柳卡问题 多次相遇

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柳卡图

柳卡图

柳卡图柳卡图,也称为折线图,可以很好的解决复杂的行程问题。

快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

多次相遇行程问题的必备工具——柳卡图其中“相遇”两字广义上讲,只要两人在同一地点就算相遇,因次分为两种情况,一种叫做迎面相遇(即我们平时说的相遇问题),一种叫做追及相遇(即我们平时说的追及问题),一般题目说的相遇,我们默认指的是迎面相遇,若题目说只要两人在同一地点算做一次相遇,那么这时两种情况都要算。

以下举两个例子:【例1】甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。

如果他们同时分别从直路的两端A、B两点出发,当他们跑12分钟,共相遇了多少次?(从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇)。

【分析】多次相遇,如图所示,甲用实线表示,乙用虚线表示在180秒内,甲、乙共相遇5次,最后又回到出发的状态。

所以甲、乙共相遇了[12÷(180÷60)]×5=20(次)【例2】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?首先,甲跑一个全程需要30÷1=30(秒),乙跑一个全程需要30÷0.6=50(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇5×4=20(次)备注:一个周期内共有5次相遇,其中第1,2,4,5次是迎面相遇,而第3次是追及相遇。

多次相遇和追及问题含答案

多次相遇和追及问题含答案

多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解.二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发:第1次相遇,共走1个全程;第2次相遇,共走3个全程;第3次相遇,共走5个全程;…………,………………;第N次相遇,共走2N-1个全程;注意:除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发:第1次相遇,共走2个全程;第2次相遇,共走4个全程;第3次相遇,共走6个全程;…………,………………;第N次相遇,共走2N个全程;3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问:他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点?【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内,甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍,为300103000⨯=米,因为甲的速度为每秒钟跑3.5米,乙的速度为每秒钟跑4米,所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米,也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米,可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点.【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米.如果他们同时分别从直路两端出发,10分钟内共相遇几次?【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发,不停的往返行驶于A ,B 两地之间。

解多次相遇问题的工具——柳卡

解多次相遇问题的工具——柳卡

解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船。

【解析】 这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.一个周期内共有5次相遇,其中第1,2,4,5次是迎面相遇,而第3次是追及相遇.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.练习:1、男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A ,坡底为B)。

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

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【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船【解析】这就是着名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速一个周期内共有5次相遇,其中第度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。

行程问题-柳卡图

行程问题-柳卡图

行程问题-柳卡图1、关于柳卡图在十九世纪的一次国际数学会议期间,有一天,正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候,法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目:“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约,并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。

轮船在途中所花的时间来去都是7昼夜,而且都是匀速航行在同一条航线上。

问今天中午从哈佛开出的轮船,在开往纽约的航行过程中,将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”此题的叙述如下:每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船?他先画了如下一幅图:这是一张运行图.画两条平行线,一条直线表示哈佛,另一条表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,可用图中的两组平行线簇来表示.图中每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.2、在多次相遇里的行程问题应用多次相遇行程问题的必备工具——柳卡图。

柳卡图,也称为折线图,可以很好的解决复杂的行程问题。

快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

多次相遇问题(解析版)

多次相遇问题(解析版)

多次相遇问题(解析版)一、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发:第1次相遇,共走1个全程;第2次相遇,共走3个全程;第3次相遇,共走5个全程;…………, ………………;第N 次相遇,共走2N-1个全程;注意:除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N 米,以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发:第1次相遇,共走2个全程;第2次相遇,共走4个全程;第3次相遇,共走6个全程;…………, ………………;第N 次相遇,共走2N 个全程;3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例 1】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步,做体能训练,小明的速度为6米/秒,小红的速度为4米/秒.他们同时从跑道两端出发,连续跑了12分钟.在这段时间内,他们迎面相遇了多少次?【解析】 第一次相遇时,两人共跑完了一个全程,所用时间为:1006410÷+=()(秒).此后,两人每相遇一次,就要合跑2倍的跑道长,也就是每20秒相遇一次,除去第一次的10秒,两人共跑了126010710⨯-=(秒).求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇,就是相遇的总次数.列式计算为:1006410÷+=()(秒),1260101023510⨯-÷⨯=()(),共相遇35136+=(次)。

