2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1.1 正弦定理(二) Word版含答案

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2018版高中数学人教B版必修五学案第一单元 1.1.2 余弦定理(二) Word版含答案

余弦定理(二)学习目标.熟练掌握余弦定理及其变形形式.会用余弦定理解三角形.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在△中，若＝°，＝，＝，可以先用正弦定理＝求出＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？梳理已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为，具体判断方法如下：设在△中，已知，及的值．由正弦定理＝，可求得＝.()当为钝角时，则必为锐角，三角形的解唯一；()当为直角且>时，三角形的解唯一；()当为锐角时，如图，以点为圆心，以为半径作圆，三角形解的个数取决于与和的大小关系：①当<时，无解；②当＝时，一解；③当<<时，则圆与射线有两个交点，此时为锐角或钝角，此时的值有两个．④当≥时，一解．()如果>，则有>，所以为锐角，此时的值唯一．知识点二判断三角形的形状思考三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？思考△中，＝.则，一定相等吗？梳理判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三证明三角形中的恒等式思考前面我们用正弦定理化简过＝，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例已知在△中，＝，＝，＝°，求.。

2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(二)学案新人教B版必修5

1.1.1 正弦定理(二) 学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．知识点一正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；2.asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝______； 3．a ＝__________，b ＝____________，c ＝__________；4．sin A ＝__________，sin B ＝________，sin C ＝__________.知识点二判断三角形解的个数思考1 在△ABC 中，a ＝9，b ＝10，A ＝60°，判断三角形解的个数．梳理已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可求得sin B ＝b sin A a .在由sin B 求B 时，如果a >b ，则有A >B ，所以B 为锐角，此时B 的值唯一；如果a <b ，则有A <B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个．思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？梳理解三角形4个基本类型：(1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角．其中只有类型(3)解的个数不确定．知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用思考1 在△ABC中，已知a cos B＝b cos A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?梳理一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．思考2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化？类型一判断三角形解的个数例1 在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，解三角形．引申探究若a＝3，b＝1，B＝120°，解三角形．反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 已知一三角形中a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．类型二利用正弦定理求最值或取值范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．反思与感悟解决三角形中的取值范围或最值问题：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．(2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪训练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b的取值范围．类型三正弦定理与三角变换的综合例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b,2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．反思与感悟借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．跟踪训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A ．45° B．30° C．75° D．90°2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 3．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶5，求2sin A －sin B sin C的值．1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．答案精析问题导学知识点一1．a ∶b ∶c 2.2R3．2R sin A 2R sin B 2R sin C4.a 2R b 2R c2R知识点二思考1 sin B ＝b a sin A ＝109×32＝539，而32<539<1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°，故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．思考2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等．即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题．知识点三思考1 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B ＝2R sin B cos A ，移项后就是一个三角恒等变换公式sin A cos B －cos A sin B ＝0.思考2 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系，但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径．题型探究类型一判断三角形解的个数例1 解根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b ＞a ，∴B ＞A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2；当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.引申探究解根据正弦定理，sin A ＝a sin B b＝3sin 120°1＝32＞1. 因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．反思与感悟已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．跟踪训练1 解 a ＝23，b ＝6，a a ，B >A ，B ∈(0°，180°)，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝4 3或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.类型二例2 解 ∵a ＝2b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝2sin B sin A ，又∵A ∈(0，π2)，sin A ≠0，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C＝cos A ＋sin []π－B ＋A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，即32<y <32.∴cos A ＋sin C 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.跟踪训练2 解因为A ＋B ＋C ＝π， C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1，所以1<2cos B <2，又c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<cb <2.类型三例3 解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3，∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3.化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1.∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．跟踪训练3 解设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理，得sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．当堂训练1．C 2.B3．解由条件得a c ＝sin A sin C ＝15， ∴sin A ＝15sin C . 同理可得sin B ＝35sin C . ∴2sin A －sin B sin C ＝2×15sin C －35sin C sin C＝－15.。

