BS期权定价模型
BS期权定价模型课件详解精讲
f Sdz
S
f
( f S
S
f t
1 2
2 f S 2
〔2S〕2 )t
f Sz
S
为了消除z，我们可以构建一个包括一单位衍 生证券空头和 单位f 标的证券多头的组合。令
代表 该投资组合的S价值，那么：
f(6.1f5S)
S
由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲 组合消除这个随机过程。
2G x 2
b2 )dt
G x
bdz〔〕
由于 dS Sdt Sdz〔〕
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
dG
( G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S 2 )dt
(GS6.1S0d)z
六、证券价格自然对数变化过程
令 代入式〔〕，:由于 G ln S
G S
1 S
,
2G S 2
1 S2
表示将来价格变化率符合普通布朗运动，〔描绘运动偏离标注布朗运动的漂移 率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数〕
从〔〕可知，在短时间后，证券价格比
率的变化值为：
S t t
S 可见，S也具有正态分布特征
S
, t, , 前三个是常数或者函数值， 最后一个是个标准正态随机变量， 整个式子是某种正态随机变量。只 不过这里符合的正态分布的均值和 方差是与时间间隔由关系的值而已。
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
bs模型定价公式
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
布莱克斯科尔斯期权定价模型
•布莱克-斯科尔斯模型，简称BS模型，是一种为期权或权证等衍生性金融商品定价的数学模型，它是由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克率先提出来的，用这个模型没能推导出布莱克-舒尔斯公式，这个公式还能够估算出欧式期权的理论价格。
除此之外，B-S模型还有7个比较重要的假设，如下所示：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是不会发生改变
的；
3、市场是没有摩擦的，也就是没有税收和交易成本，所有证券完全可分
割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，也就是在期权到期前不可以进行实施。
6、没有任何无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者可以以无风险利率借贷。
b-s定价模型操作策略
b-s定价模型操作策略BS定价模型操作策略1. 引言BS定价模型（Black-Scholes Model）是一种用来评估期权价格的数学模型，该模型最初由费舍尔·布莱克和默顿·米勒·斯科尔斯于20世纪70年代提出。
这个模型被广泛应用于金融市场，特别是期权交易，因为它提供了一种确定期权合理价格的方法。
在本文中，我们将讨论如何使用BS定价模型来制定操作策略。
2. BS定价模型简介BS定价模型的核心思想是，一个期权的价格取决于多个因素，包括标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、预期波动率等。
根据这些因素，BS定价模型可以计算出一个期权的合理价格。
3. 确定标的资产价格在使用BS定价模型之前，我们首先需要确定标的资产的价格。
这可以通过市场报价、历史价格数据或技术分析等方法进行估计。
标的资产价格的准确性对于后续操作策略的制定至关重要。
4. 选择行权价格和剩余期限除了标的资产价格，行权价格和剩余期限也是操作策略制定过程中需要考虑的重要因素。
行权价格应该根据市场情况、预期收益、风险承受能力等因素进行选择。
剩余期限则需要根据投资目标、资金需求等因素来确定。
5. 确定无风险利率和预期波动率BS定价模型中的另外两个重要参数是无风险利率和预期波动率。
无风险利率可以通过国债收益率等无风险投资工具的收益率来确定。
预期波动率可以通过历史数据、隐含波动率等方法进行估计。
这两个参数的准确性对于期权定价的准确性至关重要。
6. 计算期权的合理价格一旦确定了标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率和预期波动率，就可以使用BS定价模型来计算出期权的合理价格。
这个价格将作为操作策略的参考依据。
7. 制定操作策略根据期权价格、投资目标和风险偏好，可以制定相应的操作策略。
例如，如果期权价格高于合理价格，可以考虑买入期权；如果期权价格低于合理价格，可以考虑卖出期权。
操作策略的选择应该综合考虑多个因素，包括市场预期、个人风险承受能力、资金需求等。
BS期权定价模型的推导过程（论文资料）
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(S t− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值S t—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果S t > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果S t < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(S t− L,O) = 0从而:其中:P：(S t > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St− L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
【实用文档】BS模型
（三）布莱克—斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不作其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。
2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[r c+（σ2/2）]t}/σ或=ln[S0/PV（X）]/ σ+（σ/2）d2=d1-σ式中：—看涨期权的当前价值；—标的股票的当前价格；N（d）—标准正态分布中离差小于d的概率；X—期权的执行价格；e—自然对数的底数，约等于2.7183；—连续复利的年度的无风险报酬率；t—期权到期日前的时间（年）；In（）—的自然对数；σ2—连续复利的以年计的股票回报率的方差。
3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。
如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。
②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。
③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。
连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。
如果用F表示终值，P表示现值，表示连续复利率，t表示时间（年）；则：F=PP=F即：=In（F/P）/t前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。
每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。
【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。
BS期权定价模型课件详解精讲
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
第九章 B-s期权定价模型
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了 求解布莱克 —— 斯科尔斯微分方程而作出 的人为假定。
但通过这种假定所获得的结论不仅适用于 投资考风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
二、布莱克——斯科尔斯期权定价公式
1973年，布莱克和斯科尔斯成功地求解了他们的 微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权 的精确公式。 在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T 时刻)的期望值为：
2
Fra bibliotek4、无套利定价 由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在 一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在 Δt 中的瞬时收益率一定等 于Δt中的无风险收益率。 否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。 因此，在没有套利机会的条件下： ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
（3）d1和d2的性质 当股票价格S变得很大时， d1和d2 变得很大， N（d1）和 N（ d2 ）趋近于1，则： 看涨期权价格f为：S-X e-r(T-t) 看跌期权价格p为0，因为N（-d1）和 N（-d2） 趋近于0。
当股价波动率σ趋近于0时，有两种情况：
当 S>X e-r(T-t) 时， d1 和 d2 趋向于正无穷大， N （ d1 ） 和 N（ d2 ）趋近于1， 看涨期权价格f为：S-X e-r(T-t) ； 看跌期权价格p为：0
f f S (3) s 在t时间后, 该投资组合的价值变化 为：
f f S (4) s 将式(1)和(2)代入(4),可得 :
