河南省六市2015年高三第一次联合调研检测——数学理
河南省安阳市2015届高三毕业班调研考试数学(理)试题 扫描版含答案
2015届高三毕业班调研考试数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.三、解答题（18）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天的监测数据，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，则311315C 58()1.C 91P A =-=……………………………………（6分） （Ⅱ）由题意可知ξ的可能值为0,1,2,3， 则031221510510510333151515C C C C C C 244520(0),(1),(2),C 91C 91C 91P P P ξξξ========= 30510315C C 2(3).C 91P ξ=== 所以ξ的分布列为2445()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()3115E ξ=⨯=).…………………（12分）（Ⅱ）取DE 的中点M ，连接,FM BM ，AG ∥BF ，CD ∥FM ，且AG CD G =，BFFM F =，∴平面ACD ∥平面BFM ，∴平面ACD 与平面BCE 所成的角等于平面BFM 与平面BCE 所成的角， 由（Ⅰ）知BF ⊥平面CDE ，∴BF FM ⊥，BF EF ⊥，∴EFM ∠为平面BFM 与平面BCE 所成二面角的平面角，……………………………（9分） 易知,DE AD DE AG ⊥⊥,∴DE ⊥平面,ACD DE CD ∴⊥，∴CDE △为等腰直角三角形，∴cos cos EFM ECD ∠=∠=， ∴平面ACD 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为22.……………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）()1a x af x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞，…………………（ 1分）当0a …时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. 综上可得：当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.………………（4分）（Ⅱ）由题意得()min 0f x …，由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min 1ln f x f a a a a ==--， 则()1ln 0f a a a a =--…，令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-，因此()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1ln 0a a a --…成立的解只有1a =；……………………………………………………………………………（6分）当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，0x →，()f x →-∞，故不合题意.综上可知实数a 的取值集合为{}1.…………………………………………………………（8分） （Ⅲ）要证明原不等式，只要证()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令11x n =+，只要证()11ln 112x x x x -<<-<…，…………（9分）由（Ⅰ）可知，当1a =时，()1ln f x x x =--在(]1,2上单调递增，因此()()10f x f >=，即ln 1x x <-.………………………………………………………………………………（10分）令()1ln 1x x x ϕ=+-(12)x <…，则()221110x x x x xϕ-'=-=>，所以()x ϕ在(]1,2上单调递增，因此()()10x ϕϕ>=，即1ln 10x x+->，综上可知原命题成立.……………（12分）（23）解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.……………………………（2分）因为tan 2α=，α是锐角，所以cos α=，sin α=又直线l ()cos 2θα+=，cos sin 2αρθαρθ⋅⋅=，即直线l 的直角坐标方程220x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立2220,220,x x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得2,0x y =⎧⎨=⎩或2,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取()2,0A ，24(,)55B -，设点(,)M x y 是圆D 上的任一点，因为AB 为圆D 的直径，则0AM BM ⋅=， 而(2,)AM x y =-，24(,)55BM x y =-+，所以()242()()055x x y y --++=，即225512440x y x y +-++=，………………………（8分）化为标准方程为22624()()555x y -++=，所以圆D的参数方程为6,52.5x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（ϕ为参数）………………………………（10分）。
2015河南省模拟 河南省2015届高三高考适应性测试 数学(理)扫描版含答案
2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 40 （14）3- （15）( （16）①②③ 三、解答题(17) 解：（Ⅰ）由2142n n n a a a +=++,得21211244(2)n n n n a a a a ++++=++=+.因为0n a >12n a +=+.因为12122log (2)1log (2)2n n n n n b a b a +++===+，又121log (2)2b a =+=， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为12的等比数列.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，112()2n n b -=⋅，则112()2n n c n -=.012111112()4()2(1)()2()2222n n n S n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+,① 121111112()4()2(1)()2()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.② ①-②得：01211111112()2()2()2()2()222222n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ 12[1()]122()1212n n n -=-⋅-14(42)()2n n =-+. 所以218(2n n S n -=-+.……………………………………………………………………………12分(18) 解：（Ⅰ）设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C .事件B ，C 互斥，且A B C =+. 所以该射手通过测试的概率212333213()()()()(1).444316P A P B P C C =+=+⋅-⋅= ………………5分 （Ⅱ）由题意，0,1,2X =. ……………………………………………………………………………6分212313321(0)(1);(1)(1)(1);4164438P X P X C ==-===⋅-⋅-=13(2)().16P X P A === ……9分所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数的数学期望为11137()012.168164E X =⨯+⨯+⨯=……………12分 (19)解：（Ⅰ）在图1中，6,3,90,60.AC BC ABC ACB ==∠=︒∴∠=︒ 因为CD 为ACB ∠的平分线，所以3023.B C D A D C D∠=∠︒∴=…………………………2分 4,30, 2.CE DCE DE =∠=︒∴=则222CD DE EC +=，所以90CD E D E D ∠=︒⊥………………………………………………4分 在图2中，又因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥平面B . ……………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在图2中，作BH CD ⊥于H ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD ……………7分以点H 为坐标原点，HC 为y 轴，HB 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则3(0,0,0),(0,(0,0,),(3,2H D B A33(0,,),(3,22DB AD ∴==-…………………8分 设平面ABD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则19题图1 19题图2 xyz0,0,DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以3(,,)(0,)0,22(,,)(0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅-=⎩即30,230.y z x +=⎨⎪-+=⎩取1x =,得(11)=-n .……9分 又平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)=m , ………10分设二面角B AD E --的大小为θ，则cos ||||θ⋅==m n m n 所以二面角B A --的余弦值为…………………………………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，48a =，即2a =.……………………………………………………1分又设00(,)M x y ，则00003.4y y x a x a ⋅=-+- 把2200221x y a b+=代入得220222220(1)3,4x b b a x a a -=-=--所以23b =. ……………………………………4分 故椭圆方程为22143x y +=.……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(3)y k x =+，又设1122334(,),(,),(,),(,),A x yB x yC x yD x y 由22(3),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(34)2436120.k x k x k +++-= 222223(24)4(34)(3612)00.5k k k k ∆=-⨯+->⇒<< 由韦达定理得212224.34k x x k +=-+ …………………………………………………………………7分 因为2(1,0)F ，由22AF F C λ=得, 111133331(1,)(1,),1,x y x y x y x y λλλ---=-∴=+=-. 代入椭圆方程得22111(1)()143x y λλ-+-+=，与2211143x y +=联立消去1y 得1532x λ-=. 同理可得2532x μ-=，所以12103()3.22x x λμ-++==- 所以2122243342k x x k +=-=-+，解之得213(0,)45k =∈，所以1.2k =± 所求直线方程为1(3)2y x =±+，即23x y ++=或230.x y -+= …………………………12分（21） 解：（Ⅰ）因为2(),ln x f x x =其定义域为(0,1)(1,).+∞………………………………………1分2(2ln 1)(),(ln )x x f x x -'=由()0f x '>得()f x 的单调递增区间为)+∞， ……………………3分由()0f x '<得()f x 的单调递减区间为 ……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x >时，()f x的最小值为2f e ==； ……………………7分 令22()(3),(1,)x g x x x e x =-+∈+∞，则222111()(3)(2)(3)222x x g x x x e x x e '=--+=--+， 由()0g x '>得函数()g x 在区间(1,2)上单调递增；由()0g x '<得函数()g x 在区间(2,)+∞上单调递减.所以22()xg x =-≤ …………………………………………………………………11分所以当1x >时，222()()(3)ln x x f x g x x x e x =>=-+，整理即得2(3)ln 0.xx x e x +-> …………12分（22） 证明：（Ⅰ）连接CF ,OF ,因为AC 为直径，则CF AB ⊥，因为,O D 分别为,AC BC 的中点，所以OD ∥AB ，所以CF OD ⊥. 因为OF OC =,则EOF EOC ∠=∠,且OD OD =，则OCD OFD ∆≅∆，所以90OCD OFD ∠=∠=，所以,,,O C D F 四点共圆. ………………………5分（Ⅱ）设圆的半径为r ，因为OF FD ⊥,所以FD 是圆的切线.所以2(2)DF DE DE r =⋅+()DE DO r =⋅+ 1122DE DO DE r DE AB DE AC =⋅+⋅=⋅+⋅ 故22DF DE AB DE AC =⋅+⋅………………………10分（23）解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，消去参数t 得tan (1)y x α=+.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，展开得2cos 2sin ρθθ=+，化为直角坐标方程得22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=.……………………………………………………5分（Ⅱ）因为圆C 的直角坐标方程22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，所以圆心到直线tan (1)y x α=+的距离2d ===， 化简得27t a n 8t a n 10αα-+=，解之得t a n α=或1tan .7α= ………………………………10分 （24）解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++1144(5)411b a a b ++=++++19(5.44+=≥ 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，∴15,.33a b == ………………………………5分（Ⅱ）由均值不等式得22222222222,2,2a b a a b a b b b a a b ab +++≥≥≥. 三式相加得2222222222222(1),a b a b a b ab ab ab a b ++++++≥= 所以2(a b ++≥……………………………………………………………10分。
2015年河南省六市联考高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）一．选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞1}2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．23．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．254．（5分）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A．3B．4C．6D．86．（5分）函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x＝1D．x＝27．（5分）已知正数x，y满足，则z＝4﹣x•（）y的最小值为（）A．1B．C．D．8．（5分）若α∈（，π），3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题：13．（5分）已知a＝（sin t+cos t）dt，则的展开式中的常数项为．14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．15．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：，则a 的值等于．16．（5分）已知f（x）＝，g（x）＝（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b），则k的最大值为．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2+a6＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（1）求证：CE•EB＝EF•EP；（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求P A的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞1}【解答】解：集合A＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|log2x＞0＝log21}＝{x|x＞1}，A∩B＝{x|x＞1}，故选：C．2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．2【解答】解：由题意，＝＝∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b＝，故选：C．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1＝0，公差d≠0，又∵a k＝（k﹣1）d＝a1+a2+a3+…+a7＝7a4＝21d故k＝22故选：A．4．（5分）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：执行程序框图，可得k＝1，s＝1满足条件s＜100，s＝4，k＝2；满足条件s＜100，s＝22，k＝3；满足条件s＜100，s＝103，k＝4；不满足条件s＜100，退出循环，x＝8，输出x的值为8．故选：D．6．（5分）函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x＝1D．x＝2【解答】解：函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ＝，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，所以T＝4，ω＝，所以函数的表达式为：y＝﹣sin，显然x＝1是它的一条对称轴方程．故选：C．7．（5分）已知正数x，y满足，则z＝4﹣x•（）y的最小值为（）A．1B．C．D．【解答】解：＝2﹣2x•2﹣y＝2﹣2x﹣y，设m＝﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域如图：由m＝﹣2x﹣y得y＝﹣2x﹣m，平移直线y＝﹣2x﹣m，由平移可知当直线y＝﹣2x﹣m，经过点B时，直线y＝﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．由，解得，即B（1，2），此时m＝﹣2﹣2＝﹣4，∴的最小值为，故选：C．8．（5分）若α∈（，π），3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：3cos2α＝sin（﹣α），可得3cos2α＝（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα＝，两边平方可得1+sin2α＝．∴sin2α＝．故选：D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；∴该四棱锥的体积为V四棱锥＝××（2+4）×2×2＝4．故选：D．10．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为（）A．B．C．D．＝，【解答】解：∵在锐角△ABC中，sin A＝，S△ABC∴bc sin A＝bc＝，∴bc＝3，①又a＝2，A是锐角，∴cos A＝＝，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即（b+c）2＝a2+2bc（1+cos A）＝4+6（1+）＝12，∴b+c＝2②由①②得：，解得b＝c＝．故选：A．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ＝1，λ﹣μ＝，解得λ＝，μ＝，又由λμ＝得＝，解得＝，∴e＝＝故选：A．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，则点B（﹣x，﹣y）也在f（x）的图象上；故；故x2+2x+＝0，令g（x）＝x2+2x+＝x2+2x+（1﹣x）e x，g′（x）＝2x+2﹣xe x，故可知g（x）在（﹣∞，0）上先减后增，且g（﹣2）＝＞0，g（﹣1）＝﹣1＜0，g（0）＝1；且g（x）在（﹣∞，0）上连续，故x2+2x+＝0在（﹣∞，0）上有两个解，故f（x）的“姊妹点对”有2个；故选：C．二．填空题：13．（5分）已知a＝（sin t+cos t）dt，则的展开式中的常数项为﹣．