中考专题训练圆的切线的性质与判定

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天津市中考数学一轮专题复习切线的性质与判定-人教版初中九年级全册数学试题

切线的性质与判定一选择题：1.如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）°°°°2.如图,△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E 等于（）°°°°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB 的位置关系是( )5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A，B是切点,点C是劣弧AB上的一个点,若∠P=40°,则∠ACB度数是( )A．80° B．110° C．120° D．140°6.已知如图, AB 是半圆 O 的直径,弦. AD 、 BC 相交于点 P ,那么等于∠ BPD 的（）A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对7.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°8.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A． B． C．3 D．29.如图，△ABC中AB=AC=5，BC=6，点P在边AB上，以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，则⊙P 的半径PE的长为( )A． B．2 C． D．⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，若∠CPD=20°，则∠CAP等于（）°°°°°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（）A.4：5B.2：5C.：2D.：12.如图，点A、B分别在x轴、y轴上（）,以AB为直径的圆经过原点O,C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①; ②若4,OB =2，则△ABC的面积等于5; ③若,则点C的坐标是（2，），其中正确的结论有（）13.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．1814.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值X围是（）A．r≥1 B．1≤r≤C．1≤r≤D．1≤r≤416.如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA.下面四个结论：①ED是⊙O的切线；②BC=2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD.正确的是（）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④17.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）B. C. D.18.如图,在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长最小值为( )A. C. D.19.如图,在△ABC中,AB=10,AC =8,BC=6,经过点C且与边相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ 长度的最小值是（）A. B. C. D．20.如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG=CH；②GH=；③直线GH的函数关系式；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二填空题:21.如图,点D为AC上一点,点O为AB上一点.AD=DO,以O为圆心,OD长为半径作圆，交AC于另一点E,交AB于点F，G，连接EF，若∠BAC=220，则∠EFG的大小为(度)22.如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为3的圆，与坐标轴的正半轴分别交于A、C两点，OB平分∠AOC，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则线段OP的取值X围是．⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为cm．24.如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M、N两点，现有半径为1的动圆圆心位于原点处，并以每秒1个单位的速度向右作平移运动．已知动圆在移动过程中与直线MN有公共点产生，当第一次出现公共点到最后一次出现公共点，这样一次过程中该动圆一共移动秒．25.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值是.26.如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF ⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=8，则k的值是．27.如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ与半圆O相切；②；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=．其中正确的是（请将正确结论的序号填在横线上）．28.如图，扇形OAB的半径为4，∠AOB=90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．（1）当P是OB中点，且PQ∥OA时（如图1），弧AQ的长为；（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP=3，则O到折痕PQ 的距离为．29.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．30.如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A →B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过路线围成的图形面积为．三简答题:31.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以O为圆心,OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．32.如图，已知AB是⊙的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC．∠PCA=∠B （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=6，PA=4，求直径AB的长．33.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长34.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，D为BC的中点．求证：DE与⊙O相切．35.如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．（1）求证：AB=AG；（2）若DG=DE，求证：GB2=GC•GA；（3）在（2）的条件下，若tanD=，EG=，求⊙O的半径．36.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求的值．37.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．38.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r 的取值X围为．39.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．40.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC 于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．参考答案5.B6.B7.C．8.B．9.A【解答】解：连结CP，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，∵AB=AC=5，∴BH=CH=BC=3，∴AH==4，∵以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，∴PE⊥BC，PF⊥AC，∵S△ABC=S△PAC+S△PBC，∴BC×AH=BC×PE+AC×PF，即6×4=6r+5r，∴r=．故选A．13.C17.B解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．20.D．试题分析：①∵四边形OABC是矩形，∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，∴∠HBE=∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH=OG，∴AG=CH．④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS），∴∠CHO=∠AGB．∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE．∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS），∴∠OHE=∠BGE．∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA，∴，设半径为r，则，解得r=．故选D．0 22.0＜OP≤3 23. 3 cm． 24.2 25.26.1627.①③【解答】解：①如图1连接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD，∵P是CD中点，O是AB中点，∴DP∥OB，DP═OB，∴四边形OBDP是平行四边形，∴OD∥BP，∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，又∵OQ=OB，∴∠3=∠OBQ，∴∠1=∠2，在△AOD和△QOD中，，∴△AOD≌△QOD，∴∠OQD=∠A=90°，∴DQ与半圆O相切，①正确；②如图2连接AQ，可得：∠AQB=90°，在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABQ=∠BPC，设正方形边长为x，则CP=x，由勾股定理可求：BP=，∴cos∠BPC=，cos∠ABQ=，∴=，又AB=x，可求，BQ=x，PQ=x，∴=，②不对；③如图3连接AQ，OQ，由①知，∠OQD=90°，又∠OAD=90°，可求∠ADQ+∠AOQ=180°，∵∠3+∠AOQ=180°，∴∠3=∠ADQ，由②知，∠1+∠4=90°，又∠4+∠CBP=90°，∴∠CBP=∠1，∵OA=OQ，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠CBP，∴∠ADQ=2∠CBP，故③正确；④如图4，过点Q作QH⊥CD，易证QH∥BC，设正方形边长为x，由②知：PQ=x，cos∠BPC=，可求：PH=x，HQ=x，∴DH=DP+PH=x，由勾股定理可求：DQ=x，∴cos∠CDQ==，故④不正确．综上所述：正确的有①③．28.（1）π；（2）．【解答】解：（1）如图1，连接OQ，∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，∴OP=2，OQ=4，∵PQ∥OA，∴∠BPQ=∠AOB=90°，∴∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，由弧AQ的长==π，故答案为：π；（2）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是所在圆的圆心，∴O′C=OB=4，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，∴O′C⊥AO，∴O′C∥OB，∴四边形OCO′B是矩形，在Rt△O′BP中，O′B==2，在Rt△OBO′K，OO′==2，∴OM=OO′=×2=，即O到折痕PQ的距离为，故答案为：．29.﹣330.4－π31.（1）证明：连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线．（2）解：过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD∴AC=AE，设AC=x，则AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中，即，解得x=6，∴AC=6．32.1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°，∵OB=OC，∴∠2=∠B，又∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠2，∴∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵PC是⊙O的切线，∴PC2=PA•PB，∴62=4×PB，解得：PB=9，∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5．33.1）证明略（3分）（2）BC=234【解答】解：连接OD，OE，∵O，D分别是AB，BC中点，∴OD∥AC，∴∠2=∠A，∠3=∠1，∵OA=OE，∴∠A=∠3，∴∠1=∠2，在△OED和△OBD中，，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠ABC=90°，∴DE⊥OE，∵点D在⊙O上，∴DE与⊙O相切．35.（1）证明：如图，连接OB．∵AB为⊙O切线，∴OB⊥AB，∴∠ABG+∠OBG=90°，∵点E为的中点，∴OE⊥CD，∴∠OEG+∠FGE=90°，又∵OB=OE，∴∠OBG=∠OEG，∴∠ABG=∠FGE，∵∠BGA=∠FGE，∴∠ABG=∠BGA，∴AB=AG；（2）证明：连接BC，∵DG=DE，∴∠DGE=∠DEG，由（1）得∠ABG=∠BGA，又∵∠BGA=∠DGE，∴∠A=∠D，∵∠GBC=∠D，∴∠GBC=∠A，∵∠BGC=∠AGB，∴△GBC∽△GAB，∴，∴GB2=GC•GA；（3）连接OD，在Rt△DEF中，tanD=，∴设EF=3x，则DF=4x，由勾股定理得DE=5x，∵DG=DE，∴DG=5x，∴GF=DG﹣DF=x．在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2+EF2=EG2，即（3x）2+x2=（）2，解得x=1，设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD=r，OF=r﹣3x=r﹣3，DF=4x=4，由勾股定理得：OF2+FD2=OD2，即（r﹣3）2+（4）2=r2，解得r=，∴⊙O的半径为．36.解：(1)连接OD，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90°，而OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线(2)∵OF∶OB＝1∶3，∴OF＝1，BF＝2，设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，而∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，又∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴＝＝，即＝＝，∴x＝2，∴＝＝37.（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD=，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴,∴OA=3，∴⊙O半径为3．38.（1）证明见解析；（2），；（3）＜r＜．（1）∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴CB=AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，又∵∠ABF=90°，AD=5，∴AB=10，∴BF=；扇形DOE的面积==；（3）连接OC，则圆心距OC=，由题意得，＜r＜，故答案为：＜r＜．39.（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．（2）∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等），又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，，即，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF==．40.（1）证明见试题解析；（2）．试题解析：（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE==AE，在RT△BEC中，tanC==．。

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D.不能确定的切线的性质与判定副标题题号 * 总分得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设。

的半径为厂，圆心。

到直线/的距离为丈 ①直线/和0。

相交②直线 /和。

相切od=r ；③直线/和。

0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。

C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。

，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。

C 与直线AB 的关系是相交；故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。

是MBC 的内切圆，切点为。

、E 、尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。

中考数学专项练习圆的切线长定理(含解析)

