第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为 N Δ t =T，标准差 。 T
若变量x 遵循普通布朗运动：dx adt bdz 其中：1、a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 2、a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量 z均值的变化值。 3、b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然，Δx也 2 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t，方差为 b t
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用 可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新 的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格 能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从 一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新 信息相应的价格变动是相互独立的
1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对 预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析 获得超过平均收益率的收益。 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可 获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信 息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证 券。 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能 获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕 信息”）对挑选证券都没有用处。 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效 率市场假说。
普通布朗运动
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为 a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种 噪音是由维纳过程的 b倍给出的。 b T
第6章 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 PPT课件
由（6.10）可得
x2 b2 2t
(6.10)
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （6.11）
由于 : N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（6.11）得到
E(x2 ) b2t
（6.12）
19 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 半强式效率市场假说认为， ➢ 证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已 公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的 证券。
▪ 强式效率市场假说认为， ➢ 不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”） 对挑选证券都没有用处。
▪ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
2 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
8 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
wt t t
（6.1）
这里，wt wt wt1,t : iid N (0,1)
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图：)(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+ 为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t t R In R In 设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
布莱克舒尔斯默顿期权定价模型
• dz项可以消除。
其它方程
•BSM 微分方程
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
• BSM 期权定价公式
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
10.2 股票价格的变化过程
•人们通常用形如公式
dS dt dz
的几S何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程。
这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主 要的假设。 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因 素。通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维纳过程（Wiener Process)。
15
• 由特征1知道，z 本身也具有正态分布。均 值为零，标准差为 t ，方差为 t
• 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有 独立增量的性质。
维纳过程的性质
进一步发现，变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。用 z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，即N个长度为 t的小时
间间隔中z的变化总量，其中N=(T-t)/t
N
z(T ) z(t) i t i1
• Z(T) − Z(t) 也服从正态分布
Z(T) − Z(t)均值等于0
方差等于N t =T − t
标准差等于√T − t
方差可加性
可知
• 1）在任意长度的时间T-t中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，标准差为
√T − t。 • 2)在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可
• 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱克)& Myron Scholes(梅隆.舒尔 斯)发表了《期权与公司负债定价》疑问，提 出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票 期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响 ；同年，Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地 提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
布莱克-舒尔斯期权定价模型
布莱克-舒尔斯期权定价模型布莱克-舒尔斯期权定价模型是一种用于计算欧式期权的理论定价模型。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克和麦伦·舒尔斯提出，并且在同年被罗伯特·默顿-米勒进一步完善和发展。
布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本原理是通过建立股票和债券的投资组合，获得一个无风险的合成证券，该合成证券与欧式期权具有相同的收益率。
该模型的关键假设包括资产价格满足几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本和无道德风险等。
根据这些假设，布莱克-舒尔斯期权定价模型的基本公式可以表示为：C = S*N(d1) - X*e^(-rt)*N(d2)，其中C表示期权的价格，S是标的资产（如股票）的当前价格，X是期权的行权价格，r是无风险利率，t是期权的剩余期限，e是自然常数（约等于2.71828），N(d1)和N(d2)分别表示标准正态分布的累积分布函数。
在该公式中，d1=(ln(S/X) + (r+σ^2/2)t) / (σ*√t)，d2=d1-σ*√t。