【解答】解：∵a＝∫π0（sin t+cos t）dt＝2∴＝∵的二项展开式的通项为＝令6﹣2r＝0解得r＝3∴展开式中的常数项为故答案为14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，∴底面外接圆的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的高为＝，∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×＝．故答案为：．15．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：，则a 的值等于4．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∴|KM|：|MN|＝1：，则|KN|：|KM|＝2：1，k FN＝＝﹣，k FN＝﹣＝﹣2∴＝2，求得a＝4，故答案为：4．16．（5分）已知f（x）＝，g（x）＝（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b），则k的最大值为3．【解答】解：当k＝1时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝1，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确；当k＝2时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝2，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确；当k＝3时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝3时，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确，k＝4时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝4，不正确，故答案为：3．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2+a6＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．由a2+a6＝14，可得a4＝7．由a3a5＝45，得（7﹣d）（7+d）＝45，可得d＝2．∴a1＝7﹣3d＝1．可得a n＝2n﹣1．（Ⅱ）设c n＝，则c1+c2+…+c n＝a n+1，即c1+c2+…+c n＝2n，可得c1＝2，且c1+c2+…+c n+c n+1＝2（n+1）．∴c n+1＝2，可知c n＝2（n∈N*）．∴b n＝2n+1，∴数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．∴前n项和S n＝＝2n+2﹣4．18．（12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）＝＝（2）ξ可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝甲两场只胜一场：P（ξ＝3）＝×（1﹣）+×（1﹣）＝甲两场皆胜：P（ξ＝6）＝＝∴ξ的分布列为Eξ＝0×+3×+6×＝19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，∴AM＝BM＝，∴BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量，＝（，，），设平面AME的一个法向量为，取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝，所以＝（0，1，），因为求得，所以E为BD的中点．20．（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1，a＞b＞0；∵e＝＝①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6②，a2﹣b2＝c2③；解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，∴△＝（24m）2﹣4×36（3m2+4）＝144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；直线RQ1的斜率为k＝＝，且Q1（x1，y1），∴直线RQ1的方程为y+y1＝（x﹣x1）；令y＝0，得x＝＝＝，将①②代人上式得x＝1；…9分又S＝|ST|•|y1﹣y2|＝△TRQ＝18×＝18×＝18×≤，当3＝，即m2＝时取得“＝”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．【解答】解：（1）x∈（0，+∞）．＝＝．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）＝a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）＝﹣2，h（3）＝＝，所以存在零点h（a0）＝0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a＝3．又当a＝3时，f（3）＝3（2﹣ln3）＞0，f（1）＝0，∴a＝3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）＝c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2＝0，化为a＝．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）＝lnt﹣，则＝．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（1）求证：CE•EB＝EF•EP；（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求P A的长．【解答】（I）证明：∵DE2＝EF•EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF＝∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P＝∠C，∴∠EDF＝∠P，∠DEF＝∠PEA∴△EDF∽△EP A．∴，∴EA•ED＝EF•EP．又∵EA•ED＝CE•EB，∴CE•EB＝EF•EP；（II）∵DE2＝EF•EC，DE＝3，EF＝2．∴32＝2EC，∴．∵CE：BE＝3：2，∴BE＝3．由（I）可知：CE•EB＝EF•EP，∴，解得EP＝，∴BP＝EP﹣EB＝．∵P A是⊙O的切线，∴P A2＝PB•PC，∴，解得．选修4-4：坐标系与参数方程23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y ＝x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ＝，（ρ∈R）；…（5分）（2）把θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0，得ρ2﹣ρ﹣3＝0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2＝，ρ1ρ2＝﹣3，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝．…（10分）选修4-5：不等式选讲24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。
河南省安阳市2015届高三毕业班调研考试数学(理)试题(扫描版)
2015届高三毕业班调研考试数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.三、解答题（18）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天的监测数据，至少有一天空气质量达到一级”为事件A，则311315C58()1.C91P A=-=……………………………………（6分）（Ⅱ）由题意可知ξ的可能值为0,1,2,3，则031221510510510333151515C C C C C C244520 (0),(1),(2),C91C91C91 P P Pξξξ=========30510315C C 2(3).C 91P ξ=== 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P2491 4591 2091 2912445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或5()3115E ξ=⨯=).…………………（12分）（Ⅱ）取DE 的中点M ，连接,FM BM ，AG ∥BF ，CD ∥FM ，且AG CD G =，BF FM F =，∴平面ACD ∥平面BFM ，∴平面ACD 与平面BCE 所成的角等于平面BFM 与平面BCE 所成的角，由（Ⅰ）知BF ⊥平面CDE ，∴BF FM ⊥，BF EF ⊥，∴EFM ∠为平面BFM 与平面BCE 所成二面角的平面角，……………………………（9分）易知,DE AD DE AG ⊥⊥,∴DE ⊥平面,ACD DE CD ∴⊥，∴CDE △为等腰直角三角形，∴2cos cos 2EFM ECD ∠=∠=， ∴平面ACD 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为22.……………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）()1a x af x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞，…………………（1分）当0a …时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减()0,a ，单调区间为递增区间为(),a +∞.综上可得：当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.………………（4分）（Ⅱ）由题意得()min 0f x …，由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min 1ln f x f a a a a ==--， 则()1ln 0f a a a a =--…，令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-，因此()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1l n 0a a a --…成立的解只有1a =；……………………………………………………………………………（6分）当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，0x →，()f x →-∞，故不合题意. 综上可知实数a 的取值集合为{}1.…………………………………………………………（8分）（Ⅲ）要证明原不等式，只要证()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令11x n =+，只要证()11ln 112x x x x -<<-<…，…………（9分）由（Ⅰ）可知，当1a =时，()1ln f x x x =--在(]1,2上单调递增，因此()()10f x f >=，即ln 1x x <-.………………………………………………………………………………（10分）令()1ln 1x x x ϕ=+-(12)x <…，则()221110x x x x xϕ-'=-=>，所以()x ϕ在(]1,2上单x()0,aa(),a +∞()f x ' -+()f x↘极小值↗调递增，因此()()10x ϕϕ>=，即1ln 10x x+->，综上可知原命题成立.……………（12分）（23）解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.……………………………（2分）因为tan 2α=，α是锐角，所以211cos 51tan αα==+，2sin 5α=，又直线l 的极坐标方程()5cos 2ρθα+=， 所以5cos cos 5sin sin 2αρθαρθ⋅-⋅=，即直线l 的直角坐标方程220x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立2220,220,x x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得2,0x y =⎧⎨=⎩或2,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取()2,0A ，24(,)55B -，设点(,)M x y 是圆D 上的任一点，因为AB 为圆D 的直径，则0AM BM ⋅=，而(2,)AM x y =-，24(,)55BM x y =-+，所以()242()()055x x y y --++=，即225512440x y x y +-++=，………………………（8分）化为标准方程为22624()()555x y -++=，所以圆D 的参数方程为625cos ,55225sin .55x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（ϕ为参数）………………………………（10分）。
河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试+数学(理)试题(解析版)
2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解析】：解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x ＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则=（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由图求出z1，z2，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由图可知，z1=﹣1+i，z2=2+2i，则．故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f（x）+g（x）=x3﹣x2+1，则f（1）=（）A．﹣l B．l C．﹣2 D．2【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据题意，计算出f（1）+g（1）、﹣f（1）+g（1）的值即可．【解析】：解：由题可知：f（1）+g（1）=1﹣1+1=1，f（﹣1）+g（﹣1）=﹣1﹣1+1=﹣1，由∵f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴﹣f（1）+g（1）=﹣1，所以f（1）=1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．4．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解析】：解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵双曲线离心率为2，∴c=2a，可得b== a因此，双曲线的渐近线方程为y=±x故选：D．【点评】：本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．5．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①在4个人中任取2人，作为一个整体，②将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，分别计算这2步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解析】：解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42=6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6种情况，则共有6×6=36种不同的报名方法，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理的运用，关键是认真分析题意，确定计算的步骤．6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解析】：解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．7．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=0+++…+的值，用裂项法即可求值．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得第一次循环，S=0+，n=1＜2015；第二次循环，S=0++，n=2＜2015；第二次循环，S=0++，n=3＜2015；…当n=2015时，S=0+++…+=1﹣…+﹣=1﹣=，此时满足2015≥2015，退出循环，输出S的值为：．故选：C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．8．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．【解析】：解：===又由于===由==1﹣故原式=故选：B【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．9．（5分）已知x，y满足区域D：，给出下面4个命题：p1：∀x，y∈D，2x﹣y≥2p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2p3：∂x，y∈D，p4：∀x，y∈D，，其中真命题是（）A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y，由几何意义可知﹣6≤z≤3；再由表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，从而确定答案即可．【解析】：解：由题意作出其平面区域，如图所示的阴影部分△ABC，令z=2x﹣y，则由图象可知，直线2x﹣y﹣z=0经过点C时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值；由于C（2，1），A（﹣1，4）；故﹣6≤z≤3；故p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2正确；而表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，故结合图象可知，≤≤5，故p4：∀x，y∈D，正确；故选D．【点评】：本题考查了全称命题与特称命题的真假性的判断及简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为（3，y0）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为（3，y0），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．【解析】：解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，因为A点坐标为（3，y0），所以AE=3+，EH=p，所以2p=3+，所以p=2，所以y2=4x，此时A（3，2），k AF=，所以直线AF的方程为（x﹣1），代入抛物线方程可得3（x﹣1）2=4x，解得x=3或，所以y=2或﹣，所以△AOB的面积为=，故选：A．【点评】：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线方程、直线AF的方程是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】：利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解析】：解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．12．（5分）已知定义域为R的连续函数f（x），若f（x）满足对于∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，则称函数f（x）为“反m倍函数”，给出下列“反m倍函数”的结论：①若f（x）=1是一个“反m倍函数”，则m=﹣1；②f（x）=sinπx是一个“反1倍函数”；③f（x）=x2是一个“反m倍函数”；④若f（x）是一个“反2倍函数”，则f（x）至少有一个零点，其中正确结论的个数是（）A．l B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据“反m倍函数”的定义分别进行判断即可．【解析】：解：根据“反m倍函数”的定义，∵∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，∴f（m+x）+mf（x）=0成立，①若f（x）=1，则f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=﹣1，故①正确，②若f（x）=sinπx，则f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=﹣sinπx+sinπx=0，故②正确，③若f（x）=x2，则（x+m）2+mx2=0，即（m+1）x2+2mx+m2=0，则，此时方程无解，故不存在m，故③错误．④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一个为0即正确，若都不为0，则f （2），f（0）互为相反数，则f（2）f（0）＜0，∴在区间（0，2）内一定有零点，故④正确，故正确的是①②④，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据抽象函数的表达式结合“反m倍函数”的定义是解决本题的关键．