第1章数学知识2014
高中数学必修1-第一章-集合与函数概念-知识点
第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的A⊆（或B⊇Ａ）子集。
记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。
⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A（2）.“包含”关系（2）—真子集A⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果集合B如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
2014秋入学高中数学必修一第一章_集合与函数概念分节详解及练习
§1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.A BB A A B A B A ． B ．C ．D ．【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.§1.1.3 集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到B （读作“B （读作“{|B x x ={|B x x =¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求ð.\【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()ABC ； （2）()A A BC ð.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.§1.1.3 集合的基本运算（二）¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14B 组题2）【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a的值．【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= .§1.2.1 函数的概念¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.§1.2.2 函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．.【例2】已知f (x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.【例3】画出下列函数的图象： （1）|2|y x =-；（2）|1||24|y x x =-++.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.§1.3.1 函数的单调性¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.§1.3.1 函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac ba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.【例3】求函数2y x =的最小值.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.§1.3.2 函数的奇偶性¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.复习【例1】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= .【例2】已知()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明.【例3】集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A B B =，求实数m 的取值范围.【例4】设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x ∈R .。
2014年高中数学(思维启迪+状元随笔)第一章 集合与函数概念章末高效整合同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
1．(1)设集合 A＝{x|y＝x }，B＝{(x，y)|y＝x }， 则 A∩B＝______； (2)集合 A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素 的个数是( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2
2
解析： (1)集合 A 中的元素为数，即表示二次函 数 y＝ x2 自变量的取值集合； 集合 B 中的元素为点， 2 即表示抛物线 y＝x 上的点的集合．这两个集合不 可能有相同的元素，故 A∩B＝∅. (2)集合 A 中的元素是点集， ∵x∈ N， y∈N，x＋ y≤1 ∴满足条件的点为 (0,0)、(0,1)、(1,0)共 3 个．即集 合 A 中元素的个数为 3. 答案： (1)∅ (2)C
(3)单调性与奇偶性应用的注意点 ①若一个函数在两个不同的区间上具有相同的单 调性，则区间之间应用“和”连接，而不能用 “∪”． ②函数奇偶性的判断中应先求定义域，若定义域 关于原点对称，再依据定义判断奇偶性． ③对于奇函数，若它在 x＝0 处有意义，则它的图 象必过原点，即 f(0)＝0.
集合表示方法及集合中元素的特性 【点拨】 常用的集合表示方法有列举法、描述法和 图示法，有限集常用列举法表示，而无限集常用描述 法．描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它 的“代表”元素，如： A＝{y|y＝2x＋3}中的元素为函数 y＝2x＋3 的函数值， A 为值域； B＝{x|y＝2x＋3}中的元素为函数 y＝2x＋3 的自变量 的取值，B 为定义域； C＝{(x， y)|y＝2x＋3}中的元素为方程 y＝2x＋3 的解， 也可以看作函数 y＝2x＋3 图象上的点，C 是解集或 点集．
集合的关系及运算
【点拨】 集合间的关系及运算是集合的核心，解 决此类问题，应从元素入手，弄清元素与集合、集 合与集合之间的关系，对于含有参数的问题经常进 行等价转化，一般先化简集合，然后利用数形结合 来解决．
第1章高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
§1．1集合¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
2014年人教版新课标数学必修二：第1章-1.1第2课时(ppt课件)
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新课标· 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修2
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●重点难点 重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和 简单组合体的结构特征． 重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生 观察、分析实物体，并结合旋转体的概念，抽象概括出圆 柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特 征，进而在观察思考中形成概念，突出圆锥与圆台间的内在
菜 单
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2．过程与方法 (1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆 柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征． (2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的 结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学 生学习的积极性，同时提高学生的观察能力． (2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．
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联系，突破重点的同时化解难点．
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●教学建议 本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习 可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球 的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点， 教学时，建议采用启导法和多媒体辅助教学法，引导学生从 熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间 图形，通过整体观察、直观感知，引导学生多角度、多层次 地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
四年级上册数学课件 - 第一章大数的认识 亿以内数的读法和写法人教新课标2014秋 (共17张PPT)
470050 读作：四十七万零五十 3070800 读作：三百零七万千零八百
30600900 读作：三千零六十万零九百 100000000 读作：一亿
三、知识应用。
4. 用0，0，0，1，2，3，4七个数字按要求组成一个七位 数。
问题：小组交流，你是怎么想的。 预设：0放在每个数级的前面或中间读0，连续的 几个0只读一个0，0放在每个数级的末尾不读0。
三、知识应用。
5. 用四个6和三个0按下面的要求组成一个七位数。 （1）组成三个0都不读出来的数： （2）组成只读出一个0的数： （3）组成只读出两个0的数： （4）组成三个0都读出来的数：
四.课堂小结
通过这节课的学习,你有什么收获?
