三角形的必备知识和典型例题及详解
新人教版八年级上数学第十一章三角形知识点考点典型例题含答案
第十一章三角形【学问要点】一．相识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系〔推断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短〕依据公理“两点之间，线段最短〞可得：三角形随意两边之和大于第三边。
三角形随意两边之差小于第三边。
3．及三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线及对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点及对边中点的线段，三角形随意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
留意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②随意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③随意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
〔三角形的三条高〔或三条高所在的直线〕交及一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高〔所在的直线〕的交点在三角形的外部。
〕4．三角形的内角及外角〔1〕三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
〔2〕三角形的外角和：360°〔3〕三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个及它不相邻的内角。
解三角形知识点汇总和典型例题
文成教育学科辅导教案讲义授课对象授课教师徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课使用教具人教版教材教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点 灵活解斜三角形 参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
三角形知识总结及典型例题
三角形知识总结及典型例题【由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角，简称三角形的角．】 例1.如图：⑴已知：如图，试回答下列问题：(1)图中有______个三角形，它们分别是_____________________ (2)以线段AD 为公共边的三角形是_________________________________，CE 边所对的角是__________．不等腰三角形三角形底预与腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形【注意：凡涉及到等腰三角形边或角时一定要分成两种情况边分为腰或底边;角分为顶角或底角】 【三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边】 应用1：给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形【方法：最小边＋较小边＞最大边 不用比较三遍，只需比较一遍即可】应用2：已知三角形两边的长度，求第三边长度的范围 【方法：第三边长度的范围：两边之差＜第三边＜两边之和】例2.下列各组线段能组成一个三角形的是( )．A.3cm ，3cm ，6cmB.2cm ，3cm ，6cmC.5cm ，8cm ，12cmD.4cm ，7cm ，11cm 例3.若三角形两边长分别为6cm,2cm,第三边长为偶数，则第三边长为( ) A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm例4.一个等腰三角形，周长为20cm ，一边长6cm ，求其他两边长。
1. 三角形的高【注意：三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”锐角三角形的三条高相交于三角形内部一点；钝角三角形的三条高相交于三角形外部的一点；直角三角形的三条高相交于直角顶点处。
】 2. 三角形的中线C【注意：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心” 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
解三角形知识点总结及典型例题
解三角形知识点总结及典型例题三角形作为几何学的基础概念之一，是学习几何学不可或缺的部分。
在解三角形的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和技巧。
本文将对解三角形的相关知识点进行总结，并配以典型例题进行说明。
一、三角形的基本概念三角形由三条边和三个角组成。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
二、重要的定理1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角的三角形问题。
2. 角平分线定理：角平分线将一个角分为两个大小相等的角。
利用这个定理，我们可以求解一些已知角平分线的三角形问题。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边平方和等于斜边的平方。
这个定理被广泛应用于解决直角三角形的各类问题。
三、解三角形的方法1. 已知两边和夹角如果我们已知三角形的两边和夹角，我们可以利用余弦定理求解第三边的长度。
余弦定理的数学表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为第三边的长度，a和b为已知边的长度，C为已知夹角的度数。
2. 已知两边和对应的角如果我们已知三角形的两边和对应的角，我们可以利用正弦定理求解第三角的长度。
正弦定理的数学表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
3. 已知三边如果我们已知三角形的三边，我们可以利用余弦定理或正弦定理求解其中一个角的大小。
然后，再利用三角形的内角和定理求解其他角的大小。
四、典型例题1. 已知三角形ABC，AB ＝ 8 cm，BC ＝ 6 cm，AC ＝ 10 cm。
求角A、角B和角C的度数。
解：根据余弦定理，cosA ＝ (8² + 10² - 6²) / (2 × 8 × 10) ＝ 0.6cosB ＝ (6² + 10² - 8²) / (2 × 6 × 10) ＝ 0.8cosC ＝ (8² + 6² - 10²) / (2 × 8 × 6) ＝ 0.7通过查表或使用计算器，我们可以得到：角A ≈ 53.13°，角B ≈ 36.87°，角C ≈ 90°2. 在直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB ＝ 5 cm，BC ＝ 12 cm。
解三角形知识点总结及典型例题
因为 ，所以
[例2 ] 若 、 、 是 的三边， ，则函数 的图象与 轴( )
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得 ，所以 = ，因为 1,所以 0，因此 0恒成立，所以其图像与 轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A、 ， ， ；B、 ， ， ；
C、 ， ， ；D、 ， ， 。
题型3 面积问题
[例4] 的一个内角为 ，并且三边构成公差为 的等差数列，则 的面积为
【解析】设△ABC的三边分别： ，
∠C=120°，∴由余弦定理得： ，解得： ，
∴ 三边分别为6、10、14，
.