注:解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长.【例 2】 A 、B 两地间有条公路,甲从A 地出发,步行到B 地,乙骑摩托车从B 地出发,不停地往返于A 、B 两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问:当甲到达B 地时,乙追上甲几次?【解析】第一次追上第一次相遇乙甲F E B由上图容易看出:在第一次相遇与第一次追上之间,乙在1008020-=(分钟)内所走的路程恰等于线段FA 的长度再加上线段AE 的长度,即等于甲在(80100+)分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的9倍(18020=÷),则BF 的长为AF 的9倍,所以,甲从A 到B ,共需走80(19)800⨯+=(分钟)乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟,且与甲的路程差为一个AB 全程.从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个AB 全程,因此,追及时间也变为200分钟(1002=⨯),知识精讲所以,在甲从A到B的800分钟内,乙共有4次追上甲,即在第100分钟,300分钟,500分钟和700分钟.【例 3】(难度等级3)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,乙的速度是甲的23,二人相遇后继续行进,甲到B地、乙到A地后立即返回.已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米,那么,A、B两地相距千米.【解析】由于甲、乙的速度比是2:3,所以在相同的时间内,两人所走的路程之比也是2:3.第一次相遇时,两人共走了一个AB的长,所以可以把AB的长看作5份,甲、乙分别走了2份和3份;第二次相遇时,甲、乙共走了三个AB,乙走了236⨯=份;第三次相遇时,甲、乙共走了五个AB,乙走了2510⨯=份.乙第二次和第三次相距10-6=4(份)所以一份距离为:100÷4=25(千米),那么A、B两地距离为:5×25=125(千米)【巩固】(难度等级※※※)小王、小李二人往返于甲、乙两地,小王从甲地、小李从乙地同时出发,相向而行,两人第一次在距甲地3千米处相遇,第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇),则甲、乙两地的距离为千米.【解析】由于两人同时出发相向而行,所以第一次相遇一定是迎面相遇;由于本题中追上也算相遇,所以两人第二次相遇可能为迎面相遇,也可能为同向追及.①如果第二次相遇为迎面相遇,如下图所示,两人第一次在A处相遇,第二次在B处相遇.由于第一次相遇时两人合走1个全程,小王走了3千米;从第一次相遇到第二次相遇,两人合走2个全程,所以这期间小王走了326⨯=千米,由于A、B之间的距离也是3千米,所以B与乙地的距离为(63)2 1.5-÷=千米,甲、乙两地的距离为6 1.57.5+=千米;李王乙甲甲王李乙②如果第二次相遇为同向追及,如上图,两人第一次在A处相遇,相遇后小王继续向前走,小李走到甲地后返回,在B处追上小王.在这个过程中,小王走了633-=千米,小李走了639+=千米,两人的速度比为3:91:3=.所以第一次相遇时小李也走了9千米,甲、乙两地的距离为9312+=千米.所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米.【巩固】(难度级别3)A,B两地相距540千米。

学而思奥数模块三__解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三__解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船?【解析】 这就是着名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况. 从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.【例1】??甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。

奥数模块三 解多次相遇问题的工具——柳卡

奥数模块三 解多次相遇问题的工具——柳卡

学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船?【解析】这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船一个周期内共有5次相遇,其中第1,2,4,5次是迎面相遇,的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.。

(小学奥数)多次相遇和追及问题

(小学奥数)多次相遇和追及问题

1. 學會畫圖解行程題2. 能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題3. 能夠利用比例解多人相遇和追及問題板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題所有行程問題都是圍繞“=⨯路程速度时间”這一條基本關係式展開的,多人相遇與追及問題雖然較複雜,但只要抓住這個公式,逐步表徵題目中所涉及的數量,問題即可迎刃而解.【例 1】 甲、乙兩名同學在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步,甲每秒鐘跑3.5米,乙每秒鐘跑4米,問:他們第十次相遇時,甲還需跑多少米才能回到出發點?【巩固】 甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米.如果他們同時分別從直路兩端出發,10分鐘內共相遇幾次?知識精講 教學目標3-1-4多次相遇和追及問題【巩固】甲、乙兩人從400米的環形跑道上一點A背向同時出發,8分鐘後兩人第五次相遇,已知每秒鐘甲比乙多走0.1米,那麼兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米?【例 2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時相向而行,6時後相遇。