通过本节课的学习,知道了读亿以内的数时,
1.先读万级，再读个级；
亿以内数的读法
一、复习回顾
1、看谁读得又对又快。
2683
104 6005 4700
读作：二千六百八十三 读作：一百零四
读作：六千零五 读作：四千七百
万以内的数怎么读?
一、复习回顾
从高位读起，千位上是几就 读几千，百位上是几就读几百 ，十位上是几就读几十，个位 上是几就读几，哪一位上一个 单位都没有就读零。
一、复习回顾
2、口答
万级
个级
位 千位 位百 十位 万位 位千 位百 位十 个 万 万万
问题：(1) 个级有哪几位？ (2) 万级有哪几位？
一、复习回顾
练习：读出下面每组数.(课本第6页做一做第1题
34和340000
34 读作：三十四
340000 读作：三十四万
3004和30040000
3004 读作：三千零四
30040000 读作：三千零四万
高一数学第一章知识点全部
高一数学第一章知识点全部高一数学第一章主要介绍了数与代数的基本概念和运算法则。
本章的知识点包括数的分类、数的表达方式、有理数与无理数、代数式和一元一次方程等内容。
下面将逐一进行详细介绍。
一、数的分类数是人们用来度量事物数量和比较大小的工具。
数的分类主要有自然数、整数、有理数和无理数四种类型。
1.自然数：自然数是人们最早掌握的数，它包括了0和所有正整数，用N表示。
2.整数：整数包括了自然数和负整数，用Z表示。
3.有理数：有理数包括了整数和所有可以表示为两个整数之比的数，用Q表示。
有理数可以是有限小数或循环小数。
4.无理数：无理数是指不能表示为两个整数之比的数，它们的小数形式是无限不循环的，用R-Q表示。
无理数包括了开方数、圆周率π等。
二、数的表达方式数的表达方式有数轴上的点表示法、数的集合表示法和数的分数表示法。
1.数轴上的点表示法：我们可以用数轴上的点表示一个数，数轴上的0点表示0，右侧的点表示正数，左侧的点表示负数。
例如，数轴上的点A表示数a。
2.数的集合表示法：将一个数的集合用花括号{}括起来表示，例如整数集合Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。
3.数的分数表示法：有理数可以用分数表示，分数由分子和分母组成，分子表示等份中的几份，分母表示等份的总数。
例如，数a可以表示为分数a/b。
三、有理数与无理数有理数和无理数是数的两个主要分类。
1.有理数：有理数包括了整数和可以表示为两个整数之比的数。
有理数可以进行四则运算，并保持运算的封闭性。
例如，2和-3是有理数。
2.无理数：无理数是指不能表示为两个整数之比的数，它们的小数形式是无限不循环的。
无理数可以通过近似值的方式表示。
例如，√2和π是无理数。
四、代数式代数式由数、字母和运算符号组成。
它是数学中表示各种数量关系和运算规律的一种方式。
代数式可以进行各种运算，如常数相加减、代数式相加减、代数式乘法和代数式除法等。
1.常数：常数是一个没有字母的代数式，例如3、5等。
数学第一章第二章知识点
1 / 10第一章勾股定理复习专题一、知识要点回顾：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 ；如果直角三角形两直角边分2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足 ，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数 ， ， 4．直角三角形斜边上的高为------------------。
二、典型例题解析与练习专题一：勾股定理例题1、在Rt △ABC ，∠C=90°则：⑴已知a=b=5，求c 2。
⑵已知a=1,c=2, 求b 2。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=3：4,c=25, 求 b 。
例题2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。
练习：1、已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。
例题3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm。
⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
例题4、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm ，BC=24cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗？DBA2 / 10练习。
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上一点F 处，且△ABF 的面积是30cm 2．(1)求此时AD 的长． (2)求DE 的长。
2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4 CD ．5例题5、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。
练习：1．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 2．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．3、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是_________（3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）4、如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的长为_______.5、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________6、如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．7.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．AC DBll 2 l 3ACBABCFEDCBA专题二：勾股定理的逆定理例题1、判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三边长之比为 3∶4∶5；练习： 1、试判断下列三角形是否是直角三角形：⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
2014年人教版新课标数学必修二：第1章-1.2(1、2)(ppt课件)
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
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●重点难点 重点：(1)中心投影、平行投影的概念与特点；(2)三视 图的画法规则及画空间几何体的三视图，体会三视图的作 用． 难点：识别三视图所表示的空间几何体． 重难点突破：通过动画演示投影的形成过程，使学生直 观、生动地感悟，使抽象问题具体化，加速学生对投影概念
●教学建议 由于本节知识具有由抽象到具体再到抽象、空间思维难 度较大的特点，建议采用直观教学法、启导发现法进行讲 解．以多媒体播放手影表演、皮影戏的动画为切入点，激发 学生的学习兴趣，引出投影的概念，在此基础上，通过变换 投影点及物体的摆放位置，形象生动地刻画三视图的形成过 程，然后通过学生自己思考操作来寻求三视图中的量的关 系．最后通过典例训练突破本节教学的重难点．