f 1 f 2 2 S t ( 5 ) t 2 S 2
BS期权定价模型及其应用
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合
成功消除了 dz 带来的不确定性 12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
d rdt
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
r(- f
f S
S )dt
f rS f t S
解：由上述条件知： S=42, K=40, T-t=0.5 , σ=0.2, r=0.1
20
21
根据 Call - Put 平价公式 有：
计算得到欧式看跌期权价格为：P =0.81(元)
22
影响欧式看涨期权价格的因素
当期股价 S 越高，期权价格越高 到期执行价格 K 越高，期权价格越低 距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高
令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资 本市场价值，D为A公司债券市场价值。
V=E+D
25
考虑股东1年之后的收益：当A公司价值VT大于 债券面值时，收益为VT -8000；当A公司价值小于 债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行 价格为8000万元的欧式Call, 标的资产为公司价值. 当前资本价值为：
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即 Black-Scholes 微分方程。
13
任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格 f 应
满足该方程
衍生品的价格由微分方程的边界条件决定
例：欧式看涨期权的边界条件为：
C(0，t)＝ 0 C(ST ,T)= max（ST – K，0）
理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。
B-S期权定价模型
看涨期权和看跌期权
• call option （看涨期权)：A call option gives the owner the right to buy an asset at a fixed price during a particular period. • put option（看跌期权）：A put option gives the holder the right to sell an asset for a fixed exercised price.
1、股票价格的运动过程
dS dt dz , dz dt S
dS ：股票的瞬间收益率 S
：股票的期望瞬间收益率 ：股价收益率的瞬间标准差
4
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位） 2 计算每期以复利计算的回报率 ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
★
ln(S / K ) (r / 2)(T t ) d2 es 期权定价公式。
17
上式中N(d)表示累计正态分布： S-------表示股票当前的价格 K-------表示期权的执行价格 r-----代表无风险年利率 T-t-----表示行权价格距离现在到期日
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 期权价格：
ˆ[max (S K ,0)] C(S , t ) er (T t ) E T
16
得： C(S , t ) SN (d1 ) Ker (T t ) N (d2 )
2 ln( S / K ) ( r / 2)( T t ) 其中： d1 (T t )
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
BS期权定价模型
p XerT N (d 2 ) S N (d1 ) 0.81
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？ ① 计算错误； ② 期权市场价格偏离均衡； ③ 使用的错误的参数； ④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。
S 42, X 40, r 0.1, 0.2, T 0.5
S 42, X 40, r 0.1, 0.2, T 0.5
d1 ln(42 ) (0.1 0.5 0.2 2 ) 0.5 40 0.7693 0.2 0.5
) (0.1 0.5 0.2 2 ) 0.5 40 0.6278 0.2 0.5
X ) (r 0.5 2 )T
ln(S
T
d1 T
S—股票现价；X—股票的执行价格；T—期权的有效期限； r—无风险利率；σ—股票价格波动率； N（x）—标准正态分布变量的累积概率分布函数
案例分析与实验
一种还有六个月的有效期的期权，股票 的现价为$42，期权的执行价格为$40， 无风险利率为每年10%，波动率为20%， 即
d2
ln(
Xe rT 40e 0.05 38.049
Black-Scholes期权定价模型
2023/11/21
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百分比收益率与连续复利收益率
百分比收益率： 连续复利收益率:
S 或 ST S0
S
S0
ln ST ln S0
百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：
有限责任原则：
金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投 资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞ 之间变化， 不符合正态分布假定。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
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随机过程
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。
随机过程的分类
离散时间、离散变量 离散时间、连续变量 连续时间、离散变量 连续时间、连续变量
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几种随机过程
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。
特征的理解
特征1： z N 0, t ;方差为t。
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关， 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测 无关。
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标准布朗运动（续）
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
为何定义为：
z t而非z t
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的
正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是：标准差的单位变为 年
连续时间的标准布朗运动：
当Δt 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 dz dt
BS期权定价模型详解精讲
数比率），而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动。
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导
我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：
dSSdtSdz
则： SS tS z （6.12）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.1z3）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得： 表示未来时间间隔后的证券价格增量变化是符合 漂移和方差率只和目前价格有关系（线性关系） 的伊藤随机过程（即普通布朗运动的升级版）。 dSdtdz （6.6） S
机值。
标准布朗运动(2)
特征2：对间T中的变化情
BS期权定价模型
0.5 0.22 ) 0.5 0.5
0.7693
d2
ln( 42 40)
(0.1 0.5 0.22 ) 0.5 0.2 0.5
0.6278
XerT 40e0.05 38.049
又查表，得： N (0.7693 ) 0.7791,
N (0.6278 ) 0.7349 ,
N (0.7693 ) 0.2209 N (0.6278 ) 0.2651
案例分析与实验
一种还有六个月的有效期的期权，股票 的现价为$42，期权的执行价格为$40， 无风险利率为每年10%，波动率为20%， 即
S 42, X 40, r 0.1, 0.2,T 0.5
S 42, X 40, r 0.1, 0.2,T 0.5
d1
ln( 42 40)
(0.1 0.2
但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知 或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S E-δT，以 S′代S，得存在连续红利支ห้องสมุดไป่ตู้的期权定价公式:
C=S E-δT N(D1)-L E-γT N(D2)
谢谢
对于欧式期货期权，其定价公式为：
