2018版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题文北师大版

2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的概率与统计
问题 文 北师大版
1．(2017·安阳质检)一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为80
81，则此射手的命中率为( )
A.19
B.13
C.23
D.89 答案 C
解析 设此射手未命中目标的概率为p ，则1－p 4
＝8081，
所以p ＝13，故1－p ＝2
3
.
2．在可行域内任取一点，其规则如算法框图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是(
)
A.π8
B.π4
C.π6
D.π
2 答案 B
解析 依题意可行域为正方形，输出数对(x ，y )形成的图形为图中阴影部分，故所求概率为P ＝14π⎝ ⎛⎭⎪⎫22222·22
＝π4.
3．(2016·西安模拟)红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，记事件“每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.120 B.112 C.18 D.16 答案 C
解析 红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，基本事件总数n ＝2×2×2＝8.
每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后为事件A ， 则事件A 包含的基本事件个数m ＝1，
∴事件A 发生的概率P ＝m n ＝18
.
4．(2016·哈尔滨模拟)甲、乙、丙三人站成一排照相，则甲、乙两人相邻而站的概率为________． 答案 23
解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6种排法，由概率计算公式得，甲、乙两人相邻而站的概率为46＝2
3.
5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运动员合适．
答案 甲
解析 根据茎叶图，
可得x 甲＝1
6
×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，
x 乙＝1
6
×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.
s 2甲＝16×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2
]＝
1333， s 2乙＝16
×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2
]＝
1393
. 因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2
乙，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适
.
题型一 古典概型与几何概型
例1 (1)(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2
＋
y 2＝9相交”发生的概率为________．
(2)若任意x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“和谐”集合，则在集合M ＝{－1,0，13，1
2，1,2,3,4}
的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是________． 答案 (1)34 (2)1
17
解析 (1)由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |
k 2＋1
<3，解得－34<k <3
4，
由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－341－－＝3
4
.
(2)由题意，“和谐”集合中不含0和4，而2和12，3和1
3成对出现，1和－1可单独出现，故
“和谐”集合分别为{1}，{－1}，{－1,1}，{2，12}，{3，13}，{1,3，13}，{1,2，1
2}，{－1,2，
12}，{－1,3，13}，{3，13，2，12}，{2，12，1，－1}，{3，13，1，－1}，{1,3，13，2，1
2}，{－1,3，13，2，12}，{3，13，2，12，1，－1}，共15个，而集合M 的非空子集有28
－1＝255个，
故“和谐”集合的概率是P ＝15255
＝117
.
思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
(1)(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6
个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
(2)(2016·济南月考)已知函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足
条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ，
f －
为事件A ，则事件A 发生的概率为( )
A.58
B.516
C.38
D.12 答案 (1)5
6
(2)A
解析 (1)基本事件共有36个．列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P ＝3036＝5
6.
(2)⎩⎪⎨
⎪⎧
f ，
f
－
即为⎩⎪⎨
⎪⎧
2b ＋c ≤8，
－b ＋c ≤2.
作出0≤b ≤4,0≤c ≤4及⎩⎪⎨
⎪⎧
2b ＋c ≤8，
－b ＋c ≤2
表示的区
域(图略)，由几何概型概率公式得所求概率为P ＝16－616＝5
8.
题型二 概率与统计的综合应用
例2 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率； 解 (1)当X ∈[100,130)时，
T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000.
当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以T ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
800X －39 000，100≤X <130，
65 000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
跟踪训练2 (2016·衡阳模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中实数a 的值；
(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
解 (1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.025＋0.010)＝1，解得a ＝0.03. (2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.
(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A ，B ；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C ，D ，E ，F .若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基。