4变形体力学概述

合集下载

力学基础知识

工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
英
制
基本量纲
导出量纲量纲幂次式
常用量速度，加速度体积流量，质量流量密度，重度力，力矩压强，压力，弹性模量
粘度，运动粘度
其他量角速度，角加速度应变率
第三节变形体力学基础
一、材料力学的任务二、关于变形固体及其基本假设三、内力、截面法、轴力及轴力图
光滑辊轴而成．约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力．
5.平面固定端约束
=
=
≠
=
四.物体的受力分析和受力图
第二节平面力系和平衡方程
一.平面力系的简化二.平面力系的平衡方程
三.力学单位制与量纲物理量的量纲
基本量纲dim m = M , dim l = L , dim t = T
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
二、关于变形固体及其基本假设
1.可变形固体
关于变形的基本概念和名词弹性 ––– 物体在引起变形的外力被除去以后，
能即刻恢复它原有形状和尺寸的性质。
弹性变形 ––– 变形体在外力被除去后能完全消失的变形。
塑性变形 ––– 变形体在外力被除去后不能消失的变形。
2. 基本假设
• 连续性假设
认为组成物体的物质毫无空隙地充满了整个物体的几何体积。
•小变形假设物体产生的变形与整个物体的原始尺寸
相比是极其微小的。
PP
L
理论力学与材料力学的研究对象在模型上的区别。理论力学：刚体材料力学：变形固体完全弹性体
三.内力、截面法、轴力及轴力图
（一）内力的概念它是由于外力的作用而使物体的各部分之间

土木工程力学(本).

土木工程力学（本）第四章静定结构的位移计算学习要求1. 理解变形体体系虚功原理的内容及其应用。

2. 理解并熟练掌握静定结构位移计算的一般公式。

3. 熟练掌握静定结构在荷载作用下的位移计算方法及图乘法。

4. 掌握支座位移和温度改变等因素作用下的位移计算方法。

5. 了解线弹性结构的互等定理。

6. 理解静定结构的基本力学特性。

学习重点1. 变形体体系的虚功原理及其应用。

2. 静定结构位移计算的一般公式和不同外因作用下的应用。

3. 图乘法计算荷载作用下静定梁和刚架等的位移。

4. 静定结构的基本力学特性。

常见问题解答1.什么是结构的变形和位移？变形，是指结构或构件的截面形状发生改变，而位移则是指结构各处位置的移动。

静定结构产生位移的原因有荷载作用、温度变化、支座位移、制造误差、材料收缩等。

荷载作用使静定结构产生内力，进而发生变形，导致结构产生位移。

温度变化时，静定结构产生位移，不产生内力。

支座位移（移动或转动）时，静定结构既无内力也无变形产生，只发生刚体位移。

2．静定结构位移计算时采用了什么假设条件？静定结构位移计算时，通常采用以下假设条件：（1）结构、构件的材料符合胡克定律，即应力应变成线性关系。

（2）结构、构件发生的变形与其几何尺寸相比极其微小，因此，可以认为结构或构件的几何形状和尺寸以及荷载的作用位置及方向在变形前后保持不变。

满足上述假设条件的结构体系称为线弹性结构。

线弹性结构中的结构体始终是连续的，位移与荷载之间成线性比例关系，卸载之后位移完全消失，所以计算位移时可以使用叠加原理。

3.什么是实功和虚功？力在其自身引起的位移上作功称为实功。

当作功所需两个因素中的力与其相应的位移彼此独立无关时，这种功称为虚功。

实功恒为正值，虚功可以是正值、负值和零。

实功不能应用叠加原理。

虚功可以应用叠加原理。

4．什么是变形体体系的虚功原理？变形体体系的虚功原理可以表述为：若变形体体系在力系作用下处于平衡状态，由其它原因产生的微小连续位移满足约束条件，则力状态中的外力在位移状态中相应位移上所作的虚功恒等于力状态中的内力在位移状态中相应变形上所做的虚功。

六、-动力学问题的有限元法

❖ 至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资源情况等。
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是，载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。