二、填空题：（本太题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知的展开式中含x2项的系数为12，则展开式的常数项为160．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数，再根据x2项的系数为12，求得a的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=•a r•x3﹣r，令3﹣r=2，可得r=1，故展开式中含x2项的系数为6a=12，可得a=2．再令3﹣r=0，可得r=3，故展开式的常数项为•23=160，故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为1+＜．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．【解析】：解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．【点评】：本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．15．（5分）如图，已知Rt△ABC中，点O为斜边BC的中点，且AB=8，AC=6，点E为边AC上一点，且，若，则λ=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据已知条件及图形得出：，，并且，所以由即可得到=﹣20，进行数量积的运算即可求得λ．【解析】：解：，；∵∠BAC=90°，∴；又；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，两非零向量垂直的充要条件．16．（5分）巳知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax只有一个零点，，S△ABC=sinA•sinB，则边c=1．【考点】：余弦定理；正弦定理．【分析】：由关于x的方程的判别式等于零求得b=a；根据，求得cosC=﹣，C=；由正弦定理求得a=csinA，b=csinB，代入S△ABC=sinA•sinB，求得边c的值．【解析】：解：△ABC中，关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax，即2x2﹣2bx﹣2ax+2a2+b2=0，根据此方程有唯一解，可得△=﹣8（2a2+b2）=0，∴b=a．又，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，故2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即2acosC+a=0，∴cosC=﹣，C=．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=5a2，∴c=a．∵==，∴a=csinA，b=csinB，∴S△ABC=sinA•sinB=•sinC=csinA•csinB，∴c2=1，∴c=1．【点评】：本题主要考查二次函数的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：（共4个小题，每1小题12分，共48分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）由直线与圆的位置关系可得S n=n2，所以a1=S1=1，所以a n=2n﹣1；由b6=b3b4，得b1=1，又b3和b5的等差中项是2a3，得q=2，从而；（2）根据T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，与2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，可得﹣T n，即得T n=3+（2n﹣3）2n．【解析】：解：（1）由于x+y=2n总是将圆平均分为两部分，所以，即S n=n2，所以a1=S1=1，当n≥2时=2n﹣1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n﹣1；等比数列{b n}中由于b6=b3b4，即，故b1=1，设公比q＞0，由b3和b5的等差中项是2a3，及2a3=2×（2×3﹣1）=10，可知b3+b5=20，所以q2+q4=20，解得q=2，从而；（2）若c n=a n b n，则T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，所以T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，两式相减，得﹣（2n﹣1）2n==﹣3+2×2n﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n，所以T n=3+（2n﹣3）2n．【点评】：本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．18．（12分）某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （115，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如右图所示的频率分布直方图（1）试估计该校数学的平均成绩（同一维中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若，则P（u﹣ς＜X＜u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X＜u+2ς）=0.9544，P（u﹣3ς＜X＜u+3ς）=0.9974．【考点】：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在130分以上以及[120，140]的学生数，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解析】：解：（1）根据频率分布直方图，得；成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（2）因为=0.0013，根据正态分布：P（115﹣3×5＜X＜115+3×5）=0.9974，所以P（X≥130）=，又0.0013×10000=13，所以前13名的成绩全部在130分以上；根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．（12分）如图所示的多面体ABC﹣EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=，且AC=EH，AE=EG（1）求证，BF⊥EG；（2）求二面角F﹣BG﹣H的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）取EG的中点O，连结OF、OB，通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则所求值即为平面GBF的一个法向量与平面GBH的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解析】：（1）证明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=EH，∴AB=EG，取EG的中点O，连结OF、OB，∴OB∥AE，又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，又∵EG⊂平面EFGH，∴OB⊥EG，又∵EF=FG=，∴OF⊥EG，∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，∵BF⊂平面OBF，∴BF⊥EG；（2）解：由（1）知OF、OG、OB两两垂直，如图，以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵GH=1，EH=，∠EGH=90°，∴EG==2，∵EF=FG=，∴OF=1，∵AE=EG，∴OB=2，∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，2），=（﹣1，0，0），设平面GBF的一个法向量为=（x1，y1，z1），由，得，令z1=1，得=（2，2，1），设平面GBH的一个法向量为=（x2，y2，z2），同理可得=（0，2，1），∴===，由图可知，二面角F﹣BG﹣H为钝角，∴其余弦值为．【点评】：本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为曲A1，A2，抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得c2=1，进而分析可得A的坐标，代入椭圆的方程可得有+=1，解可得a2=4，进而可得b2=3，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意，分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；每种情况下求出与的值，再求其乘积均可得•=﹣1，由向量数量积的性质分析可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，而抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则C2=1，由题意可得AF2=x0+=x0+1=，故x0=；所以y02=4×=，则y0=，则A（，），有+=1，解可得a2=4，又由c2=1，则b2=3，故椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，由于，可得=1﹣=，所以y=±，所以P（，）Q（，﹣），因为A 2（2，0），所以=﹣1，=1，所以•=﹣1，所以所以A2P与A2Q垂直，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；联立可得，⇒49（3+4k2）x2﹣112k2x+16k2﹣12×49=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），A2（2，0），则x1+x2=，x1•x2=，=，═•==﹣1，所以A2P与A2Q垂直，综合可得所以与夹角的大小为90°．【点评】：本题考查直线与椭圆方程的综合运用，涉及抛物线的简单性质，解题注意圆锥曲线的方程的标准形式，本题求出抛物线的焦点是解题的突破点之一．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，g（x）=﹣x2+（a+1）x+1．（1）若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数h（x）在其定义城内存在实数x0，使得h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k≠0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1为保a阶函数，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，再由x﹣lnx＞0得恒成立．构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x0＞0可得实数a的取值范围是．【解析】：解：（1）∵对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即alnx﹣x+1≥﹣x2+（a+1）x+1恒成立，a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤lne=1≤x，∵上式等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立．令F（x）=，∴a≤F（x）min（x∈[1，e]），由于，由于1≤x≤e，∴x﹣1＞0，x+2﹣2lnx=x+2（1﹣lnx）＞0，∴F′（x）＞0．∴函数F（x）=在区间[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=．∴a≤﹣1；（2）∵H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念，∴存在x0＞0，使得H（x0+a）=H（x0）+H（a），即a[ln（x0+a）﹣（x0+a）+1]=a（lnx0﹣x0+1）+a（lna﹣a+1）=a（lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1），∴ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即，∴．∴，∵x0＞0，∴a．∴实数a的取值范围是．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化与化归、分离参数等数学思想方法，着重考查恒成立问题的解法，难度较大．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解析】：证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．【点评】：本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．五、选做题：【选修4－4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（I）由直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，可得直线l的参数方程为，（t为参数）；把dr 曲线C的极坐标方程即可得到普通方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．【解析】：解：（I）∵直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，∴直线l的参数方程为，（t为参数）；曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化为x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，∴t1t2=9．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=9．【点评】：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选做题：【选修4－5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．。
许昌平顶山新乡2015届高三第一次调研考试理科数学试题(含答案)(高清版)
设平面 SCD 与平面 SAB 所成的锐二面角为 ，则 cos | cos n1 , n2 |
1 ， 3
1 .……………………12 分 3 x2 y2 20. 解：(Ⅰ)依题意，设椭圆 C 的方程为 2 2 1 ． a b
故所成锐二面角的余弦值为
F1 F 2 、 PF2 构成等差数列，∴ 2a PF1 PF ∵ PF1 、
2 2 2
……………………5 分
2
由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知， 64k m 4(4k 3)(4m 12) 0 ， 化简得： m 2 4 k 2 3 ． ……………………6 分
设 d1 F1M
k m k 1
2
， d 2 F2 M
k m k 2 1
'
x 2 (m 2) x 1 21.解:(Ⅰ) f ( x) ，……………………1 分 x 2 则由题意则方程 x ( m 2) x 1 0 有两个正根，
(m 2) 2 4 0 故 ，……………………3 分 m 2 0 解得 m 0 .故实数 m 的取值范围是 m 0 .………………4 分 b 1 (Ⅱ) f (b) f ( a ) ln (b 2 a 2 ) ( m 2)(b a ) ，………………6 分 a 2 b 1 b2 a 2 b 1 又 m 2 a b ， ab 1 f (b) f ( a ) ln (b 2 a 2 ) ln ( ) a 2 a 2 ab b 1 b a = ln ( ) ，………………8 分 a 2 a b b 1 1 设 t (t e) ，故，构造函数 g (t ) ln t (t )(t e) ………10 分 a 2 t 2 1 1 1 (t 1) g ' (t ) (1 2 ) 0 ，所以 g (t ) 在 [e, ) 上是减函数， t 2 t 2t 2 e 1 e 1 ， f (b ) f ( a ) 的最大值为 1 ………………12 分 g (t ) g (e) 1 2 2e 2 2e
河南省信阳市2015届高中毕业班第一次调研检测数学(理)试题
信阳市2014—2015学年度高中毕业班第一次调研检测数 学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．注意事项：1．答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卷上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡土对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上指定区城书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将答题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x ｜y ＝ln （1－x ）}，集合N ＝{y ｜y ＝2x }，则M ∩N 等于A ．[0，1）B ．[0，1]C ．（一∞，1）D ．（一∞，1] 2．函数y ＝cos （2x ＋2π）的图象的一条对称轴方程是 A ．x ＝－2π B ．x ＝8π C ．x ＝－4π D ．x ＝π 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝3x ＋1，x ∈R C ．y ＝2x xe e －－，x ∈R D ．y ＝2log x ，x ∈R 且x ≠0 4．由函数y ＝x e ，y ＝e 及直线x ＝0所围成的图形的面积为A ．1B ．12e C ．e D ．2 5．“tanx ＝33”是“x ＝2k π＋6π（k ∈Z ）”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．y ＝2x 2cos B ．y ＝2x 2sin C ．y ＝1＋sin （2x ＋4π） D ．y ＝cos2x 7．幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（4，12），则f （14）的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．函数y ＝（x x e e －－）·sinx 的图象大致是9．函数f （x ）＝Asin （ωx ＋ϕ）（A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的部分图象如图所示，若 x 1，x 2∈（－6π，3π），且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠ x 2），则f （x 1＋x 2）＝ A ．1 B ．12 C ．22 D ．3210．已知函数f （x ）＝x －x －1，g （x ）＝x ＋2x ，h （x ）＝x ＋lnx 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 1＜x 3C ．x 3＜x 1＜x 2D ．x 2＜x 3＜x 111．已知f （x ）＝ln （2x ＋1），g （x ）＝1()2x－m ，若1x ∀∈[0，3]，2x ∃∈[1，2]，使得 f （x 1）≥g （x 2），则实数m 的取值范围是A ．[14，＋∞] B ．（－∞，14） C ．[12，＋∞] D ．（－∞，－12） 12．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}＝m ．在此基础上给出下列关于函数f （x ）＝x －{x}的四个命题：①y ＝f （x ）的定义域是R ，值域是（－12，12]； ②点（k ，0）是y ＝f （x ）的图象的对称中心，其中k ∈Z ；③函数y ＝f （x ）的周期为1；④函数y ＝f （x ）在（－12，32]上是增函数． 上述命题中真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设函数f （x ）＝812,(,1]1,x x x x ⎧⎨,⎩－∈－∞log ∈(＋∞)，则满足f （x ）＝14的x 值为_______________． 14．设sin （4π＋θ）＝13则sin2θ等于______________． 15．已知R 上可导函数f （x ）的图象如图所示， 则不等式（223x x －－）()f x '＞0的解集为__________．16．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是___________分钟．三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年河南省漯河高中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省漯河高中高考数学一模试卷（理科）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）函数f（x）＝1n（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2] 2．（5分）已知集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若，则A∪B为（）A．B．C．D．3．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•x m+1为偶函数，则m＝（）A．