高中数学人教b版必修5学案：1.1.1 正弦定理(二)(数理化网为您收集整理)

1.1.1正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sin A>sin B；(2)若sin A>sin B，求证：A>B.对点讲练知识点一三角形面积公式的运用例1已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．总结注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S △ABC ＝2R 2sin A sin B sin C ．借助该公式顺利解出外接圆半径R .变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4知识点二利用正弦定理证明恒等式例2在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.总结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .知识点三利用正弦定理判断三角形形状例3已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．变式训练3已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC 中，有以下结论： (1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)A ＋B 2＋C 2＝π2；(4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tanC2.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶64．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 二、填空题6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B2＝255，求△ABC 的面积S .1．1.1 正弦定理(二)知识梳理1．(1)a ∶b ∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C(4)a 2R b 2R c 2R 2.12ab sin C 12bc sin A 12ca sin B 3.c 2 a ＋b －c 2 自主探究证明 (1)在△ABC 中，由大角对大边定理 A >B ⇒a >b ⇒2R sin A >2R sin B ⇒sin A >sin B . (2)在△ABC 中，由正弦定理sin A >sin B ⇒a 2R >b2R⇒a >b ⇒A >B .对点讲练例1解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角．∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2，∴C 为钝角．∴sin C ＝255，cos C ＝－55.∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝⎛⎭⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C＝2R 2×35×55×255＝1.∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆面积为2512π.∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153，c ＝2R sin C ＝2153.变式训练1 A [设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，∴R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.]例2 证明因为a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立．变式训练2 证明左边＝4R 2sin 2 A ·sin 2B ＋4R 2sin 2 B ·sin 2A ＝8R 2sin 2 A sin B cos B ＋8R 2sin 2 B sin A cos A＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C ＝2ab sin C ＝右边． ∴等式成立．例3解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．变式训练3 解设方程的两根为x 1、x 2，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A x 1x 2＝a cos B， ∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，00)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3.]4．A [由正弦定理：sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0，∴B ＝C .] 5．C [设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12， ∴cos A sin A ＝1.∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.]6．2 3解析 ∵cos C ＝1，∴sin C ＝22， ∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0,180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB ＝BC ·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 8．12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝18 3. ∴sin C ＝12，∴c sin C ＝a sin A＝12，∴c ＝6. 9．解由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A . 即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 10．解因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。

(人教B版必修5)1.1.1正弦定理(2)学案(含答案)