题型4 判断三角形形状
[例5] 在 中，已知 ,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
由正弦定理，即知
由 ，得 或 ,
即 为等腰三角形或直角三角形.
方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：
即
或 ,
即 为等腰三角形或直角三角形.
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在 中， 分别为角 的对边，且 且
（1）当 时，求 的值；
（2）若角 为锐角，求 的取值范围。
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
(完整版)全等三角形知识总结和经典例题
全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
三角形 知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C =9０°，AB =c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
(1）三边之间的关系:a ２+ｂ２＝c 2。
（勾股定理） (２)锐角之间的关系：A ＋Ｂ=90°； （３)边角之间的关系:（锐角三角函数定义) s ｉｎA ＝ｃos B =c a ，cos A =sin B =c b ，ｔａn Ａ＝ba。
2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、Ｃ为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、Ｃ的对边。
(１）三角形内角和：Ａ＋B +C =π。
(２)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径） （3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍ａ2=b 2+c 2-2ｂｃcos Ａ； b ２＝ｃ2+a 2-2c ａcos B ; c 2＝a ２＋ｂ２-2ａb c ｏｓC 。
3．三角形的面积公式:(1）∆S =21ah ａ=21bh b ＝21ch c (ｈａ、h b 、h c 分别表示ａ、b 、c 上的高）； （2）∆S =21ab s ｉｎC =21ｂc ｓi ｎA ＝21ac s ｉｎＢ;４．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2）两类余弦定理解三角形的问题:第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形知识点汇总和典型例题
因为 < < ,所以 ，或
①当 时, ,
②当 时,
,
点评:应用正弦定理时(１）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
题型2：三角形面积
例2.在 中, ， , ,求 的值和 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
（１）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角．
(2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解:在△ＡBC中，∠DＡC＝30°, ∠AＤC=６０°-∠DAC=30,
所以CD＝AC=０.1 又∠BCD=18０°－６0°-60°=6０°,
(2) ＝ abｓｉnＣ= ｂcsinA＝ ａｃsinB＝ ＝2R2sｉnAsinBsinC
4．解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型:
当ｓin ＝ ,即A= 时, cosA+２ｃos 取得最大值为 。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用
例6．(20０9辽宁卷文，理)如图，Ａ,B，C,Ｄ都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,Ｄ的距离（计算结果精确到0.0１ｋｍ, １.４14， 2．４4９)
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
解三角形知识点总结及典型例题
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式，sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B,sin( -a )=sin a cco $ a sin B ・2两角和与差的余弦公式，cos( a + B )=cos a -^os B sin B cos(诩)=cos a cos+sin a sin B3两角和、差的正切公式⑶ tan22ta n 1 tan 2默写上述公式，检查上次的作业 课本上的 !解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)(2) si nA —,si nB — ,si nC —(角化边公式)2R2R2R/、a sin A a sin Ab sin B(3) a:b: c sinA:sinB:sin C (4) — ---- ，一 ---- ,- ---课前复习⑴ sin22sin cos .1 si n22 2sincos 2 sin cos(sincos )22⑵ cos2 cos.2sin 22cos1 1 2si n 2升幕公式1 cosc 22cos —,1 cos2sin 2—2 2cos 2 1 . 