中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明预备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A.12cm B.7cm C.6cm D.随直线MN的变化而变化2.下列说法正确的是()A.过任意一点总能够作圆的两条切线 B.圆的切线长确实是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（）A.B.3C. 2D. 34.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.5B.52C.54D.565.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△P CD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.106.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.147.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.1C. 3D. 28.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则那个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A.4B.8C.12D.169.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明预备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A.20cmB.15cmC.10cm D.随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形A BCD的周长为________．13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________cm．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD 是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是________．15.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，假如AB=5，AC=3，则BD的长为________．16.如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．2.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：A、过圆外任意一点总能够作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；B、圆的切线长确实是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度确实是圆的切线长；故B错误，不符合题意；C、依照切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；故答案为：C。

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明

人教版
第二十四章圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示，延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线

圆，切线的性质以及判定，经典例题，一学就会

圆，切线的性质以及判定，经典例题，⼀学就会切线的性质：1、经过半径的外端2、与这条半径垂直例题1、如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=2，CE=4，求AE 的长。

分析：（1）、要判断CD为圆O的切线，只需要看CD是否满⾜以上切线的两条性质即可。

⾸先：因为点E是在圆上的，所以连接OE即可得出CD经过了半径OE的外端。

其次：就是要证明OE与CD垂直即可完成。

（注意：⼏乎每道切线的证明题都是如此）因为ED⊥AF，所以我们只需要证明OE与AF平⾏就能达到⽬的。

过程：连接OE因为OE=OA（半径相等），所以∠OAE=∠OEA因为AE平分∠BAF，所以∠OAE=∠DAE所以∠DAE=∠OEA（等量代换）所以OE∥AD因为ED⊥AF，所以OE⊥CD所以CD是⊙O的切线分析（2）：⾸先求半径 OE=3，（不懂的看下⾯的切割线定理，可以有帮助）然后利⽤ OE∥AD 易得三⾓形OCE与三⾓形ACD相似从⽽求出AD=24/5,DE=12/5最后在直⾓三形ADE中，根据勾股定理求出AE=(12倍根号5)/5切割线定理:从圆外⼀点引圆的切线和割线，如下图：PC是切线,，C为切点，PAB是割线，⼀定有：PC平⽅=PA·PB分析：连接AC，BC，易得∠PCA=∠B（弦切⾓）,⼜因为∠P为公共⾓，所以易证三⾓形PAC与三⾓形ACB相似。

得：PA：PC=PC：PB，所以：PC平⽅=PA·PB。

（例题⼀第⼆问中易得CE平⽅=BC·AC）【⼩试⽜⼑】1．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2㎝，BC＝8㎝，则PA的长等于（）2．如图2，⊙O内切于三⾓形ABC，切点分别为D、E、F，已知，∠C=60度，连结DE，DF，那么∠EDF等于（）3．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（）。

中考真题;切线的判定与性质(答案详解)

中考复习：切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）EM ＝FM 。

：【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

求证：AC 是⊙O 的切线。

》【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。

<（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。

•例1图321MFOEDCB A例2图 EO D C B A •例3图321OD C BA探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O ，CG 切半圆于E ，交AD 于F ，交BA 的延长线于G ，GA ＝8。

（1）求∠G 的余弦值；!（2）求AE 的长。

【问题二】如图，已知△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α（定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。

,（1）求∠POQ ；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。

(|•问题一图 G F E O DCB A 问题二图NQ P EO DC BA答案精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。

专题08 切线的性质与判定重难点题型分类(原卷版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。

本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于090。

1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（）A．26°B．32°C．52°D．64°（第1题图）（第2题图）2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）3．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．4．（师大）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，（1）求证：CD是⊙O的直径；（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；（3）当AB＝，BC＝6时，求图中阴影部分的面积．切线长定理：5．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA 6．（长郡）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是.（第6题图）（第7题图）7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．478．（青竹湖）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，以AB 为直径作⊙O ，恰与另一腰CD 相切于点E ，连接OD 、OC 、BE ．（1）求证：OD ∥BE ；（2）若梯形ABCD 的面积是48，设OD ＝x ，OC ＝y ，且x +y ＝14，求CD 的长．内切圆与外接圆半径问题9．两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm ．10．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，则三角形内切圆的半径为．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 的周长为（）A ．13B ．14C ．15D ．1612.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_________.13．（长沙中考）如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BC ＝8，AD ＝3．（1）求CE 的长；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．（3）求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离．14.（青竹湖）如图，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 对角线， DG AC ⊥于点G ，延长DG 交AB 于点E ，已知6AD =，8CD =。

初中数学切线的性质和判定

图29－3
线的性质和判定
解析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．

圆的切线证明(中考)

D C A B A BCD OC A P ODCE OA DB 第二十四章圆练习1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________。

2. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。

3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=__________。

4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。

5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜57. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°8、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在上，若PA 长为3，则△PEF 的周长是__________9. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，则BC=_________，∠ADO=_______.10. 如图所示，Rt △ABC 的两直角边BC=3cm ，AC=4cm ，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r 1=2cm ，r 2=2.4cm ，r 3=3cm ，为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系。

