多人多次相遇与追及

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多人多次相遇与追及

教师:_＿＿_＿__＿__ 科目; ＿_＿＿__＿___ 学生：＿____＿__ 上课时间:＿＿＿__＿__

【专题知识点概述】

本讲包含两个知识点,一是多次相遇追及问题，即两个对象在固定的长度上不断地往返运动,他们之间相遇追及问题;二是多人相遇追及问题,即在同一直线上，３个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

【授课批注】

多人多次是行程中重点,而画图是多人多次的重点，划出一个好的示意图，就等于问题

已经解决三分之二了,剩下的三分之一才是解题技巧。所以如何画图，如何画好图是行

程问题的关键，需要反复练习，熟能生巧，做题才能得心应手,发挥自如。

一、多次相遇与全程的关系

1. 两地相向出发:第1次相遇，共走1个全程;

第2次相遇,共走3个全程;

第3次相遇,共走５个全程;

。。。。。。。。。。，。。。。。。。。。。。；

第N次相遇,共走2N-1个全程；

【授课批注】

除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米。

２. 同地同向出发:第1次相遇，共走2个全程；

第2次相遇,共走4个全程；

第3次相遇，共走6个全程;

。。。。。。。。。。, 。。。。。。。。。。。；

第N次相遇，共走2N个全程;

二、多人多次相遇追及的解题关键

多次相遇追及的解题关键几个全程

多人相遇追及的解题关键路程差

【重点难点解析】

1.多人多次相遇追及的画图

2.多次多次相遇追及的解题关键

【竞赛考点挖掘】

1.近两年来杯赛的热门考点

2.常常与数论结合出题

【习题精讲】

【例１】(难度级别※※）

甲、乙二人以均匀的速度分别从A、Ｂ两地同时出发，相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地３千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离．

【例2】（难度级别※※)

Ａ,B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

【例３】（难度级别※※）

甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走６０米，乙每分钟走６7.5米，丙每分钟走７5米,甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?

【例4】(难度级别※※)

小王的步行速度是4．8千米／小时，小张的步行速度是5.4千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10．8千米/小时,从乙地到甲地去．他们3人同时出发,在小张与小李相遇后5分钟,小王又与小李相遇．问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

【例5】（难度级别※※※)

甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米，乙每分钟走6５米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

【例6】（难度级别※※※）

小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3．５千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇．问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？

【例7】（难度级别※※※)

快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为6０千米／时和40千米/时，求中速车的速度。

【例8】（难度级别※※※)

甲、乙、丙三辆车先后从Ａ地开往B地，乙比丙晚出发５分,出发后４5分追上丙；甲比乙晚出发１5分,出发后1时追上乙。甲和丙的速度比是多少？

【例9】(难度级别※※※）

甲、乙、丙三辆车同时从Ａ地出发到Ｂ地去,出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也

超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走10０0米，乙车每分走800米,丙车每分

钟走多少米？

【例10】(难度级别※※※）

铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用2２秒,通过骑车人用2６秒，这列火车的车身总长是多少?

【例１１】(难度级别※※※)

学校组织军训,甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。甲、乙两人早晨6点一起从学校出发，甲每时走5千米,乙每时走４千米,丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时到达军训驻地。问:丙在何时追上乙？

【例1２】(难度级别※※※)

甲、乙、丙三人同时从Ａ向B跑，当甲跑到B时,乙离Ｂ还有20米,丙离B还有４０米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问:（1）A, B相距多少米?（２)如果丙从Ａ跑到Ｂ用24秒，那么甲的速度是多少?

【例１３】（难度级别※※※※※）

小王的步行速度是５千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自

行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后3０分钟，

小王又与小李相遇．问:小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?

【例14】（难度级别※※※)

甲从A地出发前往B地，２小时后,乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C

地,甲和乙相遇在Ｄ地.已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1．5倍，A、Ｂ两地之间的距离

是298千米,C、D两地之间的距离是25千米.求丙的速度．

【例１5】(难度级别※※※）

甲从Ａ地出发前往B地，1小时后,乙、丙两人同时从B地出发前往A地,结果甲和丙相遇在C地，

甲和乙相遇在D地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍,A、B两地之间的距离是220

千米,Ｃ、D两地之间的距离是２０千米．求丙的速度.