1B．2C．1或2D．34．（5分）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．y＝﹣log2x C．y＝3x D．y＝x3+x 5．（5分）b＞0是函数f（x）＝x2+bx+c在[0，+∞）单调的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）7．（5分）已知a＞1，函数y＝a|x2﹣x﹣2|的图象与函数y＝|log a x|的图象的交点个数是（）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数G（x）＝（1+）•g（x）（x≠0）为偶函数，则函数g（x）的奇偶性为（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是（）A．f（x﹣2）＝f（x）B．f（x﹣2）＝f（x+6）C．f（x﹣2）•f（x+2）＝1D．f（﹣x）+f（x+1）＝010．（5分）已知M＞0，N＞0，log4M＝log6N＝log9（M+N），则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[a，b]上有（）A．最小值f（a）B．最大值f（b）C．最小值f（b）D．最大值f（）12．（5分）定义域为R的函数f（x），满足f（0）＝1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x的解集为（）A．{x∈R|x＞1}B．{x∈R|0＜x＜1}C．{x∈R|x＜0}D．{x∈R|x＞0}二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．（5分）已知命题p：∃x0∈R，e＜0，则￢p是．14．（5分）若点（a，27）在函数y＝3x的图象上，则tan的值为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是．16．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}，B＝{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B＝∅，A∪B＝R，则的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，.17．（10分）设m＝﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2；n＝log3+lg25+lg4+．求m+n的值．18．（12分）设A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（Ⅰ）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）若实数x的取值满足条件，求函数的最大值与最小值．21．（12分）已知函数f（x）是单调递增的奇函数，它的定义域为[﹣1，1]，设函数g（x）＝，试求g（x）的定义域和值域．22．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．2015年河南省漯河高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）函数f（x）＝1n（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]【解答】解：要使函数有意义，则，即，故1＜x＜2，即函数的定义域为（1，2），故选：A．2．（5分）已知集合A＝{1，2a}，B＝{a，b}，若，则A∪B为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，，∴A＝{1，}，B＝{﹣1，}，∴A∪B＝{1，﹣1，}故选：D．3．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）•x m+1为偶函数，则m＝（）A．1B．2C．1或2D．3【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，幂函数为f（x）＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数为f（x）＝x3为奇函数，不满足条件．故选：A．4．（5分）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A．B．y＝﹣log2x C．y＝3x D．y＝x3+x【解答】解：A：y＝﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误B：y＝﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误C：y＝3x不是奇函数，故C错误D：y＝x3+x，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确故选：D．5．（5分）b＞0是函数f（x）＝x2+bx+c在[0，+∞）单调的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c在[0，+∞）上为单调函数∴x＝﹣≤0，即b≥0．而b＞0⇒函数f（x）＝x2+bx+c在[0，+∞）单调，故b＞0是函数f（x）＝x2+bx+c在[0，+∞）单调的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解答】解：当a＜0时，﹣a＞0若af（﹣a）＞0，即f（﹣a）＝log2（﹣a）＜0，解得0＜﹣a＜1∴﹣1＜a＜0当a＞0时，﹣a＜0若af（﹣a）＞0，即f（﹣a）＝＞0，解得0＜a＜1综上实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）故选：A．7．（5分）已知a＞1，函数y＝a|x2﹣x﹣2|的图象与函数y＝|log a x|的图象的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：令a＝2，则y＝2|x2﹣x﹣2|＝，y＝|log2x|＝分别作出相对应的图象，由图象可以观察出交点有3个，故选：D．8．（5分）函数G（x）＝（1+）•g（x）（x≠0）为偶函数，则函数g（x）的奇偶性为（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵G（﹣x）＝（1+）g（﹣x）＝g（﹣x）＝G（x）＝（1+）•g（x）＝g（x），g（﹣x）＝﹣g（x）．故选：A．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是（）A．f（x﹣2）＝f（x）B．f（x﹣2）＝f（x+6）C．f（x﹣2）•f（x+2）＝1D．f（﹣x）+f（x+1）＝0【解答】解：令F（x）＝f（2﹣x），∵f（2﹣x）为奇函数，∴F（﹣x）＝﹣F（x），即f（2+x）＝﹣f（2﹣x），∴即f（x）的图象关于点（2，0）对称，令G（x）＝f（x+3），G（x）图象关于直线x＝1对称，即G（1+x）＝G（1﹣x），f[（1+x）+3]＝f[（1﹣x）+3]，f（4+x）＝f（4﹣x），即f（x）的图象关于直线x＝4对称，又f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以f（x）的图象关于直线x＝0对称，f（x）＝f[4+（x﹣4）]＝f[4﹣（x﹣4）]＝f（8﹣x）用x+6换表达式中的x，可得f（2﹣x）＝f（x+6），所以f（x﹣2）＝f（x+6）．故选：B．10．（5分）已知M＞0，N＞0，log4M＝log6N＝log9（M+N），则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵M＞0，N＞0，设log4M＝log6N＝log9（M+N）＝k，∴M＝4k，N＝6k，M+N＝9k，∴4k+6k＝9k．∴[（）k]2+（）k﹣1＝0，解得＝，或＝．∴＝＝（）k＝＝．故选：B．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[a，b]上有（）A．最小值f（a）B．最大值f（b）C．最小值f（b）D．最大值f（）【解答】解：令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），所以f（0）＝0；再令y＝﹣x，代入原式得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），故该函数为奇函数且图象过原点；由f（x+y）＝f（x）+f（y）得f（x+y）﹣f（x）＝f（y），令x1＜x2，再令x1＝x+y，x2＝x，则y＝x1﹣x2＜0，结合x＜0时，f（x）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f（x）在[a，b]上递减，故f（b）是最小值，f（a）是最大值．故选：C．12．（5分）定义域为R的函数f（x），满足f（0）＝1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x的解集为（）A．{x∈R|x＞1}B．{x∈R|0＜x＜1}C．{x∈R|x＜0}D．{x∈R|x＞0}【解答】解：构造函数∵f'（x）＜f（x）+1，∴g'（x）＜0，故g（x）在R上为减函数，而g（0）＝2不等式f（x）+1＜2e x化为g（x）＜g（0），解得x＞0，故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．（5分）已知命题p：∃x0∈R，e＜0，则￢p是∀x∈R，e x≥0．【解答】解：由特称命题的否定可知：￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0．14．（5分）若点（a，27）在函数y＝3x的图象上，则tan的值为．【解答】解：∵点（a，27）在函数y＝3x的图象上，∴3a＝27＝33，即a＝3．则tan＝tan，故答案为：15．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．【解答】解：由题意可得﹣log3a＝log3b＝c2﹣c+8＝d2﹣d+8，可得log3（ab）＝0，故ab＝1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21．令f（x）＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．16．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}，B＝{x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B＝∅，A∪B＝R，则的最小值为．【解答】解：A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞5}，又因为A∩B＝∅，A∪B＝R，结合一元二次不等式的解法可知x＝﹣1，5是方程ax2+bx+c＝0的根，且a＞0，由韦达定理得，所以b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入＝25a+，当且仅当即a＝时取等号．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分，.17．（10分）设m＝﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2；n＝log3+lg25+lg4+．求m+n的值．【解答】解：∵m＝﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2＝+＝，n＝log3+lg25+lg4+＝＝，∴m+n＝＝．18．（12分）设A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：A＝{x|x2+4x＝0}＝{0，﹣4}，∵A∩B＝B知，B⊆A，∴B＝{0}或B＝{﹣4}或B＝{0，﹣4}或B＝∅，若B＝{0}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两个相等的根0，则，∴a＝﹣1，若B＝{﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两个相等的根﹣4，则，∴a无解，若B＝{0，﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两个不相等的根0和﹣4，则，∴a＝1，当B＝∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0无实数根，△＝[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＜0，得a＜﹣1，综上：a＝1，a≤﹣1．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（Ⅰ）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤220．（12分）若实数x的取值满足条件，求函数的最大值与最小值．【解答】解：令，对称轴为，分析容易可得当x∈[0，]时，有＞0，则当时，；当时，U max＝1所以，又y＝log2U在上递增所以当U＝1即时，y min＝0当即时，21．（12分）已知函数f（x）是单调递增的奇函数，它的定义域为[﹣1，1]，设函数g（x）＝，试求g（x）的定义域和值域．【解答】解：∵函数f（x）是单调递增的奇函数，它的定义域为[﹣1，1]，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0，∴函数f（x）在[﹣1，0）上，f（﹣1）≤f（x）＜0，在[0，1]上，0≤f（x）≤f （1），要使g（x）＝有意义，∴解得x＝﹣2所以函数g（x）＝的定义域为{﹣2}，∴g（x）＝＝＝0，故函数的值域为{0}22．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝＝．∴，则f′（1）＝1．又f（1）＝﹣1，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1＝1×（x﹣1）．整理得：x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）（x＞0），由f′（x）＞0，得0＜x＜e；由f′（x）＜0，得x＞e．∴函数f（x）的单调减区间为（e，+∞）；单调增区间为（0，e）．（Ⅲ）当2m≤e，即m时，函数f（x）在[m，2m]上为增函数，；当m≥e时，函数f（x）在[m，2m]上为减函数，；当时，函数f（x）在[m，2m]上的最大值为．。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(理)试题(扫描版)
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学（理）试题2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA二、填空题 13.63414.-10 15.82 16.2,3,4. 三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222 =18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分 ∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABCb ACBc ∠=∠sin sin ， 得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中， 由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分 （2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分 ∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ, B C DAE8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ 5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为： ξ 10 30 50 p 8140 8130 8111 ∴811850811150813030814010=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，…………4分 故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分由MC PM 2=可得点)32,34,0(M ,所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM QB PQ , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分 N CQ M P B D A xy z设二面角大小为θ，.65657cos 2121=⋅=n n n n θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：|| 2.AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n += 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x n mx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分 02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2112x x AB S ACBD -=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m =22.122||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分 21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x x a x--⋅=令1(2)ln ()x x h x x--⋅=， …………………5分 则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x ---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x --'=--=，()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<<， ∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分 又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =- 333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-= 即32()()g e g e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7(2,)4π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分文章来源：河南教考网。
河南省八校2015届高三数学上学期第一次联考试卷理含解析