如果二人的速度各增加1千米/時,那麼相遇地點距前一次相遇地點1千米。

問:甲、乙二人的速度各是多少?板塊二、運用倍比關係解多次相遇問題【例 3】上午8點8分,小明騎自行車從家裏出發,8分鐘後,爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追上了他.然後爸爸立即回家,到家後又立刻回頭去追小明,再追上小明的時候,離家恰好是8千米,這時是幾點幾分?【例 4】甲、乙兩車同時從A地出發,不停的往返行駛於A,B兩地之間。

已知甲車的速度比乙車快,並且兩車出發後第一次和第二次相遇都在途中C地。

問:甲車的速度是乙車的多少倍?【例 5】如圖,甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動,當乙走了100米以後,他們第一次相遇,在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場地的周長.【巩固】A、B是圓的直徑的兩端,甲在A點,乙在B點同時出發反向而行,兩人在C點第一次相遇,在D點第二次相遇.已知C離A有75米,D離B有55米,求這個圓的周長是多少米?【巩固】如右圖,A,B是圓的直徑的兩端,甲在A點,乙在B點同時出發反向而行,兩人在C點第一次相遇,在D點第二次相遇。

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船【解析】这就是着名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如一个周期内共有5次相遇,其中第1,果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。

关于多次相遇使用柳卡图解题的3道题目

关于多次相遇使用柳卡图解题的3道题目

关于多次相遇使用柳卡图解题的3道题目本帖最后由 liqingzhou 于 2012-5-4 22:09 编辑1、甲乙两车分别从A、B两地同时出发,不断往返,相向而行,甲车每小时行20千米,乙车每小时行50千米,已知两车第10次和第18次迎面相遇的地点相距60千米。

问A、B两地路程是多少千米?分析与求解:方法一、柳卡图画出1个循环的柳卡图,如下:甲乙的速度比是2:5(1:2.5),甲走1个全程乙走2.5个全程,甲走4个全程乙走10个全程,此时出现循环。