【例1６】(难度级别※※※）

甲从A地出发前往B地,1小时后,乙也从A地出发前往Ｂ地,又过1小时,丙从Ｂ地出发前

往A地，结果甲和丙相遇在C地,乙和丙相遇在D地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度

是甲的2倍,C、D两地之间的距离是50千米．求乙出发１小时后距Ｂ地多少千米。

【例１7】（难度级别※※※）

李华以每小时步行4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到,半小时后，营地老师闻

讯前往迎接，每小时比李华多走1．2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到,结果

三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？

【例２0】(难度级别※※※※※）

甲、乙、丙三人，甲每分钟走４0米,丙每分钟走６0米,甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，

他们出发1５分钟后,丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇,过了7分钟甲又和丙相遇,又

过了６3分钟丙才追上乙,那么A、B两地相距多少米？

【作业】

1．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、Ｂ两地同时出发,相向而行，他们第一次相遇地点离A地７千米,相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回,在距B地５千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离．

【答案】4千米

２．甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离Ａ地6千米,相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距Ｂ地4千米处第二次相遇,求两人第5次相遇地点距B 多远.

【答案】12千米

3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，

相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.

【答案】90千米

４．甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、B两地同时出发,相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地2千米处第二次相遇，求第2０00次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.

【答案】4千米

5.甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、B两地同时出发，相向而行,他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回，在距B地1３千米处第二次相遇,求AB两地之间的距离.

【答案】41千米

小学奥数—多次相遇和追及问题

3-1-4 多次相遇和追及问题教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复 =? 路程速度时间杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙 300 3.5每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 4 【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【巩固】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米? 【例 2】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？

板块二、运用倍比关系解多次相遇问题【例 3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【例 4】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？【例 5】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【巩固】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。乙

高斯小学奥数四年级下册含答案第03讲_多人多次相遇与追及

第三讲多人多次相遇与追及

在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇追及问题．本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题．本讲中画线段图非常重要，你还记得画行程图要注意什么吗？例题1 有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米．A 、B 两地相距2700米．甲从A 地，乙、丙从B 地同时出发相向而行．请问，甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？「分析」全程已知，三个人的速度也都已知，那么甲乙的相遇时间、甲丙的相遇时间都是可以计算出来的．练习1 有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每秒钟走4米，雪雪每秒钟走5米，霜霜每秒钟走6米．A 、B 两地相距990米．雪雪从A 地，霜霜、冰冰从B 地同时出发相向而行．请问，雪雪与霜霜相遇之后多少秒又与冰冰相遇？例题2 叮叮、咚咚两人开车从A 地，铛铛则从B 地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时70千米，铛铛的速度为每小时50千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的车速是多少？「分析」请在图中把过程补全，并标出相应的数据，例如速度、时间、路程等．然后注意分析，看看哪个过程是可以计算的？练习2 小春、小秋两人从A 地，小夏则从B 地同时出发，相向而行．小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米．出发3小时后，小春与小夏相遇．又过了1小时，小秋也与小夏相遇．请问：小秋的速度是多少？ A 地 B 地叮叮咚咚铛铛

例题3 甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？「分析」本题的运动过程和上题类似吗？请先把图补充完整，仍然是标出数据进行分析，看看哪个过程是可以计算的？练习3 甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时60千米和每小时45千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发7小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？通过前面几道例题，同学们会发现解决多人多次的相遇与追及等更为复杂的行程问题，画线段图是相当重要的．然而我们不但要学会画图，还要学会看图．“横看成岭侧成峰”，同一个对象从不同的角度去观察往往会有不同的认识．就像例题4中红色的那条线段，既可以看成甲、乙两车的路程差，也可以看成乙车与卡车的路程和．当运动过程趋于复杂时，尤其需要这种从不同角度看待问题的思维习惯，这样才能充分利用好题目中的条件． A 地 B 地甲车卡车乙车

安徽省滁州市小学数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题

安徽省滁州市小学数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇．求、两地间的距离． 2. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 3. （5分） (2019六下·竞赛) 如图，、是一条道路的两端点，亮亮在点，明明在点，两人同时出发，相向而行．他们在离点米的点第一次相遇．亮亮到达点后返回点，明明到达点后返回点，两人在离点米的点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求、间的距离．要求写出关键的推理过程． 4. （5分） (2019六下·竞赛) 张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时? 5. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？ 6. （5分）(2020·广州) 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地68千米处相遇，两车各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距地52千米处相遇，求两次相遇地点之间的距离。 7. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相

