材料力学公式汇总

材料力学重点及其公式

材料力学的任务 (1)强度要求;(2)刚度要求;(3)稳定性要求。

变形固体的基本假设 (1)连续性假设;(2)均匀性假设;(3)各向同性假设;(4)小变形假设。 外力分类: 表面力、体积力;静载荷、动载荷。

内力:构件在外力的作用下,内部相互作用力的变化量,即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力

截面法:(1)欲求构件某一截面上的内力时,可沿该截面把构件切开成两部分,弃去任一部分,保留另一部分研究(2)在保留部分的截面上加上内力,以代替弃去部分对保留部分的作用。(3)根据平衡条件,列平衡方程,求解截面上与内力。

应力: dA dP

A P p A =

∆∆=→∆lim 0正应力、切应力。 变形与应变:线应变、切应变。

杆件变形的基本形式 (1)拉伸或压缩;(2)剪切;(3)扭转;(4)弯曲;(5)组合变形。

静载荷:载荷从零开始平缓地增加到最终值,然后不在变化的载荷动载荷:载荷与速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因:脆性材料在其强度极限

b σ破坏,塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理

想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为:

[]3

n s σσ=,

[]b

b

n σσ=,强度条

件:

[]σσ≤⎪⎭⎫

⎝⎛=max

max A N ,等截面杆 []σ≤A N max

轴向拉伸或压缩时的变形:杆件在轴向方向的伸长为:l l l -=∆1,沿轴线方向的应变与横截面上的应力分别为:l l ∆=

ε,A

P

A N ==σ。横向应变为:b b b b b -=∆=1'ε,横向应变与轴向应变的关系为:μεε-='

。

胡克定律:当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即 εσE =,这就就是胡克定律。E 为弹

性模量。将应力与应变的表达式带入得:EA

Nl l =

∆ 静不定:对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx

d φ

ρ

γρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A

A ⎰⎰⎰===22

ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力:t p W T R I T ==

max τ;圆轴扭转的强度条件: ][max ττ≤=t

W T

,可以进行强度校核、截面设计与确定许可载荷。

圆轴扭转时的变形:⎰⎰==

l p

l p dx GI T dx GI T ϕ;等直杆:p

GI Tl =ϕ 圆轴扭转时的刚度条件: p GI T

dx d ==

'ϕϕ,][max max

ϕϕ'≤='p

GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)()(x q dx x dQ =;()()x Q dx x dM =;

()()()x q dx x dQ dx x M d ==2

2 Q 、M 图与外力间的关系

a)梁在某一段内无载荷作用,剪力图为一水平直线,弯矩图为一斜直线。 b)梁在某一段内作用均匀载荷,剪力图为一斜直线,弯矩图为一抛物线。 c)在梁的某一截面。

()()0==x Q dx

x dM ,剪力等于零,弯矩有一最大值或最小值。 d)由集中力作用截面的左侧与右侧,剪力Q 有一突然变化,弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。

梁的正应力与剪应力强度条件[]σσ≤=

W

M max

max ,[]ττ≤max 提高弯曲强度的措施:梁的合理受力(降低最大弯矩m ax M ,合理放置支座,合理布置载荷,合理设计截面形状

塑性材料:[][]c t σσ=,上、下对称,抗弯更好,抗扭差。脆性材料:[][]c t σσ<, 采用T 字型或上下不对称的工字型截面。

等强度梁:截面沿杆长变化,恰使每个截面上的正应力都等于许用应力,这样的变截面梁称为等强度梁。

用叠加法求弯曲变形:当梁上有几个载荷共同作用时,可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形,然后进行叠加,即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。

简单超静定梁求解步骤:(1)判断静不定度;(2)建立基本系统(解除静不定结构的内部与外部多余约束后所得到的静定结构);(3)建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统);(4)求解静不定问题。

二向应力状态分析—解析法 (1)任意斜截面上的应力

ατασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

;ατασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

(2)极值应力 正应力:y x xy

tg σστα--=220, 2

2min max )2(2xy y x y

x τσσσσσσ+-±+=

⎭

⎬⎫ 切应力:xy

y x tg τσσα221-=

, 2

2min max )2(xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ (3)主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系

α与1α之间的关系为:4

,2

220101π

ααπ

αα+

=+

=,即:最大与最小剪应力所在的平面与主平面的

夹角为45°

扭转与弯曲的组合(1)外力向杆件截面形心简化(2)画内力图确定危险截面(3)确定危险点并建立强度条件

按第三强度理论,强度条件为:[]σσσ≤-31 或[]στσ≤+224, 对于圆轴,W W t 2=,其强度

条

件

为

:

]

[2

2σ≤+W

T M 。按

第

四

强

度

理

论

,强

度

条

件

为:

()()()[]

[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212

1

,经化简得出:[]στσ≤+223,对于圆轴,其强度条件为:

][75.02

2σ≤+W

T M 。

欧拉公式适用范围(1)大柔度压杆(欧拉公式):即当1λλ≥,其中P

E

σπλ21=时,22λπσE cr =(2)中等柔

度压杆(经验公式):即当12λλλ≤≤,其中b

a s

σλ-=2时,λσb a cr -=(3)小柔度压杆(强度计算公式):即当2λλ<时,s cr A

F

σσ≤=

。 压杆的稳定校核(1)压杆的许用压力:[]st

cr

n P P =,[]P 为许可压力,st n 为工作安全系数。(2)压杆的稳定条件:[]P P ≤

提高压杆稳定性的措施:选择合理的截面形状,改变压杆的约束条件,合理选择材料

1. 外力偶矩计算公式 (P 功率,n 转速)

2. 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系式

3. 轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式 (杆件横截面轴力F N,横截面面积A ,拉应力为正)