．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.5．D解析：D 【分析】根据题意，得到直线不过圆心，且求得圆心到直线的距离，结合题中条件，得到实数r 的取值范围. 【详解】圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>的圆心(1,1)到直线20x y ++=为：d ==，且直线20x y ++=不过圆心，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r -+-=>上至少有3个点到直线20x y ++=，则有r ≥= 所以实数r的取值范围为+∞[)， 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的相关问题，解决该题的思路如下： （1）求得圆心到直线的距离，并且发现直线不过圆心； （2）结合题中条件，得到r 的取值范围.6．C解析：C 【分析】在OMN=，从而得到M y =ONM ∠的取值范围，求出M y 的取值范围，即可得解； 【详解】解：设()2,M M y ，在OMN 中，由正弦定理得sin sin OM ONONM OMN=∠∠因为30OMN ∠=︒，ON=12==整理得M y =由题意知0150ONM ︒<∠<︒，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，所以sin 1ONM ∠=时，M y 取得最值，即直线MN 为圆22:3O x y +=的切线时，My取值最值，所以M y ⎡∈-⎣故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN 中利用正弦定理计算，考查转化思想；7．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.8．B解析：B 【分析】作出曲线21x y =-y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论． 【详解】作出曲线21x y =-，它是单位圆的右半个圆，作出直线y x b =+，如图， 易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-， 当直线y x b =+与半圆相切时，12b =，2b =±，由图可知2b =-∴b 的取值范围是11b -<≤或2b =-． 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．9．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.10．B解析：B 【分析】将234y x x =--化为22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有2个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】由234y x x =--得22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)，所以直线y x b =+与半圆22(2)(3)4-+-=x y (3y ≤)有2个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经y x b =+过点(4,3)时，341b =-=-， 当直线与圆22(2)(3)4-+-=x y 211=+，解得122b =-或122b =+由图可知，当直线y x b =+与曲线234y x x =-2个公共点时，1221b -<≤-，故选：B 【点睛】关键点点睛：作出直线与半圆的图形，利用切线的斜率表示b 的范围是解题关键.11．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.12．D解析：D 【分析】已知点(1,3)--在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程． 【详解】由已知得：曲线为34y x x =-;则：对其进行求导得243y x '=-；当1x =-时，243(1)1y '=-⨯-=∴ 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程为：31(1)y x +=⨯+化简得：2y x =-； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求曲线切线方程，解题关键是掌握根据导数求切线的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题13．2【分析】根据切线的性质可将面积转化为求出的最小值即到直线的距离【详解】圆化为可得圆心为半径为1如图可得则当取得最小值时最小点是直线上一动点到直线的距离即为的最小值故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解析：2 【分析】根据切线的性质可将面积转化为21PACB S PC =-，求出PC 的最小值即()0,1C -到直线240x y -+=的距离. 【详解】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，212212PACB PACS SPA AC PA PC ==⨯⨯⨯==-则当PC 取得最小值时，PACB S 最小， 点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，()min 222014521PC ⨯++∴==+-()min 512PACB S ∴=-=.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切问题，解题的关键是利用切线性质将面积转化为21PACB S PC =-PC 的最小值即可.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．【分析】求得直线与直线的交点的坐标然后求出直线上的点关于直线的对称点的坐标进而可求得直线的方程即为反射光线所在直线的方程【详解】联立解得则直线与直线的交点为设直线上的点关于直线的对称点为线段的中点在 解析：730x y --=【分析】求得直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点A 的坐标，然后求出直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点C 的坐标，进而可求得直线AC 的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】联立30220x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，则直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点为()1,4A .设直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点为(),C a b ， 线段BC 的中点3(,)22a b M -在直线220xy -+=上，则322022a b-⨯-+=，整理得220a b --=.直线220x y -+=的斜率为2，直线BC 与直线220x y -+=垂直，则213ba ⋅=-+，整理得230ab ++=.所以，220230a b a b --=⎧⎨++=⎩，解得1585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点1(,55)8C -.所以，反射光线所在直线的斜率为8457115ACk +==-， 因此，反射光线所在直线的方程为()471y x -=-，即730x y --=. 故答案为：730x y --=. 【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键.16．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆 解析：23【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=，进一步求出答案. 【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离d ==，根据图像的对称性可知2l==所以线段MN 长度的最大值为故答案为: 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.17．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为解析：y x =-或11542y x =-+ 【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-， 所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-； 当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为1010k--，纵截距为1010k +，所以()101041010k k --=+，解得14k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542y x =-+，故答案为：y x =-或11542y x =-+. 【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.18．或【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点解析：370x y +-=或310x y -+= 【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ，利用点M 到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点P 且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程. 【详解】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点(),M x y ， 则点M 到直线20x y +-=与740x y -+=的距离相等，=7452x y x y -+=+-.所以，()7452x y x y -+=+-或()7452x y x y -+=-+-，所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为370x y -+=或6230x y +-=. 由于底边与顶角角平分线垂直.当底边与直线370x y -+=垂直时，且直线370x y -+=的斜率为13， 此时底边所在直线方程为()132y x -=--，即370x y +-=；当底边与直线6230x y +-=垂直时，且直线6230x y +-=的斜率为3-，此时底边所在直线方程为()1123y x -=-，即310x y -+=. 故答案为：370x y +-=或310x y -+=.【点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或b = 【分析】由曲线y =()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】由曲线y =()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<.②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是 解析：53【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离2266521d ==+设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max5||,655OQ ==5 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）()()224225x y -++=；（2）2200x y --=. 【分析】（1）联立线段AB 的垂直平分线所在的方程与圆心所在直线方程，可得圆心坐标，进而求出圆的半径以及圆M 的标准方程；（2）设出直线l 的方程，由CD =2OA 可得弦长，利用点到直线的距离公式结合勾股定理列出方程，可得直线l 的方程． 【详解】（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=34(x －4)，即354y x =-，因为圆心在直线x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，2），B （7，－6），则圆心为直线354y x =-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，即圆心M 为（4，－2），半径为MA ()()2241225-+--=，所以圆M 的标准方程为()()224225x y -++=.（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l 的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l的距离为d ==CD =2OA=2525d +=，所以d ==，则解得m =－20或m =0（舍去），则直线l 的方程为2200x y --=. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程，考查圆的性质，解决本题的关键点是由已知求出弦长CD ，利用圆的弦长的一半，圆心到直线的距离和圆的半径构造直角三角形，结合勾股定理计算出参数的值，进而可得直线的方程，考查了学生计算能力，属于中档题． 22．（1）240x y +-=；（2）30x y +-=. 【分析】（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解；（2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，表示出点A 、B ，进而可得,MA MB ，表示出MA MB ⋅后结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，设直线l 的方程为()1,0,0x ya b a b+=>>， 则142ABO S ab ==△，所以8ab =， 又直线l 过点(2,1)M ，所以211a b +=，所以42a b =⎧⎨=⎩， 所以直线l 的方程为142x y+=即240x y +-=； （2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，则12,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,21B k -+，所以MA =MB ，所以4MA MB ⋅=， 当且仅当21k =时，等号成立，所以当MA MB ⋅取最小时，1k =-（正值舍去）， 此时直线方程为12y x -=-+即30x y +-=. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解.23．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=．【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标. 24．（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2） 【分析】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，根据题意列方程组解得,,a b r 即可得解；（2）求出直线l 所经过的定点(3,1)B ，再根据圆心1C 到直线l 的距离的最大值可求得结果. 【详解】（1）设2221:()()C x a y b r -+-=，圆222:10100C x y x y +++=的圆心2(5,5)C --，半径为则222222()(6)a b r a b r r ⎧-+-=⎪⎪+=⎨=，解得33a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=.（2）因为:(21)(1)740l m x m y m +++--=，即(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(3,1)B ， 设圆心1(3,3)C 到直线l 的距离为d，则1||2d C B ≤==，当且仅当1l BC ⊥时，等号成立，所以弦长||AB =≥=.所以直线l 被圆1C 截得的弦长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问利用圆心1C 到直线l 的距离的最大值求弦长的最小值是解题关键. 25．（1）22(1)(2)2x y -++=；（2）0x =或34y x =-. 【分析】（1）根据题意设圆心坐标为(,2)a a -，进而得222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=⎨-+-+=⎩，解得1,a r ==，故圆的方程为22(1)(2)2x y -++=（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）圆C 的圆心在直线2y x =-上，设所求圆心坐标为(,2)a a - ∵ 过点(2,1),(0,3)--，222222(2)(12)(0)(32)a a r a a r⎧-+-+=∴⎨-+-+=⎩解得1,a r ==∴ 所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++= （2）直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，由于直线l 被圆C 截得的弦长为2，故圆心到直线l 的距离为1d = 故由点到直线的距离公式得：1d ==解得34k =-，所以直线l 的方程为34y x =- 综上所述，则直线l 的方程为0x =或34y x =- 【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分直线l 的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运算求解能力与分类讨论思想，是中档题.26．（1）22(1)4x y ++=；（2）0x =，或4390x y -+=.【分析】（1）求出线段AB 中垂线方程，由中垂线与直线l 相交求得圆心坐标，再求得半径可得圆标准方程；（2）求得圆心到直线1l 距离为1，检验斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设直线方程为30kx y --=，由圆心到直线的距离可得k ，得直线方程．【详解】（1）由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，0211(1)AB k -==---，线段AB 中点为(0,1)， ∴直线AB 的垂直平分线为10x y -+=，∴直线:10l x y ++=与10x y -+=的交点即为圆心C ，坐标为()1,0-．∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=，（2）当直线1l 斜率不存在时，方程为0x =，此时圆心到1l 距离为1，截得的弦长为当直线1l 斜率存在时，设为k ，则1:30l kx y --=，圆心(1,0)-到1l距离1d ===∴43k = ∴直线1l 的方程为0x =，或4390x y -+=．【点睛】易错点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知弦长求直线方程时，须考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在的情况下，设出直线方程，由圆心到直线的距离列式可得结论．。
人教版高中数学选择性必修第一册-第2章-直线和圆的方程-章末测试卷(含解析)
第二章直线和圆的方程章末测试卷（原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180C．63D．652．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝13．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝04．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝05．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A．(－22，22) B．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则m2＋n2的最小值为( )A.15B.55C.255D.457．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A 为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )A．55－3 B.101－3C．75－3 D．53－38．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A．x＋(2－1)y－2＝0 B．(1－2)x－y＋2＝0C．x－(2＋1)y＋2＝0 D．(2－1)x－y＋2＝0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( ) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝010．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( ) A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝011．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( ) A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x －y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．272．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2 ＝93．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝04．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.625．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，0)C ．(0，13)D ．(0，5)6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－227．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝28．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1659．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．第二章直线和圆的方程章末测试卷（解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180 C．63D．65答案 D解析 k MN＝a－4－2－a＝－12，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝（－2－10）2＋（10－4）2＝65.故选D.2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1答案 A解析 方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b－2）2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0答案 B解析 本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，所以{12ab＝12，2a＋3b＝1，所以{a＝4，b＝6，于是所求直线的方程为x4＋y6＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0答案 D解析 设圆心为C(2，0)，所以k PC＝0＋12－3＝－1，所以k AB＝1，所以l AB：x－y－4＝0.故选D.5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)答案 C解析 易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由点到直线的距离公式，得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.6．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线mx ＋ny ＝2上，则m 2＋n 2的最小值为( )A.15 B.55C.255 D.45答案 C解析 由圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0，可得圆C 1和C 2的公共弦所在的直线方程为k (x －2y )＋(y －1)＝0，联立{x －2y ＝0，y －1＝0，解得{x ＝2，y ＝1.即点M (2，1)，又因为点M 在直线mx ＋ny ＝2上，即2m ＋n ＝2，又由原点到直线2x ＋y ＝2的距离为d ＝222＋12＝255，即m 2＋n 2的最小值为255.7．已知P ，Q 分别为圆M ：(x －6)2＋(y －3)2＝4与圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1上的动点，A 为x 轴上的动点，则|AP |＋|AQ |的最小值为( )A ．55－3 B.101－3C ．75－3D ．53－3答案 A解析 圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆N ′：(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝1，则|AP |＋|AQ |的最小值为|MN ′|－1－2＝102＋52－3＝55－3.故选A.8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0 D ．(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)，E (－2，0)，所以AB ，BC ，CD ，DE 所在直线的方程分别为y ＝1－01－2(x －2)，y ＝(1－2)x ＋2，y ＝(2－1)x ＋2，y ＝12－1(x ＋2)，整理为一般式即x ＋(2－1)y －2＝0，(1－2)x －y ＋2＝0，(2－1)x －y ＋2＝0，x －(2－1)y ＋2＝0.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，把点(1，2)代入，得k ＝2，所以此时直线的方程为2x －y ＝0；当直线斜率k ＝1时，设直线的方程为y ＝x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝1，所以此时直线的方程为x －y ＋1＝0；当直线斜率k ＝－1时，设直线的方程为y ＝－x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝3，所以此时直线的方程为x ＋y －3＝0.10．已知点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4，过点M 的圆C 的切线方程可能为( )A ．x －3＝0B ．x －2＝0C ．3x －4y －5＝0D ．3x ＋4y －5＝0答案 AC解析 由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x －3＝0是圆C 的切线；当过点M 的圆C 的切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋12＝2，解得k ＝34，∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.故选AC.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论正确的是( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b答案 ABC解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＝r 2①，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2②，交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以①－②得到直线AB 的方程为2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入直线AB 的方程可得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2③，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2④，故B 正确；③－④得到2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 22＝0＋a 2，y 1＋y 22＝0＋b2，即x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确，D 错误．故选ABC.12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝32答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，由题易知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0，则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115，而4＋115<5＋1255＝10，故A 正确．