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高中数学知识点总结第一章
高中数学 知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N* 或N + 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B {x A A =∅=∅B A ⊆ B B ⊆B {x A A = A ∅=B A ⊇ B B ⊇A ð{x ()U A =∅ð ()U A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法()()()U U A B A B =痧?()()()U U A B A B =痧?（2）一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由yxo于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)a f xx a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈， 都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在处有定义，则．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图： ①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位 0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换 01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸 ③对称变换 ()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事有
N＝m1 · m2· …· mn 种不同的方法．原理的核心是每一个步 ________________ 骤都依次完成后，这件事情才能完成． 例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层 有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人
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且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，
在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好
分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方 法，必属于某一类且仅属于某一类．
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变 式 迁 移
1．(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学
为数学科代表，则不同选法的种数有( A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 (2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完 成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中 选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( A．12种 B．32种 C．24种 D．64种 )
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高三(3)
31
20
51
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同 的选法？ (2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学 生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选 法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选 法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选
)
A．8个 B．9个 C．10个 D．12个
变 式 训 练
解析：根据分步乘法计数原理，得不同的值
九年级上册数学第一章知识点
九年级上册数学第一章知识点
九年级上册数学第一章知识点主要包括：
1. 实数及其性质：实数的定义，实数的分类（有理数和无理数），实数的性质（比大小，有序性，无限性等）。
2. 整式的概念：单项式、多项式的定义，常数项、系数、次数的概念。
3. 多项式的运算：多项式的相加、相减、相乘，乘法公式，提取公因式，合并同类项。
4. 因式分解：多项式的因式分解，提取公因式法，配方法，差平方法等。
5. 分式的概念：分式的定义，分子、分母的概念，分式的化简。
6. 一元一次方程：方程的定义，等式的性质，一元一次方程的解集，解一元一次方程
的方法。
7. 一元一次方程的应用：利用一元一次方程解决实际问题，如速度、距离、时间的关
系问题等。
8. 一次函数：函数的定义，自变量和因变量的概念，一次函数的图象、性质及表示方法。
9. 二次函数：二次函数的定义，顶点、对称轴的概念，二次函数的图象、性质及表示
方法。
10. 一元二次方程：一元二次方程的定义，一元二次方程的解集，解一元二次方程的方法。
11. 平方根与实数：平方根的概念，开方运算及性质，二次根式的化简与求值。
12. 平面直角坐标系与图形的性质：平面直角坐标系的概念，坐标的定义，图形的对称性和特殊性质。
(修改2014) 第三讲：第1章第三节,数学的魅力
点” 这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听
到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给
出找到零点的方法。
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杭州市江干区
至少有两个人头发根数一样多 构造性证明 ：
一个一个地去数杭州市江干区 中所有人的头发 根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张 三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
i 1
证明： s i 110i 1 2 10i 2 ... i 100 10si 10i 2 10i 1 ... i 101 (2) (1)得： 9s i 10i 10i 1 ... 101 i 1 1 i 1
把三个角撕到一起验证180度 或把三个角折到一起验证180度 小学数学中的很多结论尽管都是用直观实验的办法
验证，但同样要遵守逻辑规则。 进一步验证： 提出问题：三角形内角和为180度 验证： 1.长方形的四个角都是90度，其和为360度（已知 判断） 2.将长方形纸沿对角线剪成两个直角三角形，每个 直角三角形的内角和为180度。（新判断）
……能归纳得到猜想吗？
它在何时终止？
缺8数
8=发？
12345679缺8.