1.1.1 正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R的常见变形：(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；(2)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sin A＝________，sin B＝________，sin C＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sin A>sin B；(2)若sin A>sin B，求证：A>B.对点讲练知识点一三角形面积公式的运用例1已知△ABC的面积为1，tan B＝12，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．总结注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C．借助该公式顺利解出外接圆半径R.变式训练1 已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A．1 B．2 C.12D．4知识点二利用正弦定理证明恒等式例2 在△ABC 中，求证：a －ccos B b －ccos A ＝sin B sin A.总结正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2absin C.知识点三利用正弦定理判断三角形形状例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．变式训练3 已知方程x 2－(bcos A)x ＋acos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC 中，有以下结论：(1)A ＋B ＋C ＝π；(2)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ；(3)A ＋B 2＋C 2＝π2； (4)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝1tan C 2.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶22．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，(b ＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C 等于( )A ．4∶5∶6B ．6∶5∶4C ．7∶5∶3D ．7∶5∶64．在△ABC 中，a ＝2bcos C ，则这个三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝10，又知cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.1．1.1 正弦定理(二)知识梳理1．(1)a∶b∶c (2)2R (3)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C(4)a 2R b 2R c 2R2.12absin C 12bcsin A 12casin B 3.c 2 a ＋b －c 2自主探究证明 (1)在△ABC 中，由大角对大边定理A>B ⇒a>b ⇒2Rsin A>2Rsin B ⇒sin A>sin B.(2)在△ABC 中，由正弦定理sin A>sin B ⇒a 2R >b 2R ⇒a>b ⇒A>B. 对点讲练例1 解 ∵tan B＝12>0，∴B 为锐角． ∴sin B＝55，cos B ＝255. ∵tan C＝－2，∴C 为钝角．∴sin C＝255，cos C ＝－55. ∴sin A＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12absin C ＝2R 2sin Asin Bsin C ＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536.∴πR 2＝2512π，即外接圆面积为2512π. ∴a＝2Rsin A ＝3，b ＝2Rsin B ＝153，c ＝2Rsin C ＝2153. 变式训练1 A [设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，∴R＝1，由S △＝12absin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc＝1.] 例2 证明因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以左边＝2Rsin A －2Rsin Ccos B 2Rsin B －2Rsin Ccos A ＝＋－sin Ccos B ＋－sin Ccos A＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A＝右边．所以等式成立．变式训练2 证明左边＝4R 2sin 2 A·sin 2B＋4R 2sin 2 B·sin 2A＝8R 2sin 2 Asin Bcos B ＋8R 2sin 2 Bsin AcosA＝8R 2sin Asin B(sin Acos B ＋cos Asin B)＝8R 2sin Asin Bsin(A ＋B)＝8R 2sin Asin Bsin C＝2·(2Rsin A)·(2Rsin B)·sin C＝2absin C ＝右边．∴等式成立．例3 解 ∵2cos 2B－8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B<π，∴B＝π3.∵a＋c ＝2b. 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3， ∴sin A＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. ∵0<A<π，∴A＋π6＝π2. ∴A＝π3，C ＝π3.∴△ABC 是等边三角形．变式训练3 解设方程的两根为x 1、x 2，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝bcos A x 1x 2＝acos B ， ∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴bcos A＝acos B.由正弦定理得：2Rsin Bcos A ＝2Rsin Acos B ，∴sin Acos B－cos Asin B ＝0，sin(A －B)＝0.∵A、B 为△ABC 的内角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A －B<π.∴A－B ＝0，即A ＝B.故△ABC 为等腰三角形．课时作业1．D2．B [由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A＝tan B ＝tan C ，∴A＝B ＝C.] 3．C [设b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k(k>0)，三式联立可求得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ， ∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.]4．A [由正弦定理：sin A ＝2sin Bcos C ，∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C∴sin Bcos C＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.]5．C [设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴c a ＝sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A－cos 120°sin A sin A＝32·cos A sin A ＋12＝32＋12， ∴cos A sin A ＝1.∴tan A＝1，A ＝45°，C ＝75°.] 6．2 3解析 ∵cos C＝13，∴sin C＝223， ∴12absin C ＝43，∴b＝2 3. 7.102 解析 ∵tan A＝13，A∈(0,180°)，∴sin A＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB＝BC·sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 8．12 6解析a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12. ∵S △ABC ＝12absin C ＝12×63×12sin C＝18 3. ∴sin C＝12，∴c sin C ＝a sin A ＝12，∴c＝6. 9．解由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin B sin A. 即sin Acos A ＝sin Bcos B ，∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b，∴2A＝π－2B ，即A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝102b a ＝43，得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 10．解因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210. 由正弦定理得c ＝asin C sin A ＝107，所以S ＝12acsin B ＝12×2×107×45＝87.。

高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理

必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）；（2）．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（1）当A 为锐角（2）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【重点】理解正弦定理的及应用．【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（3）当A 为锐角（4）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数．解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ，所以此三角形只有一解．（2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（5）当A 为锐角（6）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。

人教B版高中数学必修5-1.1导学案-正弦定理

1.1.1正弦定理学案一、预习达标1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。

4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？二、典例解析例1、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。