易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d －4＝115－4，而115－4<1255－4＝1，故B 不正确．过点B 作圆M 的两条切线，切点分别为N ，Q ，如图所示，连接MB ，MN ，MQ ，则当∠PBA 最小时，点P 与N 重合，此时|PB |＝|MB |2－|MN |2＝52＋（5－2）2－42＝32，当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，此时|PB |＝32，故C 、D 都正确．综上，选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0与直线(a 2－1)x －ay －1＝0平行，则a 的值为________．答案 23或－1解析 本题主要考查两直线的平行关系．当a ＝－1时，两直线方程分别为2y ＋1＝0，y －1＝0，显然两直线平行；当a ≠－1时，由a 2－1a ＋1＝－a 2≠－11，得a ＝23.故a 的值为23或－1.14．已知圆C ：(x ＋5)2＋y 2＝r 2(r >0)和直线l ：3x ＋y ＋5＝0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是__________．答案 0<r <10解析 因为圆心C (－5，0)到直线l ：3x ＋y ＋5＝0的距离为|－15＋5|32＋12＝1010＝10，所以要使圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是0<r <10.15．已知直线l ：y ＝k (x ＋4)与圆(x ＋2)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为________；点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案 (x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4) 2解析 直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x ＋2)2＋y 2＝4上，不妨设A (－4，0)，M (x ，y )(x ≠－4)，B (x 1，y 1)，则{x 1＝2x ＋4，y 1＝2y ，将(2x ＋4，2y )代入(x ＋2)2＋y 2＝4，得(x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4)，所以点M 的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A (－4，0))，则点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为|－3×3－6|5－1＝2.16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q (0，－3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ，点L ，S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O .若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d ＝________．答案 125解析 由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设S (a ，0)，a >0，则a 2＋32＝2＋3，解得a ＝4，即S (4，0)，所以L (－4，0)．由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d 1＝|－4k |1＋k 2，d 2＝|4k |1＋k 2，d 3＝|3|1＋k2，则d 2＝4(4－d 12)＝4(4－d 22)＝4(9－d 32)，即有4－(－4k 1＋k 2)2 ＝4－(4k 1＋k 2)2 ＝9－(31＋k 2)2，解得k 2＝421.则d 2＝4(4－16×4211＋421)＝14425，即d ＝125.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解析 (1)由{2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0得{x ＝2，y ＝1，所以交点坐标为(2，1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，则点A 到直线l 的距离为|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2，1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA |＝10.即所求的距离的最大值为10.18．(12分)已知①经过直线l 1：x －2y ＝0与直线l 2：2x ＋y －1＝0的交点；②圆心在直线2x－y ＝0上；③被y 轴截得弦长|CD |＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上？思路分析 由点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝－12上，设圆心坐标为(－12，b )，半径为r ，若选①，求出直线l 1和l 2的交点为(25，15)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心(－12，－1)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD |＝22，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．解析 因为点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，又线段AB 的垂直平分线所在直线方程为x ＝－2＋12＝－12，则可设圆心坐标为(－12，b )，圆的半径为r ，若选①，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由{x －2y ＝0，2x ＋y －1＝0，解得{x ＝25，y ＝15.即直线l 1和l 2的交点为(25，15)，则圆Q 过点(25，15)，所以r 2＝(－12－25)2 ＋(b －15)2＝(－12－1)2＋(b ＋1)2，解得b ＝－1，则r 2＝94.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选②，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由圆心在直线2x －y ＝0上可得2×(－12)－b ＝0，则b ＝－1，所以r 2＝(－12－1)2 ＋(－1＋1)2＝94，即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选③，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．若圆被y 轴截得弦长|CD |＝22，根据圆的性质可得，r 2＝(12)2＋(|CD |2)2 ＝94，由r 2＝(－12－1)2 ＋(b ＋1)2＝94，解得b ＝－1.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.19．(12分)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．解析 因为圆C 1可化为(x －6)2＋(y －1)2＝50，所以C 1的坐标为(6，1)，半径r 1＝52，同理可得C 2的坐标为(－6，－8)，半径r 2＝55.所以C 1，C 2所在的直线方程为3x －4y －14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0，由{3x －4y －14＝0，4x ＋3y －2＝0，得{x ＝2，y ＝－2，即所求圆的圆心为C (2，－2)，半径r ＝（52）2－|C 1C |2＝5.所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.20．(12分)已知圆心为C 的圆经过点A (0，2)和B (1，1)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．解析 (1)线段AB 的中点为(12，32)，又k AB ＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝1×(x －12)，即x －y ＋1＝0.由{x －y ＋1＝0，x ＋y ＋5＝0解得{x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C (－3，－2)．圆C 的半径r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（2＋2）2＝5，故圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)令z ＝3x －4y ，即3x －4y －z ＝0.当直线3x －4y －z ＝0与圆C 相切于点P 时，z 取得最值，圆心C (－3，－2)到直线3x －4y －z ＝0的距离d ＝|－9＋8－z |32＋（－4）2＝5，解得z ＝－26或z ＝24.故3x －4y 的最大值为24，最小值为－26.21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)解析 (1)将A (1，1)代入y ＝k x ，可得k ＝1.(2)①以C 为圆心，5为半径的圆的方程为(x －15)2＋y 2＝25，由{y ＝x ，（x －15）2＋y 2＝25，得x 2－29x ＋200＝0，∴x ＝29±412，∴x 1≈11.3，x 2≈17.7，∴当鲸运动到点(11.3，11.3)即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C 的观测区域内．②鲸与点C 的距离为：d ＝（x －15）2＋y 2＝（x －15）2＋x＝x 2－29x ＋225＝(x －292)2＋225－(292)2，∴当x ＝292时d 最小．故当鲸运动到点(292，582)即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C 最近．22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．解析 (1)依题意，得m (3x －y )＋(x ＋y －4)＝0，令{3x －y ＝0，x ＋y －4＝0，解得{x ＝1，y ＝3，∴直线l 过定点A (1，3)．(2)当AC ⊥l 时，所截得的弦长最短．由题知C (0，4)，圆C 的半径r ＝2，∴k AC ＝4－30－1＝－1，∴k l ＝1，∴3m ＋1m －1＝1，∴m ＝－1.∵圆心C 到直线l 的距离为d ＝|AC |＝2，∴最短弦长为2r 2－d 2＝22.(3)由题意知直线MC 的方程为y ＝4.设定点N (t ，4)(t ≠－3)，P (x ，y )，|PM ||PN |＝λ(λ>0)，则|PM |2＝λ2|PN |2，∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝λ2(x －t )2＋λ2(y －4)2，∴(x ＋3)2＋4－x 2＝λ2(x －t )2＋λ2(4－x 2)，整理得(6＋2tλ2)x －(λ2t 2＋4λ2－13)＝0，此式对任意的x ∈[－2，2]恒成立，∴{6＋2t λ2＝0，λ2t 2＋4λ2－13＝0，∴{t＝－43，λ＝32或{t ＝－43，λ＝－32(舍去)或{t ＝－3，λ＝±1(舍去)．综上，满足条件的点N 的坐标为(－43，4)，且|PM ||PN |为常数32.1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．27答案 C解析 设点A (－2，1)关于直线x －3y ＝0的对称点为D (a ，b )，则{b －1a ＋2＝－3，a －22－3×b ＋12＝0，解得{a ＝－1，b ＝－2，所以D (－1，－2)，所以|AC |＋|BC |＝|DC |＋|BC |，当B ，D ，C 共线时，|AC |＋|BC |取最小值，最小值为|DB |＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝25.2．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2＝9答案 D解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，则满足条件的圆面积最小即r 最小，r ＝|3a ＋4b ＋3|32＋42＝|3a ＋4b ＋3|5≥23a ×4b ＋35，因为圆心(a ，b )在y ＝3x (x >0)上，所以b ＝3a ，即ab ＝3，所以r min ＝212×3＋35＝3，当且仅当3a ＝4b ，即a ＝2，b ＝32时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋(y －32)2＝9.3．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0 D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 方法一：由{x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得{x ＝1，y ＝1，由题意，知直线l 的斜率k ＝－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.故选C.方法二：由题意设直线l ：x ＋y －2＋λ(2x －y －1)＝0(λ∈R )，即(1＋2λ)x ＋(1－λ)y －2－λ＝0，又直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－18，所以直线l的方程为2x ＋3y －5＝0.故选C.4．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.62答案 B解析 因为圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1的圆心为C 1(－a ，2)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4的圆心为C 2(b ，2)，半径r 2＝2，所以|C 1C 2|＝（－a －b ）2＋（2－2）2＝|a ＋b |＝1＋2，所以a 2＋b 2＋2ab ＝9，所以(a －b )2＋4ab ＝9，所以ab ＝94－（a －b ）24≤94，即当a ＝b 时，ab 取得最大值，最大值为94.5．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5) B ．(－5，0)C ．(0，13) D ．(0，5)答案 A解析 圆C 的方程x 2＋4x ＋y 2－5＝0可化为(x ＋2)2＋y 2＝9，则圆C 与x 轴正半轴交于点A (1，0)，与y 轴正半轴交于点B (0，5)，如图所示，因为过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以k MA <k <k MB ，所以0<k <5.6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3 B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案 A解析 如图所示，易知直线AB 的方程是y ＝3，直线AC 的方程是x2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0，且直线x ＝a 只与边AB ，AC 相交．设直线x ＝a 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则点D ，E 的坐标分别为(a ，3)，(a ，6－3a2)，从而|DE |＝3－6－3a 2＝32a ，S △ADE ＝12|AD ||DE |＝12a ×32a ＝34a 2①.又S △ABC ＝12×3×3＝92，所以S △ADE ＝12S △ABC＝94②，由①②得34a 2＝94，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．故选A.7．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝2答案 ABC解析 由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r ，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r ＝5，即r ＝1，故A 正确；此时两圆有三条公切线，故D 错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x －6y －41＋r 2＝0，所以－41＋r 2＝－37，解得r ＝2，故B 正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r 2，解得r ＝3，故C 正确．8．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋y 2＝165答案 AB解析 过点A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式为x ＋2y －4＝0，过点A ，B 的直线方程为x ＝－2，过点B ，C 的直线方程为y ＝－1，所以原点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d AC ＝455，原点O 到直线x ＝－2的距离d AB ＝2，原点O 到直线y ＝－1的距离d BC ＝1，所以d AB >d AC >d BC ，又|OA |＝（－2）2＋32＝13，|OB |＝（－2）2＋（－1）2＝5，且|OC |＝62＋（－1）2＝37.结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC 有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或37.故选AB.9．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －8＝0解析 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 过点P (4，1)，所以4a ＋1b ＝1≥24a ×1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积S ＝12ab 取得最小值，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (724，23]解析 由题可知，y ＝1＋9－x 2，即x 2＋(y －1)2＝9(y ≥1)，其图象如图所示：又直线y ＝k (x －3)＋5即kx －y －3k ＋5＝0过定点A (3，5)．当直线与半圆相切时，则|－1－3k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝724.当直线过点B (－3，1)时，k ＝5－13－（－3）＝23.所以k ∈(724，23].11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．答案 ±21解析 根据题意，设点P 的坐标为(a ，b )，则直线PA 的方程为y ＝b a ＋1(x ＋1)，其在y 轴上的截距为b a ＋1，直线PB 的方程为y ＝b a －5(x －5)，其在y 轴上的截距为－5ba －5.若点P 满足使直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有ba ＋1×(－5ba －5)＝5，变形可得b 2＋(a －2)2＝9，则点P 在圆(x －2)2＋y 2＝9上．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P 满足题意，则圆M 与圆(x －2)2＋y 2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为（4－2）2＋m 2≥2，所以两圆外切，所以4＋m 2＝25，解得m ＝±21.12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．解析 (1)由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，k AB ＝0－21－（－1）＝－1，线段AB 中点为(0，1)，所以直线AB 的垂直平分线为x －y ＋1＝0.所以直线l ：x ＋y ＋1＝0与x －y ＋1＝0的交点即为圆心C ，即C 的坐标为(－1，0)，半径r ＝|CA |＝2.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)当直线l 1斜率不存在时，方程为x ＝0，此时圆心到l 1距离为1，截得的弦长为23，满足题意；当直线l 1斜率存在时，设为k ，则l 1：kx －y ＋3＝0，圆心(－1，0)到l 1的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝4－(232)2＝1，所以k ＝43，则直线l 1的方程为4x －3y ＋9＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝0或4x －3y ＋9＝0.13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．解析 (1)直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.因为(|AB |2)2 ＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，由24k 2＋3k 2＋1＝372，得k 2＝15，因为直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，所以(|CD |2)2＝1－(－2k＋1－11＋(－1k)2)2，所以|CD |＝21－4k 2＋1＝21－415＋1＝3.(2)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4；当直线AB 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，显然k ≠0，则直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，由|－1k·2－1＋1|(－1k )2＋1<1，得k 2>3，因为(|AB |2)2＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，易知E 到直线AB 的距离即M 到AB 的距离，设为d ，则d ＝|2k －1＋1|k 2＋1＝|2k |k 2＋1，所以△ABE 的面积S ＝12|AB |·d ＝2（4k 2＋3）k 2（k 2＋1）2，令k 2＋1＝t >4，则S ＝2（4t －1）（t －1）t 2＝21t 2－5t ＋4＝2(1t －52)2－94，易知1t ∈(0，14)，所以S∈(352，4).综上，△ABE面积的取值范围为(352，4].14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．解析 (1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．又圆C与y轴相切，所以5－m＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为(x－13)2＋(y＋23)2＝179.15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．解析 由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，∴|MP|＝（0－2b）2＋（4－b）2＝|AM|2＋|AP|2＝22＋（23）2＝4，解得b＝0或8 5，∴点P的坐标为(0，0)或(165，85).(2)圆N过定点(0，4)，(85，45).理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N 以MP为直径，其方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由{2x＋y－4＝0，x2＋y2－4y＝0，解得{x＝0，y＝4或{x＝85，y＝45.∴圆N过定点(0，4)，(85，45).(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，∴点M到直线AB的距离d＝45b2－8b＋16，∴|AB|＝24－d2＝41－45b2－8b＋16＝41－45(b－45)2＋645，∴当b＝45时，|AB|有最小值，为11.。
高中数学-《直线与圆的位置关系》单元测试题
高中数学-《直线与圆的位置关系》单元测试题高中数学-《直线与圆的位置关系》单元测试题班级：__________姓名：__________成绩：__________ 一．选择题（每题5分，共12题，共60分）1.直线3x + 4y + 12 = 0 与圆(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 9的位置关系是A。
过圆心 B。
相切 C。
相离 D。
相交2.直线l将圆x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 平分，且与直线x + 2y = 0 垂直，则直线l的方程为A。
y = 2x B。
y = 2x - 2 C。
y = x + 1 D。
y = x - 13.若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x - 3y = 0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是A。
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1 B。
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1 C。
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1 D。
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 14.若直线ax + by = 1与圆x^2 + y^2 = 1相交，则点P(a，b)的位置是A。
在圆上 B。
在圆外 C。
在圆内 D。
都有可能5.由直线y = x + 1上的一点向圆(x - 3)^2 + y^2 = 1引切线，则切线长的最小值为A。
1 B。
2 C。
3 D。
46.圆x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0 上到直线l：x + y + 1 = 0的距离为2的点有A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个7.两圆x^2 + y^2 - 6x = 0 和x^2 + y^2 + 8y + 12 = 0 的位置关系是A。
相离 B。
外切 C。
相交 D。
内切8.两圆x + y = r,(x-3)+(y+1)=r外切，则正实数r的值是A。
10 B。
5 C。
2 D。
229.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x+(y-3)^2=1内切,则此圆的方程是A。
2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)