2 1 cos2降幕公式cos 2sin2 2简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: tan tantan( a +=B1 tan tan(tan ta n tan 1 tan tan )；tan( -B )=tan tan. ( tan1 tan tantan tan tan tan ).a b c sin A sin B sin C2R （R 为三角形外接圆半径）b sin Bc sin C c sin C2、正弦定理适用情况： (1) 已知两角及任一边(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a , b 和A ,求B 时的解的情况： 如果si nA si nB ，则B 有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B 有两解; 如果sin B 1,贝U B 有唯一解；如果si nB 1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论4、 余弦定理适用情况：(1)已知两边及夹角；(2)已知三边.5、 常用的三角形面积公式6、三角形中常用结论二、典型例题 题型1边角互化2 ,2 2贝 U cosC = a---- —2ab因为0 C ，所以C(b 2 c 2 a 2)x c 2，则函数f(x)的图象与x 轴()2ab 22 c b 2 2 a 2a 2c2 c b 22bccosA2accosB2abcosC ■ 2 2 2A b c a cosA ------ 2bc s ^^\ c 2 b 2 co --_____z2ac … a b c cosC---------------- 2ab(1)S ABC (2 ) S ABC1 1底高 21 —absi nC 21 1bcsi nA easin B (两边夹一角) 2(1) a b c, ba,a b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) (2) 在 ABC 中， (3) 在厶 ABC 中,.A B Csin -------- cos , cos2 2BB CA B 2 b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边)，所以 sin (A B) si nC ; cos( A B) cosC ; tan(A B) tanC . .C sin —.2［例1 ］在ABC 中，若 【解析】由正弦定理可得sin A: sin B: sinC 3:5:7， a: b :c 3:5:7，,令 a 、b 、 则角C 的度数为c 依次为3、5、7，32 52 7 = 1 2 3 5 2 ABC 的三边，f(x) b 2x 2A 、有两个交点B 、有一个交点C 、没有交点D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得 b 2c 2a 22bccosA ，所以f(x) b 2x 2 2bccos Agx c 2 = (bx ccos A)2 c 2 c 2 cos 2 A ，因为 cos 2 A 1,所以 c 2 c 2 cos 2 A 0，因止匕 f(x) 0恒成立，所以其图像与 x 轴没有交点。
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解
高考数学解三角形中的要素基础知识与典型例题讲解一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：（1）222cos 2b c a A bc+−=① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A（2）()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）()12S a b c r =++⋅ （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）（4）海伦公式：()12S p a b c ==++（5）向量方法：()()22S a ba b=⋅−⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==−S ∴=cos a b ab C ⋅=∴ ()()22S a b a b =⋅−⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =− 4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。
1.1认识三角形(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)
A.至少有一个直角
B. 至少有一个钝角 C. 至多有两个锐角
D.至少有两个锐角
3.如图，在△ABE 中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点 D，有如下结论：①图中只有两个直角三角形；②∠1=∠2；③
∠1=∠B；④∠A 与∠B 互余.其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.能将一个三角形分成面积相等两部分的线是（ ）
三角形.
8.现有长度分别为 3cm，5cm，7cm，9cm 的木棒，从中任取三根，制成三角形支架的个数为
.
9.若三角形的三条高所在的直线的交点不在外部，则这样的三角形是
三角形.
10.将一副三角板的直角顶点 A 如图叠放在一起，则∠DAC+∠BAE=
°.
11.如图，在△ABC 中，作出 BC 边上的高线 AD（要求：标出垂足符号，写出垂足字母）；作出∠B 的平分线 BE；作
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平行线的交点
9.(2018 浙江萧山)若线段 AM、AN 分别是△ABC 的 BC 边上的高线和中线，则（ ）
A. AM＞AN B.AM≥AN
C.AM＜AN
D.AM≤AN
参考答案： 例 1 12 例 2 C 例 3 △ABE 的周长比△ACE 的周长大 4cm. △ABE 的面积等于△ACE 的面积. 例 4 ∠BOC=128°. ∠BOC=128°. BOC = 90 + 1 BAC 2
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=14°.