但是：12345679×9=111 111 111（清一色！）
12345679×18=222 222 222 …… 12345679×72=888 888 888 (就发！？） 12345679×81=999 999 999 （九五之尊？） …… 发挥你的数学素养：特殊到一般，归纳总结，得到猜想。 能证明吗？怎样证明？
明！方法：1）构造性证明；2）纯存在性证 明） 构造性证明：如： a=88209k,b=90288k,c=126225k.那么，对任 一正整数k,数组a,b,c都是一组勾股数。
高一数学第1章知识点总结
高一数学第1章知识点总结第一节：集合与命题集合是数学中的重要概念之一，它是由一些确定的对象所组成的整体。
集合的表示方法有描述法和列举法。
集合运算包括交集、并集、差集等，这些运算都符合一定的性质和定律。
命题是陈述句，它要么是真，要么是假。
命题的连接词有“与”、“或”、“非”等。
根据命题的连接词，可以推导出不同的命题关系，如合取、析取、否定等。
第二节：函数函数是一种特殊的关系。
对于一个函数，在定义域中的每一个元素都有唯一的映射结果。
函数的表示方法包括映射图、映射式和函数图像等。
常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数等。
函数的性质有奇偶性、单调性、增减性等。
函数的运算包括函数的加法、乘法、复合函数等。
第三节：数列数列是按照一定规律排列的一组数。
数列的表示方法有通项公式、递推公式等。
常见的数列类型有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
数列的性质有有界性、单调性、等差性、等比性等。
数列的运算包括数列的加法、减法、乘法等。
第四节：集合的运算与函数的运算集合的运算包括交、并、差、补等。
函数的运算包括加法、减法、乘法、复合函数等。
集合的运算和函数的运算在性质和规则上具有一定的相似性。
通过集合的运算和函数的运算，可以解决一些实际问题，如集合的交集可以表示共同的特征，函数的复合可以表示一系列的动作。
第五节：数列的递推关系数列的递推关系描述了数列中第n项与前一项之间的关系。
递推关系可以用递推公式表示。
通过递推关系，可以求解出数列中的任意项。
数列的递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。
根据递推关系的不同形式，可以计算出数列的通项公式，进而进一步研究数列的性质和规律。
总结：高一数学第1章主要介绍了集合与命题、函数、数列、集合的运算与函数的运算、数列的递推关系等知识点。
这些知识点是数学学习的基础，对于建立数学思维和解决实际问题都具有重要意义。
通过对这些知识点的学习和理解，可以为后续的数学学习打下坚实的基础。
2014新湘教版八年级下册第1章直角三角形数学教案
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（第1课时）教学目标：1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。
3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。
4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。
难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。
教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?二、新授（一）直角三角形性质定理1请学生看图形：1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。
3、巩固练习：练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理11、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”2、利用三角形内角和定理进行推理3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理21、实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边AB的长度（2）找到斜边的中点，用字母D表示（3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
初一数学第1章有理数知识点总结
20XX年初一数学第1章有理数知识点总结初一数学课本上的第1章就是有理数的知识，关于有理数的知识点总结有哪些呢?下面小编收集整理的初一数学第1章有理数知识点的总结以供大家学习。
初一数学第1章有理数知识点：正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数;当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。