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线的判定与性质（一）一．选择题1．下列说法中，正确的是（）A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为（）A．4或﹣4 B．4﹣或4+C．﹣4+或4+ D．4﹣或4+ 3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（）A．B．l1和l2的距离为2C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切D．若MN与⊙O相切，则4．如图，∠ACB＝60°，半径为3的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A．3 B．3C．6πD．5．如图，AB是⊙O的直径，＝，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA 的延长线于点F，已知AB＝2，∠F＝30°，则四边形ABEC的面积是（）A．2B．C．D．6．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∠D＝110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．7．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②点C在⊙D外；③直线CM与⊙D相切．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线9．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为（）A．9 B．10 C．8D．1210．如图，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半径为8cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切，此时⊙O移动了（）cm．A．56 B．72 C．56或72 D．不存在二．填空题11．直线l经过点A（4，0），B（0，2），若⊙M的半径为1，圆心M在x轴上，当⊙M 与直线l相切时，则点M的坐标．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D在边BC上，点E在边AB 上，沿DE将△ABC折叠，使点B与点A重合，连接AD，点P是线段AD上一动点，当半径为5的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为．14．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．15．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．三．解答题16．如图，三角形ABC中，AC＝10，AB＝12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，D为AB的中点，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．17．如图，圆O的直径AB＝12cm，C为AB延长线上一点，点P为中点，过点B作弦BD∥CP，连接PD．（1）求证：CP与圆O相切；（2）若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．18．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交CA的延长线于点F，延长BA交⊙O于G，且∠BAF＝2∠C．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若tan∠EFC＝，求的值．19．如图，点B为⊙O外一点，点A为⊙O上一点，点P为OB上一点且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC，OC⊥OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若OB＝10，⊙O的半径为8．求AP的长．20．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE、DE、BD，BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC，求证：四边形OEDB是菱形．参考答案一．选择题1．解：A、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确；B、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；故本选项错误；C、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；故本选项错误；D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故本选项错误；故选：A．2．解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝，∴A（0，1），B（，0），∴AB＝2；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC～△BAO，∴＝，即＝，∴BM＝4，∴OM＝4﹣，或OM＝4+．∴m＝﹣4，m＝4+．故选：C．3．解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，∴CN＝AB＝2，∵∠1＝60°，∴MN＝＝，故A与B正确；如图3，若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．故C正确；如图2，∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴∠AMO＝∠1＝30°，∴AM＝；∵∠AM′O＝60°，∴AM′＝，∴若MN与⊙O相切，则AM＝或；故D错误．故选：D．4．解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∵OP＝OD＝3，∴CD＝3．故选：B．5．解：连接OD、OC、BC，如图：∵AB是⊙O的直径，AB＝2，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝AB＝1，∵BE⊥FE，∠F＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠F＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是边长为1的等边三角形，∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴BC＝AC＝，∠CBE＝60°﹣30°＝30°，∴CE＝BC＝，BE＝CE＝，∴四边形ABEC的面积＝△ABC的面积+△BCE的面积＝×1×+××＝；故选：B．6．解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣∠D＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，∵∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∵的度数是70°，∴∠COD＝70°，∴∠AOD＝70°，∠BOC＝50°，∴AD弧的长度＝＝π，∴BC弧的长度＝＝π，∵70π＝6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．7．解：由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；∵抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4），∴4＝9a+，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）；∴AB＝10，∴AD＝5，∴OD＝3∵C（0，4），∴CD＝＝5，∴CD＝AD，∴点C在圆上，故②错误；由抛物线y＝a（x﹣3）2+可知：M（3，），∵C（0，4），∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝﹣x+4，∴CM⊥CD，∵CD＝AD＝5，∴直线CM与⊙D相切，故③正确；故选：C．8．解：A、如图，连接OE，则OB＝OE，∵∠B＝60°∴∠BOE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOE＝∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB，如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，∴OH＝AO≠OB，∴C选项错误；D、如图，∵BE＝EC，∴CE＝BE，∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE＝OB，∴OH＝AO＝OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．9．解：连接OE，延长EO交BF于点M，∵C'D'与⊙O相切，∴∠OEC′＝90°，又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，∴∠EMB＝90°，∴BM＝FM，∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝B′C＝8，∴四边形EMBC'为矩形，∴ME＝8，设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，∵OM2+BM2＝OB2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AB＝CD＝10．故选：B．10．解：存在这种情况，设点P移动速度为v1cm/s，⊙O2移动的速度为v2cm/s，由题意，得＝＝，如图②：设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，⊙O1与AD相切于G点，若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G＝O1H．易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB＝∠BDP．∵BC∥AD，∴∠ADB＝∠CBD∴∠BDP＝∠CBD，∴BP＝DP．设BP＝xcm，则DP＝xcm，PC＝（80﹣x）cm，在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2+CD2＝PD2，即（80﹣x）2+402＝x2，解得x＝50，此时点P移动的距离为40+50＝90（cm），∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD，∴＝，即＝，EO1＝64cm，OO1＝56cm．①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为40cm，此时点P与⊙O移动的速度比为＝＝，∵≠，∴此时PD与⊙O1不能相切；②当⊙O在返回途中到达⊙O1位置时，⊙O移动的距离为2（80﹣16）﹣56＝72（cm），∴此时点P与⊙O移动的速度比为＝＝，此时PD与⊙O1恰好相切．此时⊙O移动了72cm，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵直线l经过点A（4，0），B（0，2），∴AB＝＝2，设M坐标为（m，0）（m＞0），即OM＝m，若M′在A点左侧时，AM′＝4﹣m，当AB是⊙O的切线，∴∠M′C′A＝90°，∵∠M′AC′＝∠BAO，∠M′C′A＝∠BOA＝90°，∴△M′AC′∽△BAO，∴＝，即＝，解得：m＝4﹣，此时M′（4﹣，0）；若M在A点右侧时，AM＝m﹣4，同理△AMN∽△BAO，则有＝，即＝，解得：m＝4+．此时M（4+，0），综上所述，M（4﹣，0）或（4+，0），故答案为：M（4﹣，0）或（4+，0），12．解：作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，AC＝＝5，由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，当⊙P与AD相切时，PE＝PC，∵PE⊥AD，CD⊥AD，∴PE∥CD，∴△APE∽△ACD，∴＝，即＝，解得，CP＝，当⊙P与AB相切时，PF＝PC，∵PF⊥AB，CB⊥AB，∴PF∥BC，∴△APE∽△ACD，∴＝，即＝，解得，CP＝，综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长或，故答案为：或．13．解：设BD＝x，由折叠知AD＝BD＝x，CD＝16﹣x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2＝82+（16﹣x）2，解得，x＝10，∴BD＝10，∵AB＝，∴AE＝BE＝AB＝4，∴DE＝，∴点P是线段AD上运动时，⊙P不可能与AB相切，分两种情况：①当⊙P与AC相切时，过点P作PF⊥AC于点F，如图1，∴PF＝5，PF∥CD，∴△APF∽△ADC，∴，即，∴；②⊙P与BC相切时，过点P作PG⊥BC于点G，如图2，∴PG＝5，PG∥AC，∴△DPG∽△DAC，∴，即，∴DP＝，∴AP＝10﹣，综上，AP的长为或．14．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．15．解：∵直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝3，∴A（3，0），B（0．﹣3），∴OA＝3，OB＝3，∴AB＝6，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AP＝2，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2，∴P（3﹣2，0）或P（3+2，0），故答案为（3﹣2，0）或P（3+2，0）．三．解答题（共5小题）16．证明：（1）连接OD、CD，∵BC是直径，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴D是AB的中点，∵O为CB的中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）连BG，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴CD＝＝＝8，∵AB•CD＝2S△ABC＝AC•BG，∴BG＝＝，∴CG＝＝＝，∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E＝∠CBG，∴sin∠E＝sin∠CBG＝＝＝．17．（1）证明：连接OP，交BD于点E，∵点P为的中点．∴BD⊥OP，∵BD∥CP，∴∠OEB＝∠OPC＝90°∴PC⊥OP，∴CP与⊙O相切于点P；（2）解：∵∠C＝∠D，∵∠POB＝2∠D，∴∠POB＝2∠C，∵∠CPO＝90°，∴∠C＝30°，∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA，∴∠D＝∠DBA，∴BC∥PD，∴四边形BCPD是平行四边形，∵PO＝AB＝6，∴PC＝6，∵∠ABD＝∠C＝30°，∴OE＝OB＝3，∴PE＝3，∴四边形BCPD的面积＝PC•PE＝6×3＝18．18．解：（1）连接OD，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∵∠BAF＝2∠C，∠BAF＝∠B+∠C，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴AB∥OD，∵DE⊥AB，∴OD⊥DF，∴DE为⊙O的切线；（2）过O作OH⊥AG于点H，则AH＝GH，EF∥OH，∴∠AOH＝∠EFA，∵tan∠EFC＝，∴tan∠AOH＝＝，∴设AH＝3x，则AG＝2AH＝6x，OH＝4x，∴，∴AC＝2AO＝10x，OD＝OA＝5x，∵tan∠EFC＝＝，设AE＝3y，则EF＝4y，∴AF＝，∵AE∥OD，∴△AEF∽△ODF，∴，即，∴，∴AE＝3y＝2x，∴BE＝AB﹣AE＝10x﹣2x＝8x，∴＝．19．（1）证明：∵BP＝BA，OA＝OC，∴∠BAP＝∠BPA，∠PAO＝∠C，∵OC⊥OB，∴∠COP＝90°，∴∠OPC+∠C＝90°，∵∠OPC＝∠BPA，∴∠BAP＝∠OPC，∴∠BAP+∠OAP＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，∵⊙O的半径为8，∴CO＝OA＝8，由（1）得：∠BAO＝90°，∴AB＝＝＝6，∴BP＝BA＝6，∴OP＝OB﹣BP＝4，在Rt△CPO中，OP＝4，CO＝8，∴CP＝＝＝4，∵BA＝BP，BD⊥AP，∴AD＝PD，∠BDP＝90°＝∠COP，∵∠BPD＝∠CPO，∴△BPD∽△CPO，∴＝，即＝，解得：PD＝，∴AP＝2PD＝．20．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∵∠DBC+∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）∵OE∥BD，∴∠OEB＝∠DBE，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠DBE，∵BF＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠EBD，∵∠DEB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠DBE，∴∠DEB＝∠OBE，∴ED∥OB，∵ED∥OB，OE∥BD，OE＝OB，∴四边形OEDB是菱形．。

《中考数学专题—与圆切线有关的计算和证明》教学设计

1《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目：学习流程一、揭示目标二、自学指导 1.复习下列内容1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?2、直线与圆相切有哪几种判断方法？3、思考作图：已知：点A 为⊙o 上的一点，如和过点A 作⊙o 的切线呢？交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA 过A 点作OA 的垂线从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？4、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径，直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？小结：（1）圆的切线（）过切点的半径。

（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（）两条，就必然满足第三条。

5、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。

oCAB例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系，并证明你的结论。

（无点作垂线证半径）方法小结：如何证明一条直线是圆的切线四、当堂检测1、下列说法正确的是（）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.ACD COA3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

中考数学总复习《切线的性质与判定》练习题(含答案)