河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π3．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.94．（5分）设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对5．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣17．（5分）若表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．98．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A．0 B．6 C．9 D．1210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或212．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．14．（5分）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于．15．（5分）已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先把复数的分子分母都乘以分母的共轭复数，化为1﹣i，进而可判断出所对应的点位于的象限．解答：解：∵===1﹣i．∴复数对应的点是（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的除法运算及其几何意义，熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键．2．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于t的三角函数方程解之．解答：解：因为﹣cosxdx=﹣sinx=0，所以sin2t=0，因为t∈（0，π），所以2t=π，所以t=；故选：B．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题．3．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据ξ服从正态分布N（2，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=2，根据所给的ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，根据正态曲线的对称性知在（0，+∞）内取值的概率．解答：解：∵ξ服从正态分布N（2，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=2，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，∴根据正态曲线的性质知在（0，+∞）内取值的概率为0.4+0.5=0.9．故选：D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．4．（5分）设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得f′（x）=3x2﹣4x ﹣m，3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，求出m的范围，再根据充分必要条件可判断答案．解答：解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣m，即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，所以△=16+12m≤0，即m≥﹣，∵p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，故选：C点评：本题考查了充分必要条件的判断方法，结合导数判断求解，难度适中，有点综合性．5．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦化简原函数，然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得m的最小值．解答：解：设y=f（x）=cosx+sinx（x∈R），化简得f（x）=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin=2sin（x+m+），∵所得的图象关于原点对称，∴m+=kπ（k∈Z），则m的最小正值为．故选：D．点评：本题考查了三角函数的图象平移，考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的性质，是基础题．6．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．7．（5分）若表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+=0，0＞4，否；n=1，S=0+=1，1＞4，否；n=2，S=1+=2，2＞4，否；n=3，S=2+=3，3＞4，否；n=4，S=3+=5，4＞4，否；n=5，S=5+=7，5＞4，是；输出S=7．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果是什么．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4，由此求出过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的斜率，从而求得直线的一个方向向量．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4．故过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的斜率等于d==4，故过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量应和向量（1，4）平行，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，直线的斜率的求法，直线的方向向量，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A．0 B．6 C．9 D．12考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，．由sin=，可得=，CO，AO=OB=．分别取点P靠近点B，A的三等分点．可得P．利用向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，．∵sin=，∴==．∴CO=．∴AO=OB==．取点P靠近点B的三等分点．则P．∴•+•==2•=6．同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．∴•+•=6．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．解答：解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．11．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．解答：解：由于函数，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C．点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键．14．（5分）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于10．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：对已知等式求导数，对求导后的等式中的x赋值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．解答：解：对等式两边求导数得10（2x﹣3）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，故答案为10点评：本题考查复合函数的求导法则、考查赋值法求展开式的系数和常用的方法．15．（5分）已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：令t=sinx+cosx=sin（x+），则t∈，且sin2x=t2﹣1，利用导数法分析y=e t﹣（t2﹣1）在上单调性，进而可得答案．解答：解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则t∈，且sin2x=t2﹣1，则y=f（x）=e t﹣（t2﹣1），∵y′=e t﹣t＞0在t∈时恒成立，故y=e t﹣（t2﹣1）在上为增函数，故函数f（x）的最大值与最小值的差是y|﹣y|=（）﹣（）=，故答案为：点评：本题主要考查函数求最值，常要借助函数的单调性，因为本题构成比较复杂，所以采用换元法简化函数的解析式．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是①④．考点：命题的否定；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；规律型．分析：根据含量词的命题的否定形式判断出①对，根据二倍角正弦公式先化简函数，再利用三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错；写出否命题，利用特例即可判断③错；根据函数的奇偶性求出f（x）在x＜0时的解析式，判断出④对．解答：解：对于①，根据含量词的命题的否定是量词互换，结论否定，故①对对于②，，所以周期T=，故②错对于③，“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题为“函数f（x）在x=x0处没有极值，则f′（x0）≠0”，例如y=x3，x=0时，不是极值点，但是f′（0）=0，所以③错对于④，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣2﹣x，故④对故答案为①④点评：求含量词的命题的否定，应该将量词”任意“与”存在“互换，同时结论否定；函数的极值点要满足导数为0且左右两边的导数符号相反．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣，∴cosB=﹣cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ 0 2 4P数学期望Eξ=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，则．由，得a=4∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0由△＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．∴==．由此可得：四边形APBQ的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0∴…（10分）同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴…（12分）所以AB的斜率为定值．…（14分）点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g （x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．故f（x）在单调增加，在单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①令g（x）=f（x）+4x，则①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．从而故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）所以，所以BC=2．（10分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）应用代入法，将t=x+3代入y=t，即可得到直线l的普通方程；将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）由圆的参数方程设出点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根据点到直线的距离公式得到d的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到d 的范围．解答：解：（ I）直线l的参数方程为（t为参数），将t=x+3代入y=t，得直线l的普通方程为x﹣y=0；曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4；（ II）设点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，则d==，∴d的取值范围是：．点评：本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查圆上一点到直线的距离的最值，本题也可利用圆上一点到直线的距离的最大（最小）是圆心到直线的距离加半径（减半径）．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？考点：对数的运算性质；绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；选作题．分析：（1）转化成绝对值不等式，令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最大值小于m即可．解答：解：（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，可得其解集为{x|2＜x＜7}．（2）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，x≥7时，lgt=1，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，所谓零点分段法，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．。
河南省六市2015届高三第一次联考数学(理)试题
河南省六市2015届高三3月第一次联合调研检测数学（理）试题第Ⅰ卷一．选择题：1．已知集合},0log |{},1|{22>=>=x x B x x A 则=⋂B A ( C) A ．}1|{-<x x B ．}0|{>x x C ．}1|{>x x D ．}11|{>-<x x x 或 2．如果复数ibi212+-(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( C ) A ．6- B ．32 C ．32- D ．23．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（A ）A ．22B ．23C ．24D ．254．.函数ln x x y x=的图象大致是（ B ）5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 (D ).A ．3B ．4C ．6D ．86.函数cos(),(0,0)ωϕωϕπ=+><<y x 为奇函数，该函数的部分图像如 右图所示，A 、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数图像的一条对称轴为（C ） A ．2π=x B ．2π=xC.1=x D ．2=x7. 已知正数x ，y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为( C )A ．1B ．3241C ．161D ．3218.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（D ） A ．118 B ．118- C ．1718 D ．1718- 9．一个几何体的三视图如右图所示，则这个 几何体的体积是（D ）A ．1B ．2C ．3D ．410.在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若sin A =，2a =，ABC S △，则b 的值为（A ） A ．3B.2C． D．正视图侧视图俯视图11．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若163),,(=⋅∈+=μλμλμλR ，则双曲线的离心率为（ A ）A．3 B．5 C．2D ．98 12.若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点对（A ，B ）是函数()f x 的一个“姊妹点对”．点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=)0( 1)0( 2)(2x ex x x x x f x，则()f x 的“姊妹点对”有 （C ）A ． 0个B ． 1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷二．填空题：13.己知⎰+=π)cos (sin dt t t a ，则6)1(ax x -的展开式中的常数项为_____________．25- 14.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等1，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积 ．6π 15.已知点A （0，2），抛物线C 1：y 2=ax （a ＞0）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM|：|MN|=1：，则a 的值等于 ．416. 已知1ln 1)(-+=x x x f ，*)()(N k xkx g ∈=，对任意的c ＞1,存在实数b a ,满足c b a <<<0，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为 ．3三、解答题：17.（本小题满分12分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3545a a =, 2614a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：1221222nn n b b b a +++=+(*)n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设0d >． 由2614a a +=,可得47a =．由3545a a =，得(7)(7)45d d -+=，可得2d =．所以1731a d =-=．可得21n a n =-．……………………………4分 （Ⅱ）设2nn nb c =，则121n n c c c a +++=+.即122n c c c n +++=，可得12c =，且1212(1)n n c c c c n +++++=+．所以12n c +=，可知2n c =(*)n ∈N ．………………8分 所以12n n b +=，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n 项和24(12)2412n n n S +-==--． …………………………12分 18. （本小题满分12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为31，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为31. （I ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（II ）设在该次比赛中，甲队得分为ξξ求,的分布列和数学期望. 【解析】（I ）设“甲队获第一且丙队获第二”为事件A ，则 1111()(1);34318P A =⨯⨯-= ………………………………………6分 （II ）ξ可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：111(0)(1)(1),342P ξ==-⨯-=甲两场只胜一场：11115(3)(1)(1)344312P ξ==⨯-+⨯-=甲两场皆胜：111(6)3412P ξ==⨯=，ξ∴1517036212124E ξ=⨯+⨯+⨯= …………………………12分19. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM.（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --．解：（Ⅰ）证明：连接BM ，则，所以AM BM ⊥ 又因为面ADM ⊥平面ABCM ，面ADM面ABCM=AM所以，BM ADM BM AD ⊥⇒⊥面 …………………………………………4分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz - 由（I ）可知，平面ADM 的法向量(0,1,0)m =A。
河南省洛阳市2015届高三数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( ) A．3 B．11 C．8 D．12 2．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( ) A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞} 3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( ) A．B．C．D．﹣ 4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( ) A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π 6．已知 f（x）是定义域在R上的偶函数，且 f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 7．执行如图的程序，则输出的结果等于( ) A．B．C．D． 8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( ) A．B．C．D． 9．设 F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( ) A．B．2 C．D． 10．曲线 y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的 周长的最小值为( ) A．4+2 B．2 C．2 D．5+2 11．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣） 12．在平面直角坐标系中，点P是直线 l：x=﹣上一动点，点 F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( ) A．B．C．D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=__________． 14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为__________． 15．将函数 y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为__________． 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{an}，{bn} 均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn． （1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使Sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由； （2）若对 n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合． 18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上． （l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积； （2）若 AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值． 