例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。

三、双基达标1．在ΔABC 中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。

2．在ΔABC 中，a cos B=b cos A, 则该三角形是三角形。

3．北京在中ABC ∆，AB=,75C 45A 3︒=∠︒=∠，，则BC 的长度是。

4．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝。

5．在ABC ∆中，S 是它的面积，a ，b 是它的两条边的长度，S ＝14（a 2+b 2），求这个三角形的各内角。

6．在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 §1-2 应

学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)(3)张角由C点看AB的张角指的是角________．知识点二测量方案思考1如图是北京故宫的角楼，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′，由测点C′对角楼进行测量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？思考2如图，如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变)，想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量两个不能到达点之间的距离问题例1如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．反思与感悟测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练1要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．类型二求高度命题角度1测量仰角(俯角)求高度例2如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10 m B．5 3 mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________ m.命题角度2测量方位角求高度例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是()A．10 m B．10 2 mC．10 3 m D．10 6 m1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ2．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是________．3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m.4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为________m.1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．答案精析问题导学知识点一思考梳理 (1)90 (2)上方下方 (3)ACB 知识点二思考1 可测得点A 的仰角α的大小．在△AB ′C ′中，三条边的长度都无法测出，因而AB ′无法求得．思考2 如图所示，在点B ′，C ′，D ′构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得C ′D ′的长，这样，我们就可以根据正弦定理求出边B ′C ′的长，从而在Rt △AB ′C ′中，求出AB ′的长．使问题得到解决．题型探究类型一例1 解在△BCD 中， ∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形， ∴AC ＝CD ＝32(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．∴河对岸A 、B 两点间的距离为64km. 跟踪训练1 解如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°，由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75° ＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5， ∴AB ＝1005(米)．所以河对岸A 、B 两点间的距离为1005米．类型二命题角度1例2 D [方法一设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1)m.所以A 点离地面的高AB 等于 5(3＋1)m.方法二 ∵∠ACB ＝45°， ∴∠ACD ＝135°，∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CD sin ∠CAD ·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2∴AB＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.]跟踪训练230命题角度2例3100 6解析依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理，得BC＝ABsin∠ACB·sin∠CAB＝600sin 45°×sin 30°＝3002，∴CD＝BC tan∠CBD＝3002×tan 30°＝1006(m)．跟踪训练3 D当堂训练1．D 2.4 3.2034033 4.50 2。

【教育专用】2018高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(二) Word版含答案

1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是．(1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则A ＝90°. (2)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b .(3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B .(4)在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C. 答案 (2)解析对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确．对于(2)，由sin 2A ＝sin 2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确．对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C，所以a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C，故(4)正确． [预习导引]1．正弦定理的常见变形(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R . (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(3)sin2α＝2sin αcos α.要点一利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解方法一在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴(a 2R )2＝(b 2R )2＋(c 2R)2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12. ∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°.∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C .∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B， ∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．要点二利用正弦定理求最值或范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．解设R 为△ABC 外接圆的半径．∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ，∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6. 令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )]＝cos A ＋sin(π6＋A ) ＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)．由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2. ∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin(A ＋π3)<32， ∴32<3sin(A ＋π3)<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是(32，32)．规律方法在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求c b 的取值范围．解因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1. 因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b <2.要点三正弦定理与三角变换的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)． ∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. ∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3， ∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3， ∴sin(A ＋π6)＝1. ∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2. ∴A ＝π3，C ＝π3，即A ＝B ＝C . ∴△ABC 是等边三角形．规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．跟踪演练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．解设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B . 由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( )A. 45°B. 30° C ．75° D ．90°答案 C解析由正弦定理，得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝ . 答案 0解析由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝(a sin A －b sin B )＋(a sin A －c sin C )＝0. 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．解 a ＝23，b ＝6，a ＜b ，A ＝30°＜90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a ＞b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．。

2018版高中数学人教版A版必修五学案§1.1.1 正弦定理(二)

．正弦定理(二)
[学习目标].熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.能根据条件，判断三角形解的个数.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．
知识点一正弦定理及其变形
．定理内容：＝＝＝．
．正弦定理的常见变形：
()∶∶＝∶∶；
()＝＝＝＝；
()＝，＝，＝；
()＝，＝，＝．
知识点二对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知，和解三角形为例，从两个角度予以说明：
()代数角度
由正弦定理得＝，
①若>，则满足条件的三角形个数为，即无解．
②若＝，则满足条件的三角形个数为，即一解．
③若<，则满足条件的三角形个数为或，即一解或两解．
()几何角度
图形
关系式
解的
个数
为锐角
①＝；②≥
一解
<<
两解
<
无解
为
钝角或直角
>
一解
≤
无解
知识点三三角形面积公式任意三角形的面积公式为：
()△＝＝＝，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． ()△＝，其中为△的一边长，而为该边上的高的长． ()△＝(＋＋)＝，其中，分别为△的内切圆半径及△的周长．。