切线的性质与判定1-3题做垂直证半径，4-15题连半径证垂直.一、解答题1.如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．2.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．4.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．E BE BE BE B5.已知：如图, AB 是⊙O 的直径, AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，延长CA 交⊙O 于点F ，连接DF ，DE ⊥CF 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB =10，4cos 5C ∠=，求EF 的长．6.如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：直线EF 是O 的切线；（2）求sin E ∠的值．7.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；OFEDCBA（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．8.如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．9.已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交于点，且，，求⊙的半径长.10.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C ABCD O BD O AE CD ⊥E DA BDE ∠AE O 301cm DBC DE ∠==，BDD O CA B O .OA AB AD ==BD OE BC AE BCF 8BE =tan BFA ∠=O CD11.已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O ⊙与AC 相切．12.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，D CAB ∠=∠．（1）求证：AD 为⊙O 的切线；（2）若4sin 5D =，6AD =，求CE 的长．13.如图，ABC △内接于O ，AB AC =，点D 在O 上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若4AD =，4cos 5ABF ∠=，求BC 的长．CDB14.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．15.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．ODCBAEA BCDODCOABE切线的性质与判定答案解析一、解答题1.解法一：连结OD ，过O 点作OE AC ⊥于E ．∵AB AC =，∴B C ∠=∠， ∵O 是BC 中点，∴OB OC = OD AB ⊥∵O ⊙与AB 相切于D ，∴∴BOD COE ∆∆≌， ∴OE OD =， ∵OE AC ⊥， ∴AC 与O ⊙相切．解法二：连结OD OA 、，过O 点作OE AC ⊥于E ． ∵AB AC =，O 是BC 中点， ∴AO 平分BAC ∠，∵O ⊙与AB 相切于D ，∴OD AB ⊥ ∵OE AC ⊥，∴OD OE =， ∴AC 与O ⊙相切．2.（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=．3.（1）如图所示，过点D 作DF AC ⊥于F ．∵AB 为D ⊙的切线，AD 平分BAC ∠， ∴BD DF =∴AC 是D ⊙的切线；（2）在Rt BDE ∆和Rt DCF ∆中， ∵BD DF =，DE DC =， ∴BDE FDC ∆∆≌ ∴EB FC = 又AB AF = ∴AB EB AC +=．4.（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ．可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒ ∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠， ∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．．（2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角， ∴BDC CDA ∆∆∽， ∴CD BDAD DC=，即2CD AD BD =⋅．【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．5.（1）连接OD ， ∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠1．∵AB=AC, ∴∠B=∠C ．∴∠1=∠C ．∴OD ∥AC ． ∵DE ⊥CF 于点E ，∴∠CED ＝90°． ∴∠ODE ＝∠CED ＝90°．∴ DE 是⊙O 的切线．(2) 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°．∵cosC=cosB=54． ∵AB=10，∴BD=AB ·cosB=8． ∵∠F=∠B =∠C ． ∴DF=DC=8．且cosF=cosC=45．在Rt △DEF 中，EF=DF ·cosF=532． 6.（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥．∵ AC BC =， ∴AB BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点，∴DO AC ∥．∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ∥．∴ EF 是O 的切线．( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=︒=∠． ∴BG EF ∥． ∴sin FC CGE EC BC∠==．设CG x =，则6AG x =-．在Rt BGA △中，222BG BC CG =-．在Rt BGC △中，222BG AB AG =-． ∴()2222686x x -=--．解得23x =．即23CG =．在Rt BGC △中．∴ 213sin 69CG E BC ∠===． 7.（1）证明：连接AD ，OD ．∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥ 又∵AB AC =，∴CD BD =，∴OD AC ∥ 又∵DE AC ⊥，∴OD DE ⊥ ∴DE 是O 的切线（2）易知10AD ==∴12DE AD = DFG COBEA8.（1）证明：连接，∵DA 平分，∴BDA EDA ∠=∠．∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∴OAD EDA ∠=∠．∴OA CE ∥．∵AE DE ⊥，∴90AED ∠=︒，90OAE DEA ∠=∠=︒ ∴AE OA ⊥． ∴AE 是O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴90BCD BAD ∠=∠=︒． ∵30DBC ∠=︒，60BDC ∠=︒ ∴120BDE ∠=︒．∵DA 平分BDE ∠，∴60BDA EDA ∠=∠=︒∴30ABD EAD ∠=∠=︒．在Rt AED △中，90AED ∠=︒，30EAD ∠=︒，∴2AD DE =．在Rt ABD △中，90BAD ∠=︒，30ABD ∠=︒，∴24BD AD DE ==．∵DE 的长时1cm ，∴BD 的长是4cm ． 9.（1）证明：连接.∵， ∴. ∴是等边三角形. ∴.∵，∴. ∴. ∴ .又∵点在⊙上，∴是⊙的切线 . （2）解：∵是⊙的直径， ∴.在中，, ∴设则，∴ .∴. OA BDE ∠OB ,OA AB OA OB ==OA AB OB ==ABO ∆160BAO ∠=∠=︒AB AD =230D ∠=∠=︒1290∠+∠=︒DB BO ⊥B O DB O CA O 90ABC ∠=︒Rt ABF△tan 2AB BFA BF ∠==,AB =2BF x=3AF x ==23BF AF =CD∵, ∴ ∽ . ∴. ∵,∴ .∴.10.（1）证明：连接AD ，OD ．∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，即AD BC ⊥ 又∵AB AC =，∴CD BD =，∴OD AC ∥ 又∵DE AC ⊥，∴OD DE ⊥ ∴DE 是O 的切线（2）易知10AD ==∴12DE AD = 11.如图所示，过O 作OE AC ⊥，垂足为E ．∵O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ∴OE OD =， ∴O ⊙与AC 相切．【解析】证明与切线有关的问题的辅助线一般有如下两种：①已知直线过圆上某点，那么连接该点与圆心，如第⑴题； ②如果不知直线与圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线． 12.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒． ∴90CAB B ∠+∠=︒． ∵D CAB ∠=∠，∴90D B ∠+∠=︒． ∴90DAB ∠=︒．∴AD 为⊙O 的切线．,34C E ∠=∠∠=∠BFE ∆AFC ∆23BE BF AC AF ==8BE =12AC =6AO =（2）解：∵4sin 5D =，6AD =，在Rt ACD △中， 24sin 5AC AD D =⋅=，185CD =．在Rt DAB △中，sin D =45AB DB =． ∴8AB =，10DB =．∵AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴CE EF =．设CE EF x ==，则18105BE x =--， ∵90EFB DAB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BEF △∽BDA △． ∴EF BE DA BD=，即18105610x x --=． ∴125x =．即CE 的长为125． 13.（1）如图，连结BD ．∵AD AB ⊥，∴DB 是O ⊙的直径．∴1290D ∠+∠+∠=︒．又∵AE AF =，∴BE BF =，23∠=∠．∵AB AC =，∴23D C ∠=∠=∠=∠．∴12390∠+∠+∠=︒．F C即OB BF ⊥于B ．∴直线BF 是O ⊙的切线．（2）作AG BC ⊥于点G ．∵23D ∠=∠=∠． ∴4cos cos 35D ∠=∠=．在Rt ABD △中，90DAB ∠=︒，4AD =，4cos 5D ∠=，∴5cos AD BD D==， 223AB BD AD =-=．在Rt ABG △中，90AGB ∠=︒，3AB =，4cos 25∠=，∴12cos 25BG AB =∠=． ∵AB AC = ，∴2425BC BG ==． 14.（1）直线BD 与O 相切．如图1，连结OD ．OA OD =，A ADO ∠=∠． 90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=．又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=．90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切．（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径，90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴==． DCO A B E图190C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． 2BC =， 52BD ∴=． 15.（1）连结OC 并延长交O ⊙于E ，连结BE ．可知CE 是O ⊙的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90E BCE ∠+∠=︒∵CAB E DCB CAB ∠=∠∠=∠，，∴DCB E ∠=∠，∴90DCB BCE ∠+∠=︒∵CE 是直径，∴CD 是O ⊙的切线．．（2）∵DCB CAB D ∠=∠∠，是公共角，∴BDC CDA ∆∆∽， ∴CD BD AD DC=，即2CD AD BD =⋅．【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决，例如此题，遇到圆周角的关系，只连半径就不太好用了，就要变半径为直径．“弦切角”已经从初中课本中删除，作为预习课我们这里也不作介绍，如果学生水平较高，这里老师也可以稍微提一下．。

第24讲切线的性质和判定-备战2021年中考数学一轮热点难点一网打尽(解析版)

【备战2021年中考数学一轮热点、难点一网打尽】专题04 切线的性质和判定考纲要求: 1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．.2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．.根底知识回忆:应用举例:招数一、利用切线进行证明和计算。

【例1】〔2021日照〕如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB=10，∠P=30°，那么AC 的长度是〔〕A ．35B ．25C ．5D ．25 ∵∠P=30°， ∴∠AOP=60°， ∴∠AOC=120°，∵OA=OC ， ∴∠OAD=30°，∵AB=10， ∴OA=5，∴OD=21AO=2.5， ∴AD=23522=-OD AO ， ∴AC=2AD=35，应选A ．1.切线一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点. 2.切线的性质〔1〕切线与圆只有一个公共点.〔2〕切线到圆心的距离等于圆的半径.〔3〕切线垂直于经过切点的半径.3.切线的判定〔1〕与圆只有一个公共点的直线是圆的切线〔定义法〕.〔2〕到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.〔3〕经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例2】如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点．直线PO 与⊙O 交于B 、C 两点，∠P ＝30°，连接AO 、AB 、AC .(1)求证：△ACB ≌△APO ；(2)假设AP ＝3，求⊙O 的半径．(2) 解：在R t △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝3，∴AO ＝1，∴CB ＝OP ＝2，∴OB ＝1，即⊙O 的半径为1.招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。