第二章直线与圆的方程（压轴题专练）一、选择题1．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A ()2,1，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选：D.2．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PA PB +=，最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解：由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.3．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by c ax by c δ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证．【详解】解：对于A ，1122ax by c ax by cδ++=++化为：112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠，即点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此A 不正确．对于B ，1δ=，则1212()()0a x x b y y -+-=，即过M ，N 两点的直线与直线l 的斜率相等，又点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此两条直线平行，故B 正确；对于C ，1δ=-，则1122()0ax by c ax by c +++++=，化为1212022x x y y a b c ++++=，因此直线l 经过线段MN 的中点，故C 正确；对于D ，1δ>，则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>，则点M ，N 在直线l 的同侧，故D 正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥）A ．2B ．2C D ．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，证明AM CN =，由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离，表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离，MA NB +=+，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，因为直线1l 的方程为20x y -+=，()0,4A ，所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行，1MN l ⊥，所以MN =所以//,MN AC MN AC =，所以四边形AMNC 为平行四边形，所以AM CN =，CN NB +=+，又CN NB CB +≥，当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立，所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，CB ，因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+，联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()1,3，所以CB =，5，故选：D.将问题转化为两点之间的距离问题.5．已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C ：22(4)16x y -+=，在坐标系中找到(4,0)D -，应用三角线相似将2PA 转化到||PD ，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选：A【点睛】关键点点睛：首先求出圆C 方程，找到定点D 使AC PC CP DC =，进而将2PA 转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.6．过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则ABC ∆的外接圆方程为（）A ．2264160x y x y ++--=B ．226160x y x ++-=C ．2256120x y x y ++--=D ．224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l ：()84x t y +=-，与抛物线联立，表示线段AB 的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l ：()84x t y +=-，即84x ty t =--（*），代入28y x =得288(48)0y ty t -++=，由0∆=得2240t t --=，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根1t ，2t ，且122t t +=，124t t =-，在（*）中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ，则()0122B C y y y =+=，下求0x ：线段AB 中点横标04x '=-，纵标0144y t '=+，线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+，令2y =得211021424t t x t -++=，由（1）知21124t t +=，故03x =-，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则229R =，所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=，即2264160x y x y ++--=.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPA λ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，0,2Q ⎛ ⎝⎭，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B．6-C．9-D．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，可得)332PQ y =+≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PQ PA =，结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -，2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --，因为1l k k =，21l k k=-，所以121l l k k ⋅=-，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0-，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y ==≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PO PA =，又2AQ =，所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．3310x y ++=B ．3310x y +-=C ．2210x y ++=D ．2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ，又PA =所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩，解得13,22x y ==，即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，221031222x x y y +-+=-，又圆22:20C x x y ++=，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9．（多选）已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l ：y x =的对称点为()11,3A ，A 关于x 轴的对称点为()23,1A -，对于A ：根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥，进而可得结果；对于B ：根据点到直线的距离分析判断；对于C ：因为2AP PQ A P PQ +=+，结合点到直线的距离分析判断；对于D ：根据题意分析可得)2OP A P CP+=+，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l：y x=的对称点为()11,3A，()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-，可知12,QA QA PA PA==，对于选项A：可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时，等号成立，所以APQ△周长的最小值为A错误；对于选项B：设()3,1A到x轴，直线l：0x y-=的距离分别为12,d d，则121,d d==，可得121AP AQ d d+≥+=，所以AP AQ+的最小值为1B正确；对于选项C：因为2AP PQ A P PQ+=+，设()23,1A-到直线l：0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确；对于选项D ：作PC l ⊥，垂足为C ，因为直线l 的斜率1k =，则45COP ∠=︒，可得CP =，则23AP CP A P CP d +=+≥=，)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭，OP +的最小值为4，故D 正确；故选：BCD.二、填空题10．设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=，因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅，所以9PA PB ⋅≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11．若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为．【答案】52或75t ==，然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，又5AB ==，（1）当||522AB t ==，此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=；（2）当||522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点5(,1)2M -，其方程为250x y +=，此时52t d ==，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且与AB 平行，其方程为430x y +=，此时7552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52或75故答案为：52或75t ==，将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，然后分类讨论即得.12．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.13．在平面直角坐标互中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去），所以点P 的横坐标的为3.故答案为：3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:2C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>，则实数a 的取值范围是．【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化，先转化为22(1)4x y +->恒成立，即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2，再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ，由点(0,2)A ，2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2，设点(0,1)B ，即2MB >恒成立则min 2MB >，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2，又圆(,2)C a a -，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为：1BC -.12BC ∴->.即3BC =，化简得230a a ->，解得a<0或3a >.故答案为：a<0或3a >.15．已知P 为直线60x y ++=上一动点，过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程为．【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=，即()()22233=2x y -+-，所以圆心为()3,3C ，半径2r =，1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小，也即CP 垂直60x y ++=时，四边形PACB 面积最小，直线60x y ++=的斜率为1-，则此时直线CP 的斜率为1，则直线CP 的方程为y x =，由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y ==-即(3P --，对应PC ，=PA PB以P 为圆心，半径为((2233=12x y -++-+，即()()226622x y x y ++++-，由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩，两式相减并化简得26=0x y ++-，也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为：26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2．所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>．所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+．当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．答案：(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．三、解答题17．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ，作函数()y f x =，使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线．(1)求(0)f 和(1)f 的值；(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；(3)证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积．（用12345,,,,a a a a a 表示）【答案】(1)(0)0f =，(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；（3）要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积，求出1S ，再由112S S =-求解即可.【详解】（1）0015(0)0a f a a a ==+++ ，015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ；（2）[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<；（3）由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上，当1(,)n n x x x -∈时，1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =，15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ，综上，(),(1,2,3,4)n n f x x n <=（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛：在证明()f x x <，(0,1)x ∈时，关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，结合题设定义进行证明.18．已知曲线():,0T F x y =，对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ，满足[][]0F P F Q ⋅>，称点P ,Q 在曲线T 同侧；[][]0F P F Q ⋅<，称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中()1,1A -，()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积；(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ，若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ；(2)83S π=（3）()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩，52⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意设出直线方程为y kx =，通过新定义，得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；（2）先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，求出23AOB π∠=，进而可求出结果；（3）先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y kx =，则(),0=-=F x y kx y ，因为()1,1A -，()2,3B ，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，解得312-<<k ；故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ；（2）因为[]0<F O ，所以[](345)0=+-F P x y ，故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩，点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，则O 到AB 的距离为1，故23AOB π∠=，因此，所求面积为：2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S（3）设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ，化简得曲线C 的方程为：228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩，其轨迹为两段抛物线弧；当03≤≤y 时，[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ；当20-≤≤y 时，[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ，故若有[][]0⋅<F M F N ，则(6)(24)0--<a a ，解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线斜率与倾斜角的概念等即可，属于常考题型.19．如图，已知A ，(0,0)B，(12,0)C ，直线:(20l k x y k --=．(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,；170y +-=；(3)2100x +-=．【分析】（1）整理得到(2))0k x y -+-=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到123P P k =，由对称性得3PK k =-，写成直线方程.【详解】（1）直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=，令200xy -=⎧⎪-=，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,；（2）因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12AB AC BC ===，由题意得直线AB 方程为y =，故直线l 经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM =，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC =，即003(6,(6,4x y --=-，所以0212x =，0y =21(2D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =所以直线l170y +-=；（3）设P 关于BC的对称点1(2,P -，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x -=-，即)12y x =-，直线AC的方程为12)y x =-，所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，123P P k =，由对称性得3PK k =-，所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---，即2100x -=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上．(1)设直线l ：43y x =+与圆M 交于C ，D 两点，且OC OD =，求圆M 的方程；(2)设直线y =与（1）中所求圆M 交于E ，F 两点，点P 为直线5x =上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线EF 两侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）由||||OC OD =，知OM l ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，求得E ，F 的坐标，PE 和PF 的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，3PE PF k k =．设PE k m =，则3PF k m =．设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k ，b 的关系，即可得到所求定点．（1）圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上，设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =，知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时，圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，又知(E -，F ，所以06PE y k =，02PF y k =．显然3PE PF k k =，设PE k m =，则3PF k m =．从而直线PE 方程为：(1)y m x +，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=，所以212311m x m --⨯=+，即21231m x m -=+；同理直线PF 方程为：3(3)y m x -，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=，所以222813319m x m -⨯=+，即22227119m x m -=+．所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++；222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++．消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=．①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k -⋅=+．代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k -．当2b k =时，直线GH 的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH 的方程为(5)y k x =-，过定点第二种情况不合题意（因为G ，H 在直径EF 的异侧），舍去．所以，直线GH 过定点．21．如图所示，已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP 方程，分别解得P 坐标，M 坐标,以及N 坐标，再求出直线MN 方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += （2）设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++即：()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅= ，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅= ，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=，当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k =-，所以||||448BM BN ⋅=，（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号）则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=。
高中数学快速提升成绩题型训练——直线与圆
高考数学快速提升成绩题型训练——直线与圆1. 已知圆的方程是222=+y x ，直线b x y +=，当b 为何值时，圆与直线有（1）有两个交点；（2）有一个交点；（3）没有交点．2 已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=2，点P (2，-1)，过P 点作圆C 的切线P A 、PB ，B 、A 为切点. (1)求P A 、PB 所在直线的方程； (2)求切线长|P A |；(3)求∠APB 的正弦值； (4)求AB 的方程.3.如图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOQ 的 平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.4.已知圆C ：(x -2)2+(y -3)2=4，直线l ：(m +2)x +(2m +1)y =7m +8. (1)证明：不论m 为何实数值，直线l 与圆C 恒相交； (2)当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值.5.已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +3=0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x ，y )向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有：|PM |=|PO |，求使|PM |最小的点P 的坐标.6、由点P(0,1)引圆x 2+y 2=4的割线l ，交圆于A,B 两点，使ΔAOB 的面积为27（O 为原点），求直线l 的方程。
7、点A(0,2)是圆x 2+y 2=16内的定点，点B,C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA,求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。
8、已知与曲线C: x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于两点A 、B ，O 为原点，|OA|＝a ，|OB|=b(a>2,b>2)（1）求证：曲线C 与直线l 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 ; （2）求ΔAOB 面积的最小值。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(有答案解析)