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理．特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个．反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 105°或15°解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 B解析由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 C解析易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 π3或2π3解析由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32，又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 2 5解析由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 A解析根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 D解析由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 B解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点用正弦定理解三角形题点正弦定理解三角形综合答案 D解析如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 (1,2)解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立．函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立．在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a 20sin 60°＝103，∴a b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计

人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理教学设计1. 教学内容和目标1.1 教学内容正弦定理是三角函数的重要概念之一，本次教学内容主要包括：1.正弦定理的概念及其推导过程2.正弦定理的应用实例：求三角形边长和角度3.正弦定理与勾股定理的综合应用1.2 教学目标通过本次课程的学习，学生应该能够：1.掌握正弦定理的概念及其推导过程2.能够运用正弦定理解决实际问题，如求三角形边长和角度3.能够理解正弦定理与勾股定理的联系，运用两者综合解决问题2. 教学过程及安排2.1 教学过程1.引入（5分钟）：通过简单的实例或图片来引导学生回忆三角形的基本概念、角度和边长的定义及勾股定理。

2.学习正弦定理（30分钟）：介绍正弦定理的概念，讲解其推导过程，并通过实例演示如何运用正弦定理求解三角形的边长和角度。

3.练习（20分钟）：提供一些练习题目，让学生在课堂上进行练习，观察学生练习情况，在学生练习完后进行讲解并指导学生，激发学生的学习兴趣和创造力。

4.综合应用（20分钟）：介绍正弦定理与勾股定理的联系，演示如何综合运用两者解决问题，通过实例让学生掌握综合应用的方法和技巧。

5.总结（5分钟）：对本节课所学的知识点进行总结归纳，提醒学生掌握基本概念、加强练习和思考，在人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理学习中取得更好的成绩。

2.2 安排1.教材：人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理。

2.时间：1课时（45分钟）。

3.教学方式：多媒体课件+讲解+练习+讨论。

3. 教学评估和反思3.1 教学评估1.学生练习题目解答情况，是否理解正弦定理的概念和应用方法。

2.课后作业的完成情况，能否熟练运用正弦定理解决问题。

3.学生的课堂参与度和表现情况。

3.2 教学反思1.本节课内容清晰，思路明确，符合学生的认知规律，但在举例操作过程中有一些练习较为复杂，需要老师提前做好示范。

2.在整个课堂过程中，讲师讲解清晰、运用多媒体较好，但应让学生更好地理解定理背后的设计思想，注重锻炼学生所获取的知识的应用能力。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》2

§《正弦定理》教学设计一．教学目标1. 知识与技能：通过创设情境，引导学生发现正弦定理，并证明正弦定理。

会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

2. 过程与方法：引导学生从已有知识出发，共同探究任意三角形中边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察、猜想，由特殊到一般归纳得出结论。

3. 情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学环境，通过师生之间的交流与合作，调动学生的主动性和积极性，调动学生学习的激情与兴趣。

二．教学重难点1. 重点：正弦定理的探索和证明；2. 难点：已知三角形的三个元素解三角形。

三．学情分析高一学生已经学过平面几何、解直角三角形、三角函数等知识，有一定的观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定的难度，因此还需要教师引导。

证明正弦定理的方法有多种，鉴于学生很多知识还没有学，所以这里我给学生介绍三种。

四．教材分析本节课是人教B 版必修五第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系、三角形三边关系以及三角关系和三角函数相关知识。

根据教材的内容和编排的特点，为更有效突出重难点，教学中采用探究式教学法，首先从学生熟悉的锐角三角形入手，设置情景，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生积极性，增强学生由特殊到一般的数学思维能力。