山东省青岛市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题

山东省青岛市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 2. （5分） (2019六下·竞赛) 甲从A地出发前往B地，1小时后，乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍，A、B两地之间的距离是220千米，C、D两地之间的距离是20千米．求丙的速度． 3. （5分） (2019六下·竞赛) 小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 4. （5分） (2019五下·惠山期末) 甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是320米/分，乙的速度是280米/分，经过几分钟甲第二次追上乙？ 5. （5分） (2019六下·竞赛) 如图，、是一条道路的两端点，亮亮在点，明明在点，两人同时出发，相向而行．他们在离点米的点第一次相遇．亮亮到达点后返回点，明明到达点后返回点，两人在离点米的点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求、间的距离．要求写出关键的推理过程． 6. （5分） (2019六下·竞赛) 马路上有一辆车身长为米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时千米．马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？

4年级-20-多人多次相遇与追及-难版

第20讲行程-多人多次相遇追及本讲在以前学习相遇追及的基础上进行综合拓展，难度较大，教师要把握好节奏。多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =?路程和速度和相遇时间； =?路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例1】★甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54 ?=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【小试牛刀】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是典型例题知识梳理

每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【解析】17 【例2】★★上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）. 而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）. 但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。【例3】★★甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．【小试牛刀】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次

解析行程问题—“多次相遇”

解析行程问题—“多次相遇” 行程问题是行测数学运算中必考题型。同时也是相对较难解决的一种题型。而路程=速度×时间是行程问题中最基本公式。这个基本公式中暗含着的正反比关系也是考生在复习过程中需要重点注意的地方。正因如此，比例思想是我们解决行程问题的常用方法。其次，数形结合也是不可或缺的工具。即对于行程问题，最主要的是根据题干信息画出行程图，理清路程、速度、时间三者之间的关系，进而解题。行程问题实际上还包含很多小的模块，比如：简单的相遇和追及、多次相遇问题、流水行船、时钟问题、牛吃草问题等等。在此，中公教育专家宋丽娜将对于比较难以掌握的多次相遇问题详细的阐述下其中蕴含的原理、公式及考题。 (1)最基本的多次相遇问题是指两人同时从不同的地点同时相向而行，在第一次相遇后没停，继续向前走到打对方终点后返回再次相遇，如此循环往返的过程是多次相遇问题。基本模型如下：从出发开始到等等依次类推到第n次相遇。在此运动过程中，基本规律如下： (1)从出发开始，到第n次相遇：每一次相遇会比前一次夺走2个全程;即：路程和具有的特点是1：2：2：2：……，含义是第一次走1个全程，第二次开始都增加2个全程; (2)由于二者在运动过程中，速度和是不变的，故每次相遇所用时间和路程和成正比，若设第一次相遇的时间为t，则第一次到第二次所用时间为2t，依次类推，每次相遇所用的时间关系也为1：2;2：2……，含义是第一次相遇用时间t，第二次开始相遇时间都会增加2t的时间; (3)各自所走路程也满足这个关系。设第一次相遇甲走路程为S0，则从第二次相遇开始甲走的路程会增加2S0，即关系式仍为1：2：2：2……。

多次相遇和追及问题详解

1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】（难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000 ?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54 ?=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【巩固】（难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【解析】 17 【巩固】（难度等级 ※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次知识精讲教学目标多次相遇和追及问题

相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米? 【解析】176 二、运用倍比关系解多次相遇问题【例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4 ＋8＝12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。【例3】（难度等级※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

多人多次相遇与追及

多人多次相遇与追及教师:_＿＿_＿__＿__ 科目; ＿_＿＿__＿___ 学生：＿____＿__ 上课时间:＿＿＿__＿__ 【专题知识点概述】本讲包含两个知识点,一是多次相遇追及问题，即两个对象在固定的长度上不断地往返运动,他们之间相遇追及问题;二是多人相遇追及问题,即在同一直线上，３个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。【授课批注】多人多次是行程中重点,而画图是多人多次的重点，划出一个好的示意图，就等于问题已经解决三分之二了,剩下的三分之一才是解题技巧。所以如何画图，如何画好图是行程问题的关键，需要反复练习，熟能生巧，做题才能得心应手,发挥自如。一、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发:第1次相遇，共走1个全程; 第2次相遇,共走3个全程; 第3次相遇,共走５个全程; 。。。。。。。。。。，。。。。。。。。。。。；第N次相遇,共走2N-1个全程；【授课批注】除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米。２. 同地同向出发:第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇,共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程; 。。。。。。。。。。, 。。。。。。。。。。。；第N次相遇，共走2N个全程; 二、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程

多人相遇追及的解题关键路程差【重点难点解析】 1.多人多次相遇追及的画图 2.多次多次相遇追及的解题关键【竞赛考点挖掘】 1.近两年来杯赛的热门考点 2.常常与数论结合出题【习题精讲】【例１】(难度级别※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从A、Ｂ两地同时出发，相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地３千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离．【例2】（难度级别※※) Ａ,B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？【例３】（难度级别※※）甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走６０米，乙每分钟走６7.5米，丙每分钟走７5米,甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?