变形体静力学基础绪论

4
内力和应力
一、内力与截面法：
1 、内力的定义：在外力作用下，构件内部各部分之间因相对位置改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。 2 、内力的特点： ①连续分布于截面上各处； ②随外力的变化而变化。 3 、截面法：用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开：在待求内力的截面处假想地将构件截分为两部分，取其中一部分为研究对象
2
小变形前提条件的作用
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析
因构件在外力作用下发生的变形与原尺寸相比非常小，在计算构件所受的力时，可按构件原始尺寸计算。
B
1 2 l
δ
1
A A1 δ C
Hale Waihona Puke FN 1 FN 22

A F

l
F
F
求FN1、 FN2 时，仍可按构件原始尺寸计算。
1、正应变是无量纲量 2、过同一点不同方位的正应变一般不同
11
二、切应变定义
微体相邻棱边所夹直角的改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位切应变为无量纲量切应变单位为弧度（rad）
12
三、应力应变之间的相互关系
一点的应力与一点的应变之间存在对应的关系
实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与正应变存在线性关系： E ——胡克定律 E 称为材料的弹性模量或杨氏模量
变形固体的物性假设
小变形前提
一、变形固体：在外力作用下可发生变形的固体。二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设：认为变形固体整个体积内各点处的力学性质相同。 3、各向同性假设：认为变形固体沿各个方向的力学性质相同（不适合所有的材料）。假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关

第四章变形体静力学基础b

截面法求解内力的步骤为：
求约束反力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求内力，内力方程内力图： FN、FQ、 M图
2
返回主目录
4.4 杆件的基本变形
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。直杆：杆件的轴线为直线。
y
Fy
1
F My
解：画轴力图。有： DD=DlAD=DlAB+DlBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即： DD=(F1-F2)l /E(2A)+F1l /EA=0 解得： F2=3F1
D l A B
F1 -F2
l
l
F2
C
F1
F1
注意：固定端A处位移为零。
9
4.6 一点的应力和应变(一般讨论)
y
D'
D dy A' A dx C B' B C'
切应变：过A点直角形状的改变。
= dx lim ( 0
dy 0

2
BAD)
x
线应变、切应变分别与、的作用相对应。
16
返回主目录
4.7 变形体静力学分析
FB
B
FCy
45 C FCx l=3m D
再论利用力的平衡、变形几何协调及力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。
F1 = 3F
6 FE2 A2 FAy = 2F 4 E2 A2 + E1 A1
FAy
1
2
F1
F2 l
B
6FE2 A2 12FE2 A2 ; F2 = 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。

由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。

应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。

对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。

对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。

分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。

⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。

借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。

本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。

根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。

材料力学知识点

第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。

平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。

2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。

1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。

2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。

挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。

沿y轴正方向的挠度为正。

转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。

4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。

对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。

因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。

边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。

连续条件：挠曲线的光滑连续条件。

悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。

2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。

工程力学-变形体基本假设及基本概念

工程 x 力学
单向应力状态
x
dx
x
du
x
du x dx

纯剪切状态
a

( 直角改变量 )
a + b
b
24
※.变形固体基本假设、构件承载能力
应力与应变的关系
对于常用的工程材料，大量实验表明： σx
工程力学
x E x ,
O
x
x
E
εx
胡克定律
τ
G ,
F1
F3
假想截面
Fn
F
2
F
3
Fn
20
※.变形固体基本假设、构件承载能力
内力与应力 F1 F2
内力—
必须截开物体，内力才能显示。
工程力学
F3 F1 F1
Fn FR
O
F
3
F3
21
M
※.变形固体基本假设、构件承载能力
内力与应力
•
上述用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法,称为截面法。
存在很大差异。
16
※.变形固体基本假设、构件承载能力
变形固体的四个基本假设（4）小变形假设含义：认为相对于原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响可以忽
工程力学
略不计。
作用：1、小变形前提保证构件处于纯弹性变形范围
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析 3、小变形前提保证叠加法成立
工程力学
•
截面法求解内力的步骤为：
截取研究对象受力分析列平衡方程求解内力
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前，力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。

建筑力学常见问题解答

建筑力学常见问题解答3 静定结构內力计算1.为保证结构物正常工作，结构应满足哪些要求？答：为保证结构物正常工作，结构应满足以下要求（1）强度要求：构件在外力作用下不会发生破坏，即构件抵抗破坏能力的要求，称为强度要求。