五．教学过程【导学过程1】课题引入师：回忆一下在直角三角形ABC 中有哪些边角关系？在ABC Rt ∆中，已知︒=∠90C ，则c b a 、、与其对角的正弦关系是sin a A c =，sin b B c =，1sin =C ， B b c A a c sin ,sin ==sin sin sin a b c c A B C ===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C== 则这个等式对任意三角形都会成立吗【导学过程2】新知探究: 正弦定理的发现与证明探究：上述结论能否推广到任意三角形？用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？教师引导学生画图讨论分析。

2018版高中数学(人教B版)必修五学案第一章 1.1.1 正弦定理(一) Word版含答案

正弦定理和余弦定理
正弦定理(一)
[学习目标].通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
[知识链接]
下列说法中，正确的有．
()在直角三角形中，若为直角，则＝.
()在△中，若＞，则＞.
()在△中，＝π－－.
()利用、都可以证明三角形全等．
()在△中，若＝，则＝.
答案()()()
解析根据三角函数的定义，()正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，()正确；三角形的内角和为π，()正确；可以证明三角形全等，不能证明，()不正确；若＝，则＝或，()不正确，故()()()正确．
[预习导引]
．在△中的有关定理
在△中，＝°，则有：
()＋＝°，°<<°，°<<°；
()＋＝(勾股定理)；
()＝；＝；＝.
．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是其外接圆的直径.
．解三角形
一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
要点一正弦定理的推导与证明
例在锐角△中，证明：＝＝.
证明如图，在锐角△中，过点作⊥于点，有＝，＝.
∴＝＝．∴＝.
同理，＝.∴＝＝成立．
规律方法从正弦定理可以推出它的常用变形有：
()＝，＝，＝.
()＝，＝，＝.
()＝，＝，＝.
()∶∶＝∶∶.
跟踪演练在钝角△中，如何证明＝＝仍然成立？。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.1 正弦定理》

【学习目标】1掌握正弦定理的概念2体会正弦定理的证明3能够利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题及一些与测量和几何计算有关的实际问题【课堂教学】1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即。

2、公式变形：3、定理证明：4、一般地，把三角形的三个角CBA,,和它们所对的边cba,,叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。

【例题讲解】例1、在ABC∆中，已知0030,135,a2,A B===解三角形例2、在ABC∆中，已知016,163,30,a b A===解三角形变式: a=30, b=, A=60°，解三角形训练例3、在ΔABC中，A∠的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：BD ABDC AC=思考（3）应用正弦定理证明：在ΔABC中，大边对大角，大角对大边例4、在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若a co A＝b co B，则△ABC一定是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形训练（4）在△ABC中，若in A＝2in B co C，in2A＝in2B＋in2C，试判断△ABC的形状．【作业练习】1．在ABC∆中，已知a=52，B 60oC 15o 或2 在ΔABC中，∠A=450,∠B=600,A．6 B．263．在ΔABC中，acoB=bcoA, 则该4在ΔABC中，A>B, ga—gc = ginB正弦定理高一数学学案310(1)45,2,2,103(2)60,4,3ABC A a b BABC A a b B∆===∆===在中，已知求在中，已知求AD。

2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第一章 1.1.1 正弦定理(一)

