abaqus系列教程-09显式非线性动态分析

9.2.3 显式时间积分方法的优越性
显式方法特别地适用于求解高速动力学事件，它需要许多小的时间增量来获得高 精度的解答。如果事件持续的时间是非常短，则可能得到高效率的解答。 在显式方法中可以很容易地模拟接触条件和其它一些极度不连续的情况，并且能 够一个节点一个节点地求解而不必迭代。为了平衡在接触时的外力和内力，可以调整 节点加速度。 显式方法最显著的特点是没有在隐式方法中所需要的整体切线刚度矩阵。由于是 显式地前推模型的状态，所以不需要迭代和收敛准则。
然而，如果模型包含高度的非连续过程，如接触和滑动摩擦，则有可能失去二次 收敛，而是可能需要大量的迭代过程。为了满足平衡条件，减小时间增量的值可能是 必要的。在极端情况下，在隐式分析中的求解时间增量值可能与在显式分析中的典型
9-5
稳定时间增量值在同一量级上，但是仍然承担着隐式迭代的高昂求解成本。在某些情 况下，应用隐式方法甚至可能不会收敛。 在隐式分析中，每一次迭代都需要求解大型的线性方程组，这一过程需要占用相 当数量的计算资源、磁盘空间和内存。对于大型问题，对这些方程求解器的需求优于 对单元和材料的计算的需求，对于在 ABAQUS/Explicit 中的分析这是类似的。随着问 题尺度的增加，对方程求解器的需求迅速地增加，因此在实践中，隐式分析的最大尺 度常常取决于给定计算机中的磁盘空间的大小和可用内存的数量，而不是取决于需要 的计算时间。
9-3
使该方法产生精确的结果， 时间增量必须相当小， 这样在增量步中加速度几乎为常数。 由于时间增量步必须很小，一个典型的分析需要成千上万个增量步。幸运的是，因为 不必同时求解联立方程组，所以每一个增量步的计算成本很低。大部分的计算成本消 耗在单元的计算上，以此确定作用在节点上的单元内力。单元的计算包括确定单元应 变和应用材料本构关系（单元刚度）确定单元应力，从而进一步地计算内力。 这里给出了显式动力学方法的总结： 1. 节点计算 a. 动力学平衡方程
ˆ c P I M u K j j j j j j
ˆ 是关于本次迭代的切 对于较大的模型，这是一个昂贵的计算过程。有效刚度矩阵 K j
向刚度矩阵和质量矩阵的线性组合。直到一些量满足了给定的容许误差才结束迭代， 如力残差、 位移修正值等。 对于一个光滑的非线性响应， Newton 方法以二次速率收敛， 描述如下： 迭代 1 2 3 . . . 相对误差 1 10-2 10-4 . . .
9.1 ABAQUS/Explicit 适用的问题类型
在讨论显式动态程序如何工作之前，有必要了解 ABAQUS/Explicit 适合于求解哪 些类问题。贯穿这本手册，我们已经提供了贴切的例题，它们一般是应用 ABAQUS/Explicit 求解的如下类型问题： 高速动力学（high-speed dynamic）事件 最初发展显式动力学方法是为了分析那些用隐式方法（如 ABAQUS/Standard）分析起来可能极端费时的高速动力学事件。作为此类模拟的 例子，在第 10 章“材料”中分析了一块钢板在短时爆炸载荷下的响应。因为迅速 施加的巨大载荷，结构的响应变化的非常快。对于捕获动力响应，精确地跟踪板 内的应力波是非常重要的。由于应力波与系统的最高阶频率相关联，因此为了得 到精确解答需要许多小的时间增量。
tstable
而有阻尼的稳定性限制由下面的表达式定义
2
max
tstable
2
max
( 2 )
式中， 是最高频率模态的临界阻尼部分。（回顾临界阻尼，它定义了在自由的和有阻 尼的振动关系中在有振荡运动与无振荡运动之间的限制。为了控 制高频振荡， ABAQUS/Explicit 总是以体积粘性的形式引入一个小量的阻尼。）这也许与工程上的直 觉相反，阻尼通常是减小稳定性限制的。 在系统中的实际最高频率是基于一组复杂的相互作用因素，而且是不大可能计算 出确切的值。代替的办法是应用一个有效的和保守的简单估算。我们不是考虑模型整 体，而是估算在模型中每个个体单元的最高频率，它总是与膨胀模态有关。可以证明， 由逐个单元为基础确定的最高单元频率总是高于有限元组合模型的最高频率。 基于逐个单元的估算，稳定极限可以用单元长度 L 和材料波速 c d 重新定义：