【例3】如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°，求证：CD 是⊙O 的切线．【例4】如图，△ABC 中，AB=AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D ，求证：AC 是⊙O 的切线．解析：过点O 作OE ⊥AC 于点E ，连结OD ，OA ，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴AB ⊥OD ，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，∴AO 是∠BA C 的平分线，∴OE=OD ，即OE 是⊙O 的半径，∵AC 经过⊙O 的半径OE 的外端点且垂直于OE ，∴AC 是⊙O 的切线．招数三、切线的性质和判定的综合应用。

九年级数学切线的性质及判定

九年级数学切线的性质及判定一．切线的判定方法：⑴．切线的定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。

⑵．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二．辅助线规律：（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直简称：“有点，连接，证垂直”。

即当条件中已知直线与圆满有公共点时，利用“⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。

（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径简称：“无点，作垂线，证（等于）半径”。

即当条件没有告诉直线与圆有公共点时，利用“（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；”证明。

三．例题讲析：例1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB求证：直线AB是⊙O的切线。

例2. 如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米求证：AB与⊙O相切例3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。

例4. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

例5. 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD求证：DC是⊙O的切线。

例6. 如图，A是⊙O外一点，连OA交⊙O于C，过⊙O上一点P作OA的垂线交OA于F，交⊙O于E，连结PA，若∠FPC=∠CPA，求证：PA是⊙O的切线例7. 如图，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E求证：DE与⊙O相切例8. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E点在BC上。

求证：PE是⊙O的切线。

四．练习：1、如图7，AB为⊙O直径，PA、PC为⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°（1）求∠P大小。