其中σ是标的资产的波动率，它衡量标的资产的波动程度。
布莱克-舒尔斯期权定价模型的优点是可以较为准确地计算欧式期权的理论定价，并且可以用于不同类型的期权，如看涨期权、看跌期权等。
它在金融市场中得到了广泛的应用，并为投资者和金融机构提供了重要的参考依据。
然而，布莱克-舒尔斯期权定价模型也存在一些限制。
首先，该模型基于一系列假设，不一定适用于所有市场和资产。
其次，该模型仅适用于欧式期权，而不适用于美式期权等其他类型的期权。
最后，该模型假设市场无摩擦和无道德风险，这在实际市场中并不总是成立。
综上所述，布莱克-舒尔斯期权定价模型为计算欧式期权的理论价格提供了一个重要的工具，但在实际应用中需要对假设进行谨慎评估，并结合其他方法进行综合分析和决策。
布莱克-舒尔斯期权定价模型是金融领域中非常重要且广泛应用的一种定价模型。
它的提出对于金融市场的发展和期权的交易产生了巨大的影响。
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第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
则根据单复利之间的关系In(1+R)=r 有：∑∑===+=+=365136513651)3651()1(t t t t r R In R In r 同理，对任何时间间隔T 都有：∑∑===-==T t T t t r T t S t S In T S T S In r 011))1()((1))0()((由中心极限定理知))0()((S T S In 服从正态分布。
即有： ))0()((S T S In ～),(2T T N σμ 式中μ，2σ分别为r t 的数学期望和方差 令))0()((S T S In y =，则y ～),(2T T N σμ，而y e S T S )0()(=进行简单的变量替换，可以求出S （T ）的数学期望为：)21exp()0())((2T T S T S E σμ+=对于股票的二叉树定价来说，如果从t=0时刻到t=T ，时刻，所分的阶段数趋于无限大时，股票的价格也趋于对数正态分布。
即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。
因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是：⎩⎨⎧-=-qdq u t S t S 1)1()(按照概率按照概率所以 ⎩⎨⎧-=-qdq u t S t S In 1ln ln ))1()((按照概率按照概率即T t t S t S ,,2,1))1()(ln(=-服从两点分布且相互独立. 所以∑=-=Tt t S t S S T S 1))1()(ln())0()(ln(服从二项分布.当+∞→T ，二项分布趋近于正态分布。
即在一定的条件下，股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。
B-S 定价模型是二叉树定价模型的极限式。
三、布莱克-舒尔斯期权定价模型的直观理解 作为无现金股利的欧式买权定价模式是：012()()rT C S N d Xe N d -=-式中C 是买权价格，S 0是期初股票价格，N （·）是累计正态分布函数，201ln 2S r TX d σ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪=2021ln 2S r TX d d σ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪==-为了更容易从经济意义上理解B-S 定价模型，我们可以从现实直观的角度来作一些解释：已知 max(,0)T T C S X =-式中T C 为到期T 时买权的价格，T S 为到期标的股票市场价格X 为期权协定的执行价格。
则有 )]0,[max()(X S E C E T T -= 设到期X S T >的概率为P ，此时X S X S T T -=-)0,max( 则有 ]0)1[(])([)(⨯-+->=P X X S S E P C E T T T])([X X S S E P T T ->⨯=考虑到期初的期权合理定价等于)(T C E 的现值而有)(T rt C E e C -=])([X X S S E eP T T rt->⨯⨯=- (1)式中C:期初期权合理价格，r ：无风险连续复利率，t 到期时间长度这里关键的问题，要找出P 和)(X S S E T T >的表达式。
1） 由于0000()[()]1T T T S S X X P S X P P S S S S ⎛⎫>=>=- ⎪⎝⎭ 等价收益率2ln()()1X r TN σ--=-20ln()()S r T N σ+-==)(2d N 这是由于正态分布的对称性其中T S 服从对数正态分布S X 服从对数正态分布（0S 为常数）)ln(0S X 服从正态分布。
收益率平均为*u ，22*σ+=ur 或22*σ-=r u 。
而且2σ和r 是以年为基础计算的，但期权通常不超一年。
T 为分数，应用2,rT T σ代替2σ和r 。
即2()2r Tσ-为新正态分布的期望值。
σ2） 由于T T XTT T dS S f SX S S E )(][⎰∞=>其中)(T S f 为对数正态分布密度函数21(ln )21S u T T TX S e dS S σ-∞-=⎰其中u 为T S ln 的均值，2σ是T S ln 的方差令S S T =ln)()(2121210ln 2)(2)(ln 22d N d N e S ds edS ee rtxu S S u S xS ===⎰⎰∞----∞σσσπσπ其中注意到：22)]([2)(22222σσσσ++---=--u u S u S S 并且，r u e S e022=+σ式中t d d ttr X S d σσσ-=++=12201,)2()ln(将以上计算结果代入（1）式，得])()([)(2102X d N d N eS ed N C rtrt-⨯⨯=-)()(210d N Xe d N S rt--=这便是有名的Black-Scholes 期权定价公式。
举例：已知股票期初市价500=S ，协议执行价X=45，距到期日时间t=3个月＝0.25年无风险利率r=10%，2σ=0.16，4.0＝σ则有： 7520.025.04.025.0)216.01.0()4550ln()2()ln(201=⨯⨯++=++=t t r X S d σσ 5520.025.04.07520.012=⨯-=-=t d d σ查正态分布表：N(1d )＝N(0.7520)=0.7740 N(2d )＝N(0.552)=0.709556.77095.0457740.05025.01.0=⨯-⨯=⨯-e C一般地，期权交易市场上买入的价格即由B-S 公式定价，如果实际市场价格比计算的价值低，说明期权的价格被低估，存在套利机会，可以买入期权。
四、B-S 期权定价模型微分方程推导的基本思路①随机方程（某变量以某种不确定的方式随时间变化） ②马尔可夫过程（随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，该随机过程称为马尔可夫过程） ③基本维纳过程（在t ∆内变量Z 的变化满足：εt Z ∆=∆，其中ε满足标准正态分布N(0，1)的一个随机值。
且两个不同的Z t ∆∆,的值相互独立） ④一般维纳过程（变量X 满足：εt b adt bdz adt dx ∆+=+=）如图：一般维纳过程基本维纳过程⑤伊腾过程（S 遵循ITO 过程，即有dZ t S b dt t S a dS ),(),(+=变量G 是S 、t 的函数，G=F(S ，t)，则G 也是ITO 过程，并且有：bdZ SGdt b S G t G a S G dG ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(222 ⑥股票价格的ITO 过程（股价S 的变动可用瞬时期望漂移率为:uS ，瞬时方差率为22S σ的ITO 过程，即Sdz uSdt dS σ+=，即dz udt SdSσ+= 其中当股价的方差率恒为0时，则有uSdt dS =，得ut e S S 0=说明当方差率为0时，股价得单位时间为u 的连续复利方式增长。
五、关于对数正态分布我们已经知道很多独立同分布的随机变量之和趋于正态分布。
那么许多独立同分布随机变量的连乘积便服从于对数正态分布，即i ni n x X 1lim =∞→∏= 对数正态分布因为令x y ln =则∑∏=====ni i ni i x x x y 11ln ln ln 这是n 个随机变数之和，根据中心极限定理，y 趋于正态分布，如图：设1000=S ，每年增长10%则有 对数正态分布的密度函数100 110 121 200Xt r S x )1(0+=对数分布图：100200而且rt e x rt==ln ln 1 2 3 n lnxlnx0 1r 2rr n2nr 对数正态分布的密度函数：222)(ln 21σπσu x ex --x>0=)(x f0 x 0≤其中u 为x ln 的均值，2σ为x ln 的方差 注意到： 202σ+==u re S e EX所以 22σ+=u r 22σ-=r u考虑r 常指年利率，而期权利率常是几个月，如三个月25.0<t ，t r u )2(2σ-=。