在一个循环中,迎面相遇6次,背后追上2次。

第10次迎面相遇在a点,第18次迎面相遇在b点。

假设从C到a的时间为t1,则:(50t1-s)+20t1=s,化简:s=35t1。

假设从b到D的时间为t2,则:50t2+20t2=s,化简:s=70t2。

可以得到:t1=2t2。

由题目知道,a与b之间的距离是60千米,所以:20t1-20t2=60。

将t1=2t2代入,得到:40t2-20t2=60,20t2=60,t2=3。

全程:s=70t2=70×3=210(千米)。

题目有争议,C点肯定是追及,但是算不算迎面相遇呢?如果C点算做迎面相遇,第10次在E点,第18次在C点,E、C 间的距离为60。

20t=60,t=3。

(50t-s)+20t=s,化简:s=35t,s=105(千米)。

方法二、使用相遇、追及理论计算下次迎面相遇多2个全程,迎面相遇时间多2倍;下次追及相遇多2个全程,追及相遇时间多2倍。

因为速度比是2:5,所以把全程等分成2+5=7份。

迎面相遇:第1次,时间:7/(2+5)=1,甲走1×2=2份,乙走1×5=5份;下次时间:7×2/(2+5)=2,甲走2×2=4份,乙走2×5=10份。

本题不考虑追及相遇。

甲走2份,第一次迎面相遇。

甲走2+4份,第二次迎面相遇。

甲走2+2*4份,第三次迎面相遇。

奥数模块三解多次相遇问题的工具——柳卡

奥数模块三解多次相遇问题的工具——柳卡

学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船?【解析】这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例2】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?【解析】采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130(秒),乙跑一个全程需300.650(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420(次)【例3】(2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是米/秒.【解析】本题采用折线图来分析较为简便.NMFED C B A 如图,箭头表示水流方向,A CE 表示甲船的路线,B DF 表示乙船一个周期内共有5次相遇,其中第1,2,4,5次是迎面相遇,的路线,两个交点M、N就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC和DE的长度相同,AD和CF的长度相同.那么根据对称性可以知道,M点距BC的距离与N点距DE的距离相等,也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了10020240千米和1004060千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为432312米/秒,那么两船在静水中的速度为12210米/秒.。

(完整版)多次相遇和追及问题

(完整版)多次相遇和追及问题

教学目标1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解.【例1】(难度等级※)甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4 米,问:他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点?【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内,甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10 倍,为300 10 3000米,因为甲的速度为每秒钟跑3.5 米,乙的速度为每秒钟跑 4 米,所以这段时间内甲共行了3.53000 3.5 1400米,也就是甲最后一次离开出发点继续行了200 米,可知甲还需行3.5 4300 200 100米才能回到出发点.【巩固】(难度等级※)甲乙两人在相距90 米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒 3 米,乙的速度是每秒2 米.如果他们同时分别从直路两端出发,10 分钟内共相遇几次?【解析】17一共六百秒,第一次相遇是两人总共跑一个90米,以后是180 米相遇次。

相对速度每秒五米。

第一次相遇是18秒。

180 米相遇需要36秒。

此后是582秒总共有16次。

所以相遇17次。

解析】【巩固】(难度等级※)甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A 背向同时出发,8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走0.1 米,那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?【解析】176甲乙每分钟速度和:400 ×5÷8=250 米每分钟,甲比乙多:0.1 ×60=6 米甲每分钟:(250+6)÷2=128 米128 ×8 ÷400=2 (224)相遇点与 A 最短路程为400-224=176 米【解析】、运用倍比关系解多次相遇问题例2】(难度等级※※)上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8 千米,这时是几点几分?解析】画一张简单的示意图:图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了8-4=4(千米).而爸爸骑的距离是4+8 =12(千米)这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12 ÷4=3(倍).按照这个倍数计算,小明骑8千米,爸爸可以骑行8 ×3=24(千米).但事实上,爸爸少用了8分钟,骑行了4+12=16 (千米).少骑行24-16=8(千米).摩托车的速度是8÷8=1(千米/分),爸爸骑行16 千米需要16分钟. 8+8+16=32.所以这时是8 点32 分。

多次相遇和追及问题含答案

多次相遇和追及问题含答案

多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解.二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发:第1次相遇,共走1个全程;第2次相遇,共走3个全程;第3次相遇,共走5个全程;…………,………………;第N次相遇,共走2N-1个全程;注意:除了第1次,剩下的次与次之间都是2个全程。

即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发:第1次相遇,共走2个全程;第2次相遇,共走4个全程;第3次相遇,共走6个全程;…………,………………;第N次相遇,共走2N个全程;3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问:他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点?【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内,甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍,为300103000⨯=米,因为甲的速度为每秒钟跑3.5米,乙的速度为每秒钟跑4米,所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米,也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米,可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点.【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米.如果他们同时分别从直路两端出发,10分钟内共相遇几次?【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发,不停的往返行驶于A ,B 两地之间。

柳卡图解决多次遇追及问题

柳卡图解决多次遇追及问题

数海拾贝我不知道世人怎样看我,但我自己以为我不过像一个在海边玩耍的孩子,不时为发现比寻常更为美丽的一块卵石或一片贝壳而沾沾自喜,至于展现在我面前的浩翰的真理海洋,却全然没有发现。