(如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断)②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃;零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人;⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
初一数学第1章有理数知识点：有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数整数正有理数正分数有理数有理数(0不能忽视) 负整数分数负有理数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数初一数学第1章有理数知识点：数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
人教版数学四年级第一章知识点
人教版数学四年级第一章知识点第一章大数的认识1.1整数的读法1.1.1万以内数的读法读万以内的数,要从最高位起,按照数位的顺序读.千位上是几就读几千，百位上是几就读几百，十位上是几就读几十，个位上是几就读几；中间有一个“0”或者两个“0”，只读一个“零”；末尾无论有几个“0”都不读．1.1.2.万以上数的读法读万以上的数，从高位到低位，一级一级地读．读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字．每一级末尾的0都不读，其他数位连续有几个0都只读一个零．1.2整数的写法从高位起，一级一级地往下写，先写亿级，再写万级，最后写个级．例：三千零八十二万四千零六写作：30824006 ．1.3计数单位一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是整数的计数单位．“一”是基本单位，其他计数单位又叫辅助单位．每相邻的两个计数单位之间的进率是十，十个较低的单位等于一个较高的单位．1.4数位顺序表①整数的数位顺序表通常把按照数位的顺序从右到左排列的数位表，叫做数位顺序表．②数级按我国的读数习惯，采用四位分级法，即从个位起，每四个数位作为一级．个、十、百、千四位称为个级；万、十万、百万、千万四位称为万级；亿、十亿、百亿、千亿四位称为亿级⋯⋯个级、万级、亿级⋯⋯称为数级．1.5数位与位值①位在记数时，计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位．例如9357中的“5”在右起第二位，即“5”所在的数位是十位．②位值数字本身与它所占的位置结合起来所表示的数值叫做“位值”．例如在“44404”中，个位上的“4”表示4个一，万位上的“4”表示4个万．③高位和低位在一个数里，某一位左边的数位，就是这一位以及它右边的数位的高位，某一位右边的数位，就是这一位以及它左边的数位的低位；一个数左起的第一位，就是这个数的最高位，一个数右起的第一位，就是这个数的最低位．在整数范围内，个位是最低位，例如在一个五位数中，百位相对于千位、万位来说是低位，这个数的最低位是个位．④位数位数是指一个自然数是用几个数字写出来(最左端的数字不能是0)的，有几个数字就是几位数,或者说，一个自然数含有几个数位，就是几位数．例如9052含有四个数位，则9052就是四位数．⑤最小、最大的一位数和两位数在自然数的范围内，含有一个数位的自然数叫做一位数．例如1，2，3，4，⋯，9都是一位数，共有九个．最小的一位数是1，最大的一位数是9；最小的两位数是10，最大的两位数是99．难点疑点解析：0不是最小的一位数0不是一位数．如果“0”是一位数，那么“00”就应该是两位数，“000”就应该是三位数⋯⋯这与“位数越多，这个自然数就越大”的自然数大小判定方法相矛盾．所以0不是一位数，更不是最小的一位数．1.6自然数自然数的意义自然数起源于数数，在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，⋯都叫做自然数．一个物体也没有，用“0”表示．0也是自然数，而且是最小的自然数．没有最大的自然数．2．自然数的基本单位“1”是自然数的基本单位，任何非零的自然数都是由若干个“1”组成．3．自然数的两种意义(1) 基数自然数用来表示物体的多少时叫做基数．例如“45个学生”中的“45”是基数．(2) 序数自然数用来表示物体的次序时叫做序数．例如“李明站在第8列第3行”中的“8”、“3”都是序数．4．0的意义和作用自然数“0”表示没有，仅是最初的意义．随着人类社会不断进步和数学研究不断深入，人们对“0”的认识也在不断发展．“0”不仅表示“没有”，而且还可以表示特定的数值．例如“今天气温是0摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是表示在一个标准大气压下，冰水混合物的温度的数值；在测量工具上，“0刻度线”是计量的起点；在写数、运算时，“0”还有占位的作用；当引入负数后，0是唯一的一个中性数……0的作用：(1) 在数中起占位作用，表示该数位上一个计数单位也没有；(2) 表示起点；(3)表示分界线．