19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上． （1）求圆S的方程 （2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围． 20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2． （1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长． 21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且?=﹣3，其中O为坐标原点． （1）求p的值； （2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程． 22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x （1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围； （2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2． 河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( ) A．3 B．11 C．8 D．12 考点：集合的表示法． 专题：集合． 分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数． 解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}， 当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9； 当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15； 所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11， 故选：B． 点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题． 2．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( ) A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞} 考点：复数的代数表示法及其几何意义． 专题：数系的扩充和复数． 分析：求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围． 解答：解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i， ∴===﹣i； ∴， 解得﹣6＜a＜， ∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}． 故选：B． 点评：本题考查了复数的代数运算问题，解题时应注意虚数单位i2=﹣1，是基础题． 3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( ) A．B．C．D．﹣ 考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sinθ﹣cosθ的值即可． 解答：解：∵sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根， ∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=， 可得（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，即=1+m，即m=﹣， ∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0， ∵（sinθ﹣cosθ）2=（sinθ+cosθ）2﹣4sinθcosθ=﹣2m=1﹣+=， ∴sinθ﹣cosθ==． 故选：A． 点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 考点：演绎推理的意义． 专题：推理和证明． 分析：根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论． 解答：解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式； 对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确； 对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式； 对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式； 故选：B 点评：本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题． 5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( ) A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23﹣×π×12×2运用体积计算即可． 解答：解：∵几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2， ∴正方体的内部挖空了一个圆锥， ∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8， 故选：D 点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度． 6．已知 f（x）是定义域在R上的偶函数，且 f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 解答：解：∵f（x）是定义域在R上的偶函数，且 f（x）在（﹣∞，0]上单调递增， ∴f（x）在[0，+∞）上单调递减， 则tanπ＜﹣1，＜sinπ，＜cosπ＜0， 则tanπ＜﹣sinπ＜cosπ， 则f（tanπ）＜f（﹣sinπ）＜f（cosπ）， 即f（tanπ）＜f（sinπ）＜f（cosπ）， 故c＜a＜b， 故选：C 点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 7．执行如图的程序，则输出的结果等于( ) A．B．C．D． 考点：程序框图． 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图． 分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T 的值． 解答：解：执行程序框图，有 i=1，s=0，t=0 第1次执行循环，有s=1，T=1 第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+ 第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++ 第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++ … 第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+ 此时有i=100，退出循环，输出T的值． ∵T=1+++…+，则通项an===， ∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=． ∴输出的结果等于． 故选：A． 点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查． 8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( ) A．B．C．D． 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用． 分析：根据已知条件，，能够分别用表示为：，k∈R，，所以带入便可得到，=，所以根据平面向量基本定理即可得到，解不等式组即得λ的值． 解答：解：如图，B，F，D三点共线，∴存在实数k使，； ∴==；=； ∵； ∴； ∴，解得． 故选C． 点评：考查向量加法运算及向量加法的平行四边形法则，共面向量基本定理，以及平面向量基本定理． 9．设 F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( ) A．B．2 C．D． 考点：双曲线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；从而求出|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；再出和即可． 解答：解：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|， a=b=1，c=； |F1P|﹣|F2P|=2， |F1P|2+|F2P|2=8； 故（|F1P|+|F2P|）2=2（|F1P|2+|F2P|2）﹣（|F1P|﹣|F2P|）2=2×8﹣4=12； 故|F1P|+|F2P|=2； 则|F1P|=+1，|F2P|=﹣1； 故则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为 +==； 故选D． 点评：本题考查了圆锥曲线的应用，考查了圆锥曲线的定义，属于基础题． 10．曲线 y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的 周长的最小值为( ) A．4+2 B．2 C．2 D．5+2 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：利用导数求出函数y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值． 解答：解：由y=，得， 则， ∴曲线 y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣x0）． 整理得：． 取y=0，得：x=2x0，取x=0，得． ∴|AB|==2． ∴△OAB的周长为=（x0＞0） ． 当且仅当x0=1时上式等号成立． 故选：A． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 11．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣） 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论． 解答：解：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0等价为λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0， 则，解得，即直线过定点D（0，﹣6） 作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（2，1），B（5，2）， 此时AD的斜率k==，BD的斜率k==， 当直线过A时，λ=9， 当直线过B时，λ=﹣， 则若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点， 则满足直线的斜率≤≤， 解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）， 故选：A 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． 12．在平面直角坐标系中，点P是直线 l：x=﹣上一动点，点 F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( ) A．B．C．D． 考点：圆的切线方程． 专题：直线与圆． 分析：由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上到圆心的距离的最小值，即可得到|ST|的最小值． 解答：解：设M坐标为M（x，y），由MP⊥l知P（﹣，y）；由“点Q为PF的中点”知Q（0，）； 又因为QM⊥PF，QM、PF斜率乘积为﹣1，即， 解得：y2=2x， 所以M的轨迹是抛物线， 设M（y2，y），到圆心（3，0）的距离为d，d2=（y2﹣3）2+2y2=y4﹣4y2+9=（y2﹣2）2+5， ∴y2=2时，dmln=，此时的切线长为，所以切点距离为2=； ∴|ST|的最小值为； 故选A． 点评：本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=0.2． 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题：计算题；概率与统计． 分析：根据正态分布的性质求解． 解答：解：因为P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），所以正态分布曲线关于y轴对称， 又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）=故答案为：0.2． 点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为（6﹣2）π． 考点：球内接多面体． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：运用分割思想，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥，由大的四棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和一个小的四棱锥的体积之和，根据正四棱锥的性质，求出斜高，即可求出球的半径r，从而得到球的表面积． 解答：解：设球的半径为r，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥 它们的高均为r， 则VP﹣ABCD=VO﹣PAB+VO﹣PAD+VO﹣PBC+VO﹣PCD+VO﹣ABCD 即×2×22=r（4×S△PBC+4）， 由四棱锥的高和斜高，及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到， 斜高为， ∴S△PBC=×2×=， ∴r=， 则球的表面积为4π×（）2=（6﹣2）π． 故答案为：（6﹣2）π． 点评：本题主要考查球与正四棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键． 15．将函数 y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为2． 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：化简可得y=sin（ωx﹣）+将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin（ωx﹣ω﹣）+，所得图象关于y轴对称，可得﹣ω﹣=k，k∈Z，从而可解得正数ω的最小值． 解答：解：∵y=sin（x）sin（X+）=sin2+sinωx==sin（ωx﹣）+， ∴将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin[ω（x﹣）﹣]+=sin（ωx﹣ω﹣）+， ∵所得图象关于y轴对称， ∴﹣ω﹣=k，k∈Z， ∴可解得：ω=﹣6k﹣4，k∈Z， ∴k=﹣1时，正数ω的最小值为2， 故答案为：2． 点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查． 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为． 考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用． 分析：运用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，再由面积公式，即可得到． 解答：解：由于b=1，a=2c， 由余弦定理，可得， cosC====（3c+）≥=， 当且仅当c=，cosC取得最小值， 即有C取最大值，此时a=， 则面积为absinC==． 故答案为：． 点评：本题考查余弦定理和三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{an}，{bn} 均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn． （1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使Sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由； （2）若对 n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合． 考点：数列与向量的综合；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析：（1）根据平面向量的基本定理和A，B，C三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值； （2）根据等差数列的求和公式得到====31+，继而求出正整数n的集合． 解答：解：（1）∵A，B，C三点共线． ∴?λ∈R，使=λ，=λ（）， 即=（1﹣λ）+λ， 又平面向量的基本定理得，，消去λ得到a3+a15=1， ∵a3+a15=a1+a17=1， ∴S17=×17×（a1+a17）=即存在n=17时，S17为定值． （2）由于====31+ 根据题意n+1的可能取值为2，4， 所以n的取值为1或3， 即使为整数的正整数n的集合为{1，3} 点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题 18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上． （l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积； （2）若 AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值． 考点：三角形中的几何计算． 专题：计算题；解三角形． 分析：（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积； （2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值． 解答：解：（1）在△CDE中，CD==， 解得CD=1， 在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1， S△ACE===； （2）设CD=a，在△ACE中，=， CE==（）a， 在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1， 则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1． 点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上． （1）求圆S的方程 （2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围． 考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）线段AB的中垂线方程：y=x，联立，得S（4，4），由此能求出圆S的半径|SA|． （2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m，代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围． 解答：解：（1）线段AB的中垂线方程：y=x， 联立，得S（4，4）， ∵A（7，8）， ∴圆S的半径|SA|==5． ∴圆S的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25． （2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m， 代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0， 令△=（2m）2﹣8（m2﹣8m+7）＞0， 得， 设点C，D上的横坐标分别为x1，x2， 则x1+x2=m，， 依题意，得＜0， ∴x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＜0， m2﹣8m+7＜0， 解得1＜m＜7． ∴实数m的取值范围是（1，7）． 点评：本题考查圆的半径的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用． 20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2． （1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长． 考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系，若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，利用EF⊥平面ACD1，求出y=﹣3，z=5，与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，即可得出结论； （2）设|DD1|=2k（k＞0），求出平面ACK的法向量、平面ACD1的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求出k，即可求DD1的长． 