---牛顿(英国)柳卡图解决多次相遇与追及问题解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少?(下面的例题基本都是先求得时间,然后画出准确的柳卡图,若用比例的方法更快更方便,本讲暂不用比例来解答,有兴趣的同学可以自己画画看)如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船?解答:(这题不是我解答的)这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例2】甲、乙两人在一条长<?xml:namespace prefix = st1 /><?xml:namespace prefix = st1 /><?xml:namespace prefix = st1 /><?xml:namespace prefix = st1 /><?xml:namespace prefix = st1 />的直路上来回跑步,甲的速度是每秒,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?解答:甲行一个全程用30÷1=30秒,乙行一个全程用30÷0.6=50秒,然后画出下面柳卡图:从图上看出,甲乙分别从两端出发,150秒后又回到来位置,所以可以看成150秒一个周期,甲乙在1个周期里共相遇了5次,10×60÷150=4个周期,共相遇了4×5=20次。

五年级行程问题笔记01五大模型之五 多次相遇问题

五年级行程问题笔记01五大模型之五 多次相遇问题
知道了两地的距离,需要求出每个人走一个全程所用的时间,方便画出柳卡图。
乙行一个全程用1000÷150=6又2/3分,甲行一个全程用1000÷60=16又2/3分。
30分钟内,两人一共合行(150+60)×30÷1000=6.3个全程。画出图后,可以很清楚的可以看到第3次相遇离B地最近。
下面只要求的第三次相遇点距离B地多少千米即可。
(2)从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车?
(1)8:30出发,经过105分钟到达B站,也就是10:15,路上会遇到从B站分别在8:00,8:30,9:00,9:30,10:00开出来的五辆车。
9:00出发,10:45到B站,路上会遇到从B站分别在8:00,8:30,9:00,9:30,10:00,10:30开出来的六辆车。
甲走一个全程需要950÷40=23.75分钟,乙行一个全程需要950÷150=6又1/3分钟。
30分钟两人共行(40+150)×30÷950=6个全程,从图上可以看出30分钟共相遇4次,追及相遇1次,迎面相遇3次,第2次迎面相遇距离B地最近。
A、B是公共汽车的两个车站,从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A,B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分,从B站到A站单程需80分。问:(1)8:30、9:00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车?
该折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中相遇的次数相遇地点以及由相遇的地点求出全程使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少
5、多次往返相遇问题中的柳卡问题:图解法(画平行线并结合周期性分析)
柳卡图,即时间-距离图、ST图。该折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

柳卡问题 多次相遇

柳卡问题 多次相遇


⑤ ③ ② ① ④同向
柳卡图
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③ ① ② ④同向 ⑥ ⑤
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多次相遇
例题
某海运公司开通深圳与上海之间的货运,每 天中午 12 点有两艘货船分别从上海、深圳同 时出发,途经过同样的航线,七天可到达对 方港口。问从深圳出发的货船途中将遇到几 艘本公司的船从对面开来?
模拟图
上海
出发 时刚好有一艘船到达深圳港口
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

⑨ ⑩ ⑪
⑫ ⑬
深圳
到达 时刚好有一艘船离开上海港口
出发 时刚好有一艘船到达港口
例题
小紫和小兰两人在长 180 米的游泳池中来回 游泳,小紫的速度是 0.75 米 / 秒,小兰的速 度是 1 米 / 秒。如果他们同时从游泳池的两端 出发,游了 21 分钟。在这段时间内共相遇多 少次?
模拟图
⑤ ③ ①

② ④同向
模拟图

⑤ ③ ② ① ④同向
模拟图柳卡图Biblioteka 到达 时刚好有一艘船离开港口
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上海
⑬ ⑫ ⑪ ⑩ ⑨ ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ ④ ③ ② ①
深圳
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学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡

学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船【解析】这就是着名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速一个周期内共有5次相遇,其中第度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步,甲的速度3米/秒,乙的速度2米/秒。

【杨老师数学讲堂12】解决多次相遇问题的必备工具——论柳卡问题与柳卡图

【杨老师数学讲堂12】解决多次相遇问题的必备工具——论柳卡问题与柳卡图

【杨老师数学讲堂12】解决多次相遇问题的必备工具——论柳卡问题与柳卡图在十九世纪的一次国际数学会议期间,有一天,正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候,法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目:“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约,并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。

轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜,而且都是匀速航行在同一条航线上。

问今天中午从哈佛开出的轮船,在开往纽约的航行过程中,将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后,果然一时难住了与会的数学家们。

这道题就是数学史是著名的“柳卡趣题”。

其实,“柳卡问题”的解决并不困难,运用小学的数学知识就可以解决它,而且解法还十分新奇有趣。

显然“柳卡问题”也是一类相遇问题,利用我们相遇问题的基本公式(相遇时间=总路程÷速度和)就可以"干掉"它。

如果设每艘轮船的速度是x海里/昼夜,一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时,同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想,为什么),即为x 海里。

因此,同下一轮船相遇的时间应是x÷(x+x)=0.5(昼夜),也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。

那么,七昼夜一共可以遇到7×2=14(艘)从对面开来的轮船,加上出港时遇到的一艘,一共15艘轮船。

(如果不仔细考虑,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑了已经开出的轮船而忽略了已在海上的轮船。

)下面介绍法国数学家柳卡本人给出的一个非常直观的巧妙解法。

他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可以用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可以图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.柳卡画的这张图就是传说中的柳卡图,也称为折线图,可以很好的解决复杂的行程问题。

奥数模块三--解多次相遇问题的工具——柳卡

奥数模块三--解多次相遇问题的工具——柳卡

学而思奥数模块之行程问题模块三解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成。

折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。

如果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问:某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船?【解析】这就是著名的柳卡问题.下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法.他先画了如下一幅图:这是一张运行图.在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约.那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示.图中的每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况.从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘轮船相遇(图中用虚线表示).而且在这相遇的15艘船中,有1艘是在出发时遇到(从纽约刚到达哈佛),1艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出),剩下13艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜.如果不仔细思考,可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒1米,乙的速度是每秒0.6米.如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了10分钟后,共相遇几次?【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩!首先,甲跑一个全程需30130÷=(秒),乙跑一个全程需300.650÷=(秒).与上题类似,画运行图如下(实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点):从图中可以看出,当甲跑5个全程时,乙刚好跑3个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期150秒.在这一周期内两人相遇了5次,所以两人跑10分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420⨯=(次)【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上,B 地在A 地下游100千米处.甲船从A 地、乙船从B 地同时出发,相向而行,甲船到达B 地、乙船到达A 地后,都立即按原来路线返航.水速为2米/秒,且两船在静水中的速度相同.如果两船两次相遇的地点相距20千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒.【解析】 本题采用折线图来分析较为简便.如图,箭头表示水流方向,A C E →→表示甲船的路线,B D F →→表示乙船一个周期内共有5次相遇,其中第1,2,4,5次是迎面相遇,的路线,两个交点M 、N 就是两次相遇的地点.由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC 和DE 的长度相同,AD 和CF 的长度相同.那么根据对称性可以知道,M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等,也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的.而这两次相遇的地点相距20千米,所以第一次相遇时,两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=.而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍,即为4米/秒,可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒,那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒.。

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柳卡图
到达 时刚好有一艘船离开港口
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上海
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深圳
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出发 时刚好有一艘船到达港口
例题
小紫和小兰两人在长 180 米的游泳池中来回 游泳,小紫的速度是 0.75 米 / 秒,小兰的速 度是 1 米 / 秒。如果他们同时从游泳池的两端 出发,游了 21 分钟。在这段时间内共相遇多 少次?
模拟图
⑤ ③ ①

② ④同向
模拟图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

⑤ ③ ② ① ④同向
模拟图

⑤ ③ ② ① ④同向
柳卡图
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③ ① ② ④同向 ⑥ ⑤
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多次相遇
例题
某海运公司开通深圳与上海之间的货运,每 天中午 12 点有两艘货船分别从上海、深圳同 时出发,途经过同样的航线,七天可到达对 方港口。问从深圳出发的货船途中将遇到几 艘本公司的船从对面开来?
模拟图
上海
出发 时刚好有一艘船到达深圳港口
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

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深圳
到达 时刚好有一艘船离开上海港口
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