一、选择题1．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．2．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞3．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ） A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --=4．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝05．已知M (3，)，N (－1，)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．6．已知圆1C ：224470x y x y ++-+=与圆2C ：()()222516x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切C ．相交D ．内切7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ）A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．49．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．53,124D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．12．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是___________．14．点P (－3，1)在动直线mx ＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N (3，3)那么|MN |的最小值为__________.15．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 16．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个18．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 19．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.20．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题21．已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，且圆心C 在直线3150x y +-=上 （1）求圆C 的方程；（2）设点Q (-1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积.22．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈. （1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且42AB =时，求直线l 的方程.23．光线从(1,1)A 点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,7)D . （1）求BC 所在直线的方程；（2）过点(2,2)E 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于,P Q ，过,P Q 作直线BC 的垂线，垂足为,R S ，求线段||RS 长度的最小值.24．已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.25．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.2．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离2243352543d ⨯+⨯-==+，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.3．A解析：A 【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --， 点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ， 则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程， 由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.4．D解析：D【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC的中点为1(0,),||2PC ==以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.5．B解析：B 【分析】首先利用题中所给的点N (－1，，F (1，0)，求出直线NF 的方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】易知NF 的斜率kNF 的方程为y(x －1)，＋y＝0. 所以M 到NF.故选：B. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，解题思路如下：（1）根据题意首先求出直线的方程，可以先求斜率，利用点斜式求，也可以直接利用两点式求；（2）之后利用点到直线的距离公式直接求结果.6．B解析：B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：224470x y x y ++-+=，可得圆心坐标为1(2,2)C -，半径为11r =，圆2C ：()()222516x y -+-=，可得圆心坐标为1(2,5)C ，半径为14r =，又由125C C ==，且12145r r =+=+，即1212C C r r =+，所以圆12,C C 相外切. 故选：B. 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.7．D解析：D 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程. 【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， ∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =-.:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D 【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.9．D解析：D 【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--，∴53,124k ⎛⎤∈⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||2()24AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||2OC =，所以222||||2(24AC OC =≤+，所以2a -或2a ，22<，所以2222a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，2)， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-， 即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=； （2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-； （3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.二、填空题13．【分析】设点利用条件可求得点的轨迹方程进而可转化为直线与点的轨迹曲线有公共点可得出关于实数的不等式由此可解得实数的取值范围【详解】设点由于则化简可得由题意可知直线与圆有公共点则解得因此实数的取值范围 解析：[]4,4-【分析】设点(),P x y，利用条件PB PA =可求得点P 的轨迹方程，进而可转化为直线l 与点P 的轨迹曲线有公共点，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】设点(),P x y，由于PB PA ==，化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=≤44m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]4,4-. 故答案为：[]4,4-. 【点睛】方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：（1）代数法：将直线l 的方程和圆的方程联立，消去一个元（x 或y ），得到关于另外一个元的一元二次方程.①若0∆>，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交； ②若0∆=，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切； ③若∆<0，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；（2）几何法：计算圆心到直线的距离d ，并比较d 与圆的半径r 的大小关系. ①若d r <，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交； ②若d r =，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切； ③若dr ，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.14．【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到的轨迹为以线段为直径的圆然后判断点N 在圆外进而得到所求最小值【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n显然经过定点的轨迹为以线段为直径的圆圆心坐标为半径为2在圆 解析：2【分析】由动直线方程可得动直线经过定点()A 1,1,从而得到M 的轨迹为以线段PA 为直径的圆，然后判断点N 在圆外，进而得到所求最小值. 【详解】解：直线mx ＋ny ＝m ＋n 显然经过定点()A 1,1,M ∴的轨迹为以线段PA 为直径的圆，圆心坐标为()1,1C -,半径为2，2242252CN =+=>,N ∴在圆外， 252min MN ∴=-,故答案为：25 2.- 【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定M 的轨迹，然后判定N 在圆的外部是不可缺少的.15．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣易错点睛：本题在把方程x =化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.16．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程.【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当m >或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l 212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，217PM =，所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个． 【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b ，则22(02)423b b -+=⇒=±，∴22(23)9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为22315()()92x y ++±=和22315()()92x y -+±=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.18．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；19．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间 解析：()4,+∞【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可． 【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图， 作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ， 再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ， 则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.20．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72 ,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k，依据图形，简单计算和判断可得结果.【详解】由题可知：219y x=+-，所以()()22191+-=≥x y y如图又直线()35y k x=-+，即350kx y k过定点()A3,5213573241--+=⇒=+kkk当直线过点()3,1B-时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k 故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三、解答题21．（1）22(3)(6)40x y ++-=；（2）24. 【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=． （2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上，12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上.22．（1）直线与圆相交；（2）30x +-=或30x +=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可判定直线与圆的位置关系；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数m 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】解：（1）由题设知圆C ：()2249x y +-=.所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3.又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2202449+-=<所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交. （2）圆心C 到直线l的距离记为d =3r =，2AB= 又2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，代入解得：3m =±. 所以直线l的方程为：30x -=或30x +=. 【点睛】关键点睛：利用圆心C 到直线l 的距离，在利用公式2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求出m ，最后求出直线l 的方程，属于中档题 23．（1）430x y +-=；（2）17. 【分析】（1）点(1,1)A 关于x 轴对称点()1,1E -，点D 关于y 轴对称点为()1,7F -，则其对称点,E F 在反射线上，即可求出反射线的直线方程；（2）写出直线l 的方程，求出()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，得到直线PR 和QS 的方程，转化为平行线的距离问题. 【详解】解：（1）点(1,1)A 关于x 轴对称为()1,1E - 点D 关于y 轴对称点为()1,7F -， 又直线BC 经过,F E 两点， 故直线BC ：430x y +-=； （2）设l 的方程为()22y m x -=--， 则()22,0,0,22P Q m m ⎛⎫++⎪⎝⎭， 可得直线PR 和QS 的方程分别为24(2)0x y m--+=和()44220x y m -++=， 又//PR QS ，∴RS =≥，当且仅当12m =取等号，∴线段RS 长度的最小值为181717. 【点睛】 三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y 间的距离公式为22122121||()()PP x x y y =-+-； （2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离1122d A B=+;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离2122d A B=+.24．（1）220x y --=；（2）()2219x y ++=；（3）422213422213,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）设AC 中点M 为(),0t ，则()42,0C t +，得到BM MC =，求出t ，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求AB k ，再求直线DE 的方程，点M 到直线DE 的距离，则三角形PDE 的高263,263h ⎡⎤∈-+⎣⎦，最后利用12PDESDE h =求解即可. 【详解】（1）设AC 中点M 为(),0t ，又()4,0A -， 则()42,0C t +，90ABC ∠=︒，则BM MC =,又(2,B --，424t t t =+-=+，则1t =-， 所以()2,0C ，故0222BC k -==--，则BC 边所在的直线方程为：)02202y x x -=-⇒--=；所以BC 边所在的直线方程为：20x --=； （2）由M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心， 则M 为AC 的中点坐标为()1,0-， 又3MC r ==,则圆M 的方程为：()2219x y ++=；（3）由()4,0A -，(2,B --，得024AB k -==-+，直线AB 与直线DE 平行，又(0,E -，则直线DE 的方程为：y =- 则()7,0D -，所以点M 到直线DE 的距离d ==，则三角形PDE 的高3h ⎡⎤∈⎣⎦，DE ==则12222PDESDE h ⎡==∈⎢⎣⎦，三角形PDE 面积的取值范围为22⎡⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.25．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=．【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程.【详解】（1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ； （2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =， 所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】 关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.26．（1）43m =-；（2）. 【分析】（1）先利用弦长和半径求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式建立关系即可求解； （2）求出直线定点D ，作CE l ⊥，垂足为E ，可得四边形MPQN 面积为CE PQ ⋅，当//MN l 且CD l ⊥时面积可得最大.【详解】解：（1）圆C 的圆心()3,4C -，半径4r =，由弦AB的长为，得点C 到直线l 的距离为d === 又d ==，∴=解得：43m =-； （2）把直线l 方程()()212340m x m y m ++---=化为()23240x y m x y +-+--=由230240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩∴直线l 过定点()2,1D -，当m 变化时，l 绕点D 转动， 作CE l ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形MPQN 为梯形（或矩形），PQ 为高，CE 为中位线， ∴()1884022MPQN S MP NQ PQ CE PQ CE MN CE CD =+⋅=⋅≤⋅=≤= 当且仅当//MN l 且CD l ⊥时等号全部成立， 由CD l ⊥得1l CD k k ⋅=-，即2112m m +=--，解得13m =， ∴当13m =时，四边形MPQN 的面积取得最大值402. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及四边形面积问题，解题的关键是巧妙表示出四边形面积，转化为点到直线距离的最值问题.。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (4)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (4)一、单选题1．已知A 、B 是圆O ：224x y +=上两个动点，点P 的坐标为(2,1)，若PA PB ⊥，则线段AB 长度的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．D 2．在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过△ABC 的重心，则三角形PQR 周长等于（ ）A B C ．D3．直线:20+=l x ，若1l l ⊥，则1l 的倾斜角是（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．若直线y kx =与曲线2y =k 的取值范围是（ ） A ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论： ①直线l 的倾斜角为a ；②无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；③若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1； ④若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．设点(,1)M m ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]22-,D ．⎡⎢⎣⎦7．直线:cos 0l x θ=被圆22650x y x +-+=截得最大弦长为（ ）A B C D ．38．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为： 圆 22:(3)9,Q x y ++= 圆224:(4)L x y ++=，圆 22:(4)4,S x y -+=若过原点的直线 l 与圆L 、S 均相切，则l 截圆Q 所得的弦长为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．19．直线330kx y k -+-=与曲线2y =k 的取值范围是（ ） A ．1[,)4+∞B ．3(,)4-+∞C ．(]31,44-D ．31(,)0,44⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦10．已知直线10x y ++=与圆C 相切，且直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，则圆C 的方程为（ ）A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y -++= C ．()()22212x y -+-=D ．()()22212x y -++=11．已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．7D ．512．已知直线20x ay +-=与圆C ：()()2214x a y -++=相交于A ，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数a =（ ）A ．BC ．D 13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ） A ．1或3B ．2C ．5D ．1或514．已知点P 0y =上的动点，则点P 到直线34100x y --=距离的取值范围是（ ） A ．71,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3C ．713,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．如图，棱长为2正方体1111ABCD A B C D -，O 为底面AC 的中心，点P 在侧面1BC 内运动且1D O OP ⊥，则点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是（ ）A ．85B ．125C D ．16．直线()():2311l a y a x -=--不过第二象限，则a 的取值范围为（ ） A ．2a <B ．23a -≤≤C ．2a ≥D ．4a ≥17．已知直线2y kx =-上存在点P ，满足过P 点作圆224240x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数k 的最小值为（ ） A ．512-B ．1-C ．1D ．512二、填空题18．设m R ∈，过定点A 的动直线20mx y m --=和过定点B 的动直线10x my +-=相交于P 点（点P 与点A B ，不重合），则PAB △的面积的最大值为_________．19．若直线y kx =与曲线2y =k 的取值范围是________．20．圆224230x y x y +-+-=上恰好有两点到直线0x y a +-=a 的取值范围是___________.21．若直线1y kx =+与函数()2,0224x x f x x -≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象恰有3个不同的交点，则k 的取值范围为__________.22．过点P 的直线l 与曲线y A ，B 两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为____________. 23．已知直线11:42k l y kx =-+，直线()22224:40l y x k k k=-++≠，若直线1l ，2l 与两坐标轴围成一个四边形，则当4k >时，这个四边形面积的取值范围是___________.24．平面内，动点P 到点()0,2A 的距离与点Р到点()0,6B -的距离之比为13，且点P 又在直线(y k x =-上，则k 的最小值是__________．25．已知点()3,0A 、()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则点P 到直线AB 的距离的最小值为________．26．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(6,8)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是_______.27．若圆22:1C x y +=被直线:l y x m =+m =________三、解答题28．求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程．29．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:4320C x y x y ++++=，证明圆1C 与圆2C 相交，并求圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程．30．赵州桥的跨度是37.4m ，圆拱高约为7.2m ．求这座圆拱桥的拱圆的方程．31．求与圆22:20C x y x y +-+=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程．32．某圆拱桥的水面跨度20 m ，拱高4 m ，现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？33．如图，某台机器的三个齿轮，A 与B 啮合，C 与B 也啮合．若A 轮的直径为200 cm ，B 轮的直径为120 cm ，C 轮的直径为250 cm ，且45A ∠=︒．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A ，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm ）．34．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： （1）圆心为()3,5M -，且与直线720x y -+=相切； （2）圆心在直线y x =上，半径为2，且与直线6y =相切；（32360x y -+=相切于点()3,4．35．己知圆22:2410++-+=C x y x y ，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，切点为M ．（1）若点()1,3P ，求此时的切线l 的方程；（2）当PM PO =时，求P 点的轨迹方程． 36．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程.37．已知直线:270l ax y +-=与圆()()22:129C x y -+-=交于A ，B 两点． （1）若直线l 与直线320x y -+=平行，求直线l 的方程；（2）若AB =，求直线l 的方程．38．分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式. （1）经过点(2,0)和(4,)1-；（3）经过点(1,2)且与直线10x y -+=垂直.39．已知点(1,0)M ，(1,3)N ，圆22:1C x y +=，直线l 过点N . （1）若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值.40．已知圆1O 经过点()4,1A ､()2,1B -两点，且圆心在直线2380x y --=上，圆2O ：224210x y x y ++++=（1）求圆1O 的标准方程； （2）求圆1O 与圆2O 的公共弦长41．已知圆C 过点()0,1A ，()2,1B --，且圆心C 在直线3y x 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(4,2)P -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．42．已知直线():1l y kx k =+∈R 与圆()()22:231C x y -+-=相交于A ，B 不同两点.（1）若*k ∈N ，求k 的值；（2）设M 是圆C 上的一动点(异于A ，B )，O 为坐标原点，若12AO BO ⋅=，求MAB △面积的最大值.43．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4),(2,2),(5,5)D E F ---都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）直线0x y m -+=与圆C 交于A B ，两点，OA OB ⊥时，求m 值．44．