2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明【含答案】

2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明A AM⊙O B⊙O BD⊥AM D BD1. 如图，点是直线与的交点，点在上，垂足为，与⊙O C OC∠AOB∠B=60∘交于点，平分，．AM⊙O(1) 求证：是的切线；DC=2π(2) 若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．AB⊙O AC BD⊙O OE∥AC BC E B 2. 如图，已知是的直径，，是的弦，交于，过点⊙O OE D DC BA F作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．DC⊙O(1) 求证：是的切线；∠ABC=30∘AB=8CF(2) 若，，求线段的长．△ABC∠B=∠C=30∘O BC O OB3. 如图，中，，点是边上一点，以点为圆心、为半径的圆A BC D经过点，与交于点．AC⊙O(1) 试说明与相切；AC=23(2) 若，求图中阴影部分的面积．ABC⊙O B C D⊙O E BC OE 4. 如图，割线与相交于，两点，为上一点，为弧的中点，BC F DE AC G∠ADG=∠AGD交于，交于，．AD⊙D(1) 求证明：是的切线；∠A=60∘⊙O4ED(2) 若，的半径为，求的长．5. 如图，，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线 AB AC ⊙O OD ⊥AC D A ⊙O ，与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点．AP AP OD P PC AB F(1) 求证：是半的切线；PC ⊙O (2) 若，，求线段的长．∠CAB =30∘AB =10BF 6. 如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，AB ⊙O C ⊙O D AC E OD 且，与交于点，与交于点．∠CAE =2∠C AC BD H OE F(1) 求证：是的切线．AE ⊙O (2) 若，，求直径的长．DH =9tanC =34AB 7. 如图，是的直径，是的弦，，与的延长线交于点，点 AB ⊙O AC ⊙O OD ⊥AB OD AC D 在上，且．E OD CE =DE(1) 求证：直线是的切线．CE ⊙O (2) 若，，．OA =23AC =3CD =8. 如图，是的直径，弦于点，点在直径的延长线上，AB ⊙O CD ⊥AB E G DF ．∠D =∠G =30∘(1) 求证：是的切线．CG ⊙OCD=6GF(2) 若，求的长．AB⊙O AC D BC D EF AC9. 如图，是的直径，是弦，是的中点，过点作垂直于直线，垂E AB F足为，交的延长线于点．EF⊙O(1) 求证：是的切线．B OF⊙O3(2) 若点是的中点，的半径为，求阴影部分面积．PB⊙O B PO⊙O E F B PO BA 10. 如图，切于点，直线交于点，，过点作的垂线，垂D⊙O A AO⊙O C BC AF足为点，交于点，延长交于点，连接，．PA⊙O(1) 求证：直线为的切线；BC=6AD:FD=1:2⊙O(2) 若，，求的半径的长．AC⊙O B⊙O∠ACB=30∘CB D11. 如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得CB=BD D DE⊥AC E CA BE，过点作，垂足在的延长线上，连接．BE⊙O(1) 求证：是的切线；BE=3(2) 当时，求图中阴影部分的面积．AB⊙O AP⊙O A BP⊙O C12. 已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点．∠P=35∘∠ABP(1) 如图①，若，求的度数；D AP CD⊙O(2) 如图②，若为的中点，求证：直线是的切线．Rt△ABC∠C=90∘D AB AD⊙O BC13. 如图，在中，，点在上，以为直径的与相交于点E AE∠BAC，且平分．BC⊙O(1) 求证：是的切线；∠EAB=30∘OD=3(2) 若，，求图中阴影部分的面积．⊙O PA PC PH∠APB⊙O H H 14. 如图，在中，是直径，是弦，平分且与交于点，过作HB⊥PC PC B交的延长线于点．HB⊙O(1) 求证：是的切线；HB=6BC=4⊙O(2) 若，，求的直径．AB⊙O BD⊙O BD C AB=AC AC15. 已知：是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过D DE⊥AC E点作，垂足为．DC=BD(1) 求证：；DE⊙O(2) 求证：为的切线．AB⊙O C⊙O D AB∠BCD=∠A16. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．CD⊙O(1) 求证：是的切线；⊙O3CD=4BD(2) 若的半径为，，求的长．△ABC AC⊙O△ABC∠ABC⊙O17. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交D D DE∥AC BC E于点，过点作交的延长线于点．DE⊙O(1) 求证：是的切线．AB=45BC=25DE(2) 若，，求的长．AB O AD∠DBC=∠A18. 如图，是半圆的直径，为弦，．BC O(1) 求证：是半圆的切线；OC∥AD OC BD E BD=6CE=4AD(2) 若，交于，，，求的长．△ABC AO⊥BC O⊙O AC D BE⊥AB 19. 如图，是等边三角形，，垂足为点，与相切于点，交AC E⊙O G F的延长线于点，与相交于，两点．AB⊙O(1) 求证：与相切；ABC8BF(2) 若等边三角形的边长是，求线段的长．AC⊙O BC⊙O P⊙O PB AB 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，∠PBA=∠C．PB⊙O(1) 求证：是的切线；OP OP∥BC OP=8⊙O22BC(2) 连接，若，且，的半径为，求的长．答案1. 【答案】(1) ，，∵∠B=60∘OB=OC是等边三角形，∴△BOC，∴∠1=∠2=60∘平分，∵OC∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90∘，∴∠OAM=90∘是的切线．∴AM⊙O(2) ，，∵∠3=60∘OA=OC是等边三角形，∴△AOC，∴∠OAC=60∘，∵∠OAM=90∘，∴∠CAD=30∘，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=23∴S阴影=S梯形OADC−S扇形OAC =12(4+2)×23−60⋅π×16360=63−8π3.2. 【答案】(1) 连接，OC，∵OE∥AC，∴∠1=∠ACB是的直径，∵AB⊙O，∴∠1=∠ACB=90∘，由垂径定理得垂直平分，∴OD⊥BC OD BC，∴DB=DC，∴∠DBE=∠DCE又，∵OC=OB，∴∠OBE=∠OCE即，∠DBO=∠OCD为的切线，是半径，∵DB⊙O OB，∴∠DBO=90∘，∴∠OCD =∠DBO =90∘即，OC ⊥DC 是的半径，∵OC ⊙O 是的切线．∴DC ⊙O (2) 在中，，Rt △ABC ∠ABC =30∘ ，又，∴∠3=60∘OA =OC 是等边三角形，∴△AOC∴∠COF =60∘在中，，Rt △COF tan∠COF =CF OC ．∴CF =433. 【答案】(1) 连接．OA ，∵OA =OB ．∴∠OAB =∠B ，∵∠B =30∘ ．∴∠OAB =30∘ 中：，△ABC ∠B =∠C =30∘ ．∴∠BAC =180∘−∠B−∠C =120∘ ．∴∠OAC =∠BAC−∠OAB =120∘−30∘=90∘ ，∴OA ⊥AC 是的切线，即与相切．∴AC ⊙O AC ⊙O (2) 连接．AD ，∵∠C =30∘∠OAC =90∘ ．∴OC =2OA 设的长度为，则．OA x OC =2x 在中，，．△OAC ∠OAC =90∘AC =23根据勾股定理可得：，x 2+(23)2=(2x )2解得：，（不合题意，舍去）．x 1=2x 2=−2 ，∴S △OAC =12×2×23=23，S 扇形OAD =60360×π×22=23π ．∴S 阴影=23−23π答：图中阴影部分的面积为．23−23π4. 【答案】(1) 连接．OD 为的中点，∵E BC ，∴OE ⊥BC ，∵OD =OE ，∴∠ODE =∠OED ，∴∠AGD +∠OED =∠EGF +∠OED =90∘ ，∵∠AGD =∠ADG ，即，∴∠ADG +∠ODE =90∘OD ⊥AD 是的切线．∴AD ⊙O (2) 作于．OH ⊥ED H ，∴DE =2DH ，∵∠ADG =∠AGD ，∴AG =AD ，∵∠A =60∘ ，∴∠ADG =60∘，∴∠ODE =30∘ ，∵OD =4 ，∴DH =32OD =23 ．∴DE =2DH =435. 【答案】(1) 连接，OC ，经过圆心，∵OD ⊥AC OD O ，∴AD =CD ，∴PA =PC 在和中，△OAP △OCP {OA =OC,PA =PC,OP =OP,，∴△OAP ≌△OCP (SSS ) ，∴∠OCP =∠OAP 是的切线，∵PA ⊙O ．∴∠OAP =90∘，即，∴∠OCP =90∘OC ⊥PC 是的切线．∴PC ⊙O (2) 是直径，∵AB ，∴∠ACB =90∘，∵∠CAB =30∘，∴∠COF =60∘ 是的切线，，∵PC ⊙O AB =10 ，，∴OC ⊥PF OC =OB =12AB =5 ，∴OF =OC cos∠COF =10 ．∴BF =OF−OB =56. 【答案】(1) 是的中点，∵D AC ，∴OE ⊥AC ，∴∠AFE =90∘ ，∴∠E +∠EAF =90∘ ，，∵∠AOE =2∠C ∠CAE =2∠C ，∴CAE =∠AOE ，∴∠E +∠AOE =90∘ ，∴∠EAO =90∘ 是的切线．∴AE ⊙O (2) ，∵∠C =∠B ，∵OD =OB ，∴∠B =∠ODB ，∴ODB =∠C ，∴tanC =tan∠ODB =HF DF =34 设，，∴HF =3x DF =4x ，∴DH =5x =9，∴x =95 ，，∴DE =365HF =275 ，，∵∠C =∠FDH ∠DFH =∠CFD ，∴△DFH ∼△CFD ，∴DF CF =FH DF，∴CF =365×365275=485 ，∴AF =CF =485设，OA =OD =x，∴OF =x−365 ，∵AF 2+OF 2=OA 2 ，∴(485)2+(x−365)2=x 2解得：，x =10 ，∴OA =10 直径为．