计算迎面相遇和追及相遇次数的问题

计算迎面相遇和追及相遇次数的问题高等有趣，值得一探【题目】一游泳池道长100米，甲乙两个运动员从泳道的两端同时下水做往返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？【解答】从身边经过，包括迎面和追上两种情况。能迎面相遇【（81＋89）×15＋100】÷200，取整是13次。第一次追上用100÷（89－81）＝12.5分钟，以后每次追上需要12.5×2＝25分钟，显然15分钟只能追上一次。因此经过13＋1＝14次。如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米，两人走3个全程中甲就走3份M米。（含义是说，第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次相遇时，根据上面的公式，甲乙走了 2x2-1=3个全程，如果在第一次相遇时甲走了m米，那么第二次相遇时甲就走了3个m米）下面我们用这个方法看一道例题。

湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。画图可知，由3倍关系得到：A，B两岛的距离为 700×3－400=1700米小学奥数行程问题分类讨论 2010-06-08 12:00:20 来源：网络资源进入论坛行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。一、一般相遇追及问题。包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量出现，约占80%左右。建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准画图(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，并且要就题论题，所以无法展开，但这是考试中最常碰到的，希望高手做更为细致的分类。二、复杂相遇追及问题。 (1)多人相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题。解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。

多次相遇和追及问题详解

多次相遇和追及问题教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．例1】（难度等级※）甲、乙两名同学在周长为300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10 倍，为300 10 3000米，因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了 3.5 3000 3.5 1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200 米，可知甲还需行 3.5 4 300 200 100米才能回到出发点．巩固】（难度等级※）甲乙两人在相距90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒 2 米．如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？解析】17 巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?

解析】176 、运用倍比关系解多次相遇问题例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米，这时是几点几分？解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8 ＝12（千米）这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12 ÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8 ×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）. 少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16 千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8 点32 分。例3】（难度等级※※）甲、乙两车分别同时从A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25 千米处相遇．求A、B 两地间的距离是多少千米？解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）： A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个可以发现第一次相遇意味着两车行了一个

五年级奥数.行程 .多次相遇和追及问题

多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=? 路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程； …………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。 2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程； …………，………………；第N次相遇，共走2N个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运

奥数——行程、多次相遇和追及问题

一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。 2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程； …………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差知识框架多次相遇与追及问题

三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。问：甲车的速度是乙车的多少倍

苏科版四(下)奥数教案第3讲~多人多次相遇与追及

四（下）奥数第3讲~多人多次相遇与追及【知识精讲】在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇与追及问题，本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题。本讲中画线段图非常重要。第一部分：复习基本相遇问题：速度和×相遇时间=路程和路程和÷速度和=相遇时间路程和÷相遇时间=速度和 1：甲、乙两车从相距1500千米的两地同时出发，相向而行。甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，请问：出发多少小时后两车相遇？ 2：一辆巴士和一辆小轿车同时从A、B两地出发，相向而行。巴士每小时行50千米，小轿车每小时行60千米，3小时后两车相遇，请问：A、B两地相距多少千米？ 3：A、B两艘船同时从相距150千米的两个码头出发，相向而行，3小时相遇，A船每小时航行25千米，请问：B船每小时航行多少千米？基本追及问题：速度差×追及时间=路程差路程差÷速度差=追及时间路程差÷追及时间=速度差

1：圆圆、乐乐两人分别从相距30千米的两地同时向南行驶，圆圆骑自行车每小时行14千米，乐乐步行每小时走4千米，请问：多少小时后圆圆可以追上乐乐？ 2：蚂蚁在蜘蛛前面几百米处，同时出发同向而行，蜘蛛每分钟跑55米，蚂蚁每分钟爬1米，10分钟后蜘蛛追上了蚂蚁，请问：开始时蚂蚁距蜘蛛多少米？第二部分：多人相遇例1: 有A、B、C三个人，A每分钟走20米，B每分钟走40米，C每分钟走30米。甲、乙两地相距3000米。A从甲地，B、C从乙地同时出发相向而行。请问：A在与B相遇之后多少分钟又与C相遇？练1:有圆圆、乐乐、静静三人，圆圆每秒钟走2米，乐乐每秒钟走4米，静静每秒钟走6米。A、B 两地相距4800米。圆圆从A地，乐乐、静静从B地同时出发相向而行，请问：圆圆与静静相遇后多少秒又与乐乐相遇？例2：有A、B、C三人，A每分钟走30米，B每分钟走70米，C每分钟走20米。A从甲地，B、C从乙地同时出发相向而行，A和B经过10分钟相遇。请问：A和C要经过多长时间才能相遇？