已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点()6,0Q 所连线段的中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）过定点()0,3-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足1221212x x x x +=，求直线l 的方程. 45．已知圆经过(11)A ， 和(2,2)B -两点，且圆心C 在直线10x y -+=上. （1）求圆C 的方程.（2）若过点(6,4)M -的直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，且8PQ =，求直线l 的方程. 46．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -,(3,2)B -，且圆心C 在:20l x y --=上，（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(3,1)P -作直线m 交圆C 于MN 且||8MN =，求直线m 的方程.47．如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切.过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程.48．如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程.49．已知圆()22:210C x y x ay a +-++=∈R ，圆心C 在直线30x y -=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）求直线:0l x y -=被圆C 截得的弦AB 的长．50．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足|||PO PA =．（2）若直线l 过点()4,6Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程．【答案与解析】1．D 【解析】先根据题意设出Q 的坐标，根据勾股定理得到Q 的轨迹方程，求出PQ 的最大值，根据||2||AB PQ =即可求解. 解：如图所示：取AB 的中点Q ，连OQ 、PQ ， 由圆的性质可知OQ AB ⊥， 由PA PB ⊥可知：2AB PQ =， 设点Q 的坐标为(,)x y ，在Rt OBQ 中，222OB OQ PQ =+， 即 ，整理为22224210x y x y +--+=，可化为2213(1)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故Q 的轨迹为以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭PQ =故||2||AB PQ =≤． 故选：D.2．A 【解析】建立如图所求的直角坐标系，得(4,0),(0,4)B C ，设(,0)P a ，求出P 关于直线BC 的对称点1P 坐标，P 关于y 轴对称性2P 坐标，由反射性质12,,,P Q R P 四点共线，求得直线QR 方程，由G 在直线QR 上可求得a ，然后计算12PP 即得．建立如图所求的直角坐标系，得(4,0),(0,4)B C ，直线BC 方程为4x y +=，ABC 的重心为44(,)33G ，设(,0)P a ，P 关于直线AB 的对称为1(,)P x y ， 则04220(1)1x a y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=-⎪-⎩，解得44x y a =⎧⎨=-⎩，则1(4,4)P a -， 易知P 关于y 轴的对称点为2(,0)P a -，根据光线反射原理知12,,,P P Q R 四点共线， ∴直线QR 的方程为[]40()4()a y x a a --=----，即4()4a y x a a -=++，又直线QR 过44(,)33G ，∴444343a a a -⎛⎫=⨯+ ⎪+⎝⎭，解得43a =或0a =（舍去），4,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴184,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，24(,0)3P -，12PP == 故选：A ．关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把PQR 的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得P 点位置，然后得路程的最小值． 3．B 【解析】根据两直线垂直得出1l 的斜率，即可得倾斜角.因为直线:20+=l x ，所以k = 又1l l ⊥，所以1l 的斜率为1k = 因为倾斜角的范围[0,)π， 所以1l 的倾斜角为3π， 故选：B 4．A 【解析】对曲线2y =()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，然后求出当直线与该半圆相切、当直线过点()2,2时对应的k 的值，然后可得答案.曲线2y =()()()224242x y y -+-=≥，它表示以()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，且左侧端点坐标为()2,2，直线()0y kx k =>过原点()0,0，当直线与该半圆相切时(即图中虚线)，由2=43k =；当直线过点()2,2时(即图中实线)，1k =，故要使直线与曲线有两个不同交点，则413k ≤<. 故选：A.5．C 【解析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误； 对于②，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故②正确；对于③，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a-，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故③正确； 对于④，由②知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故④正确；综上所述，②③④共3个正确； 故选：C 6．A 【解析】当M 确定时，易知直线MN 与圆O 相切时，OMN ∠最大，若在圆上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，即令相切时，45OMN ∠≥即可，sin ON OM OMN =≤=∠M 点坐标，求得m 的范围. 当M 确定时，易知直线MN 与圆O 相切时，OMN ∠最大，若在圆上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，即令相切时，45OMN ∠≥即可，则sin ON OM OMN =≤=∠2，解得[]1,1m ∈- 故选：A 7．C 【解析】计算出圆心到直线l 的距离的最小值，利用勾股定理可求得结果.圆22650x y x +-+=的标准方程为()2234x y -+=，圆心为()3,0C ，半径为2，圆心C 到直线l的距离为3,32d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，直线l 被圆C截得最大弦长为故选：C.8．A 【解析】设直线:l y kx =，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长 设过点O 的直线:l y kx =.由直线l 与圆L 、圆 S2, 解得 213k =(1).设点Q 到直线l 的距离为1,d 则1d (2).又圆Q 的半径3r =直线l 截圆Q 所得弦长 1l = 结合(1)(2)两式，解得1 3.l = 9．C 【解析】将曲线方程化为半圆方程，求得直线的定点为()3,3，作草图确定有两个交点的临界位置，即可求解参数范围. 如图所示：由直线330kx y k -+-=得()330k x y --+=得直线过定点为()3,3C ，由2y =()()()22214,2y x y -+-=≥当直线与半圆相切时，则2d r ===解得34k =-当直线过点()1,2A -时，则2330k k --+-=得14k = 由于直线与曲线有两个不同交点，故3144k -<≤故选：C本题的解题关键在于求出直线的定点及将曲线化为半圆方程，通过草图确定临界位置. 10．D 【解析】根据直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，可得圆C 的圆心，再根据直线10x y ++=与圆C 相切，可得圆C 的半径，进而可得圆C 的方程. ∵直线()210mx y m m R ---=∈始终平分圆C 的面积，∴直线()210mx y m m R ---=∈始终过圆C 的圆心()21-，， 又圆C 与直线10x y ++=相切，则圆的半径r == ∴圆C 的方程为()()22212x y -++=． 故选：D. 11．D 【解析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=， 所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点， 设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ， 则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值， 所以BA BC +5=故选：D关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 12．A 【解析】a 的值.由题意知，等边ABC 边长为2，所以圆心(),1C a -到直线20x ay +-==，解得213a =，即a =故选：A. 13．D 【解析】设出动点P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程，由点P 是圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r 的值．解：设(,)P x y ，由||2||PA PO =，得2222(3)44x y x y -+=+，整理得22(1)4x y ++=，又点P 是圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有的一点， 所以两圆相切，圆22(1)4x y ++=的圆心坐标为(1,0)-，半径为2，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>的圆心坐标为(2,0)，半径为r ， 两圆的圆心距为3，当两圆外切时，23r +=，得1r =， 当两圆内切时，|2|3r -=，得=5r ． 故选：D ． 14．D 【解析】0y =与直线34100x y --=的图象，利用点到直线的距离公式可求得结果.0y =可得y 0y ≥，在等式y 221x y +=，0y =为圆221x y +=的上半圆，该圆的半径为1r =，0y =与直线34100x y --=的图象如下图所示：原点O 到直线34100x y --=2=，设点P 到直线34100x y --=的距离为d ，当点P 的坐标为()1,0，d 取最小值，即min 75d ==，由图象可知，max 2213d r =+=+=，因此，点P 到直线34100x y --=的距离的取值范围是7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（10y =化简变形为221x y +=，确定曲线为圆的一半，数形结合求解； （2）当直线l 与圆相离时，圆心到直线l 的距离为d ，则圆上一点到直线l 的距离的最大值为d r +，最小值为d r -（其中r 为圆的半径）. 15．A 【解析】先确定动点在平面内所在的线段，再根据对称性原理找最小值.取1BB 中点F ，连接,,,AC FA FC BD ,则1D DO OBF ，1D O OF ⊥，又AC ⊥平面11BDD B ，1D O ⊂平面11BDD B ，所以1AC D O ⊥，AC OF O ⋂=，1D O ⊥平面ACF ， 因为1D O OP ⊥，所以OP ⊂平面ACF ，P ∈平面ACF因为点P 在侧面1BC 内，所以P ∈平面ACF ⋂平面11BCC B CF =； 在平面11BCC B 内作B 关于直线FC 对称的点B '，连接,B F B C ''，,PB PB ' 则BCF B CF '≅，PB PB '=所以1B F '=，2B C '=，作PH BC ⊥， 则PB PH PB PH '+=+当B '、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值， 此时因为1BB CF ⊥，B BHCFB '，所以2B H BH '=，2HC BH =-，Rt B HC '中，222HC B H B C ''+=，即()()222222BH BH -+=，得45BH =，故85B H '=， 即点P 到底面AC 的距离与它到点B 的距离之和最小是85.故选:A. 关键点睛:（1）找出动点在平面内的所在的线段;（2）作出对称点，把问题转化为求动点到定直线的最短距离. 16．C 【解析】分20a -=、20a -≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式（组），由此可解得实数a 的取值范围.若20a -=，可得2a =，直线l 的方程为15x =，该直线不过第二象限，合乎题意；若20a -≠，可得0a ≠，直线l 的斜截式方程为31122a y x a a -=---，若直线l 不过第二象限，则3102102a a a -⎧≥⎪⎪-⎨⎪-<⎪-⎩，解得2a >.综上所述，2a ≥. 故选：C.关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解. 17．D 【解析】由圆224240x y x y +--+=，先找圆心C 和半径，根据题意，分析出P 的轨迹为圆，利用≤d R ，解出k 的范围.将圆224240x y x y +--+=化为标准方程：22(2)(1)1x y -+-=， 故圆心C (2，1)，半径r =1，在△PCA 中，30,90APC ACP ∠=︒∠=︒，∴PC =2P A =2∴P 的轨迹为以C 为圆心，半径R =2的圆，其方程为22(2)(1)4x y -+-=. 而圆心C 到直线2y kx =-的距离d =只需要2≤d2≤，解得：512k ≥所以实数k 的最小值为512.故选：D与圆的切线方程有关问题的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 18．1 【解析】由题知，A ，(1,0)B ，且两动直线互相垂直，P 点的轨迹是以AB 为直径的圆，P 点到AB 的距离的最大值为圆的半径，从而求得PAB △面积的最大值.由题知，A ，(1,0)B，2AB =，且两动直线互相垂直， 则AP BP ⊥，P 点的轨迹是以AB 为直径的圆，则P 点到AB 的距离的最大值为112AB =故PAB △面积的最大值为12112⨯⨯=故答案为：1 19．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】先对曲线2y = 进行化简，画出图形，数形结合即可求解.解：曲线2y =()()()224242x y y -+-=≥，如图所示：它表示以()4,2为圆心，2为半径在直线2y =上方的半圆，直线y kx =过原点()0,0，当直线与该半圆相切时（即图中虚线），43k =； 当直线过点()2,2时（即图中实线），1k =， 故要使直线与曲线有两个不同交点，则413k ≤<． 故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.20．()()5,13,7--【解析】把圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由与直线0x y a +-=圆相交，一条与圆相离可得，由已知得到关于a 的不等式，解不等式即可得解. 把圆的方程化为标准式为()()22218x y -++=，所以圆心坐标为()2,1-，半径r =则圆心到直线0x y a +-=的距离d ==由题意得<，即12124a a ⎧->⎪⎨--<⎪⎩，即216a <-<解得：51a -<<-或37a <<，即实数a 的取值范围为()()5,13,7-- ，故答案为：()()5,13,7--.21．31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】结合()f x 的图象和直线1y kx =+过定点，当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切和经过点()2,0时，可得答案.()f x 的图象如图所示，直线1y kx =+过定点()0,1，当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切时，1d ==解得34k =-或0k =（舍去），当直线1y kx =+经过点()2,0时，12k =-.数形结合可得31,42k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是作出图象找出临界值，考查了数形结合思想、计算的能力. 22．2 【解析】由题意画出图形，由切割线定理求得PA ，进一步得到AB，数形结合求得直线的倾斜角，则斜率可求．解：设PQ与曲线y Q，曲线y 2213x y +=的上半部分，圆的半径r ，圆心坐标为()0,0，因为25PA AB =，P ，所以PO =则22227||||||||(||||)||||||355PQ PA PB PA PA AB PA PO OQ =⋅=⋅+==-=．||5PA ∴=，||2AB =，O到弦AB的距离d=，所以1sin 2APO ∠== 30APO ∴∠=︒，由45POx ∠=︒所以直线l 的倾斜角为453015︒-︒=︒，斜率为1tan15tan(4530)2︒=︒-︒==故答案为：2．23．17,84⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由直线1l ，2l 过定点()2,4B ，再分别求出直线1l 、2l 与x 轴、y 轴的交点，将四边形AOCB 分成一个梯形和一个直角三角形，根据面积公式结合二次函数的性质得出四边形面积的取值范围.直线14(2):422l k k y x k x =-+=-+，过定点()2,4B ，与x 轴的交点为28,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭直线()222:24l y x k =--+，过定点()2,4B ，与y 轴的交点为240,4C k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭过点B 作y 轴的垂线交于点D ，如下图所示 将四边形AOCB 分成一个梯形和一个直角三角形 则122114424422S DB DC k k⎛⎫=⨯=⨯⨯+-= ⎪⎝⎭2112816()24822k S OA DB OD k k -⎛⎫=+⨯=+⨯=- ⎪⎝⎭则四边形AOCB 的面积为212241618428S S S k k k ⎛⎫=+=-+=-- ⎪⎝⎭因为4k >，所以110,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则17,84S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：17,84⎛⎫⎪⎝⎭关键点睛：解决本题的关键是得出直线1l ，2l 过定点()2,4B ，以此画出图象得出四边形面积的取值范围. 24．【解析】先求点P 的轨迹方程，再利用直线与圆的位置关系，求k 的最小值.设点(),P x y ，13PA PB =，13=，化简得()2239x y +-=， 点P 又在直线(y k x=-上，∴直线与圆相交， 圆心()0,3到直线(y kx =-的距离3d ≤，得20k +≤解得：0k ≤，所以k 的最小值是故答案为：方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种： 1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法. 25．75【解析】求出直线AB 的方程，求出圆心到直线AB 的距离，进而可得出点P 到直线AB 的距离的最小值. 圆221x y +=的圆心为原点O ，半径为1r =，直线AB 的方程为134x y+=，即43120x y +-=，原点到直线AB 的距离为125d ==，所以，直线AB 与圆221x y +=相离， 因此，点P 到直线AB 的距离的最小值为127155d r -=-=. 故答案为：75.结论点睛：若直线AB 与半径为r 的圆C 相离，且圆心C 到直线AB 的距离为d ，则圆C 上一点到直线AB 的距离的最小值为d r -，最大值为d r +. 26．(8,12) 【解析】由以A 为圆心2为半径的圆与圆O 相交可得．由题意以A 为圆心2为半径的圆与圆O 相交，．∴22r r -<+，解得812r <<． 故答案为：(8,12)．本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系： 两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，外切d R r ⇔=+，相交R r d R r ⇔-<<+，内切d R r ⇔=-，内含d R r ⇔<-． 27．±1 【解析】求出圆心到直线的距离，由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形可得答案.圆心()0,0C ，半径为1，圆心到直线的距离为1OC =<，解得m 2CB =，因为222OB OC CB =+，所以221=+⎝⎭， 解得1m =±，符合题意. 故答案为：±1.本题考查了直线和圆的位置关系，关键点是利用由圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形解题，判断直线和圆的位置关系有①几何法，就是利用圆心到直线的距离和半径大小；②代数法，就是利用圆的方程和直线方程联立后的判别式求解. 28．227320x y x y +-+-= 【解析】设两圆交点系方程为2222+64+(+628)0x y x x y y λ+-+-=，求得圆心坐标代入直线40x y --=求得圆的方程.设经过两圆交点的圆的方程为2222+64+(+628)0x y x x y y λ+-+-=，即22(1)(1)+662840x y x y λλλλ++++--=，圆心坐标为33(,)11λλλ--++ ，将其代入直线40x y --=解得7λ=- ．所以圆的方程为227320x y x y +-+-=． 故所求圆方程为：227320x y x y +-+-=29．证明见解析，公共弦所在直线的方程为210x +=. 【解析】依题意求得圆1C 和圆2C 的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.圆1C 的标准方程为()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心为131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径132r =；圆2C 的标准方程为()22317224x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以圆心为232,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径2r =两圆圆心距121d C C ==，1232r r +=1232r r -=，所以1212r r d r r -<<+，圆1C 和圆2C 相交.将圆2C 和圆1C 的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为210x +=. 30．()22220.6827.88x y ++= 【解析】根据题意以拱高所在直线为y ，如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程. 解：根据题意，以拱高所在直线为y ，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：7.2OC =，18.7OB OA ==，此时圆心在y 轴上，圆心为D ，半径为r ，则7.2OD r OC r =-=-， 所以在Rt OBD △中，222BD OD OB =+，即()2227.218.7r r =-+， 解得：27.88r =，所以7.220.68OD r =-= 设所求圆的方程为()22220.6827.88x y ++=， 即拱圆的方程为：()22220.6827.88x y ++= 31．()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭【解析】先求出圆22:20C x y x y +-+=的圆心和半径，利用对称求出对称圆的圆心，即可写出对称圆的方程.圆22:20C x y x y +-+=可化为：()2215124x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以其圆心112⎛⎫- ⎪⎝⎭，，半径254r =. 设对称的圆的圆心(),a b ，则有：1·1112112122b a a b +⎧=-⎪-⎪⎪⎨⎪+-⎪=+⎪⎩，解得：232a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以对称的圆的方程为：()2235224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.32．该船可以从桥下通过 【解析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出A B P D E ，，，，各点的坐标，设出圆的标准方程，将A B P ，，坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D 横坐标代入求出纵坐标，与3比较即可作出判断.建立如图所示的坐标系.依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0).设所求圆的方程是222()(0)=()x a y b r r -->+， 于是有()()()22222222210,10,4,a b r a b r a b r ⎧++=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎩解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4). 把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1.由于船在水面以上高3 m ，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 33．260cm【解析】根据题意，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 建立平面直角坐标，进而得直线AC 的方程为y x =，故设(),,0C t t t >，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.解：根据题意，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 建立平面直角坐标系，如图，则160AB =，()0,0A ，()160,0B ，由于45CAB ∠=，所以直线AC 的方程为y x =， 故设(),,0C t t t >，则()12501201852BC =+=，由于圆B 与圆C 相外切，故BC =，解方程得183.5t ≈所以259.5260AC cm ==≈cm.故A ，C 两齿轮的中心距离约为260cm .34．（1）()()223532x y -++=；（2）()()22444x y -+-= 或()()22884x y -+-=；（3）22(5)(1)13x y -+-= 或 22(1)(7)13x y -+-=.【解析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案;（2）设圆心坐标为(),a a ，再根据题意得62r a =-=，解得4a =或8a =，进而求得答案；（3）设圆心坐标为(),a b ,则4332b a -⎧=-⎪-⎪⎨=51a b ⎧=⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，进而求得答案.解：（1）因为圆M 与直线720x y -+=相切，所以点()3,5M -到直线720x y -+=的距离即为圆M 的半径， 所以r == 所以圆M 的方程为：()()223532x y -++=， 图像如图：（2）因为圆心在直线y x =上，半径为2， 所以设圆心坐标为(),a a ， 又因为所求圆与直线6y =相切， 所以62r a =-=，解得4a =或8a =，所以所求圆的方程为 ()()22444x y -+-= 或()()22884x y -+-=， 图像如图：（32360x y -+= 相切于点()3,4，所以设圆心坐标为(),a b ,则4332b a -⎧=-⎪-⎪⎨=51a b ⎧=⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，所以所求圆的方程为：22(5)(1)13x y -+-= 或 22(1)(7)13x y -+-=， 图像如下：35．（1）34150x y +-=或1x =；（2）()()22126x y -++=. 【解析】（1）利用几何法分别判断切线斜率存在即斜率不存在是切线情况； （2）(),P x y，根据PM ，及222PM PC CM =-进行化简即可.（1）圆的标准方程为()()22124x y ++-=,当切线斜率不存在时，直线为1x =，此时该直线是圆的切线，满足条件．当切线斜率存在时，切线方程可以设为,():31l y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心()1,2C -到切线l 的距离2==d ，解得：34k =-，:34150∴+-=l x y ，∴切线方程为：34150x y +-=或1x =；（2）设(),P x y ，PM =, 又222222=+PO x y222PM PC CM ∴=-()()22124=++--x y 222=PM PO 知222410+-+-=x y x yP ∴的轨迹方程为：()()22126x y -++=36．