∴AB 207. 【答案】(1) 连接，OC ，∵OD ⊥AB ，∴∠AOD =90∘ ，∴∠D +∠A =90∘ ，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∵CE =DE ，∴∠ECD =∠D ，∵∠ACO +∠DCE =90∘ ，∴∠OCE =90∘ ，∴OC ⊥CE 直线是的切线．∴CE ⊙O (2)5【解析】(2) 连接，BC 是的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ACB =90∘ ，∴∠AOD =∠ACB ，∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADO，∴AO AC =AD AB ，∴233=AD43 ，∴AD =8 ．∴CD =AD−AC =58. 【答案】(1) 连接．OC ，，∵OC =OD ∠D =30∘ ．∴∠OCD =∠D =30∘ ，∵∠G =30∘ ．∴∠DCG =180∘−∠D−∠G =120∘ ．∴∠GCO =∠DCG−∠OCD =90∘ ．∴OC ⊥CG 又是的半径．∵OC ⊙O 是的切线．∴CG ⊙O (2) 是的直径，，∵AB ⊙O CD ⊥AB ．∴CE =12CD =3 在中，，，∵Rt △OCE ∠CEO =90∘∠OCE =30∘ ，．∴EO =12CO CO 2=EO 2+CE 2设，则．EO =x CO =2x ．∴(2x )2=x 2+32解得（舍负值）．x =±3 ．∴CO =23 ．∴FO =23在中，△OCG ，，∵∠OCG =90∘∠G =30∘ ．∴GO =2CO =43 ．∴GF =GO−FO =239. 【答案】(1) 连接，连接，OD AD 点是的中点，∵D BC ，∴∠1=∠2 ，∵OA =OD ，∴∠2=∠3即，∠1=∠2=∠3 ，∴∠1=∠3 ，∴AE ∥OD ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF 即是的切线．EF ⊙O(2) 点是的中点，半径为，∵B OF ⊙O 3 ，∴BF =OB =3由（）可知，1OD ⊥EF 在中，Rt △ODF ，∵sinF =OD OF =36=12 ，，∴∠F =30∘∠DOF =60∘故S 阴影=S △ODF −S 扇ODB=12OD ⋅DF−60∘360∘π×32=3×332−32π=32(33−π).故阴影面积为：．32(33−π)10. 【答案】(1) 如图，连接．OB 是的切线，∵PB ⊙O ．∴∠PBO =90∘ ，于，∵OA =OB BA ⊥PO D ，．∴AD =BD ∠POA =∠POB 又，∵PO =PO ．∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO =∠PBO =90∘ 直线为的切线．∴PA ⊙O (2) ，，，∵OA =OC AD =BD BC =6 ．∴OD =12BC =3设．AD =x ，∵AD:FD =1:2 ，．∴FD =2x OA =OF =2x−3在中，由勾股定理，得．Rt △AOD (2x−3)2=x 2+32解之得，，（不合题意，舍去）．x 1=4x 2=0 ，．∴AD =4OA =2x−3=5即的半径的长．⊙O 511. 【答案】(1) 如图所示，连接，BO ，∵∠ACB =30∘ ，∴∠OBC =∠OCB =30∘，，∵DE ⊥AC CB =BD 中，，∴Rt △DCE BE =12CD =BC ，∴∠BEC =∠BCE =30∘ 中，，∴△BCE ∠EBC =180∘−∠BEC−∠BCE =120∘ ，∴∠EBO =∠EBC−∠OBC =120∘−30∘=90∘ 是的切线．∴BE ⊙O (2) 当时，，BE =3BC =3 为的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘又，∵∠ACB =30∘ ，∴AB =tan 30∘×BC =3 ，，∴AC =2AB =23AO =3 ∴S 阴影部分=S 半圆−S Rt △ABC =12π×AO 2−12AB ×BC=12π×3−12×3×3=32π−32 3.12. 【答案】(1) 是的直径，是的切线，∵AB ⊙O AP ⊙O ，∴AB ⊥AP ；∴∠BAP =90∘又，∵∠P =35∘ ∴∠ABP =90∘−35∘=55∘(2) 如图，连接，，．OC OD AC 是的直径，∵AB ⊙O （直径所对的圆周角是直角），∴∠ACB =90∘ ；∴∠ACP =90∘又为的中点，∵D AP （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∴AD =CD 在和中，△OAD △OCD {OA =OC,OD =OD,AD =CD, ，△OAD ≌△OCD (SSS ) （全等三角形的对应角相等）；∴∠OAD =∠OCD 又是的切线，是切点，∵AP ⊙O A ，∴AB ⊥AP ，∴∠OAD =90∘ ，即直线是的切线．∴∠OCD =90∘CD ⊙O13. 【答案】(1) 平分，∵AE ∠BAC ，∴∠CAE =∠EAD ，∵OA =OE ，∴∠EAD =∠OEA ，∴∠OEA =∠CAE ，∴OE ∥AC ，∴∠OEB =∠C =90∘ ，∴OE ⊥BC 是的切线．∴BC ⊙O (2) ，∵∠EAB =30∘ ，∴∠EOD =60∘ ，∴∠OEB =90∘ ，∴∠B =30∘ ，∴OB =2OE =2OD =6 ，∴BE =OB 2−OE 2=33，，∴S △OEB =932S 扇形=3π2 ．∴S 阴影=932−3π214. 【答案】(1) 如图，连接．OH 平分，∵PH ∠APB ．∴∠HPA =∠HPB ，∵OP =OH ．∴∠OHP =∠HPA ．∴∠HPB =∠OHP ．∴OH ∥BP ，∵BP ⊥BH ．∴OH ⊥BH 是的切线．∴HB ⊙O (2) 如图，过点作，垂足为．O OE ⊥PC E ，，，∵OE ⊥PC OH ⊥BH BP ⊥BH 四边形是矩形．∴EOHB ，．∴OE =BH =6OH =BE ．∴CE =OH−4 ，∵OE ⊥PC．∴PE =EC =OH−4=OP−4在中，，．Rt △POE OP 2=PE 2+OE 2 ．∴OP 2=(OP−4)2+36 ．∴OP =132 ．∴AP =2OP =13 的直径是．∴⊙O 1315. 【答案】(1) 连接，AD 是的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ADB =90∘又，∵AB =AC ．∴DC =BD (2) 连接半径，OD ，，∵OA =OB CD =BD ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =∠CED 又，∵DE ⊥AC ，∴∠CED =90∘ ，即，∴∠ODE =90∘OD ⊥DE 是的切线．∴DE ⊙O 16. 【答案】(1) 连接．OC 是的直径，是上一点，∵AB ⊙O C ⊙O ，即．∴∠ACB =90∘∠ACO +∠OCB =90∘ ，，∵OA =OC ∠BCD =∠A ，∴∠ACO =∠A =∠BCD ，即，∴∠BCD +∠OCB =90∘∠OCD =90∘ 是的切线．∴CD ⊙O (2) 在中，，，，Rt △OCD ∠OCD =90∘OC =3CD =4 ，∴OD =OC 2+CD 2=5 ．∴BD =OD−OB =5−3=217. 【答案】(1) 连接，OD 是的直径，∵AC ⊙O，∴∠ABC =90∘ 平分，∵BD ∠ABC ，∴∠ABD =45∘ ，∴∠ODE =90∘ ，∵DE ∥AC ，∴∠ODE =∠AOD =90∘ 是的切线．∴DE ⊙O (2) 在中，，，Rt △ABC AB =45BC =25 ，∴AC =AB 2+BC 2=10 ，∴OD =5过点作，垂足为，C CG ⊥DE G 则四边形为正方形，ODGC ，∴DG =CG =OD =5 ，∵DE ∥AC ，∴∠CEG =∠ACB ，∴tan∠CEG =tan∠ACB ，即，∴CG GE =AB BC 5GE =4525解得：，GE =52 ．∴DE =DG +GE =15218. 【答案】(1) 是半圆的直径，∵AB O ，∴BD ⊥AD ，∴∠DBA +∠A =90∘ ，∵∠DBC =∠A ，即，∴∠DBA +∠DBC =90∘AB ⊥BC 是半圆的切线．∴BC O (2) ，∵OC ∥AD ，∴∠BEC =∠D =90∘ ，，∵BD ⊥AD BD =6 ，∴BE =DE =3 ，∵∠DBC =∠A ，∴△BCE ∽△BAD ，即，∴CE BD =BE AD 46=3AD ．∴AD =4.519. 【答案】(1) 过点作，垂足是．O OM ⊥AB M 与相切于点，∵⊙O AC D ，∴OD ⊥AC ，∠ADO =∠AMO =90∘ 是等边三角形，，∵△ABC AO ⊥BC 是的角平分线，∴OA ∠MAD ，，∵OD ⊥AC OM ⊥AB ．∴OM =OD 与相切．∴AB ⊙O (2) 过点作，垂足是，连接．O ON ⊥BE N OF ，，∵AB =AC AO ⊥BC ∴ 是的中点，O BC ，∴OB =12BC =12×8=4 在直角中，，，△ABC ∠ABE =90∘∠MBO =60∘ ，∴∠OBN =30∘ ，，，∵ON ⊥BE ∠OBN =30∘OB =4 ，，∴ON =12OB =2BN =42−22=23 ，∵AB ⊥BE ∴四边形是矩形，OMBN ．∴BN =OM =23 ．∵OF =OM =23由勾股定理得．NF =(23)2−22=22 ．∴BF =BN +NF =23+2220. 【答案】(1) 连接，如图所示：OB 是的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘ ，∴∠C +∠BAC =90∘ ，∵OA =OB ，∴∠BAC =∠OBA ，∵∠PBA =∠C ，即，∴∠PBA +∠OBA =90∘PB ⊥OB 是的切线．∴PB ⊙O (2) 的半径为，∵⊙O 22，，∴OB =22AC =42 ，∵OP ∥BC ，∴∠CBO =∠BOP ，∵OC =OB ，∴∠C =∠CBO ，∴∠C =∠BOP 又，∵∠ABC =∠PBO =90∘ ，∴△ABC ∽△PBO ，即，∴BC OB =AC OP BC 22=428 ．∴BC =2。