多次相遇和追及问题

1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】（难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000 ?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5 300014003.54 ? =+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【巩固】（难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【解析】 17 一共六百秒，第一次相遇是两人总共跑一个90米，以后是180米相遇次。相对速度每秒五米。第一次相遇知识精讲教学目标 3-1-3多次相遇和追及问题

是18秒。180米相遇需要36秒。此后是582秒总共有16次。所以相遇17次。【解析】【巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米? 【解析】176 甲乙每分钟速度和:400×5÷8=250米每分钟,甲比乙多:0.1×60=6米甲每分钟:(250+6)÷2=128米 128×8÷400=2 (224) 相遇点与A最短路程为400-224=176米【解析】二、运用倍比关系解多次相遇问题【例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4 ＋8＝12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）.

安徽省合肥市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题

安徽省合肥市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇．求东西两村的距离． 2. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 3. （5分） (2019六下·竞赛) 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离点的路程是多少？（路程按甲跑的计算） 4. （5分） (2019六下·竞赛) 有两列火车，一列长102米，每秒行20米；一列长120米，每秒行17米.两车同向而行，从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒？ 5. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 6. （5分） (2019六下·竞赛) 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、

行程类多人多次相遇追及42

行程类之多人多次相遇与追及【教学目标】 ?学习更复杂的三个对象之间的行程问题 ?学会画线路图帮助理解题意【知识预备】（1）相遇问题中，路程、速度与时间三个量的关系式。相遇时间= __________________________ 路程和= __________________________ 速度和= __________________________ （2）追及问题中，路程、速度与时间三个量的关系式。追及时间= __________________________ 路程差= __________________________ 速度差= __________________________ 【典型例一】有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米。A、B两地相距2700米。甲从A地，乙、丙从B地同时出发相向而行。请问，甲在与乙相遇后多少分钟又与丙相遇？

[画行程图] 【练一练】有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每分钟走4米，雪雪每分钟走5米，霜霜每分钟走6米。A、B两地相距990米。雪雪从A地，冰冰、霜霜从B地，同时出发相向而行。请问雪雪与霜霜相遇后多少分钟又与冰冰相遇？【典型例二】丁丁、冬冬两人各自开车从A地出发，当当则从B地同时出发，相向而行。丁丁的速度为每小时70千米，当当的速度为每小时50千米。出发3小时后，丁丁与当当相遇。又过了1小时，冬冬也与当当相遇。请问，冬冬的车速是多少？

[画行程图] 【练一练】小春和小秋两人从A地出发，小夏在从B地同时出发，相向而行。小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米。出发3小时后，小春与小夏相遇。又过了1小时，小秋也与小夏相遇。请问小秋的速度是多少？【典型例三】甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A 地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车。又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车。请问，这辆卡车的速度是多少？

河北省衡水市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题

河北省衡水市数学小学奥数系列3-1-3多次相遇和追及问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共36题；共150分) 1. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？ 2. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇．求、两地间的距离． 3. （5分） (2019六下·竞赛) 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 4. （5分） (2019六下·竞赛) 一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米．（1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？（2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？ 5. （5分） (2019六下·竞赛) 在公路上，汽车、、分别以，，的速度匀速行驶，若汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少？ 6. （5分） (2019六下·竞赛) 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖的周长是600米，求丙的速度． 7. （5分） (2019六下·竞赛) 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？

柳卡图解决多次相遇与追及问题

数海拾贝我不知道世人怎样看我，但我自己以为我不过像一个在海边玩耍的孩子，不时为发现比寻常更为美丽的一块卵石或一片贝壳而沾沾自喜，至于展现在我面前的浩翰的真理海洋，却全然没有发现。---牛顿（英国）柳卡图解决多次相遇与追及问题解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少?（下面的例题基本都是先求得时间，然后画出准确的柳卡图，若用比例的方法更快更方便，本讲暂不用比例来解答，有兴趣的同学可以自己画画看)如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？解答：（这题不是我解答的）这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另

五年级奥数.行程 .多人多次相遇和追及问题 (C级 ).学生版讲课讲稿

五年级奥数.行程 .多人多次相遇和追及问题(C级).学生版

一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =?路程和速度和相遇时间； =?路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程； …………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；知识框架长方体与正方体表面积

注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。 2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程； …………，………………；第N次相遇，共走2N个全程； 3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。例题精讲【例 1】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。如果甲、乙从A，丙从B地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。