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【解析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值.（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-， 因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示. 37．（1）6270x y -+=；（2）512420x y +-= 【解析】（1）因为直线l 与直线320x y -+=平行得直线l 的斜率，可得答案；（2）圆的半径、圆心到直线的距离和弦长的一半构成的直角三角形，利用勾股定理可得答案. （1）因为直线l 与直线320x y -+=平行，所以直线l 的斜率3k =， 则32a-=，解得6a =-， 故直线l 的方程为6270x y -+-=，即6270x y -+=． （2）由题意可知圆C 的圆心坐标为()1,2，半径为3，因为AB =C 到直线l 的距离1d =，解得56a =， 故直线l 的方程为52706x y +-=即512420x y +-=．38．（1）220x y +-=；（2）3260x y --=；（3）30x y +-=. 【解析】（1）用两点式写出直线方程并化简为一般式； （2）用截距式写出直线方程交化简为一般式；（3）由垂直求出直线斜率，设出直线方程的斜截式，代入点的坐标可得结论．然后方程化为一般式．解：（1）所求的直线方程为021042--=---y x ， 整理得220x y +-=. （2）所求的直线方程为123x y +=-， 整理得3260x y --=.（3）因为直线10x y -+=的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-， 设所求直线方程为y x b =-+，将(1,2)代入可得123=+=b ， 所以所求的直线方程为3y x =-+，即30x y +-=.思路点睛：本题考查求直线方程，直线方程有形式多种多样：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，可以根据不同的条件写出直线方程，然后转化为一般式． 39．（1）1x =或4350x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为(1)3y k x =-+，由直线l 与圆C1=，解得43k =，进而可得直线方程；（2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，根据判别式求得斜率的取值范围，又由韦达定理可知12x x +，12x x ，所以121221213(2)22()13k k x x k x x x x +-==--++++.（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =， 此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件.若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为(1)3y k x =-+， 即30kx y k --+=.由直线l 与圆C 相切，圆心(0,0)到l 的距离为1，1=，解得43k =.所以直线l 的方程为4(1)33=-+y x ，即4350x y -+=，综上，直线l 的方程为1x =或4350x y -+=.（2）由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩， 消去y 可得()()2222126680kx kk x k k +--+-+=，则()()()2222264168∆=--+-+k k k k k 24320=->k .解得43k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，(*)所以()1121212113111-++=+=---k x y y k k x x x ()221213332111-++=++---k x k x x x()()1212123221+-=+-++x x k x x x x ，将(*)代入上式整理得121862293--+=+=-k k k k ， 故12k k +为定值23-.过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况. 40．（1）22(1)(2)18x y -++=；（2. 【解析】（1）设圆1O 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意可得三个关于,,a b c 的方程，解出三个未知数即可；（2）首先判断两圆的位置关系是相交，联立方程组解出交点坐标16251135x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或，利用两点间距离公式求出公共弦长即可.（1）设圆1O 的标准方程为222()()x a y b r -+-= ，过点()4,1A ､()2,1B -两点，且圆心在直线2380x y --=上， 所以2222222380(4)(1)(2)(1)a b a b r a b r --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+-=⎩，解得12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩ ，所以圆1O 的标准方程为22(1)(2)18x y -++=.（2）圆2O ：224210x y x y ++++=，即22(2)(1)4+++=x y ，因为两圆圆心距离为2d =<2 ， 所以两圆相交，联立22(1)(2)18x y -++=与22(2)(1)4+++=x y ，解得16251135x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或 ，=. 41．（1）22(2)(1)4x y ++-=；（2）4x =-或34200x y -+=.。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (6)一、单选题1．已知Rt PAB 的直角顶点P 在圆(()22:11C x y +-=上，若点(),0A t -，()(),00B t t >，则t的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[]1,32．设直线l 与圆()()221:2536C x y ++-=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()1,1M ，则圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为（ ）A ．15B ．35C ．65D ．953．已知点P 为圆()()22121x y -+-=上动点，O 为坐标原点，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为（ ）A B 1 C 1 D 4．若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦5．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是（ ）A ．bB ．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．1b <≤-6．设a ，b 分别表示直线l 在x 轴和y 轴上的截距，k 为l 的斜率，p 为原点到l 的距离，且0abpk ≠，则有（ ）A ．()22221a k p k =+ B ．b k a =C ．11p a b+=D ．a kp =-二、多选题7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，则（ ）． A ．轨迹C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =8．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（ ）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=9．已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离10．（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-三、双空题11．函数21y x x =-+________，其中x =________．四、填空题12．已知圆()()22:124C x y ++-=，则过点()1,3P 作圆C 的切线l 的方程为___________.13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.14．直线y x b =+与曲线||1x -=b 的取值范围是_______；15．直线(5)1y k x =-+与曲线3y =k 的取值范围是________；16．已知在ABC 中，()1,1A ，(()14B m m <<，()4,2C ，则当ABC 的面积S 最大时，m =______． 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则实数t 的取值范围为______．18．已知圆()22:116C x y ++=，过点()0,1P 的直线l 交圆C 于不同的两点，当圆上的点到直线l 的距离的最大值为6时，直线l 的方程为______．19．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．20．光线从点(3,5)B -出发射到x 轴上，经反射后过点(2,10)A ，则光线从点B 到点A 经过的路程为___________.五、解答题21．已知直线1:210l x y -+=和22:0x y l --=的交点为P ．（1）若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）．22．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦（1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.23．已知直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程． 24．已知圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ， （1）求圆C 的方程；（2）判断()3,2P 和圆C 的位置关系．25．如图所示，已知O 的方程为224x y +=，直线l 的方程为4x =，圆O 与x 轴的交点分别为A 、B ，P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于M 、N 两点.求证：当点P 变化时，以MN 为直径的圆必过圆O 内一定点.26．实数x ，y 滿足222410x y x y ++-+=， 求（1）4yx -的最大值和最小值； （2）2x y +的最大值和最小值.27．四条直线1:3150l x y +-=，2:60l kx y --=，3:50l x y +=，4:0l y =围成一个四边形，问k 取何值时，该四边形有一个外接圆，并求出外接圆的方程.28．（蝴蝶定理）过圆AB 弦的中点M ，任意作两弦CD 和EF ，CF 与ED 交弦AB 于P 、Q ，求证：PM QM =.29．判别方程222(410)10200x y kx k y k ++++++=（k 为参数，1k ≠-）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.30．求过两圆22640x y x ++-=与226280x y y ++-=的交点的直线方程和圆心在直线40x y --=上的圆的方程.31．已知ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=，A ∠的角平分线所在的直线方程为0y =，点C 的坐标为()12，． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点C 作函数(0)k y x x=>的图像，在图像上是否存在一点P 使得PAB △面积最小，如果存在求此时点P 的坐标及PAB △面积最小值，若不存在说明理由.32．一圆经过点()2,4--，且与直线3260x y +-=相切于点()8,6，试求该圆的方程．33)x ∈R ．34．求以相交两圆221:410C x y x y ++++=及222:2210C x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程；35．求函数y =.36．过圆222x y r +=内部一点(,)M a b 作动弦AB ，过A 、B 分别作圆的切线，设两条切线的交点为P .求证：点P 恒在一条定直线上的运动. 37．已知224x y +≤，且0x ≥，求41y x ++的最大值与最小值.38．关于x 2kx =+只有一个实根，求k 的取值范围.39．ABC 的边,AC AB 上的高所在直线的方程分别为2310,0x y x y -+=+=，顶点(1,2)A ，求BC 边所在直线的方程．40．已知C 经过点(2,0)A -，(0,2)B ，且圆心在直线y x =上.又直线l ：1y kx =+与C 相交于P ，Q 两点.（1）求C 的方程；（2）过点(0,1)作直线1l 与l 垂直，且直线1l 与C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值. 41．（1）已知实数z 、y 满足方程22(2)1x y ++=，求12y x --的最小值； （2）若实数x 、y 满足方程222410x y x y +--+=，求代数式2yx +的取值范围. 42．已知10条直线，11:0l x y c -+=，1c 22:0l x y c -+=， 33:0l x y c -+=，……1010:0l x y c -+=，其中1210c c c <<<．这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2，3，4，…，10． （1）求实数10c 的值；（2）求100x y c -+=与x 轴、y 轴围成的图形的面积． 43．已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.44．已知过坐标原点O 的一条直线与函数9log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线与函数3log y x =的图象交于C ，D 两点． （1）证明：点C ，D ，O 在同一条直线上； （2）当直线BC 的斜率为0时，求点A 的坐标．45．已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求OMN 的面积．46．已知方程()()()222321620m m x m m y m m --++-+-=∈R ．（1）若方程表示一条直线，求实数m 的取值范围；（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m 的值，并求出此时的直线方程； （3）若方程表示的直线在x 轴上的截距为3-，求实数m 的值； （4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m 的值．47．求函数()f x .48．已知两直线2212:224,:224(02)l ax y a l x a y a a -=-+=+<<与两坐标轴的正半轴围成四边形.当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求此最小值. 49．已知ABC 的三个顶点(4,0),(8,10),(0,6)A B C . （1）求过点A 且垂直于BC 的直线方程； （2）求过点B 且与点A ，C 距离相等的直线方程.50．求两平行直线1:30l kx y k --=与2:40l kx y -+=之间距离的最大值.【答案与解析】1．D 【解析】首先根据题意得到点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）.又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，且2CM =，所以得到121t t -≤≤+，再解不等式即可.因为点P 为Rt PAB 的直角顶点，且点(),0A t -，()(),00B t t >， 所以点P 在以AB 为直径的圆222:M x y t +=上（去掉,A B 两点）. 又因为P在圆(()22:11C x y +-=上，所以圆C 与圆M 有交点，因为2CM =，所以121t t -≤≤+，解得13t ≤≤. 故选：D 2．A 【解析】求出直线l 的方程，并求出圆2C 的圆心到直线l 的距离，结合圆的几何性质可得出结果. 圆1C 的圆心为()12,5C -，由垂径定理可知1C M l ⊥， 直线1C M 的斜率为1514213C M k -==---，所以，直线l 的斜率为34k =，故直线l 的方程为()3114y x -=-，即3410x y -+=， 圆2C 的圆心为()23,4C ，半径为1r =， 圆心2C 到直线l 的距离为65d =， 因此，圆()()222:341C x y -+-=上的点到直线l 的距离的最小值为61155d r -=-=. 故选：A. 3．B 【解析】设向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），当点P 位于与直线OA 垂直且与圆相切的直线上时，投影取得最值，进而求出最大值.如图所示，向量a →所在直线为OA （A 为向量的终点），则12OA k =，则设与直线OA 垂直且与圆相切的直线为:2l y x t =-+，所以圆心到直线的距离14d t =⇒=根据图形可知，当t =:2l y x =-+OA 交于B ， 易得，直线OA ：12y x =，联立：212y x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得：((21,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(||1OB ==，则向量OP →在向量()2,1a →=方向上投影的最大值为1+. 故选：B. 4．B 【解析】求出直线4cos 670x y α+-=的斜率的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系可出结果. 因为,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则cos α⎛∈ ⎝⎦， 所以，直线4cos 670x y α+-=的斜率为2cos 3k α⎡⎫=-∈⎪⎢⎪⎣⎭， 因此，直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范围是5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B. 5．B 【解析】首先根据题意得到曲线x y x b =+与曲线x =有且仅有一个公共点时b 的取值范围.将方程x ()2210x y x +=≥．当直线y x b =+与曲线221x y +=1=，即b ，解得b =由图可知，当b =11b -<≤时，直线y xb =+与曲线x = 故选：B. 6．A 【解析】根据题意，设出直线的截距式方程，进而求出斜率以及原点到直线的距离，最后得到答案. 由题意可得，直线的截距式方程为1x ya b+=，斜截式方程为y kxb =+，由点到直线的距离公式，得p =又1x y a b +=与y kx b =+表示同一条直线，所以b ak =-.将bak =-代入p =()222()1ak p k ⋅-=+，即()22221a k p k =+.故选：A. 7．BC 【解析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.A ：在平面直角坐标系xOy 中，()20A -，，()40B ，，点P 满足12PA PB =， 设()P x y ，12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以A 错误；B ：假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=，设()0D m ，，()0E n ，化简得()2222338240x y m n x m n +--+-=，由轨迹C 的方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=， 解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），所以B 正确； C ：当A ，B ，P 三点不共线时，12OA PAOBPB==， 可得射线PO 是APB ∠的角平分线，所以C 正确；D ：若在C 上存在点M ，使得2MO MA =，可设()M x y ，，，化简得221616033x y x +++=， 与2280x y x ++=联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误． 故选：BC ． 8．BC 【解析】求出圆心距12C C ，结合半径由圆的性质可得圆上两点的距离的最大值和最小值，判断AB ，得直线斜率，判断C ，根据两圆位置关系可判断D ．解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||5C C ==，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确； 对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确， 对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误． 故选：BC ． 9．BC 【解析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r ，故选项A 不正确； 对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3=，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ==+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.10．BD【解析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∵直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∵1tan 60m =︒=1tan120m =︒=∵m =或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m -=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．11．9 2x =-或1x =【解析】将所求函数整理为2y =，设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M，所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 计算点()3,5-M 到直线10y x -+=的距离即可求最小值，求出过点()3,5-M 与10y x -+=垂直的直线方程与2y x 联立可得x 的值.因为21y x x =-+所以2y ． 设()2,P x x 是抛物线2y x 上的动点，()3,5-M ，如图所示，设PQ ⊥直线1y x =-于Q PQ =PM ．所求问题的几何意义是：点P 到直线10y x -+=的距离与到点M 于是，当M 、P 、Q 三点共线时，PQ PM +取得最小值．此直线是过点M 且垂直于直线1y x =-的直线为()53y x -=-+即2y x =-．则PQ PM +的最小值就是点M 到直线1y x =-的距离．因为)21y x x PQ PM MQ =-++9==． 由22y x y x =-⎧⎨=⎩可得1x =或2x =-， 故最小值为9，且对应的2x =-或1x =．故答案为：9；2x =-或1x =.12．1x =或34150x y +-=【解析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得. 圆()()22:124C x y ++-=的圆心坐标()1,2C -，半径2r ,当切线l 的斜率不存在时，:1l x =，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线； 当切线l 的斜率存在时，设斜率为k ，():31l y k x -=-，即：30kx y k --+=,2=，解得34k =-， 故切线的方程为34150x y +-=，故答案为：1x =或34150x y +-=易错点睛：本题考查求过点作圆的切线，关键是由首先验证斜率不存在时是否是圆的切线，考查学生的分类讨论思想，属于易错题.13．403k ≤≤【解析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解. 由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤， 所以k 的取值范围是403k ≤≤， 故答案为：403k ≤≤.14．1b =或1b -或32b <+【解析】化简曲线||1x -=.曲线||1x -=22(||1)(1)1x y -+-=表示两个半圆，当1x 时，22(1)(1)1x y -+-=；当1x -时，22(1)(1)1x y ++-=，如图所示，当直线在1l 时，b =2l 时，1b =；当直线在3l 时，2b =4l 时，1b =-；当直线在5l 时，3b =.由图象可知，当1b =或1b -或32b <+.∵b 的取值范围是1b =或1b -或32b <+故答案为：1b =或1b <-或32b <+15．205k -< 【解析】化简曲线3y =.由3y =222)(3)4(3)x y y -+-=≤（， 其图象是以(2,3)为圆心，2为半径的半圆，(5)1y k x =-+是过定点(5,1)A 的直线，作出图象，如图所示，其中0AC k =，25AD k =-，有两个不同的公共点时，k 的取值范围是205k -<. 故答案为：205k -< 16．94 【解析】表示三角形面积12S AC d =⋅，其中d 为点(B m 到直线AC 的距离，可得2131224S ⎫=-⎪⎭，利用二次函数的最值即得解因为()1,1A ，()4,2C ，所以AC ==且直线AC 的方程为()211141y x --=⨯--，即320x y -+=．又点(B m 到直线AC 的距离d =，所以211131222224S AC d m ⎫=⋅=-=-⎪⎭．因为14m <<，所以12<<，所以131222-<<，所以231024⎫≤<⎪⎭，所以2113242S ⎡⎤⎫=⨯-⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，当94m =时，S 最大． 故答案为：9417．(],0-∞【解析】首先由题意求出圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离范围，再通过点到直线的距离公式即可求解. 由于圆C 的标准方程为()2221x y +-=，则圆C 的圆心坐标为()0,2，半径为1．要使直线20x ty -+=上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 相切，则只需满足圆C 的圆心到直线20x ty -+=的距离2d ≥，即2d =≥，解得0t ≤．故答案为：(],0-∞．18．1y =【解析】由题知圆C 的圆心到直线l 的距离为2d =，进而分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可.由题意知，圆C 的圆心为()0,1C -，半径4r =，易知点()0,1P 在圆C 的内部．设圆C 的圆心到直线l 的距离为d ，则圆上的点到直线的距离的最大值为4d +，所以46d +=，可得2d =．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，所以2d ==，解得0k =，所以直线l 的方程为1y =；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，不满足题意．综上，直线l 的方程为1y =．故答案为：1y =19．22310x y x y +-+-=【解析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线l 的方程，从而求出圆的方程.设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=.20．【解析】利用入射光线上的一点关于x 轴的对称点一定在反射光线的反向延长线上的性质，即可求解. 易知点(3,5)B -关于x 轴的对称点为(3,5)B '--，设直线AB '交x 轴于P 点，则'||||PB PB =，又∵A 点坐标(2,10)，∵'||||||||PA PB PA PB AB '+=+===故光线从点B 到点A 经过的路程为故答案为：21．（1）4330x y --=；（2）30【解析】（1）先求出交点P 的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；（2）先求出A 、B 两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得OAB 的面积．