(t t ) f ( (t ) , d )
c. 集成节点内力 I (t t ) 3. 设置时间 t 为 t t ，返回到步骤 1。
9.2.2 比较隐式和显式时间积分程序
对于隐式和显式时间积分程序，都是以所施加的外力 P、单元内力 I 和节点加速 度的形式定义平衡：
9-4
Mu = P - I
9-1
复杂的接触（contact）问题 应用显式动力学方法建立接触条件的公式要比应用隐式方法容易得多。结论 是 ABAQUS/Explicit 能够比较容易地分析包括许多独立物体相互作用的复杂接触 问题。ABAQUS/Explicit 是特别适合于分析受冲击载荷并随后在结构内部发生复 杂相互接触作用的结构的瞬间动态响应问题。在第 12 章“接触”中展示的电路板 跌落试验就是这类问题的一个例子。在这个例子中，一块插入在泡沫封装中的电 路板从 1m 的高度跌落到地板上。这个问题包括封装与地板之间的冲击，以及在 电路板和封装之间的接触条件的迅速变化。 复杂的后屈曲（postbuckling）问题 ABAQUS/Explicit 能够比较容易地解决不稳定的后屈曲问题。 在此类问题中， 随着载荷的施加，结构的刚度会发生剧烈的变化。在后屈曲响应中常常包括接触 相互作用的影响。 高度非线性的准静态（quasi-static）的问题 由于各种原因，ABAQUS/Explicit 常常能够有效的解决某些在本质上是静态 的问题。准静态过程模拟问题包括复杂的接触，如锻造、滚压和薄板成型等过程 一般地属于这类问题。薄板成型问题通常包含非常大的膜变形、褶皱和复杂的摩 擦接触条件。块体成型问题的特征有大扭曲、瞬间变形以及与模具之间的相互接 触。在第 13 章“ABAQUS/Explicit 准静态分析”中，将展示一个准静态成型模拟 的例子。 材料退化（degradation）和失效（failure） 在隐式分析程序中，材料的退化和失效常常导致严重的收敛困难，但是 ABAQUS/Explicit 能够很好地模拟这类材料。混凝土开裂的模型是一个材料退化 的例子，其拉伸裂缝导致了材料的刚度成为负值。金属的延性失效模型是一个材 料失效的例子，其材料刚度能够退化并且一直降低到零，在这段时间中，单元从 模型中被完全除掉。 这些类型分析的每一个问题都有可能包含温度和热传导的影响。
u(t ) (M)1 (P(t ) I(t ) )
b. 对时间显式积分
u
t (t ) 2
u
t (t ) 2

(t(t t ) t(t ) ) 2
(t t ) 2
ut
u(t t ) u(t ) t(t t ) u
2. 单元计算
a. 根据应变速率 ，计算单元应变增量 d b. 根据本构关系计算应力
9 显式非线性动态分析
在前面的章节中，已经考察了显式动态程序的基本内容；在本章中，将对这个问 题进行更详细的讨论。显式动态程序对于求解广泛的、各种各样的非线性固体和结构 力学问题是一种非常有效的工具。它常常对隐式求解器是一个补充，如 ABAQUS/Standard；从用户的观点来看，显式与隐式方法的区别在于： 显式方法需要很小的时间增量步，它仅依赖于模型的最高固有频率，而与载荷的类 型和持续的时间无关。通常的模拟需要取 10,000 至 1,000,000 个增量步，每个增量 步的计算成本相对较低。 隐式方法对时间增量步的大小没有内在的限制； 增量的大小通常取决于精度和收敛 情况。典型的隐式模拟所采用的增量步数目要比显式模拟小几个数量级。然而，由 于在每个增量步中必须求解一套全域的方程组，所以对于每一增量步的成本，隐式 方法远高于显式方法。 了解两个程序的这些特性，能够帮助你确定哪一种方法是更适合于你的问题。
9-2