解答：解：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系， 则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D1（2，2，2）， 若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，=（﹣2，y﹣1，z﹣1），=（2，﹣1，0），=（0，2，2）， ∵EF⊥平面ACD1， ∴，∴y=﹣3，z=5， 与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾， ∴不存在满足条件的点F； （2）设|DD1|=2k（k＞0），则K（0，0，k），D1（2，2，2k），=（0，﹣1，k），=（2，1，2k）， 设平面ACK的法向量为=（x，y，z），则， 取=（k，2k，2）， 同理平面ACD1的法向量为=（﹣k，﹣2k，2）， 则=∴k=±或（负值舍去）， ∴DD1的长为或． 点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键． 21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且?=﹣3，其中O为坐标原点． （1）求p的值； （2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程． 考点：直线与圆锥曲线的关系． 专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2； （2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程． 解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+， 代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0， y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2， 由于?=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3， x1x2==， 即有﹣p2=﹣3，解得，p=2； （2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1， 则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5+5=9， 当且仅当x1=4x2时取得最小值9． 由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去）， 代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（）， 将B的坐标代入直线x=my+1，得m=． 则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0． 点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x （1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围； （2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2． 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）先求出函数的导数，通过f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，得到m的范围； （2）由题意得：ln（x+1）＜x，令g（x）=sinx﹣x，通过函数的单调性得sin1＜1，sin＜，…，sin＜，从而ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2，进而证出结论． 解答：解：（1）∵f（x）=mln（1+x）﹣x，∴f′（x）=﹣1， ∵函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数， ∴f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立， ∵x∈（0，+∞），∴m≥1+x不能恒成立， 而1+x＞1，∴m≤1时，f（x）为单调递减函数， 综上：m≤1； （2）由（1）得m=1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， ∴f（x）＜f（0），即ln（x+1）＜x，x∈（0，+∞）， ∵sin1?sin…sin＞0， ∴ln（1+sin1）＜sin1，…，ln（1+sin）＜sin， 令g（x）=sinx﹣x，x∈（0，），则g′（x）=cosx﹣1＜0， ∴g（x）在（0，）上是减函数， ∴g（x）＜g（0），即sinx＜x，x∈（0，）， ∴sin1＜1，sin＜，…，sin＜， ∴ln（1+sin1）+ln（1+sin）+…+ln（1+sin） ＜sin1+sin+…+sin ＜1++…+ ＜1+++…+=1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=2﹣＜2， 即ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2， ∴（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2． 点评：本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，考查了不等式的证明问题，考查转化思想，有一定的难度．。
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学(理)试题(扫描版,有答案)
天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C D B C B C A C二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.（13）2（14）3或73 （15）12π（16）804三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===又cos 3cos cos b C a B c B =-，所以sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，…………………………………………（2分） 即sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 所以sin()3sin cos B C A B +=， 即sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠， 所以1cos 3B =.………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由2,BA BC =得cos 2ac B =，又1cos 3B =，所以6ac =.……………………（8分） 由2222cos ,b a c ac B =+-22b =，可得2212a c +=， 所以2()0a c -=，即a c =，所以6a c ==.…………………………………………（12分）（18）解：（Ⅰ）由0.15100a =，得15a =，因为352510100ab ++++=，所以15b =，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率3123()0.9C 0.1(10.1)0.972.P A =+⨯⨯-=………………………………………………（4分） （Ⅱ）记分期付款的期数为ξ,依题意得(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，…………………………………（6分）因为X 的可能取值为1,1.5,2,并且(1)(1)0.35P X P ξ====，( 1.5)(2)(3)0.4P X P P ξξ===+==，(2)(4)(5)0.10.150.25P X P P ξξ===+==+=.…………………………………（10分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()10.35 1.50.420.25 1.45E X =⨯+⨯+⨯=（万元）.…………（12分）（19）解：（Ⅰ）当M 是PB 的中点时，BC ME //.因为//BC 平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，所以AN ME //.又AD ME //，所以N 、D 两点重合. 所以223(2)11PN PD ==+=.……………………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一：连接AC 、BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则23(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3),(0,2,0),0,,.22B C P A E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 323(2,0,3),(0,2,3),0,,.22PB PC AE ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………（6分）设平面PBC 的一个法向量为=(,,),x y z m 则230,230,PB x z PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m 令2z =，得(3,3,2).=m ………………………………………………………（8分） 设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，则923223022sin cos ,.1533252AE θ+=〈〉==⋅m 所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.……………………………………（12分） X1 1.52 P 0.35 0.40.25解法二：设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ.因为()112322=+=PC ，所以211=CE ，所以1122112cos ==∠PCA .………………………………………（6分） 由余弦定理，得427cos 2222=∠⋅⋅-+=PCA CE AC CE AC AE ,故233=AE . 因为PCB A ABC P V V --=，易得23231=⨯⨯=-ABC P V ，10=∆PBC S ，……………………（8分）所以点A 到平面PBC 的距离10531032=⨯=d ，故15302sin ==AE d θ，所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为15302.…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M . 因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分） （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k ++=+.………………………………………………………（7分）由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+，…………………………………………………………………………………………………（9分）2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=22222224(1)4(1)4(1)144(14)(4)k k k k k k k +++⨯=++++，由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，…………（11分）当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85.因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.………………………………………………………………………………………………（12分） （21）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………（2分） 当0a <时，1()a x a f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=，若10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>；若1(,)x a ∈-+∞，则()0f x '<,()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a =-=--极大值.……………（4分）综上可知：当0a …时，()f x 没有极值； 当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，1()ln()1f x a =--极大值.…………………………………………………………………………………………………（5分） (Ⅱ)函数()g x 的导函数()e xg x b '=，(0)g b '∴=.(0)g b c =+，∴1,1,b c b +=⎧⎪⎨=⎪⎩∴()e x g x =.…………………………………………………………………………………（6分）当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()e ln 2xx x ϕ=--，∴1()e x x xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数，设()0x ϕ'=的根为x t =，则1e t t=，即e tt -=，当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，……………………………（9分）min ()()e ln 2e lne 2e 2t t t t x t t t ϕϕ-∴==--=--=+-.……………………………（10分）(1)e 10ϕ'=->，1e 202ϕ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1,12t ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由于函数()e 2xx x φ=+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，∴12min 11()()e 2e 2 2.252022tx t t ϕϕ==+->+->+-=， ∴()()2f x g x <-.…………………………………………………………………………（12分） （22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥.又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EFDG AG=. 因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………（5分） （Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分） （23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数).………………………（2分）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=. …………………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分）由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…, 得3x -…； 当132x -<…时,原不等式化为424x x -+…,得30x -<…； 当12x >时，原不等式化为3224x x ++…,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x ….………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当240,x +…即2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立， 当240,x +>.即2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…，得1x a +…或13a x -…, 所以12a +-…或113a a -+…,得2a -…. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。
河南省安阳市2015届高三毕业班调研考试数学(理)试题(扫描版)
2015届高三毕业班调研考试数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.三、解答题（18）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天，记“从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天的监测数据，至少有一天空气质量达到一级”为事件A ，则311315C 58()1.C 91P A =-=……………………………………（6分） （Ⅱ）由题意可知ξ的可能值为0,1,2,3， 则031221510510510333151515C C C C C C 244520(0),(1),(2),C 91C 91C 91P P P ξξξ========= 30510315C C 2(3).C 91P ξ===所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P2491 45912091 291 2445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或5()3115E ξ=⨯=).…………………（12分）（Ⅱ）取DE 的中点M ，连接,FM BM ，AG ∥BF ，CD ∥FM ，且AG CD G =，BF FM F =，∴平面ACD ∥平面BFM ，∴平面ACD 与平面BCE 所成的角等于平面BFM 与平面BCE 所成的角，由（Ⅰ）知BF ⊥平面CDE ，∴BF FM ⊥，BF EF ⊥，∴EFM ∠为平面BFM 与平面BCE 所成二面角的平面角，……………………………（9分） 易知,DE AD DE AG ⊥⊥,∴DE ⊥平面,ACD DE CD ∴⊥，∴CDE △为等腰直角三角形，∴2cos cos 2EFM ECD ∠=∠=， ∴平面ACD 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为22 .……………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）()1a x af x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞，…………………（ 1分） 当0a …时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为()0,a ，x ()0,aa (),a +∞()f x ' -+()f x↘极小值↗单调递增区间为(),a +∞.综上可得：当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.………………（4分）（Ⅱ）由题意得()min 0f x …，由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min 1ln f x f a a a a ==--， 则()1ln 0f a a a a =--…，令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-，因此()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1ln 0a a a --…成立的解只有1a =；……………………………………………………………………………（6分）当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，0x →，()f x →-∞，故不合题意.综上可知实数a 的取值集合为{}1.…………………………………………………………（8分） （Ⅲ）要证明原不等式，只要证()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，令11x n=+，只要证()11ln 112x x x x -<<-<…，…………（9分）由（Ⅰ）可知，当1a =时，()1ln f x x x =--在(]1,2上单调递增，因此()()10f x f >=，即ln 1x x <-.………………………………………………………………………………（10分） 令()1ln 1x x x ϕ=+-(12)x <…，则()221110x x x x xϕ-'=-=>，所以()x ϕ在(]1,2上单调递增，因此()()10x ϕϕ>=，即1ln 10x x+->，综上可知原命题成立.……………（12分）（23）解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则22cos ρρθ=，即222x y x +=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.……………………………（2分）因为tan 2α=，α是锐角，所以211cos 51tan αα==+，2sin 5α=，又直线l 的极坐标方程()5cos 2ρθα+=， 所以5cos cos 5sin sin 2αρθαρθ⋅-⋅=，即直线l 的直角坐标方程220x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立2220,220,x x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得2,0x y =⎧⎨=⎩或2,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取()2,0A ，24(,)55B -，设点(,)M x y 是圆D 上的任一点，因为AB 为圆D 的直径，则0AM BM ⋅=， 而(2,)AM x y =-，24(,)55BM x y =-+，所以()242()()055x x y y --++=，即225512440x y x y +-++=，………………………（8分）化为标准方程为22624()()555x y -++=，所以圆D 的参数方程为625cos,55225sin.55xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（ϕ为参数）………………………………（10分）。