解：（1）由21020x y x y -+=⎧⎨--=⎩， 解得：35x y =-⎧⎨=-⎩， 可得直线1:210l x y -+= 和22:0x y l --=的交点为()3,5P =--，由于直线l 3的斜率为43， 故过点P 且与直线343:50x y l --=平行的直线l 的方程为()4533y x +=⨯+， 即4330x y --=； （2）由题意知：直线m 的斜率存在且不为零，设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为()53y k x +=+，由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且()3,5P =--为线段AB 的中点，故：()53,0,0,35A B k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 53323552k k ⎧-⎪=-⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩， 解得53k =-， 故()()6,0,0,10A B -- ，故OAB 的面积为116103022OA OB ⨯⋅=⨯⨯=. 22．（1）22(1)1y x +-=；（2）2±（3）163. 【解析】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =， 又因为直线截圆M所以221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k = （3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111AC t t k MAO t t-=∠==---， 同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BC t t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221t y x t t =---， 直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ， 由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩， 即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭， 又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-， 当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83， 所以ABC 面积的最小值.18164233ABC S=⨯⨯=. 23．40x y -+=或4y =．【解析】 方法一：分点A 和点B 在直线l 的同侧和异侧两种情况求解；方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠，再根据点到线的距离公式求解即可 方法一：当点A 和点B 在直线l 的同侧时，易得//AB l ． ∵53131AB k -==-，∵1l k =． 又知直线l 过点()0,4P ，∵直线l 的方程为()410y x -=⨯-，即40x y -+=．当点A 和点B 在直线l 的异侧，这时直线l 过AB 的中点()2,4．又因为直线l 过点()0,4P ，则直线l 的斜率为0，直线l 的方程为4y =． 综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．方法二：设直线l 的方程为()2200ax by c a b ++=+≠． 由题设知，直线l 过点()0,4P ，并且点()1,3A 和点()3,5B 到直线l的距离相等，则40b c +=⎧=，于是可得3a b a b -=+． 从而可得3a b a b -=+或3a b a b -=--，解得a b =-或0a =．当a b =-时，4c b =-，0a ≠且0b ≠，此时直线方程为40x y -+=．当0a =时，0b ≠，此时直线方程为4y =．综上所述，直线l 的方程为40x y -+=或4y =．24．（1）()()224325x y -++=；（2）点()3,2P 在圆C 外． 【解析】（1）利用待定系数法求得圆C 的方程.（2）由()()2234232625-++=>判断出点P 与圆C 的位置关系.（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆C 过()0,0O ，()1,1A ，()4,2B ，则()()()()()()222222222001142a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得24325a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以所求圆C 的方程为()()224325x y -++=；（2）因为()()2234232625-++=>，所以点()3,2P 在圆C 外．25．证明见解析.【解析】设出直线PA 与PB 的方程，结合题意可求得,M N 的坐标，进而可求得以MN 为直径的圆C 的方程，再令0y =，可求出圆与x 轴的交点，即可求解由题意可知()2,0A -，()2,0B ，设直线l 与x 轴的交点为K ，设直线PA 的方程为()2y k x =+，则直线PB 的方程为()12y x k=--. 由题意可知()4,6M k 、24,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以MN 的中点坐标为14,3k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，123MN k k=+，所以以MN 为直径的圆的方程为：()22211433x y k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22182340x y x k y k ⎛⎫+---+= ⎪⎝⎭，令0y =，则2840x x -+=，解得4x =±点()4+在圆O 外部，点()4-在圆O 内部，所以以MN 为直径的圆C 必过O 内一定点()4-.26．（1）最大值为0，最小值为2021-；（2）最大值为- 【解析】先求出所给的圆的圆心和半径，（1）4yx - 表示圆上的点（x y ）与点A （4，0）连线的斜率 k ．设出过点A 的圆的切线方程，根据圆心C 到切线的距离等于半径，求得k 的值，可得k 的最大值和最小值． （2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可. （1）4y x -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率， 设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-，即40kx y k --=，由2=0k =或2021-， 结合图形知，4yx -的最大值为0，最小值为2021-. （2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于2-的直线在y 轴上的截距，当直线2x y t +=和圆相切时，有2=∵t =±故2x y +的最大值为-27．当47k =-时，该四边形有一个外接圆，外接圆方程为22151590x y x y +--=.【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，再根据二元二次方程表示圆的条件求得k 的值，进而再求出圆的方程.设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为：(315)(5)(6)0x y x y kx y y λ+-++--⋅=，即22(8)(15)15(756)0x k xy y x y λλλ+++--+--=，由151,80,k λλ-=⎧⎨+=⎩解得14,4.7k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴所求圆的方程为22151590x y x y +--=.28．证明见解析 【解析】建立平面直角坐标系，设出圆、直线CD 、直线EF 的方程.结合曲线系与AB 的交点,P Q 的横坐标所满足的方程的根与系数关系，证得M 是PD 的中点，由此证得PM QM =. 如图所示，以M 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设圆方程为 222()(||)x y b r b r +-=<设直线CD 、EF 的方程分别为1y k x =，2y k x =.将它们合并为()()120y k x y k x --=，于是过点C 、D 、E 、F 的曲线系方程为()()22212()0x y b r y k x y k x λ+--+--=.令0y =，得()2221210k k x b r λ++-=，即过点C 、D 、E 、F 的曲线系与AB 交于点P 、Q 的横坐标是方程()2221210k k x b r λ++-=的两根.由韦达定理得0P Q x x +=，即M 是PQ 的中点，故PM QM =.29．圆心在(,25)k k ---1|k +的圆；定点的坐标为(1,3)- 【解析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k 的方程可得定点. 将原方程整理得222()[(25)]5(1)0x k y k k ++++-+=，即222()[(25)]1)]x k y k k ++++=+，∴方程表示圆心在(,25)k k ---1|k +的圆，将原方程整理为关于k 的方程：221020(2410)0x y y k x y ++++++=，由2210200,24100x y y x y ⎧+++=⎨++=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=-⎩ 即圆过定点(1,3)M -.30．直线方程为：40x y --=；圆的方程为：227320x y x y +-+-=. 【解析】首先写出过两圆交点的圆系方程，当1λ=-时，求出直线方程；通过对圆系方程化简整理，求出圆心，再结合已知条件即可求得圆的方程.由题意，过两圆交点的圆系方程为：()2222646280x y x x y y λ++-+++-=，令1λ=-，得40x y -+=， 故所求直线方程为：40x y -+=；对圆系方程化简整理得：22(1)(1)664280x y x y λλλλ+++++--=， ∵圆心的坐标为33,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭，而圆心在直线40x y --=上， 从而334011λλλ-+-=++，解得，7λ=- 代入圆系方程得，227320x y x y +-+-=. 故所求圆的方程为：227320x y x y +-+-=.31．（1）()10A -，，()56B -，；（2）存在,3，P .【解析】（1）由条件解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得出点A 坐标，得出BC 边上得高所在得直线方程，求出AB 得方程，由联立BC ，AB 的直线方程得出点B 的坐标.（2）由点C 作函数(0)ky x x =>的图像上求出k ，设2(,),P a aP 到AB l距离为d =1||2ABDA d SB =⨯⨯得出面积的表达式，从而求出答案. ()1因为点A 在BC 边上的高210x y -+=上，又在角A 的角平分线0y =上,所以解方程组2100x y y -+=⎧⎨=⎩得(1,0).A -BC 边上得高所在得直线方程为210,x y -+= 所以2BC k =- 1,1,AC AB AC k k k =∴=-=-所以AB 得方程为x+y+1=010240x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得(5,6),B - 所以：()10A -，，()56B -，． (2)因为C 在曲线k y x =上. 22,2,1k k y x∴=∴=∴=2(,),(0),:10AB P a a l x y a>∴++=则P 到AB l距离为d2111122||||1|3|1|2222ABDa AB d a a Sa a ++=⨯⨯==⨯++=++202a a >∴+≥当且仅当22,a =即a =2211|1|1,a a a a++≥∴++≥3PABS∴≥，此时P．32．22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，由CB l ⊥，得到直线CB 的方程， 再求导线段AB 的垂直平分线方程，联立求得圆心即可.设圆的圆心为C ，()()2,4,8,6A B --，:3260l x y +-=，则CB l ⊥， 所以直线CB 的方程为：()638y x -=-，即3180x y --=， 又AB 的中点为()3,1，且64182AB k +==+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为()13y x -=--，即40x y +-=， 由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得11232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以圆的圆心为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r =所以圆的方程是22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．证明见解析【解析】=可知代数式的几何意义是抛物线2yx 上的点()2,M x x 到点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，数形结合以及三点共线可求得MA MB -的最大值，即可证得结论成立.=2yx 上动点()2,M x x 与两定点()3,2A 、()0,1B 的距离之差，如下所示：左边MA MB AB -≤==当且仅当B 在线段AM 上时取等号． 34．226121055x y x y ++++=.【解析】先由两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=，再由其圆心在公共弦上求解.两个圆的方程相减，得20x y -=，即为公共弦所在的直线方程.显然圆2C 的圆心(1,1)-不在此直线上.设所求圆的方程为()2222412210x y x y x y x y λ+++++++++=.即22(1)(1)2(2)(12)(1)0x y x y λλλλλ+++++++++=.其圆心M 的坐标为212,12(1)λλλλ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭，点M 在直线20x y -=上，2(2)12012(1)λλλλ++∴-+=++，解得72λ=-. 故所求圆的方程为22555360222x y x y -----=，即226121055x y x y ++++=.35 【解析】解法一：运用判别式法的前提是必须有一元二次方程，且该方程有实根，而此函数的定义域为R ，用判别式法求解是可以的.关键是把函数转化为一元二次方程，因此先将其中一个根式移项，然后两边平方，再将含有根式的项整理到方程的一边，再平方，进而整理成关于自变量x 的一元二次方程，方程有实根的充要条件是“0∆≥”，解关于y 的不等式即可求得其最小值. 解法二：根据解析式中蕴涵的几何意义，转化为求两点间的距离即可求解.解法一：函数y ==.y ∴又0y ，即2y >，对∵式两边平方，得222225413y x x x x --+=-+.整理，得2822y x -+=对∵式两边平方，得()()()2222228484425y x y x y x x -+-+=-+，再整理，得()()2224244123236640y x y x y y ----+-=.∵2440y ->，x 为实数，()()()22242123244436640y y y y ∴∆=----+-≥，化简并整理，得64228520y y y -+≥， 即()()()242222285202260yyy y y y -+≥⇔--≥，又2y >，226y ∴≥，y ≥当y =∵为21002801960x x -+=，即22570490x x -+=，解得75x =解法二：y =令(,0)P x ，(1,2)A ，()2,3B ，则||||y AP BP =+点A 关于x 轴的对称点为(1,2)A '-.则min ||||||||y AP BP AP BP A B '=+=+≥=（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A '、P 、B 三点共线时取“等号”）. 36．证明见解析 【解析】先求出切线PA 、PB 的方程，得到直线AB 的方程，再证明点P 恒在定直线上.证明：设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，不妨将A 、B 、P 都视为定点（视动为静），先求直线AB的方程.切线PA 的方程为211x x y y r +=，切线PB 的方程为222x x y y r +=.∵P 点在切线上，∵21010x x y y r +=，22020x x y y r +=，这表明点A 、B 都在直线200x x y y r +=上，故直线AB 的方程为200x x y y r +=.又∵点M 在直线AB 上，∵200x a y b r +=.任意()00,P x y 都满足上式，故动点P 必在直线2ax by r +=上（换静为动）.37．最大值为6 【解析】不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆,41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，通过画出图象，结合图形来看，问题就迎刃而解.如图所示，不等式224x y +≤（0x ≥）表示半圆域. 设41y k x +=+，41y x ++表示半圆域上的点(,)x y 与点(1,4)--连线的斜率，当直线过点(0,2)时，有max461y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，当直线在切线位置时，k 值最小，由点(0,0)2=，解得k =. 又因为0k >，所以k =所以min41y x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 38．0k =或1k >或1k <-. 【解析】先将问题转化为两函数y 2y kx =+的图像只有一个交点，再画出图像，利用函数2y kx =+是过定点(0,2)且绕定点(0,2)转动的直线， 数形结合即得参数范围.依题意，函数y 2y kx =+的图像只有一个交点.函数y 2为半径的上半圆，而2y kx =+是过定点(0,2)斜率k 在变化的直线，也就是说直线绕(0,2)点转动， 因为(0,2)点在半圆上，所以动直线不可能与半圆再有其他交点（如图所示）.∵当0k =或1k >或1k <-时，两图像只有一个交点. 所以k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-. 39．2370x y ++=． 【解析】已知直线AC 、AB 的高线方程可以得到对应的AC 、AB 的直线方程，联立方程AC 与AB 边上的高线方程可得到C 点坐标，联立方程AB 与AC 边上的高线方程可得到B 点坐标，求出BC 的斜率，然后利用点斜式带入求出方程.因为AC 边上的高所在直线的方程为2310x y -+=，所以AC 边所在直线的斜率为32-．所以AC 边所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=．同理，AB 边所在直线的方程为10x y -+=． 由32700x y x y +-=⎧⎨+=⎩得顶点C 的坐标为(7,7)-．由10,2310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得顶点B 的坐标为(2,1)--．所以BC 边所在直线的斜率为1(7)2273---=---．所以BC 边所在直线的方程为21(2)3y x +=-+，即2370x y ++=．40．（1）224x y +=；（2）7. 【解析】（1）由AB 的中垂线及圆心所在直线得圆心坐标，得半径，从而得圆方程；（2）用斜率k 的式子表示弦PQ 的长度，同理可得弦MN 的长度，也可用含k 的式子表示，结合图形特征得到函数()S f k =，运用不等式知识求其最大值.解：（1）由题设知QC 的圆心既在AB 的中垂线上，又在直线y x =上，易得圆心为原点，半径为2.∵C ：224x y +=.（2）设四边形PMQN 的面积为S ，当直线l 的斜率0k =时， 则1l的斜率不存在，此时142S =⋅=当直线l 的斜率0k ≠时，设1l ：11y x k=-+. 联立2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()221230k x kx ++-=.所以有()22122122441(3)02131k k k x x k x x k ⎧∆=-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩.同理可得21MN k=+.211221S PQ MN k =⋅=+== 因为22212224k k k +++=，所以172122742S +=⨯=. 当且仅当1k =±时等号成立，所以S 的最大值为7. 41．（1）0；（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可；（2）转换为圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解即可. 解：（1）设12y k x -=-，则y -1=kx -2k ，y =kx -2k +1. 设(2,21)a x kx k =+-+，(,1)b k =-，则222222222()(221)1(2)(2)(21)||1||a b kx k kx k x y x kx k a k b ⋅+-+-=++=++-+==+ 22(41)1k k -=+，故22(41)1k k -+，(158)0k k -，解得8015k . 则12y k x -=-的最小值是0. （2）设2yk x =+，则2y kx k =+，∵ ∵方程222410x y x y +--+=可化为22(1)(2)4x y -+-=， 故可将∵式写成32(1)1(2)k k x y -=-⋅-+⋅-， 构造向量(1,2)m x y =--，(,1)n k =-，则||(1)2m x =-=，2||1n k =+32m n k ⋅=-. 由222()||||m n m n ⋅⋅，得()22(32)41k k -+，解得1205k， 故所求2y x +的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 42．（1）10c =；（2） 3025． 【解析】（1）先计算出O 到直线1l 的距离1d ，然后根据规律可计算出O 到直线10l 的距离10d ，结合点到直线。
直线和圆的方程 高中数学-例题课后习题详解-选必一复习参考题 2
复习参考题2一.选择题.1.直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.2.设直线l 的方程为x -y sin θ+2=0，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[0,π] B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,24ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】分sin 0θ=和sin 0θ≠两种情况讨论，当sin 0θ=时，2πα=；当sin 0θ≠时，结合sin θ的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角α的范围.【详解】直线l 的方程为sin 20x y θ-+=，当sin 0θ=时直线方程为2x =-，倾斜角2πα=当sin 0θ≠时，直线方程化为12sin sin y x θθ=+，斜率in 1s k θ=，因为[)(]sin 1,00,1θ∈- ，所以(][),11,k ∈-∞-+∞ ，即(][)tan ,11,α Î-¥-+¥，又因为[)0,απ∈，所以3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C3.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为（）A.3450x y +-=B.3450x y ++=C.3450x y -+= D.3450x y --=【答案】B【解析】【分析】把方程中y 换成y -，整理即得．【详解】直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为34()50x y --+=，即3450x y ++=．故选：B ．4.已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求a 的值：（1）23x y a +=，4630x y +-=；（2）210x ay +-=，(31)10a x ay ---=；（3）(1)2x a y a ++=-，2416ax y +=-．【答案】（1）32a ≠；（2）0a =或16a =；（3）1a =【解析】【分析】（1）根据平行得出23463a =≠可求；（2）可得0a =满足，0a ≠时，311121a a a ---=≠-；（3）可得0a =不满足，0a ≠时，1122416a a a +-=≠-.【详解】（1）若方程23x y a +=，4630x y +-=表示的直线平行，则23463a =≠，解得32a ≠；（2）当0a =时，方程210x ay +-=化为1x =，方程(31)10a x ay ---=化为1x =-，此时两直线平行，符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足311121a a a ---=≠-，解得16a =，这是0a =或16a =；（3）当0a =时，方程(1)2x a y a ++=-化为20x y +-=，方程2416ax y +=-化为4y =-，此时两直线不平行，不符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足1122416a a a +-=≠-，解得1a =，综上，1a =.5.已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直．求a 的值（1）41ax y +=，(1)1a x y -+=-；（2）22x ay +=，21ax y +=；（3）(32)(14)80a x a y ++-+=，(52)(4)70a x a y -++-=．【答案】（1）2a =±；（2）0a =；（3）0a =或1a =.【解析】【分析】当直线以一般方程形式给出时，两直线垂直，可利用公式12120A A B B +=，求实数a 的取值.【详解】（1）因为两直线垂直，所以()41110a a -+⨯=，即24410a a --=，解得：2a =±；（2）由条件可知，220a a +=，得0a =；（3）由条件可知，()()()()32521440a a a a +-+-+=，即20a a -=，解得：0a =或1a =.6.求平行于直线20x y --=，且与它的距离为【答案】20,60x y x y -+=--=【解析】【分析】设该直线为0x y c -+=,利用平行线间的距离公式可得结果.【详解】因为所求直线平行于直线20x y --=，所以可设该直线为0x y c -+=，又因为所求直线与直线20x y --=的距离为，=可得24c +=，解得2,6c c ==-，所以平行于直线20x y --=，且与它的距离为20,60x y x y -+=--=.【点睛】本题主要考查直线平行的性质以及平行线间的距离公式，意在考查对所学知识的掌握与应用，属于基础题./7.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】【详解】试题分析：依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,解得x=−34,y=74，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−34,74）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点，∴x 0−34=6,y 0+74=6，解得x 0=274,y 0=174，∴C （274,174）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3．∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0,由已知，直线AB 的斜率k AB =-1,∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．考点：1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.8.求下列各圆的方程：（1）圆心为()5,3M -且过点()8,1A --；（2）过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点；（3）圆心在直线350x y +-=上，且经过原点和点()3,1-.【答案】（1）()()225325x y ++-=（2）()2255x y +-=（3）2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，求得半径即可；（2）设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，将()2,4A -，()1,3B ，()2,6C ，代入求解；（3）先求得以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线，再与350x y +-=联立，求得圆心即可.