2019年北京朝阳高考一模数学试卷(理)及答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 （理）2019．3本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则AB =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 124．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是 A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．[0,)+∞ D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A ．4B ．2C ．8D ．4正（主）视图俯视图侧（左）视图12π1-1O 3π xy712π8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，a =，120A ∠=︒，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos 2B 的值．16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//AD BC，90BAD∠=︒，1AB AD==，3BC=．（Ⅰ）求证：AF CD⊥；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线//CE平面AFM? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．EDCB A F已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）答案2019．3一、选择题二、填空题：三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩ 解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=， 即sin B =．所以2213cos 2=12sin 12(1414B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=. 故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为26355EX =⨯= .……………….13分 17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ． 所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==．设平面CDE的一个法向量为(,,x y=n则0,0.DCDE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即20,0.x yz+=⎧⎨=⎩令2x=，则1y=-，所以(2,1,0)=-n．设直线BF与平面CDE所成角为θ，则sin|cos,|BFθ=〈〉==n．……………….9分（Ⅲ）设 ([0,1])BMBDλλ=∈，设()111,,M x y z，则()1111,,(1,1,0)x y zλ-=-，所以1111,,0x y zλλ=-==，所以()1,,0Mλλ-，所以()1,,0AMλλ=-．设平面AFM的一个法向量为000(,,)x y z=m，则0,0.AMAF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm因为()0,0,1AF=，所以00(1)0,0.x yzλλ-+=⎧⎨=⎩令xλ=，则1yλ=-，所以(,1,0)λλ=-m．在线段BD上存在点M，使得//CE平面AFM等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE⋅=m．因为()1,2,1CE=--，由0CE⋅=m，所以2(1)0λλ---=，解得2[0,1]3λ=∈，所以线段BD上存在点M，使得//CE平面AFM，且23BMBD=．……………….14分18．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1a=时，ln()xf xx=．所以21ln()xf xx-'=．因为(1)1,(1)0f f'==，所以曲线()y f x=在(1,(1))f处的切线方程为1y x=-．……………….3分1a=-ln()()xf x-=函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=．当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值． 当0a<时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ea f a =，无极大值．……………………………………………….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c =所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分 （Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x =x =，直线l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得22220000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，220012x y +=，即220022x y +=， 所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+- 220016[2(1)]x y =--=220016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分 （Ⅲ）设11(,)Ax y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=， 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得22220000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，2012202101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++2002054422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 2200205(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． ………………………………………………………….14分20． (本小题满分13分)解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于错误！未找到引用源。