材料力学公式汇总

材料力学公式汇总
一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=max
max A
N
2、 剪切 []ττ≤=A
Q max
挤压 []挤压
挤压挤压σσ≤=
A
P
3、 圆轴扭转 []ττ≤=W t
T max
4、 平面弯曲 ①[]σσ≤=
max
z
max W M
②
[]max t max t max
max σσ≤=
y I M z
t max c max max y I M
z
c =σ[]cnax σ≤
③[]ττ≤⋅=b
I S Q z *
max z max max
5、斜弯曲 []σσ≤+=
max
y
y
z z max W M W M
6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=
max
max z
W M A N
[]t max t z max t σσ≤+=
y I M A N z []c max c z z max c σσ≤-=A
N
y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=
+=
z
2n
2w 2n
2w
r34W M M
②
第
四强度理论
[]στσσ≤+=
+=
z
2
n
2w 2n
2
w
r475.03W M M
二、变形及刚度条件
１、 拉压 ∑⎰
=
==∆L
EA
x
x N EA
L N EA
NL L d )(i
i EA 为拉伸（压缩）刚度
２、 扭转
()⎰
=∑==
Φp
p i i p GI dx x T GI L T GI TL
GI
为抗扭刚度
π
φ0
180⋅
=Φ=p GI T L （m / ）
３、 弯曲 (1)
积
分
法
:
)
()(''x M x E I y =
C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ
D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)(
(2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…
(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情
况赋予正负号)
EI ML B =θ EI PL B 22=θ EI
qL B 63
=θ EI
ML f B 22=
EI PL f B 33
= EI qL f B 84=
EI ML B 3=
θ,
EI
ML A 6=
θ EI
PL A B 162
=
=θθ EI
qL A B 243
=
=θθ EI ML f c 162=
EI
PL f c 483
=
EI
qL f c 3844
= (4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)
EI
L M U 22=
=i
i i EI L M 22∑=()⎰
EI
dx x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)
=∂∂=
∆i
i P U
()()⎰
∂∂∑dx P x M EI x M i
三、应力状态与强度理论 １、 二向应力状态斜截面应力
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
ατασστα2c o s 2sin 2
xy y
x +-=
２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
22min max )2
(2xy
y x y x τσσσσσσ+-±+=
y
x xy
σστα--=
22tg 0
P
A
B M
A
B A B
q
L L
L
L
L
３、 二向应力状态的极值剪应力
2
2max )2
(
xy
y
x τσστ+-=
注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450
４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥
最大剪应力：2
31max σστ-=
5、二向应力状态的广义胡克定律
（1）、表达形式之一（用应力表示应变）
)(1y x x E
μσσε-= )(1x y y E
μσσε-= )(y x z E
σσμ
ε+-= G
xy xy τγ=
（2）、表达形式之二（用应变表示应力）
)(12y x x E μεεμ
σ+-= )(12
x y y E
μεεμ
σ+-= 0=z σ xy xy G γτ=
6、三向应力状态的广义胡克定律
()[]z y x x E
σσμσε+-=
1
()z y x ,, G
xy
xy
τγ=
()zx yz xy ,,
7、强度理论 （1）
[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤
[]b
b n σσ=
（2）[]σσσσ≤-=313r
()()()[]
21323222142
1
σσσσσσσ-+-+-=
r []σ≤ []s
s n σσ=
8、平面应力状态下的应变分析 （
1
）
αγαεεεεεα2sin 2
2cos 2
2
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---+
+=
xy
y
x y
x
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2s i n 22y
x αγ2c o s 2
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-xy
（2）2
2
min max 222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y
x γεεεεεε
y
x xy
εεγα-=
02tg 四、压杆稳定
1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）
①细长受压杆 p λλ≥ ()2
m i n 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE
=
②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr ③短粗受压杆
s λλ≤ “cr σ”=s σ
或 b σ
2、关于柔度的几个公式 i L μλ= p
2p σπλE
= b
a s s σλ-=
3、惯性半径公式A
I i z
= （圆截面
4
d
i z =
，矩形截面12
min b i =
（b 为
短边长度））
五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆
冲击系数 st
d 211∆+
+=h
K （自由落体冲击）
st
20d ∆=
g v K （水平冲
击）
六、截面几何性质
1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）
⎰
=dA I P 2
ρ=
32
4
d π ()4
4
132
απ-D D d
=α
⎰
=
=6442
d dA y I z π ()4
4
164απ-D 12
3bh 123
hb
32
3max
d y I W z
z π==
(
)43
132
απ-D
6
2
bh 62hb
2、惯性矩平移轴公式
A a I I 2zc z +=。