9.2 动力学显式有限元方法
这一节包括 ABAQUS/Explicit 求解器的算法描述，在隐式和显式时间积分之间进 行比较，并讨论了显式方法的优越性。
9.2.1 显式时间积分
ABAQUS/Explicit 应用中心差分方法对运动方程进行显示的时间积分，应用一个 增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。在增量步开始时，程序求解动 力学平衡方程，表示为用节点质量矩阵 M 乘以节点加速度 u 等于节点的合力 （在所施 加的外力 P 与单元内力 I 之间的差值） ：
u|
t (t ) 2
u|
t (t ) 2

(t |(t t ) t |(t ) ) 2
u |(t )
速度对时间的积分并加上在增量步开始时的位移以确定增量步结束时的位移：
u |(t t ) u |(t ) t |(t t ) u |
(t
t ) 2
这样，在增量步开始时提供了满足动力学平衡条件的加速度。得到了加速度，在 时间上“显式地”前推速度和位移。所谓“显式”是指在增量步结束时的状态仅依赖 于该增量步开始时的位移、速度和加速度。这种方法精确地积分常值的加速度。为了
其中 M 是质量矩阵。 两个程序求解节点加速度，并应用同样的单元计算以获得单元内 力。两个程序之间最大的不同在于求解节点加速度的方式上。在隐式程序中，通过直 接求解的方法求解一组线性方程组，与应用显式方法节点计算的相对较低成本比较， 求解这组方程组的计算成本要高得多。 在完全 Newton 迭代求解方法的基础上，ABAQUS/Standard 使用自动增量步。在 时刻 t t 增量步结束时，Newton 方法寻求满足动力学平衡方程，并计算出同一时刻 的位移。由于隐式算法是无条件稳定的，所以时间增量 t 比应用于显式方法的时间增 量相对地大一些。对于非线性问题，每一个典型的增量步需要经过几次迭代才能获得 满足给定容许误差的解答。 每次 Newton 迭代都会得到对于位移增量 u j 的修正值 c j 。 每次迭代需要求解的一组瞬时方程为
致解答不收敛。由于一般不可能精确地确定稳定性限制，因而采用保守的估计值。因 为稳定性限制对可靠性和精确性有很大的影响， 所以必须一致性和保守地确定这个值。 为了提高计算的效率，ABAQUS/Explicit 选择时间增量，使其尽可能地接近而且又不 超过稳定性限制。
9.3.2 稳定性限制的定义
以在系统中的最高频率（ max ）的形式定义稳定性限制。无阻尼的稳定性限制由 下式定义
Mu = P - I
在当前增量步开始时（t 时刻） ，计算加速度为：
u |(t ) (M)1 (P Iwk.baidu.com |(t )
由于显式算法总是采用一个对角的、或者集中的质量矩阵，所以求解加速度并不 复杂；不必同时求解联立方程。任何节点的加速度是完全取决于节点质量和作用在节 点上的合力，使得节点计算的成本非常低。 对加速度在时间上进行积分采用中心差分方法，在计算速度的变化时假定加速度 为常数。应用这个速度的变化值加上前一个增量步中点的速度来确定当前增量步中点 的速度：
9.3 自动时间增量和稳定性
稳定性限制了 ABAQUS/Explicit 求解器所能采用的最大时间步长，这是应用 ABAQUS/Explicit 进行计算的一个重要因素。下面一节将描述稳定性限制并讨论在 ABAQUS/Explicit 中如何确定这个值，还将讨论影响稳定性限制的有关模型设计参数 的问题，这些模型参数包括模型的质量、材料和网格剖分。
9.3.1 显式方法的条件稳定性
应用显式方法，基于在增量步开始时刻 t 的模型状态，通过时间增量 t 前推到当 前时刻的模型状态。这个使得状态能够前推并仍能够保持对问题的精确描述的时间是 非常短的。如果时间增量是大于这个最大的时间步长，则此时间增量已经超出了稳定
9-6
性限制（stability limite） 。超过稳定性限制的一个可能后果就是数值不稳定，它可能导