（2）刚度要求：构件在外力作用下所产生的变形不应超过一定的范围，即构件抵抗变形能力的要求，称为刚度要求。

（3）稳定性要求：构件在外力作用下，其原有平衡状态不能丧失，即构件抵抗丧失稳定能力的要求，称为稳定性要求。

只有满足上述各项要求，才能保证构件安全正常的工作，达到建筑结构安全使用的目的。

2.什么是变形体？变形体分为哪两类？答：各种物体受力后都会产生或大或小的变形，称为变形体。

根据变形的性质，变形可分为弹性变形和塑性变形。

所谓弹性变形，是指变形体在外力去掉后，能恢复到原来形状和尺寸的变形。

当外力去掉后，变形不能完全消失而留有残余，则消失的变形是弹性变形，残余的变形称为塑性变形或残余变形。

3.在建筑力学范围内，我们所研究的物体，一般都作哪些假设？答：在建筑力学范围内，对所研究的变形体作出如下的基本假设：（1）均匀连续假设：即认为整个物体内部是连续不断地充满着均匀的物质，且在各点处材料的性质完全相同。

（2）各向同性假设：即认为制成物体的材料沿着各个方向都具有相同的力学性质。

（3）弹性假设：即当作用于物体上的外力不超过某一限度时，将物体看成是完全弹性体。

总之，在建筑力学的范围内，我们研究的材料是均匀连续的，各向同性的弹性体，且杆件的变形是很小的。

4.什么是杆件？什么是等直杆？答：所谓杆件，是指长度远大于其他两个方向尺寸的变形体。

如房屋中的梁、柱、屋架中的各根杆等等。

杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述。

横截面是指与杆长方向垂直的截面，而轴线是各横截面中心的连线。

横截面与杆轴线是互相垂直的。

轴线为直线、横截面相同的杆称为等直杆。

建筑力学主要研究等直杆。

图3-15.杆件变形的基本形式有哪几种？答：杆件变形的基本形式有下列四种：（1）轴向拉伸或压缩(图3-2a、b)：在作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件将产生长度的改变(伸长或缩短)。

工程力学电子教案(第三版)第4章弹性变形体静力分析基础

图4－4
§4－4 杆件变形的形式
（2）剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的相邻横截面发生相对错动(图4－5)。
图4－5
§4－4 杆件变形的形式
（3）扭转在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴的外力偶作用下，杆件的任意两个横截面发生相对转动(图4－6)。
图4－6
列出平衡方程
得
∑Fx=0，F1－FS=0 FS =F1
∑Fy=0，FN－F2=0
得
FN=F2
得
∑MO=0，F1a－F2b－M=0 M=F1a－F2b
§4－2 内力与应力
图4－1
§4－2 内力与应力
4－2－3 应力
构件某一截面上的内力是分布内力系的主矢和主矩，它只表示截面上总的受力情况，还不能说明分布内力系在截面上各点处的密集程度(简称集度)。
改变外，原来互相垂直的平面，例如Oxz平面与 Oyz平面间的夹角也可能发生改变(图4－3b)，直
角的改变量称为M点处的切应变。
§4－3 变形与应变
图4－3
§4－3 变形与应变
●线应变和切应变是度量构件内一点处
变形程度的两个基本量，它们都是量纲为1的量，
的单位是rad(弧度)。
§4－3 变形与应变
构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改变，统称为变形。一般地说，构件内各点处的变形是不均匀的。为了研究构件的变形以及截面上的应力分布规律，还必须研究构件内各点处的变形。
m

u x
§4－3 变形与应变
1.线应变
围绕构件内M点取一微小正六面体(图4－3a)，设其沿x轴方向的棱边长为Δx，变形后边长为 Δx+Δu，Δu称为Δx的线变形。比值