1.1　正弦定理和余弦定理1.1.1　正弦定理(一)[学习目标]　1.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝.a c (2)在△ABC 中，若a ＞b ，则A ＞B .(3)在△ABC 中，C ＝π－A －B .(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等．(5)在△ABC 中，若sin B ＝，则B ＝.22π4答案　(1)(2)(3)解析　根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝，则B ＝或，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确．22π43π4[预习导引]1．在Rt △ABC 中的有关定理在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)；(3)＝c ；＝c ；＝c .a sin Ab sin Bc sin C在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是a sin A b sin B csin C 其外接圆的直径2R .3．解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．要点一　正弦定理的推导与证明例1　在锐角△ABC 中，证明：＝＝.a sin Ab sin B csin C 证明　如图，在锐角△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，有＝sin A ，＝sin B .CD b CD a∴CD ＝b sin A ＝a sin B ．∴＝.asin A b sin B 同理，＝.∴＝＝成立．b sin Bc sin C a sin A b sin B c sin C 规律方法　从正弦定理可以推出它的常用变形有：(1)＝，＝，＝.asin A b sin B b sin B c sin C a sin A c sin C (2)＝，＝，＝.a b sin A sin B a c sin A sin C b c sin B sin C (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B .(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .跟踪演练1　在钝角△ABC 中，如何证明＝＝仍然成立？a sin Ab sin B csin C证明　如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则＝sin A ，即CD ＝b sin A ；CD b ＝sin(180°－B )＝sin B ，CD a因此b sin A ＝a sin B ，即＝.asin A b sin B 同理可证，＝.因此＝＝.b sin Bc sin C a sin A b sin B c sin C 要点二　已知两角及一边解三角形例2　已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝20，A ＝30°，C ＝45°；(2)a ＝8，B ＝60°，C ＝75°.解　(1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝＝＝40sin(45°＋60°)a sin Bsin A 20sin 105°sin 30°＝10(＋)；62c ＝＝＝20，a sin C sin A 20sin 45°sin 30°2∴B ＝105°，b ＝10(＋)，c ＝20.622(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理＝，bsin B a sin A 得b ＝＝＝4，a sin Bsin A 8×sin 60°sin 45°6由正弦定理＝，a sin A csin C 得c ＝＝＝＝4(＋1)．a sin C sin A 8×sin 75°sin 45°8×2＋64223∴A ＝45°，b ＝4，c ＝4(＋1)．63规律方法　已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪演练2　在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c .解　由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，asin A c sin C 得c ＝a ·＝5·＝5·sin C sin A sin 105°sin 30°sin (60°＋45°)sin 30°＝5·＝(＋)．sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°5262要点三　已知两边及一边的对角解三角形例3　在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：(1)a ＝1，b ＝，A ＝30°；3(2)a ＝，b ＝1，B ＝120°.3解　(1)根据正弦定理，sin B ＝＝＝.b sin Aa 3sin 30°132∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴c ＝＝＝2；b sin C sin B 3sin 60°当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝＝＝>1.a sin Bb 3sin 120°132因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．规律方法　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪演练3　已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝，C ＝；6π3(2)a ＝2，c ＝，A ＝.6π4解　(1)∵＝，∴sin A ＝＝.a sin A csin C a sin C c 22∵c >a ，∴C >A .∴A ＝.π4∴B ＝，b ＝＝＝＋1.5π12c sin B sin C 6·sin5π12sin π33(2)∵＝，∴sin C ＝＝.a sin A c sin C c sin A a 32又∵a <c ，∴C ＝或.π32π3当C ＝时，B ＝，b ＝＝＋1.π35π12a sin B sin A 3当C＝时，B ＝，b ＝＝－1.2π3π12a sin B sin A 31．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案　A解析　由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔a >b ⇔A >B .2．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sin BB ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b sin A 答案　C解析　由正弦定理＝，得a sin B ＝b sin A ，故选C.a sin A bsin B 3．在△ABC 中，已知A ＝150°，a ＝3，则其外接圆的半径R 的值为( )A ．3B.3C ．2D ．不确定答案　A解析　在△ABC 中，由正弦定理得＝＝6＝2R ，∴R ＝3.a sin A 3sin 150°4．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案　B解析　由sin A ＝sin C 知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．5．在△ABC 中，已知a ＝，sin C ＝2sin A ，则c ＝________.5答案　25解析　由正弦定理，得c ＝＝2a ＝2.a sin Csin A 51．正弦定理的表示形式：＝＝＝2R ，或a ＝k sinA ，b ＝k sinB ，c ＝k sin a sin A b sin B csin C C (k >0)．2．正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。

人教B版高中数学必修五备课精选教案正弦定理

1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b cA B C==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B =sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。