1.7十进制计数法的意义每相邻的两个计数单位之间的进率都是10，十个较低的单位等于一个较高的单位，这样的计数方法称为十进制计数法．即10个一等于1个十、10个十等于1个百1.8整数的大小比较如果两个数的位数不相同，那么位数较多的那个数就大．①如果两个数的位数相同，最高位上的数字较大的那个数就大．例：500>499；20001>19999．②如果两个数的位数相同，并且最高位上的数字也相同，这时，左边第二位上的数字大的那个数就大．如果左边第二位上的数字也相同，就看这两个数的左边第三位，第三位上的数字大的那个数就大．以此类推，直到比出两个数的大小为止．例：486>476；485<486．1.9整万、整亿数的改写改写的方法：把万位后面的4个0或亿位后面的8个0省略，换成一个“万”字或“亿”字．例把下面各数改写成用“万”或“亿”作单位的数．100000=(10)万30200000000=(302)亿1.10准确数和近似数①准确数在人类的实践活动中，经常遇到各种各样的数据，有的数据是与实际完全符合的，叫做准确数．例如某班有45名学生，这里的45就是准确数．②近似数有些数据不可能或不需要用准确数来表示，只是取与原来实际数很接近或与实际大体符合的一个数，这样的数叫做近似数．例如月球离地球的距离大约是38万千米，这里的38万是近似数．③表示准确数与近似数之间关系的符号因为近似数是接近于其准确值的数，大小发生了变化，所以准确数与近似数中间不能用“=”连接，应用“≈”(≈是约等号，读作:约等于)来连接．④近似数的应用(1)用于统计数据．对大的数目进行统计时，一般取近似数．例如某城市有1200万人，并不是指正好是1200万人．显然，1200万就是近似数．(2)用于表示计算的结果．在计算中也常遇到近似数，例如 1÷3≈0.33，0.33也是近似数．(3)用于表示测量的结果．在测量物体的长度、称物体的质量时，所得的结果一般是近似数，如用“米”去量桌子的长度是1米；用“厘米”去量桌子的长度是99厘米，用“毫米”去量桌子的长度是993毫米，这里的1，99，993都是近似数．1.11求近似数的方法近似数是把一个数按照具体要求截取到指定的数位而得到的，求近似数的方法一般有以下三种：1.12珠算算盘的认识比较常见的算盘有七珠算盘和五珠算盘．。
2014-2015中考数学总复习-第一轮-第一章 第1讲 实数的相关概念
思路分析：较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法 保留有效数字，要在标准形式 a × 10n中 a 的部分保留，从左边第一个不为 0 的 数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
答案：B。 39 360=3.936×104≈3.94×104
方法指导：用科学记数法表示的数必须满足a×10n(1≤|a|＜10，n为整数，表示时 关键要正确确定a的值以及n的值。)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位 的换算；查有效数字时，要从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位 为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
）
D. －a－2.5
思路分析: （ 1 ）因为绝对值符号里面的 a － 2.5 是负 数，去掉绝对值之后，结果为它的相反数， 所以答案为 2.5 － a ，故答案选 B ． （ 2 ）由题中的图可知， |a － 2.5| 表示的意义是数 a 与数 2.5 所表示的两点 之间的距离，而这两点之间的距离为 2.5 － a ，故答案选 B ． 答案： B. 方法指导：解决绝对值的问题通常有两种思路，一是根据绝对值的计算法则去掉 绝对值；二是根据绝对值的几何意义直接计算．
4．绝对值：数轴上表示数 a的点与 原点 的距离叫做数a 的绝对值。即一个正数的
绝对值是它 本身 ；0的绝对值是 0 ；一个负数的绝对值是它的 相反数 。
a ( a>0 ) 即│a│= 0 ( a=0 ) -a ( a<0 )
n a 10 5．科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤ │a│ ＜10的数，n是
考点即时练 3．如图，数轴上表示数-2的相反数的点是（ A．点P B．点Q C．点M D．点N ）
答案： A 4．（2013张家界）﹣2013的绝对值是（ A.﹣2013 B. 2013 C. ） D.﹣
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连续性方程
其中
拉普拉斯算子
利用哈密顿算子进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量 运算。
例题6. 分别写出
在直角坐标下的表达式.