第四章变形体静力学基础

79第四章变形体静力学基础从本章开始，讨论的研究对象是变形体，属于固体力学的范畴。

在前面各章中，我们将物体视为不发生变形的刚体，讨论其平衡问题。

事实上，物体在力的作用下，不但或多或少总有变形发生，而且还可能破坏。

因此，不仅要研究物体的受力，还要研究物体受力后的变形和破坏，以保证我们设计制造的产品或结构能实现预期的设计功能和正常工作。

要研究固体的变形和破坏，就不再能接受刚体假设，而必须将物体视为变形体。

作用在刚体上的力矢量可以认为是滑移矢，力偶矩矢是自由矢，是因为没有考虑物体的变形。

对于变形体，力矢量不再能沿其作用线滑移，力偶矩矢也不再能自由平移，因为它们的作用位置将影响物体的变形。

变形体静力学研究的是平衡状态下，变形体的受力和变形问题。

§4.1 变形体静力学的一般分析方法在第一章中，已经简要地介绍了以变形体为对象的静力学基本研究方法。

即需要进行下述三个方面的研究：1)力和平衡条件的研究。

2)变形几何协调条件的研究。

3)力与变形之关系的研究。

在开始讨论变形体静力学问题之前，先以一个例子进一步说明变形体静力学问题研究的一般方法。

例4.1 长2L 的木板由二个弹性常数为k 的弹簧支承，如图4.1所示。

弹簧的自由长度为h ，既能受压，也能受拉。

若有一人从板中央图4.1 例4-1图向一端缓慢行走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。

解：设人重为W，板重与人重相比较小，忽略不计。

讨论板与地面刚刚接触的临界状态，此时F=0；弹簧B受压缩短，弹簧A受拉伸长，板受力如图所示。

1) 力的平衡条件：由平衡方程有：∑F y=F B-F A-W=0 --(1)∑M A(F )=2aF B-(x+a)W=0 --(2)如果x已知，弹簧反力F A、F B即可求得。

现在x未知，只考虑力的平衡不能解决问题，需考虑变形。

板与弹簧相比刚硬得多，可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。

2) 变形几何协调条件：弹簧变形如图所示，刚性板要保持为直板，则二弹簧变形后应满足的几何条件是：h B/h A=(L-a)/(L+a) (x>0) --(3)弹簧A、B的变形为δA=h A-h (图中假定为受拉伸长)；--(4)及δB=h-h B(图中假定为受压缩短)。

工程力学材料力学概述

第5章材料力学概述5．1 材料力学的任务工程结构或机械的各组成部分，如建筑物的梁和柱、机床的轴等，统称为构件（member）。

当工程结构或机械工作时，构件将受到载荷的作用。

例如，车床主轴受齿轮啮合力和切削力的作用，建筑物的梁受自身重力和其他物体重力的作用。

在外力作用下，构件具有抵抗破坏的能力，但这种能力是有限的。

同时，其尺寸和形状也将发生变化，称为变形(deformation)。

为保证工程结构或机械的正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。

因此，构件必须满足以下要求：1．强度（strength）要求构件在载荷作用下必须不致破坏，即构件应有足够的抵抗破坏的能力。

2．刚度（stiffness）要求构件在载荷作用下的变形必须在许可的范围内，即构件应有足够的抵抗变形的能力。

3．稳定性（stability）要求构件在载荷作用下必须始终保持其原有的平衡形态，即构件应有足够的保持其原有平衡形态的能力。

设计构件时，必须满足上述所提到的强度、刚度和稳定性的要求。

在保证构件满足上述三方面要求的同时，要尽量选用适当的材料和减少材料的消耗量，以节约成本。

综上所述，材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件提供必要的理论基础和计算方法。

在材料力学中，为进行上述的分析和计算，不仅要研究构件的受力状态与变形之间的关系，还要了解材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面的性能，即材料的力学性能，又称机械性能（mechanical properties）。

而力学性能要由实验来测定。

所以实验分析和理论研究同是材料力学解决问题的方法。

5．2 变形固体的基本假设在静力学中，将研究的物体看成是刚体，即假定受力后物体的几何形状和尺寸是不变的。

实际上，刚体是不存在的，任何物体在外力作用下都将发生变形，而且当外力达到某一定值时，物体还会发生破坏。

在静力学中，构件的微小变形对静力平衡分析是一个次要的因素，故可不考虑；但在材料力学中，研究的是构件的强度、刚度和稳定性等问题，对于这些问题，即使变形很小，也是一个主要因素，必须加以考虑而不能忽略。

第四章材料力学概述

4.5 应力、应变及其相互关系
例题：两边固定的薄壁板，边变形后 ab 和 ad 两边保持
为直线a点沿垂直方向向下位移 0.025mm。试求 ab 边的平均应变和ab， ad 两边夹角的切应变。
250
b
200
a d