（2）∵CE 是∠BCA 的平分线， ∴ ACE = 1 ACB = 38 . 2 ∴ AEC =180 − BAC − ACE
新人教版初中数学——三角形及其全等-知识点归纳及例题解析
新人教版初中数学——三角形及其全等知识点归纳及例题解析一、三角形的基础知识1．三角形的概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一三角形的三边关系在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．典例1 小芳有两根长度为6 cm和9 cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．A．2 cm B．3 cmC．12 cm D．15 cm【答案】C【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12 cm的木条．故选C．1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是A．2 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，3 cm，6 cmC．3 cm，4 cm，5 cm D．1 cm，2 cm，3 cm考向二三角形的内角和外角在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．典例2 小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=︒，90C ∠=︒，45°A ∠=，30D ∠=︒，则12∠+∠等于A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒【答案】C【解析】如图，∵1D DOA ∠=∠+∠，2E EPB ∠=∠+∠， ∵DOA COP ∠=∠，EPB CPO ∠=∠， ∴12D E COP CPO ∠+∠=∠+∠+∠+∠ =180D E C ∠+∠︒+-∠ =309018090210︒︒︒︒++-=︒， 故选C ．2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．考向三三角形中的重要线段三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.典例3 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【解析】∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=12BC=2，DF∥BC，EF=12AB=32，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+32）=7，故选B．【名师点睛】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．典例4 在△ABC中，∠BAC=115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】A【解析】∵∠BAC=115°，∴∠B+∠C=65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAG=∠BAC–（∠EAB+∠GAC）=∠BAC–（∠B+∠C）=50°，故选A．4．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=4，BD=5，点P是线段BC上的一动点，则PD 的最小值是__________．考向四全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例5 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A=∠D，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=120°，∠B=20°，求∠DFC的度数．【解析】（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠E，∵BF=EC∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，A DB E BC EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEF．（2）∵∠A=120°，∠B=20°，∴∠ACB=40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠DFE=40°，∴∠DFC=40°．【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是A．0 B．1 C．2 D．36．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．1．下列线段，能组成三角形的是A．2 cm，3 cm，5 cm B．5 cm，6 cm，10 cmC．1 cm，1 cm，3 cm D．3 cm，4 cm，8 cm2．下列图形不具有稳定性的是A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为A．45°B．55°C．65°D．50°4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=1，则BC=A3B．2 C．3 D3+25．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH=AC，则∠ABC=__________．7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=__________．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AF⊥BD，F为垂足，过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E．求证：（1）∠ABD=∠FAD；（2）AB=2CE．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=C B．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥C D．求∠BDC的度数．11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12 m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，102．三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒4．如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5．如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．6．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为A ．2B ．4C ．3D 1010．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒11．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．113．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．14．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE =50 m ，则AB 的长是__________m ．15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．16．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．17．如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．18．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．△≌△；求证：（1）DBC ECB．（2）OB OC变式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能组成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能组成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能组成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能组成三角形；故选C．2．【答案】85°【解析】∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD-∠B=85°，故答案为：85°．3．【答案】112°【解析】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠PCB=68°，∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，∴∠BPC=180°-68°=112°，故答案为：112°．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD3=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴点E在∠O的平分线上，故③正确，故选D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，BD CE AB AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．1．【答案】B【解析】A、3+2=5，故选项错误；B、5+6>10，故正确；C、1+1<3，故错误；D、4+3<8，故错误．故选B．2．【答案】A【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A不具有稳定性，故选A．3．【答案】B【解析】设两个锐角分别为x、y，由题意得，=90=20x yx y+︒-︒⎧⎨⎩，解得=55=35xy︒︒⎧⎨⎩，所以最大锐角为55°．故选B．4．【答案】C【解析】根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt△ADE可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB为等腰三角形，则DE为AB的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=3．故选C．5．【答案】D【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE≌△DBC还需补充条件AB，BE与BC，BD的夹角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故选D．6．【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，HBD CADHDB CDA BH AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°故答案为：45°．7．