【小问1详解】解：因为圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，所以圆的半径为5r ==，所以圆的方程为：()()225325x y ++-=；【小问2详解】设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，因为过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点，所以()()()()()()222222222241326a b r a b r a b r ⎧++-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得2055a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：()2255x y +-=；【小问3详解】以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线为：350x y --=，又圆心在直线350x y +-=上，由350350x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得530x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以圆心为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为53r =，所以圆的方程为：2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.9.m 为何值时，方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆？并求半径最大时圆的方程．【答案】当()1,3m ∈-时，方程表示圆，当半径最大时，圆的方程为()()22214x y -++=.【解析】【分析】根据方程表示圆可得出关于实数m 的不等式，可解出实数m 的取值范围，求出圆的半径的表达式，利用二次函数的基本性质可求得圆的半径的最大值，求得此时m 的值，即可得出圆的方程.【详解】若方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆，则()()222244422148120m m m m m -+--+=-++>，整理得2230m m --<，解得13m -<<.设圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径为r ，则22r ==，所以，当1m =时，圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径取最大值，此时，圆的方程为224210x y x y +-++=，即()()22214x y -++=.10.判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=是否相切．【答案】是，两圆内切【解析】【分析】求出两圆圆心及半径，判断圆心距与半径和与差的关系来确定两圆的位置关系.【详解】2264120x y x y +-++=，即22(3)(2)1x y -++=，圆心为(3,2)-，半径为1；22142140x y x y +--+=，即22(7)(1)36x y -+-=，圆心为(7,1)，半径为6；圆心距为5d ===，半径之和为7，之差为5，故两圆内切.11.若函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象可以近似地看作线段，且a c b ≤≤，求证：[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--【答案】证明见详解．【解析】【分析】作图利用三角形相似，得比例CE AE BF AF=即可证明．【详解】证明：设()()()()()(),,,,,,A a f a B b f b C c f c 作AF BF ⊥如图所示：在AFB △中，有CE AE BF AF=，则()()()()f c f a c a f b f a b a --≈--所以[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--12.求点()2,1P --到直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值．13【解析】【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A 则P 到直线l 的最近距离为A ，此时直线过P ．P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ．∴max d PA ===．13.过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程．【答案】8240x y --=【解析】【分析】根据题意，设出直线l 1上的一点P 1，求出P 1关于点P 的对称点P 2；由P 2在直线l 2上，求出点P 1，即得所求的直线方程．【详解】方法一：若直线AB 无斜率，则其方程为x ＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P ，不合题意．所以直线AB 必有斜率，设为k (k ≠2且k ≠－1)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．由3,220,y kx x y =-⎧⎨--=⎩解得y 1＝42k k -,由3,30,y kx x y =-⎧⎨++=⎩解得y 2＝61k k -+.据题意122y y +＝0，即42k k -＋61k k -+＝0，解得k ＝0或8.当k ＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P ，不符合题意，舍去．当k ＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P ，符合题意．∴直线AB 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.方法二：()()()20000,3,3,06-3l M x x M P N x x --∴+在直线上任取一点点关于的对称点，在直线1l 上，把()006-3N x x +点，代入1l 方程220x y --=，解得073x =716,33M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，16038733l k --∴==-，即直线1l 方程为：824y x =-.14.已知直线:280l x y --=和(2,0)A -，()2,4B 两点，若直线l 上存在点P 使得PA PB +最小，求点P 的坐标．【答案】(2,3)-【解析】【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求A 关于直线的对称点得解【详解】因为(208)(288)0----->，所以,A B 在直线同侧，设点(2,0)A -关于直线280x y --=对称的点坐标为(,)A a b '，则280222a b b a -⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，即(2,8)A '-，可知PA PB A B +≥'，即三点,,A P B '共线时，||||PA PB +最小，连接A B '交直线于点P ，点P 即为所求，A B ' 直线方程2x =，联立求得P 点坐标(2,3)-.15.求圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长．【答案】【解析】【分析】首先利用两圆相减，求公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解公共弦长.【详解】()()2222101005550x y x y x y +--=⇔-+-=，即圆心是()5,5，半径r =()()2222624003150x y x y x y +-+-=⇔-++=，圆心()3,1-，半径r =，=<+，两圆相交，两圆相减得3100x y +-=，此直线是两圆相交公共弦所在直线方程，()()2222101005550x y x y x y +--==-+-=，即圆心是()5,5，半径r =，圆心到直线3100x y +-=的距离d==所以公共弦长l ===.16.已知圆224x y +=与圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，求直线l 的方程．【答案】20x y -+=【解析】【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线l 斜率，从而求得直线l 的方程.【详解】解：圆221:4C x y +=，圆心为1C ()0,0，半径12r =圆222:4440C x y x y ++-+=，经整理为()()22224x y ++-=，其圆心为2C ()2,2-，半径22r =；故12C C 中点为()1,1C -，而1220120C C k -==---，由对称性知121l C C k k ⋅=-，1l k ∴=:11l y x ∴-=+即直线l 的方程为20x y -+=.17.求与圆C :22(2)(6)1x y ++-=关于直线3−4+5=0对称的圆的方程.【答案】22(4)(2)1x y -++=.【解析】【分析】利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求出对称圆的圆心即可得解.【详解】圆22:(2)(6)1C x y ++-=的圆心的坐标是()2,6-，半径长1r =．设所求圆C '的方程是22()()1x a y b -+-=,由圆C '与圆C 关于直线3450x y -+=对称知，直线3450x y -+=是两圆连心线的垂直平分线．所以有642326345022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⋅-⋅+=⎪⎩,解此方程组，得4,2a b ==-．所以与圆22:(2)(6)1C x y ++-=关于直线3450x y -+=对称的圆的方程是22(4)(2)1x y -++=.【点睛】关键点点睛：利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求解是解题关键.18.求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A(2,－1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的方程.【答案】圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2【解析】【详解】设圆心为S ，则k SA ＝1,∴SA 的方程为：y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，和y ＝－2x 联立解得x ＝1,y ＝－2，即圆心(1,－2)∴r故所求圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2\19.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？【答案】对角线互相垂直【解析】【分析】设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= ，则由向量的运算规律得0BD AC ⋅= ．【详解】解：如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直．证明如下：设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= 则()()2222AB AD AC AC AB AD+--+= ∴AD AC AB AC ⋅=⋅ ，()0AD AB AC -⋅= ∴0BD AC ⋅=．即BD AC ⊥20.求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积．【答案】2π+【解析】【分析】先看当0x ≥，0y ≥时整理曲线的方程，表示出图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二者的面积，相加即可．【详解】解：当0x ≥，0y ≥时，22111()()222x y -+-=，表示的图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆∴1114112222S ππ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭故围成的图形的面积为：2π+21.一条光线从点()2,3A -射出，经x 轴反射后，与圆22:(3)(2)1C x y -+-=相切，求反射后光线所在直线的方程【答案】3460x y --=或4310x y --=.【解析】【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程.【详解】点()2,3A -关于x 轴的对称点为()2,3--，设反射光线的斜率为k ，则可得出反射光线为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，因为反射光线与圆相切，则圆心()3,2到反射光线的距离d r =1=，解得43k =或34，则反射直线的方程为3460x y --=或4310x y --=.22.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求证：直线l 恒过定点．（2）直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长．【答案】（1）证明见解析；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，此时34m =-，最短弦长为【解析】【分析】（1）直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，要使直线l 恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，易得定点；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，即得解.【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点P (3,1).（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，直线l 的斜率为21121,1312CP m k k m +-=-==-+-由211(112m m +-⋅-=-+解得34m =-此时直线l 的方程是250x y --=圆心(1,2)C 到直线250x y --=的距离为d ==，||||AP BP ==，所以最短弦长是||2||AB AP ==。
高中数学第2章直线和圆的方程2.2.2直线的两点式方程训练
2.2.2直线的两点式方程课后·训练提升基础巩固1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为()A.5x+3y-25=0B.5x-3y-25=0C.3x-5y-25=0D.5x-3y+25=0答案:B解析:经过(5,0),(2,-5)两点的直线方程为y-0-5-0=x-52-5,整理得5x-3y-25=0.故选B.2.已知直线的方程为xa2−yb2=1,则该直线在y轴上的截距是()A.|b|B.-b2C.b2D.±b答案:B解析:令x=0,得y=-b2,即直线在y轴上的截距是-b2.3.(多选题)下列说法正确的是()A.不经过原点的直线都可以表示为xa +yb=1B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,线段AB的中点为(4,1),则直线l的方程为x8+y2=1C.过点(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=x或x+y=2D.直线3x-2y=4的截距式方程为x43+y-2=1答案:BCD解析:对于A,与坐标轴垂直的直线不能用截距式表示,故A错误;对于B,由题意可知,线段AB的中点为(4,1),所以点A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为x8+y2=1,故B正确;对于C,直线过原点时,直线方程为y=x,不过原点时,直线方程为x+y=2,故C正确;对于D,方程3x-2y=4可化为x43+y-2=1,故D正确.故选BCD.4.若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(1 010,b)在直线l上,则b的值为()A.2 010B.2 020C.2 021D.2 019答案:C解析:由题意得,直线l的两点式方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),即y=2x+1,将点(1010,b)代入方程,得b=2×1010+1=2021.5.已知直线l过点P(1,-2),且在x轴和y轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为()A.x-y-3=0B.x+y+1=0或2x+y=0C.x-y-3=0或2x+y=0D.x+y+1=0或x-y-3=0或2x+y=0答案:C解析:当直线l过原点及P(1,-2)时,直线l的方程为2x+y=0;当直线不过原点时,可设直线l的方程为xa +y-a=1(a≠0),将点P(1,-2)代入,得a=3,此时直线l的方程为x-y-3=0.综上,直线l的方程为2x+y=0或x-y-3=0.6.直线l1:xa −yb=1和直线l2:xb−ya=1在同一平面直角坐标系中的位置可以是()答案:A解析:将两条直线的方程化为截距式分别为xa +y-b =1,xb +y-a =1.根据l 1的位置判断a ,b 的正负,再确定l 2的位置,知A 符合.7.已知直线l 过点P (-1,2),分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,若P 为线段AB 的中点,则直线l 的方程为 .答案:2x-y+4=0解析:设A (x ,0),B (0,y ).由P (-1,2)为AB 的中点,得{x+02=-1,0+y2=2,解得{x =-2,y =4.由截距式得直线l 的方程为x-2+y4=1, 即2x-y+4=0.8.过点(1,3),且在x 轴上的截距为2的直线方程是 . 答案:3x+y-6=0解析:由题意知直线过点(2,0),又直线过点(1,3),由两点式,可得y -03-0=x -21-2,整理得3x+y-6=0.9.过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是 . 答案:x2+y3=1解析:由题意可设直线方程为xa+y b=1,则{b =3,a +b =5,解得a=2,b=3,则直线方程为x 2+y3=1.10.求经过点A (-2,3),B (4,-1)的直线的两点式方程,并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 解:过A ,B 两点的直线的两点式方程是y -3-1-3=x -(-2)4-(-2).因为k AB =-1-34-(-2)=-23,所以点斜式方程为y-(-1)=-23(x-4)或y-3=-23[x-(-2)]. 因为当x=0时,y=53,所以斜截式方程为y=-23x+53. 又当y=0时,x=52,所以截距式方程为x 52+y53=1.11.已知直线l 经过点P (4,1),(1)若直线l 经过点Q (-1,6),求直线l 的两点式方程;(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求直线l 的方程.解:(1)已知直线l 经过点P (4,1),Q (-1,6),由两点式,得直线l 的方程为y -16-1=x -4-1-4. (2)由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,所以设直线l 的斜率为k , 则其方程为y-1=k (x-4).令x=0,得y=1-4k ;令y=0,得x=4-1k . 由题意得1-4k=2(4-1k ),解得k=14或k=-2.因此,直线l 的方程为y-1=14(x-4)或y-1=-2(x-4),即x-4y=0或2x+y-9=0.能力提升1.已知△ABC 的两个顶点A (-3,0),B (2,1),△ABC 的重心G (-1,1),则AB 边中线所在的直线方程为( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0答案:A解析:设点C的坐标为(x 0,y 0),则由重心的坐标公式得{-3+2+x 03=-1,0+1+y3=1,解得{x 0=-2,y 0=2,所以点C的坐标为(-2,2).设AB 的中点为点D ,则可得点D 的坐标为-12,12,所以AB 边中线CD 所在的直线方程为y -212-2=x -(-2)-12-(-2),即x+y=0.2.若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正数,且截距之和最小,则直线的方程为( ) A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0答案:B解析:设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b ,其中a>0,b>0,则该直线的截距式方程为xa+y b=1,由该直线经过点P (1,4),得1a +4b =1,则截距之和a+b=(a+b )(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√ba ·4ab=9,当且仅当b a =4a b,且1a+4b=1,即a=3,b=6时取等号,此时直线方程为x 3+y6=1,即2x+y-6=0.故选B .3.(多选题)已知直线l 过点(1,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可以是( ) A .2x-y=0 B .x+y=3 C .x-2y=0 D .x-y+1=0答案:ABD解析:由题意设所求直线的横截距为a ,当a=0时,由题意可设直线的方程为y=kx ,将点(1,2)代入,可得k=2,所以直线的方程为2x-y=0;当a ≠0时,由截距式方程可设直线的方程为xa +ya=1(截距相等)或x a +y-a =1(截距相反),将点(1,2)代入,可得a=3或a=-1,所以直线的方程为x+y=3或x-y+1=0.故选ABD .4.若直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,且过定点A (6,-2),则直线l 的方程为 .答案:x 3+y 2=1或x2+y=1解析:设直线l 在y 轴上的截距为a (a ≠0,a ≠-1),则l 在x 轴上的截距为a+1,则l 的方程为xa+1+ya =1,将点A 的坐标(6,-2)代入方程,得6a+1−2a =1,即a 2-3a+2=0,解得a=2或a=1,故直线l 的方程为x 3+y 2=1或x2+y=1.5.直线l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l 的方程. 解:设直线l 的方程为xa +yb =1(a ≠0,b ≠0), 则a+b=12.①又直线l 过点(-3,4),即-3a +4b =1.②由①②解得{a =9,b =3或{a =-4,b =16.故所求的直线方程为x 9+y 3=1或x -4+y16=1, 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.6.在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,求: (1)顶点C 的坐标; (2)直线MN 的方程.解:(1)设C (x 0,y 0),则AC 边的中点为M (x 0+52,y 0-22),BC 边的中点为N (x 0+72,y 0+32).因为点M 在y 轴上,所以x 0+52=0,解得x 0=-5.又点N 在x 轴上,所以y 0+32=0,解得y 0=-3.所以顶点C 的坐标为(-5,-3). (2)由(1)可得M (0,-52),N (1,0),故直线MN 的方程为x 1+y-52=1,即5x-2y-5=0.。
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高中数学必修内容复习(7)---直线和圆的方程
一、
选择题（每题3分，共54分）
1、在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
6
5π D ．
3
2π 2、若圆C 与圆1)1()2(2
2
=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（
）
A ．1)1()2(2
2
=++-y x B ．1)1()2(2
2=-+-y x C ．1)2()1(2
2
=++-y x
D ．1)2()1(2
2
=-++y x
3、直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（ ）
A ．0,0<>bc ab
B ．0,0<>bc ab
C ．0,0>>bc ab
D ．0,0<<bc ab
4、已知直线22
1
:1+=
x y l ，直线2l 过点)1,2(-P ，且1l 到2l 的夹角为ο45，则直线2l 的方程是（ ） A ．1-=x y B ．5
3
31+=x y C ．73+-=x y D ．73+=x y
5、不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（
） A ．左上方
B ．右上方
C ．左下方
D ．左下方
6、直线0943=--y x 与圆42
2
=+y x 的位置关系是（
） A ．相交且过圆心
B ．相切
C ．相离
D ．相交但不过圆心
7、已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆12
2
=+y x 相切，则三条边长分别为c b a 、、的三角形（ ）
A ．是锐角三角形
B ．是直角三角形
C ．是钝角三角形
D ．不存在
8、过两点)9,3()1,1(和-的直线在x 轴上的截距是(
)
A ．2
3
-
B ．3
2-
C ．
5
2 D ．2
9、点)5,0(到直线x y 2=的距离为(
)
A ．
2
5
B ．5
C ．
2
3 D ．
2
5 10、下列命题中，正确的是(
)
A ．点)0,0(在区域0≥+y x 内
B ．点)0,0(在区域01<++y x 内
C ．点)0,1(在区域x y 2>内
D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内
11、由点)3,1(P 引圆92
2=+y x 的切线的长是 (
)
A ．2
B ．19
C ．1
D ．4
12、三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
13、已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为ο
60，则k 的值是 ( )
A ．03或
B ．03或-
C ．3
D ．3-
14、如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于(
)
A ．1
B ．3
1-
C ．3
2-
D ．2-
15、若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于(
)
A ．3-
B ．6-
C ．2
3-
D ．
3
2 16、由42
2
=+=y x x y 和圆所围成的较小图形的面积是(
) A ．
4
π
B ．π
C ．
4
3π
D ．
2
3π 17、动点在圆12
2
=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是(
)
A ．4)3(2
2
=++y x B ．1)3(2
2=+-y x C ．14)32(2
2
=+-y x
D ．2
1)2
3
(2
2=
++y x 18、参数方程⎩⎨
⎧+-=+=θ
θsin 33cos 33y x 表示的图形是( ) A ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆 B ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆 C ．圆心为)3,3(-，半径为9的圆
D ．圆心为)3,3(-，半径为3的圆
二、填空题（每题3分，共15分）
19、以点)1,5()3,1(-和为端点的线段的中垂线的方程是 20、过点023)4,3(=+-y x 且与直线平行的直线的方程是 21、直线y x y x 、在0623=+-轴上的截距分别为
22、三点)2
,5()3,4(32k
及），，（-在同一条直线上，则k 的值等于
23、若方程01422
2=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分） 24、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，求这个圆的方程。
25、求到两个定点)0,1(),0,2(B A -的距离之比等于2的点的轨迹方程。
26、求点)2,3(-A 关于直线012:=--y x l 的对称点'
A 的坐标。
27、已知圆C 与圆022
2=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方
程。
答案
二、19、02=--y x
20、053=--y x
21、32和- 22、12 23、4<a
三、24、设所求圆的方程为02
2
=++++F Ey Dx y x ,
则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++8
660420416024F E D F E F D F D 所以圆的方程是08662
2=+--+y x y x
25、设),(y x M 为所求轨迹上任一点，则有
2=MB
MA
042)1()2(222
222=+-⇒=+-++∴
y x x y x y x
26、设),('b a A ，则有)54,513( 5451301222321232
'-∴⎪⎩
⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---+⋅-=⋅-+A b a b a a b
27、设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(333
22==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++
=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2
222=++=+-y x y x 或。