0.025mm
a
4.5 应力、应变及其相互关系
250
b
200
a d

0.025mm
荷载未作用时 F 荷载去除后荷载作用下
4.1 材料力学的研究内容
对构件在荷载作用下正常工作的要求: Ⅲ. 具有足够的稳定性要求——对于理想中心受压杆件，指构件在荷载作用下保持原有的直线平衡形式的能力，不丧失稳定。
4.1 材料力学的研究内容实际工程中
在满足上述强度、刚度和稳定性要求的同时，还须尽可能合理选用材料和降低材料消耗量，以节约投资，即解决安全与经济的矛盾。
要多小有多小 p
k
A
4.5 应力、应变及其相互关系
单向应力：微体仅在一对相互平行的截面上承受正应力
纯剪切：微体仅承受切应力
微体两种最基本的受力形式
4.5 应力、应变及其相互关系
M
y
0
dxdy dz 'dydz dx 0
面积
力
面积
力
'
拉压实验表明
在弹性范围内，有变形 x 与外力 F 成正比的弹性定律。
它是由英国力学家胡克（Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的，被称作胡克定律。推广
4.5 应力、应变及其相互关系
单向应力实验表明
应力与应变也有的类似关系，即应力与应变成比例关系，也被叫做 Hooke’s law。弹性范围内，正应力与正应变成正比：引入比例常数E，于是可得：

弹性力学第二章变形分析

(3.3.2.)
Eαα = E ab =
1 ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w + + + + 2 ∂b ∂a ∂a ∂b ∂a ∂b ∂a ∂b
等，如将 (3.3.1 )式后式代入 (3.2.4) 式得
eij =
∂u ∂uα 1 − β +δ β − + δ δ ij − δ αβ α i ∂x ∂x 2 i j
图 3.2 在材料力学中我们讨论杆件的拉、压、弯、扭等问题，如图 3.2 ，我们可以把这些问题反映的变形抽象为两种基本类型：线变形和角变形。线变形即是线素的伸长或缩短；角变形即是成角度的两个线素之间夹角的改变。如何度量变形的这两种类型与测量及计量的方法有关，例如线变形的度量可由一个杆原长为 L0 ，拉伸后变为 L ，描述这个变化可以用伸长比
e xy =
式中
1 ∂v ∂u 1 1 + = (α xy + α yx ) = γ xy 2 ∂x ∂y 2 2 u+
∂u ∂u dy − u ∂y ∂u ∂y ≅ = α xy = ∂v ∂y ∂v dy + dy 1+ ∂y ∂y ∂v ∂v v + dx − v ∂v ∂x = ∂x ≅ α yx = ∂u ∂u ∂x dx + 1+ ∂x ∂x
及
ds 2 = δ ij dx i dx j = δ ij
这元素的长度改变的平方差
∂x ∂x 2 = δ αβ α β − δ ij dai da j ds 2 − ds0 ∂ai ∂a j
或
∂a ∂a β 2 dx i dx j = δ ij − δ αβ α ds 2 − ds0 ∂ ∂ x x i j

材料力学第三章应变理论

ij 称为柯西应变张量或小应变张量
其实体表示形式为 1 u u 2
是二阶对称张量，只有六个独立分量。
§3-1 位移和变形
在笛卡尔坐标系中，其常用形式为
11
u1 x1
u x
x ,12
21
1 2
u1 x2
u2 x1
1 u
2
y
v x
xy
yx
22
u2 x2
v y
i
ji
ui x j
j
1
i
ui x j
j
i
可由位移梯度分量 ui 和线元正应变计算任意方向线元
变形后的方向余弦。x j
考虑两线元间的夹角变化
t cos , t t 2 t 1 1
t
1 t t 2 t
§3-2 小应变张量（几何方程）
若变形前两线元互相垂直，即 t 0
u j xi
ei ej
E 1 u u u u 2
➢ 按照欧拉描述还可以定义描述大变形的阿尔曼西（Almansi,E)
应变张量，即
dS2 dS02 2eijdxidxj
eij
1 2
ui xj
u j xi
um xi
um xj
它也是二阶对称张量
由此可见：物体无变形（线元长度不变，仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量处处为零。
令为变形后线元间直角的减小量，则由上式可得
cos
2
cos , t
2 t 2ij it j 2t
通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变 t ，即
t 2t 2 t 2ijit j
若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j)