【答案】135【解析】如图所示：由题意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，故答案为：135．8．【答案】3【解析】∵AB∥CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB–AD=8–5=3，故答案为：3．9．【解析】(1)∵∠BAC=90°，∴∠FAD＋∠BAF=90°.∵AF⊥BD，∴在Rt△ABF中，∠ABD＋∠BAF=90°，∴∠ABD=∠FAD．(2)∵CE∥AB，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，在△BAD和△ACE中，∵∠ABD=∠CAE，AB=CA，∠BAC=∠ACE=90°，∴△BAD≌△ACE(ASA)，∴AD=CE.∵BD为△ABC中AC边上的中线．∴AC=2AD，∴AC=2CE.又∵AB=AC，∴AB=2CE.10．【解析】（1）∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°–∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB=CF，∵BCD=∠FCE，CD=CE，CB=CF，∠BCD=∠FCE，∴△BCD≌△FCE．（2）由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°–∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．11．【解析】（1）如图，∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM 和△MBD 中，1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）． 答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．1．【答案】D【解析】∵224+=，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A 错误， ∵5612+<，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B 错误， ∵527+=，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C 错误， ∵6810+>，∴6，8，10能组成三角形，故选项D 正确，故选D ． 2．【答案】B【解析】因为三角形的内角和等于180度，故选B ． 3．【答案】C 【解析】如图，直通中考由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM =12∠ABC ， ∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM =12∠ACM ， 则∠BEC =∠ECM –∠EBM =12×（∠ACM –∠ABC ）=12∠A =30°，故选B ．5．【答案】B【解析】∵2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =， ∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B ． 6．【答案】C【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，∵8AC =，13DC AD =，∴18213CD =⨯=+， ∵90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，∴2DE CD ==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ． 7．【答案】B【解析】∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵85AC BC ==，，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选B ． 8．【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ． 9．【答案】A【解析】如图，连接FC ，则AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =3，∴FC =AF =3，FD =AD -AF =4-3=1．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+12=32，∴CD 2A ． 10．【答案】A【解析】由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒，∵DE CB ∥，∴45BCF E ∠=∠=︒， 在CFB △中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选A ． 11．【答案】C【解析】∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC =352︒，∠AFB =∠EFB =90°，∴∠BAF =∠BEF =90°-17.5°，∴AB =BE ，∴AF =EF ，∴AD =ED ，∴∠DAF =∠DEF ， ∵∠BAC =180°-∠ABC -∠C =95°，∴∠BED =∠BAD =95°，∴∠CDE =95°-50°=45°，故选C ． 12．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OBAOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ．13．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 14．【答案】100【解析】∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =2×50=100 m ． 故答案为：100．15．【答案】9 【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD =CE =9，故答案为：9．16．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．17．【解析】∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△，∴OB OC =．18．【解析】∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．19．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △，∴∠DCB =∠EBC ，∴OB =OC ．。
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三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径） 公式的变形:______________________ ______________ _________________ （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析 题型1：正、余弦定理例1．（1）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ （2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：（1）解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，∴222=+=c b a（2）23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aAc C C c A a0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A ta n 的值和∆ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180 <<A , 4560,105.A A ∴-==tan tan(4560)2A ∴=+==- .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值。
分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理。
由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值。
解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 。
又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 。
在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°。
在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ， ∠A =60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。
解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B 。
∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B 。
∴cB b sin =sin A =23。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 题型5：三角形中求值问题例5．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A2。
cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32； 当sin A 2 = 12，即A=π3时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0.1km 。
试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，≈1.414，≈2.449）解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,AB Csin CB C A sin ∠=∠A AB 即AB=,2062315sin ACsin60+=因此，BD=。
km 33.020623≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。
2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
三、课后跟踪训练1.（2010上海文数18.）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin:sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角2.（2010天津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22ab -=，sin C B =，则A=( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。