解:
高等流体力学
主讲：江彦 汽车工程学院热能工程系
第1章 数学基础
1.1 场的概念
场：一种函数，描述空间区域或空间与时间的函数 数学场——用标量描述空间叫标量场，用向量表示叫向 量场。 物理场——物理量在空间的变化规律。 温度场、密度场、速度场、力场等。
场的变化（数学处理方法） 梯度：gradient 散度：divergence 旋度：rotation a-标量 a-向量 a-向量
流体为绕通过其中心的瞬时轴旋转角速度的2倍
无旋流动
1.2 高斯公式
一. 定义： 把体积分和面积分联系起来的公式 二. 推广：
任意标量 a任意向量 外法线方向
外面积 A 体 积
把哈密顿算子用n代替即可。 物理意义：如果a为速度矢量，则流体块内源在单位时间内产生 的流体质量等于单位时间内经流体块的流出的流体质量。
u x, y, z
一、标量场
——为一曲面 向量垂直于曲面，正向指
增加的方向。 标量场数值不随坐标变换而变化。 二、向量场 标量
向
张量 向量场数值方向随坐标变换而变化。
例： 1.速度场的梯度
为一速度势函数 速度（向量）
2.速度的散度： （不可压缩流体的连续性方程）
流动相对体积膨胀率
3.速度的旋度：
,
பைடு நூலகம்
求:
是位置矢量.
解:
.
1.4 二阶张量
一、定义 标量、矢量和张量 1.标量是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。 2.矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空间 坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。 3.三维空间中的二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整的 表示，如应力，变形速率。 三维空间中的 n 阶张量由 3n 个分量组成。 标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量 4.二阶张量有9个分量，通常也可表示为矩阵形式，即
n为自由指标
m为哑指标
3.克罗内克(Kronecker)符号
ij
符号具有以下重要性质：
4.置换符号 :
i、j、k 中有两个以上指标相同时 i、j、k 偶排列，123，231，312 i、j、k 奇排列 ，213，321，132
有以下重要性质： ijk
例题1. 展开下列求和式， 解：
例题2. 已知,
1.3 笛卡尔张量
一、指标表示法和符号约定 1.指标表示法
x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， 而三个单位矢量 分别计作
也可表示为， i 是自由指标，可取1、2、3。
2.求和约定
①在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:
重复出现的指标称为哑指标， 改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。 ② 方程同一项中只出现一次的指标为自由指标。 取不同值有n个的话，则方程有n个。
一个反对称张量只有 3 个独立的分量，对角线各元素均为零 。
4.张量分解定理
一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之 和：
容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。
5.张量的微分运算
梯度
设矢量 ，则
一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲， 一个 n 阶张量的梯度是 阶张量。
任一正交坐标变换后均保持不变，则称此张量为各向同性张量。
零阶张量（标量）和任意阶零张量都是各向同性张量。这里零张
量是指全部分量值均为零的张量。
一阶张量（矢量）除零矢量外，都是各向异性张量。
例题3. 设
，求
解：
例题4.
解
例题5. 写出下述方程在直角坐标系中的表达式
式中τ 是切应力张量(二阶张量). 解. 将上述矢量用张量表示法写出,
散度
设二阶张量 ，
一个二阶张量的散度是一个矢量。一般来讲，一个 阶张量。
阶张量的散度是
6.各向同性张量
在连续介质力学中，通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向 无关，即介质是各向同性的连续介质。表示这类力学性质的张量 称为各向同性张量，如流体粘性，电导率等。在数学上可作以下 定义，若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值，经过
1.5 哈密顿算子及其运算规则
Hemilton Operator ——作用于某一函数 定义：
具有微分及向量双重运算性质的算子
1.作用于一标量函数
为一向量： 梯度
2.作用于一向量 点积，结果为
标量： 散度
3.作用于一向量 叉乘，结果为一向量：
旋度
A B B A
为标量，A、B向量，有下列等式：
二、二阶张量的代数运算 1.张量相等
两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ， ，若 则 若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系 中 也相等。
2.张量加减
设 、 ，则 张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张 量才能相加减。
3.张量数乘
二阶张量 乘以标量 , ，则 张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。
三、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
1.共轭张量
设 P 是一个二阶张量，则 可表示为 也为一个二阶张量，称为 P 的共轭张量，
2.对称张量
若二阶张量分量 之间满足
则称此张量为对称张量，可表示为 一个对称张量，只有6个独立的分量。
3.反对称张量
若二阶张量分量 之间满足
则称此张量为反对称对张量，可表示为