20河南省洛阳市2015届高三上学期第一次统一考试 数学(
洛阳市2014——2015学年高中三年级统一考试数学试卷（理A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟，第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．8 D ．12 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈ 的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．B ．C ．D ．4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均 为2，则该几何体的体积为 A ． 38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-6．已知 ()f x 是定义涵在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950B ．200101C ．14950D ． 150508．在△ABC 中，D 为AC 的中点， 3BC BD =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数A 的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 459．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．210.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ． 若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+B.C.2D. 5+11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平面区域有公共点，则实数A 的取值范围是A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．5 B ．5C ． 72 D. 52第Ⅱ卷（非选择题，共90分），二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.设随机变量2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(10)P ξ-<<=_____________．14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______． 15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移号个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数 ω的最小值为_________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
河南省三市2015届高三10月第一次调研考试数学【理】试题及答案
河南省许昌、平顶山、新乡三市2015届高三10月调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x≤2} D．{x|x≥1}2．已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1C．2D．33．若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A．B．C．D．15．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（）A．B．C．D．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．10 C．30 D．24+28．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=4sin（x+）C．f（x）=2sin（x+）D．f（x）=4sin（x+）10．已知正项数列{a n}的前n项的乘积等于T n=（n∈N*），b n=log2a n，则数列{b n}的前n项和S n中最大值是（）A．S6B．S5C．S4D．S311．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（）A．4 B．3C．2D．112．已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．dx=_________．14．（x﹣）6展开式的常数项为_________．15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是_________．16．设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cos2x+m，若存在x0∈[0，]，f（x0）≥g（x0），则实数m的取值范围是_________．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．18．（12分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．20．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．21．（12分）设函数f（x）=lnx+x2﹣（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值．四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．数学理答案一．1-5．ABACB 6-10CBCBD 11-12CA二．填空题 13、π 14、15 15、－35516、m ≤三．17.解:(I)由已知得2cos B ＝2cos sin 2BA，…………………….2分而△ABC 为斜三角形，∴cos B ≠0，∴sin2A ＝1. ……………….4分 ∵A ∈(0，π)，∴2A ＝错误！未找到引用源。
河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝｛x｜0＜x＜2}，B＝｛x｜｜x｜＞1｝,则A∩B＝( ).A．（0，1）B．（1,2）C．(－∞,－1）∪(0,＋∞）D．(－∞，－1）∪(1，＋∞）【答案】B考点:集合的运算.2．若复数z满足（1＋i)z＝2－z，则｜z＋i|＝( )。
A．12B．22C．2 D．2【答案】B考点：复数的模.3．已知命题p：x∃∈R，x－2＞lgx，命题q：x∀∈R，2x＞0,则( ).A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨(⌝p）是假命题D．命题p∧(⌝p）是真命题【答案】D【解析】试题分析：由图像分析可知，x∃∈R，x－2＞lgx，则命题p为真，而当0=x时，02=x，则命题q为假,故命题p∧(⌝p）是真命题.考点:命题的真假性的判定.4．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b,则向量a－2b在向量a方向上的投影为( ）。
A．1 B．77C．－1 D．277【答案】A考点:向量的数量积。
5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1＋cos40°），则α等于( ）.A．10° B．20°C．70° D．80°【答案】C考点：二倍角公式.6．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于( ).A．63 B．31C．127 D．15【答案】A考点：程序框图的解读.7．已知抛物线2y＝4x与双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（OA＋OB）·AF＝0，则双曲线的离心率为( ）.A2 2 B5 1 C3 1 D2＋1【答案】D。
河南省许昌平顶山新乡2015年高三第一次调研考试——理科综合汇总
许昌平顶山新乡2015年高三第一次调研考试理科综合能力测试本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷可能用到的相对原子质量：H－1、Li－7、C－12、N－14、O－16、F－19、P－31 一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2014年河南省大部分地区发生了历史上极为罕见的干旱，导致农作物大面积减产甚至绝收。
干旱缺水给当地的农业生产、城乡居民的生活带来了极大的不便。
下列有关水的叙述正确的是A．农作物旱死与土壤缺水引起植物根尖细胞发生渗透作用有关B．线粒体、核糖体、中心体等在其活动中都可以产生水C．人体散失水分过多会导致下丘脑产生渴觉D．衰老细胞内的水分减少，使细胞新陈代谢的速率加快2．下列有关生物学实验的叙述正确的是A．观察植物细胞的质壁分离与复原实验和观察植物细胞的有丝分裂实验都可以用洋葱鳞片叶表皮细胞作实验材料B．分离细胞中的各种细胞器时，运用了差速离心的方法C．CuSO4在“检测生物组织中的还原糖”和“检测生物组织中的蛋白质”中的作用相同D．提取叶绿体中的色素时，不同色素在乙醇中的溶解度不同3．下列有关生物体细胞内A TP的叙述，正确的是A．在黑暗、CO2供应充足、温度等适宜的条件下，植物体内叶肉细胞中的叶绿体可以利用线粒体产生A TP和[H]合成（CH2O）B．酵母菌合成ATP时必需氧气的参与C．吸能反应一般与ATP的合成相联系D．ATP脱去2个磷酸基团后是RNA的基本组成单位之一4．如图为人体特异性免疫的部分过程，下列相关叙述正确的是A．给未感染过禽流感病毒的人注射灭活的H7N9禽流感病毒可以诱导M细胞迅速增殖分化B．E细胞接触被抗原入侵的靶细胞，导致靶细胞裂解C．当同一种抗原再次进入人体时，产生的浆细胞可来自B细胞D．图中具有特异性识别功能的细胞有吞噬细胞、T细胞、B细胞、M细胞5．下列有关生物遗传、变异和进化的叙述中，合理的是A．自然条件下，基因重组发生在生殖细胞形成过程及受精作用过程中B．生物进化的实质是种群基因型频率的改变C．分离定律的实质是在杂合子形成配子时，等位基因会随同源染色体的分开而分离，分别进入两个配子中，独立地随配子遗传给后代D．在镜检某基因型为AaBb的父本细胞时，发现其基因型变为AaB，此种变异为基因突变6．下列关于生物与环境的叙述，不正确的是A．人类活动往往会使群落演替按照不同于自然演替的速度和方向进行B．两种或两种以上生物相互争夺资源和空间，必然导致一方占优势，另一方处于劣势甚至死亡C．对家鼠等有害动物的控制，要尽量降低其K值D．研究生态系统的能量流动，可以帮助人们科学规划、设计生态系统，使能量得到最有效的利用7．下列试剂中，标签上应标注的是A．C2H5OH B．HCl C．NaOH D．HNO38．下列关于CF2Cl2的叙述正确的是A．有三种同分异构体B．有两种同分异构体C．只有一种结构D．有四种同分异构体9．以下除去杂质的操作中，正确的是A．通过灼热的镁粉除去N2中的O2B．通过灼热的CuO除去H2中的COC．通过浓硫酸除去HCl中的H2O D．通过水除去CO中的CO210．短周期元素X、Y、Z在周期表中的相对位置如图所示，则下列说法正确的是A．Z的最高价氧化物的水化物是强酸B．Y的最高价氧化物的水化物是强酸C．Z一定是活泼的金属D．1 molZ单质在足量的氧气中燃烧时，有6 mol电子发生转移11．25℃时，用0．100mol／L NaOH溶液分别滴定20．00mL 0．100mol／L的盐酸和醋酸，滴定曲线如图所示，下列说法正确的是A．pH＝7时，滴定醋酸消耗v（NaOH）小于20mLB．Ⅱ表示的是滴定醋酸的曲线C．v（NaOH）＝20mL时，c（Cl－）＝c（CH3COO－）D．v（NaOH）＝10mL时，醋酸溶液中：c（Na＋）＞c（CH3COO－）＞c（H＋）＞c（OH－）12．某原电池结构如图所示，其总反应为2Ag＋Cl2＝2AgCl。
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河南省六市2015年高三第一次联合调研检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名，准考证号填写清楚，并帖好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷（满分60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．已知集合A ＝{x ｜2
x ＞1}，B ＝{x ｜2log x ＞0}，则A ∩B 等于
A ．{x ｜x ＜－1}
B ．{x ｜x ＞0}
C ．{x ｜x ＞1}
D ．{x ｜x ＜－1或x ＞1} 2．如果复数
212i i
－b ＋（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 A ．－6 B ． 23 C ．－23 D ．2 3．在等差数列{n a }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若k a ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k 等于
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
4．函数y ＝ln x x
x 的图象大致是
5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
6．函数y ＝cos （ωx ＋ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）为奇函数，该函数的部分图像如图所表示，
A 、
B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为为
A ．x ＝2
π B ．x ＝2
π C ．x ＝1 D ．x ＝
2
7．已知正数x ，y 满足2050
x y x y ⎧⎨⎩－≤－3＋≥，则z ＝4x -·1()2y 的最小值为 A ．1 B
．1
(4 C ．
116 D ．132 8．若α∈（
2π，π），则，3cos2α＝ sin （4
π－α），则sin2α的值为 A ．118 B ．－118
C ．1718
D ．－1718
9．一个几何体的三视图如右图所示，则这
个几何体的体积是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sinA
，a ＝2，S △ABC
b 的值为
A
B
C ．
D ．
11．设双曲线 2221x a b
2
y －＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP uu u r ＝
λOA uu r ＋μOB uu u r （λ，μ∈R ），λ·μ＝316
，则双曲线的离心率为 A
B
C
D ．98 12．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f （x ）的图象上；②点A 、B
关于原点对称，则点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”，点对（A ，B ）与（B ，
A ）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f （x ）＝22(0)1(0)x x x x x x e
⎧⎪⎨⎪⎩＋＜＋ ≥，则f （x ）的“姊妹点对”有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
第Ⅱ卷（满分90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分，第13－21题为必考题，每个考生都必须作答．第22－24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13．己知a ＝0(sin cos )t t dt π
⎰＋，则61()x ax
－的展开式中的常数项为______________． 14．已知三棱锥P －ABC 的所有棱长都等于1，则三棱锥P －ABC 的内切球的表面积为
_____________．
15．已知点A （0，2），抛物线C 1：2y ax ＝（a ＞0）的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交
于点M ，与其准线相交于点N ，若｜FM ｜ ：｜MN ｜＝1
a 的值等于____________．
16．已知f （x ）＝1ln 1x x ＋－，g （x ）＝k x
（k ∈N ﹡），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足 0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）＝f （a ）＝g （b ），则k 的最大值为_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知{n a }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{n b }满足：
12b ＋222b ＋…＋2n n b ＝n a ＋1（n ∈N ﹡），求数列{n b }的前n 项 和n S ．
18、（本小题满分12分）
在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，
每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13
； （Ⅰ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19、（本小题满分12分）
如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点, 将△ADM 沿AM 折
起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．
（Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；
（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E －AM －D 的余弦值
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝12
，P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点S （4，0）且斜率不为0的直线l 与椭圆C 的交于Q 、R 两点，点Q 关于x
轴的对称点为Q 1，过点Q 1与R 的直线交x 轴于点T ，试问△TRQ 的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数f （x ）＝2x －（a －2）x －a lnx ．
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f （x ）有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；
（Ⅲ）若方程f （x ）＝c （c ∈R ），有两个不相等的实数根x 1、x 2，求证：12()2x x f '＋＞0．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分, 作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点
P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC
相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC ．
（Ⅰ）求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；
（Ⅱ）若CE ：BE ＝3 ：2，DE ＝3，EF ＝2，求PA
的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线l
的参数方程是x t y ⎧⎪⎨⎪⎩
＝ （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos
sin ρθρθ＋＋－2sin 3ρθ－＝0．
（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求｜AB ｜．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设不等式－2＜｜x －1｜－｜x ＋2｜＜0的解集为M ，a ，b ∈M ．
（Ⅰ）证明：｜1
136a b ＋｜＜14
； （Ⅱ）比较｜1－4ab ｜与2｜a －b ｜的大小．。