欧式看涨期权价格 c SN (d1) XerT N (d2 )
看跌期权价格 p c X XerT XerT N d2 S N d1
其中：
d1
ln(S
X
)
(r
T
0.5
2 )T
d2
ln(S
X ) (r 0.5 2 )T T
d1
T
S—股票现价；X—股票的执行价格；T—期权的有效期限； r—无风险利率；σ—股票价格波动率； N（x）—标准正态分布变量的累积概率分布函数
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型重定向自)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届授予了两位美国学者，教授()和教授()。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括、、、在内的新兴衍生的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家()在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从模式；2、在期权有效期内，和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在和，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是，即在期权到期前不可实施。
6、不存在机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
[](二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是形式。
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf Sf S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
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Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le−rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
[编辑]B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St−L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t−L,O) = S t−L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St−L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe−rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
首先，对收益进行定义。
与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益= lnSt / S = ln(S t / L)。
由假设1收益服从对数正态分布，即ln(S t / L)～，所以E[lN(St / S] = μt，S t / S～可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[S t / S] = eμt+ σ2T2 = e rT从而，μt = T(r−σ2)，且有σt= σT其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。
已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 −N(x−μσ)其中:ζ：正态分布随机变量x：关键值μ-ζ的期望值σ-ζ的标准差所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnS t / s] > lnLS = :LN−lnLS− (r−σ2)TσTnc4由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r−σ2)TσTarS。
第三，求既定St > L下S t的期望值。
因为E[S t | S t > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，E[St | S t] > = Se rT N(d1)N(d2)其中:最后，将P、E[St | S t] > L]代入(C = Pe−rT(E[S t | S t > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le−rT N(d2)(二)看跌期权定价公式的推导B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:S + Pe(S,T,L) = C e(S,T,L) + L(1 + r) − T移项得:Pe(S,T,L) = C e(S,T,L) + L(1 + r) − T−S，将B-S模型代入整理得:此即为看跌期权初始价格定价模型。
(三)B-S模型应用实例假设市场上某股票现价S为164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:①求d1:=0.0328②求d2:③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761④求C:C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803因此理论上该期权的合理价格是5.803。
如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。
在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
[编辑]B-S模型的发展、股票分红B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。
(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利D t，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S −D t e−rT。
如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。
从而将B-S模型变型得新公式:(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。
值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。
因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。
因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)[编辑]B-S模型的影响自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。
该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。
到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。
衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。
新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。
结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。
我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。
因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。
[编辑]对B-S模型的检验､批评与发展B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。
但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。
1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。
此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。
其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼纳斯特(manuster)､麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。
综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。
2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。
3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。
4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。
但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。
对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。
而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。
不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：首先，对股价分布的假设。