多次相遇和追及问题详解

多次相遇和追及问题

教学目标

1. 学会画图解行程题

2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题

3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题

知识精讲

板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题

所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

例1】（难度等级※）甲、乙两名同学在周长为300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10 倍，为300 10 3000米，因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了

3.5

3000 3.5 1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200 米，可知甲还需行 3.5 4

300 200 100米才能回到出发点．

巩固】（难度等级※）甲乙两人在相距90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒

2 米．如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？

解析】17

巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程

是多少米?

解析】176

、运用倍比关系解多次相遇问题

例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米，这时是几点几分？

解析】画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8 ＝12（千米）

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12 ÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小

明骑8千米，爸爸可以骑行8 ×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）.

少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16 千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8 点32 分。

例3】（难度等级※※）甲、乙两车分别同时从A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25 千米处相遇．求A、B 两地间的距离是多少千米？

解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：

A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个

A 、

B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个 A 、B 两地间的距离时，甲车行了95 千米，当它

们共行三个A、B 两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95 ×3=285（千米），而这285

千米比一个A、B 两地间的距离多25千米，可得：95 ×3-25=285-25=260（千米）．

巩固】（难度级别※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千

米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

解析】4×3=12 千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距 B 地的 3 千米，所以全程是12-3=9 千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2 千米。

巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 5 千

米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

解析】 4 千米

巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 6 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 4 千米处第二次相遇，求两人第 5 次相遇地点距 B 多远.

解析】12 千米

巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千

米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.

解析】90 千米

巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 3 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 2 千米处第二次相遇，求第2000 次相遇地点与第2001 次相遇地点之间的距离.

解析】 4 千米

巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13

千米处第二次相遇，求AB 两地之间的距离.

解析】41 千米

例4】（难度等级※※※）如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．

1 解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇

时，甲乙共走完1圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙

2

13

共走完1+ 1＝3圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相

22

遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即100 ×3=300 米．有甲、乙第二次相

3

遇时，共行走（1 圈－60）+300 ，为3圈，所以此圆形场地的周长为480 米．

2

巩固】（难度等级※※※）如图， A 、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇， C 离 A 点80 米；在 D 点第二次相遇， D 点离 B 点6O 米.求这个圆的周长.

解析】360

巩固】A、 B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？

解析】340

三、多次相遇与全程的关系

1. 两地相向出发：第1次相遇，共走 1 个全程；

第 2 次相遇，共走 3 个全程；