圆切线的判定与性质综合(3大类题型)(解析版)--初中数学专项训练

圆切线的判定与性质综合(3大类题型)重难点题型归纳【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】【题型3圆切线的判定与性质综合】满分必练【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】1(2023春•保德县校级期中)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．【答案】见解答．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODE=∠AED=90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．2(2022秋•大连期末)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．求证：CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：连OD，如图，∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=∠ADE-∠C=60°-30°=30°，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠A=30°，∴∠EDO=90°，所以CD是⊙O的切线．3(2022秋•龙川县校级期末)如图，OA是⊙O的半径，∠B=20°，∠AOB=70°．求证：AB是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠AOB=70°，∠B=20°，∴∠OAB=180°-∠B-∠AOB=90°，∴OA⊥AB，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．4(2022秋•利通区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，在⊙D中，AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-30°=90°，∴AD⊥AC，又∵DA是半径，∴AC是⊙D的切线．5(2022秋•天河区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD，∵AO=OB，D为AC的中点，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．6(2022秋•阿瓦提县校级期末)已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB= AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．7(2022•昭平县一模)如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．(1)求AB的长；(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】(1)解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC=30°，OP⊥AB，∴∠AOC =60°，∴∠OAD =30°，∴OD =12OA =12×2=1，∴AD =3OD =3，又∵OP ⊥AB ，∴AD =BD ，∴AB =23；(2)证明：由(1)∠BOC =60°，而OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴BC =OB =OC ，∠OBC =∠OCB =60°，∴C 是OP 的中点，∴CP =CO =CB ，∴∠CBP =∠P ，而∠OCB =∠CBP +∠P ，∴∠CBP =30°∴∠OBP =∠OBC +∠CBP =90°，∴OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线．8(2022•漳州模拟)已知：△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB =AC ，∴BD =DC ，∵BO =OA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =180°-∠AED =90°，∴DE 是⊙O 的切线．9(2022秋•芜湖期末)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AC =CD =DB，DE ⊥AC ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OD ，∵AC =CD =DB，∴∠BOD =13×180o =60o ，∵CD =DB ，∴∠EAD =∠DAB =12∠BOD =30°，∵OA =OD ，∴∠ADO =∠DAB =30°，∵DE ⊥AC ，∴∠E =90°，∴∠EAD +∠EDA =90°，∴∠EDA =60°，∴∠EDO =∠EDA +∠ADO =90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】10(2022秋•长乐区期中)如图，在△OAB 中，OA =OB =5，AB =8，⊙O 的半径为3．求证：AB 是⊙O 的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，∵OA =OB ，AB =8，∴AC =12AB =4，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3，∵⊙O 的半径为3，∴OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．11(2022•八步区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，E 为AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 的长为半径作⊙D ，AB =5，BE =3．(1)求证：AC 是⊙D 的切线；(2)求线段AC 的长．【解答】(1)证明：过点D 作DF ⊥AC 于F ；∵AB 为⊙D 的切线，∴∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，∴BD =DF ，∴AC 与⊙D 相切；(2)解：在△BDE 和△DCF 中；BD =DF DE =DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △DCF (HL )，∴EB =FC ．∵AB =AF ，∴AB +EB =AF +FC ，即AB +EB =AC ，∴AC =5+3=8．12(秋•莆田期末)如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分∠BCD ．(1)求证：CD 是半圆O 的切线．(2)若AD =20，CD =50，求BC 和AB 的长．【解答】(1)证明：过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE=OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；(2)解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB=90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO=90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD=BF=20，DF=AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE=AD=20，EC=BC，∵CD=50，∴EC=CD-DE=50-20=30，∴BC=30，∴CF=BC-BF=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=DC2-CF2=502-102=206，∴AB=DF=206，∴BC的长为30，AB的长为206．【题型3　圆切线的判定与形式综合】13(2023•银川校级四模)如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴BD =DF ，∴⊙D 与AC 相切；(2)解：设圆的半径为x ，∵∠B =90°，BC =3，AC =5，∴AB =AC 2-BC 2=4，∵AC ，BC ，是圆的切线，∴BC =CF =3，∴AF =AB -CF =2，∵AB =4，∴AD =AB -BD =4-x ，在Rt △AFD 中，(4-x )2=x 2+22，解得：x =32，∴AE =4-3=1．14(2022秋•五莲县期中)如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OE ，并过点O 作OF ⊥CD ．∵BC 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥BC ，OE =OA ，又∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB =∠ACD ，∴OF =OE =OA ，即：CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵正方形ABCD 的边长为10，∴AB =BC =10，∠B =90°，∠ACB =45°，∴AC =AB 2+BC 2=102，∵OE ⊥BC ，∴OE =EC ，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC=OE2+EC2=2r，∵OA+OC=AC，∴r+2r=102，解得：r=20-102．∴⊙O的半径为：20-102．15(2023•甘南县一模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，AB=2，AC=3BC=23，∴BC=12∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，AC=3，AD=3CD=3．∴CD=1216(2023•夹江县模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若EA=1，ED=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解答；(2)4．【解答】解：(1)如图，连接OD，由OD=OA得：∠OAD=∠ODA，∵OC∥AD，∴∠DOC=∠ODA，∠BOC=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，又∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC=∠OBC，∵BC⊥AB，∴∠ODC=∠OBC=90°，又∵D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x，则：OD=x，OA=x+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2=OE2，∴32+x2=(x+1)2，解得：x=4，∴⊙O的半径为4．17(2022秋•盘山县期末)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线与AB的延长线相交于点P，且AC=PC，∠P=30°．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=6，求PC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)33．【解答】(1)证明：如图所示，连接OC，∵AC=PC，∠P=30°，∴∠A=∠P=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°，即OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB=6且AB是⊙O的直径，∴OC=1OA=3，2在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠P=30°，∴OP=2OC=6，∴PC=PO2-OC2=33．18(2023春•东营期末)如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．(1)求证：HB是⊙O的切线；(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．【答案】见试题解答内容【解答】证明：(1)如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HPA=∠HPB，∵OP=OH，∴∠OHP=∠HPA，∴∠HPB=∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB 是⊙O 的切线；(2)如图，过点O 作OE ⊥PC ，垂足为E ，∵OE ⊥PC ，OH ⊥BH ，BP ⊥BH ，∴四边形EOHB 是矩形，∴OE =BH =4，OH =BE ，∴CE =OH -2，∵OE ⊥PC∴PE =EC =OH -2=OP -2，在Rt △POE 中，OP 2=PE 2+OE 2，∴OP 2=(OP -2)2+16∴OP =5，∴AP =2OP =10，∴⊙O 的直径是10．19(2023•汉川市模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，直线BF 与AD 延长线交于点F ，且∠AFB =∠ABC ．(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD =12，BE =3，求⊙O 的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)152．【解答】(1)证明：∵AC =AC ，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠AFB =∠ABC ，∴∠ADC =∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵OB 为⊙O 的半径．∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为R ，连接OD ，如图，∵AB ⊥CD ，CD =12，∴CE =DE =12CD =6，∵BE =3，∴OE =R -3，在Rt △OED 中，∵OE2+DE2=OD2，∴R2=(R-3)2+62，解得：R=15 2．即⊙O的半径为15 2．20(2022秋•斗门区期末)如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)4．【解答】(1)证明：连接OC，则OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠OBC，∴∠ACP=∠OCB，∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°，∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，∴PC与⊙O相切．(2)解：∵PC=BC，∴∠P=∠B，∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠P，∴CA=PA=4，∵∠OCP=90°，∴∠ACO+∠ACP=90°，∠AOC+∠P=90°，∴∠ACO=∠AOC，∴CA=OA=OC=4．21(2023•黑龙江模拟)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)658．【解答】(1)证明：(1)连接OC ；∵AE ⊥CD ，CF ⊥AB ，又CE =CF ，∴∠1=∠2．∵OA =OC ，∴∠2=∠3，∠1=∠3．∴OC ∥AE ．∴OC ⊥CD ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥ED ，AB =10，BD =3，∴OB =OC =5．CD =OD 2-OC 2=39，∵S △OCD =12OC ⋅CD =12OD ⋅CF ，即12×5×39=125+3 ⋅CF ，∴CF =5398，∴OF =OC 2-FC 2=658，∴AF =OA +OF =5+258=658，在Rt △AEC 和Rt △AFC 中，CE =CF ，AC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △AFC (HL )，∴AE =AF =658．22(2023•宿豫区三模)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交BD 的延长线于点E ，CE =BC ．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CD =2，BD =2，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图，连接OE，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠5=90°．∵CE=BC，∴∠1=∠2．∵OE=OD，∴∠3=∠4．又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴∠2+∠3=90°，即∠OEC=90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BD=25，BC=CE=4．设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴OE2+CE2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，∴⊙O的半径为3．23(2023•东港区校级三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AD=3BD，且BE=4时，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)3．【解答】(1)证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵∠C=90°，∴∠OEC =90°，∴OE ⊥BC ，∵OE 为半径，∴BC 是⊙O 切线；(2)解：∵AD =3BD ，设BD =2x ，则AD =6x ，∴AO =OD =OE =3x ，∴OB =5x ，在Rt △OBE 中，根据勾股定理得：OE 2+BE 2=OB 2，∴(3x )2+42=(5x )2，∴x =1，∴OE =3x =3，∴⊙O 半径为3．24(2023•泗县校级模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为直径作⊙O ，在⊙O 上取一点D ，使CD =BC，过点C 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)若AB =10，AD =6，求AC 的长．【答案】(1)见详解；(2)45．【解答】(1)证明：连接OC ，如图，∵CD =CB，∴∠EAC =∠CAB ，∵EF ⊥AD ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∵OC =OA ，∴∠CAB =∠OCA ，∴∠EAC =∠OCA ，∴∠ACO +∠ACE =90°，即半径OC ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：连接BD ，交OC 于点G ，如图，∵AE ⊥EF ，OC ⊥EF ，∴AE ∥OC ，∵O 为AB 为中点，∴OG 为△ABD 中位线，∴OG=1AD=3，DG=BG，2∴DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC-OG=2，∵AB=10，∴OB=5，∴BG=OB2-OG2，∴DG=BG=4，∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，∴四边形DECG是矩形，∴DE=CG=2，EC=DG=4，∴AE=8，∴在△AEC中，AC=AE2+EC2=45．25(2023•荔湾区校级一模)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)12．【解答】(1)证明：如图所示，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图所示，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．∵∠EDC=30°，∴EC=12DC=12．∴EF=FC-EC=12．。

初三下期圆辅导3切线性质也判定

初三下期《圆》切线的性质与判定辅导基本知识点：1、切线的性质用法：连接过切点的半径构造垂直切线与弦所构成的弦切角2、切线的判定的证明分两种情况：有切点，连半径，证垂直无切点，作垂直，证半径典型例题：（湖北孝感）如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于T ，AC PQ ⊥于C ，交⊙O 于D ．（1）求证：AT 平分BAC ∠；（5分）（2）若2AD =，TC =O 的半径．（5分）练习题一、选择题。

1. （海南课改）如图，⊙B 的半径为4cm ， 60=∠MBN ，点A ，C 分别是射线BM ，BN 上的动点，且直线BN AC ⊥．当AC 平移到与⊙B 相切时，AB 的长度是（） A ．8cm B ．6cm C ．4cm D ．2cm2. （河北课改）如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.5 3. （山东临沂）如图，在ABC △中，2AB =，1AC =，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（）（第2题图）ABCD4. （江苏南京）如图，在平面直角坐标系中点P 在第一象限，P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（）Ａ．(53)，Ｂ．(35)，Ｃ．(54)，Ｄ．(45)，5、（2013济宁）如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为（）6、（2013•毕节地区）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半1、. （河南课改）如图，PA PB ，切⊙O 于点A B ，，点C 是O 上一点，且65ACB ∠=，MCAN BC D B A则P ∠= 度．2. （吉林）如图，AB 为的切线，B 为切点．若30A ∠=，6AO =，则OB =3、（江苏扬州）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点为C ，若25A =∠，则D =∠______ ．4、（2013•咸宁）如图，在Rt △AOB 中，OA=OB=3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为．5、（2013•昆明）已知：如图，AC ⊙O 是的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，∠PBA=∠C ．PB 是⊙O 的切线，若OP ∥BC ，且OP=8，BC=2．则⊙O 的半径三、证明题。

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编号：020中考专题训练圆的切线的性质与判定1已知两圆的半径分别是2和3,圆心距为6，那么这两圆的位置关系是.
2
、
（09临沂）已知O O-］和相切，O O-］的直径为9cm , O O2的直径为4cm .则O1O2的长是 ____________ 4、（08淄博）如上图，A是半径为2 2的O O外一点，OA=4 , AB是O O的切线，点B 是切点，弦BC // OA,则
BC的长为
（A） 2 （B） 2 （C）2 2（D）4
5、（09潍坊）已知圆O的半径为R, AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C 是切点，连结AC,若CAB 30°则BD的长为（）
A . 2R
B . . 3R C. R D. —3R
2
6、（07日照）如图，AC丄BC于点C, BC = a, CA=b, AB=c,O O与直线AB、BC、CA都相切，则O O
的半径等于__________ .
第6题第7题
8、如图，O O的半径为2,点A的坐标为（2, 2罷）,直线AB为O O的切线，B为切点.则B点的坐标为
9、（09滨州）（本题满分7分）
如图，PA为O O的切线，A为切点.直线PO与O O交于B、C两点，P 30°连接AO、AB AC .求证：△ACB APO .
3、（08枣庄）如下图，在△ABC中，AB=2 AC=_2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BAC
7、（07泰安）如图, O M与x轴相交于点A（2,0）, B（8,0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标
A.
<3 8
2 ‘5
B. 、3,1 C
4 9 -
5‘5 D. h 3
的度数是
D
A
P
10、（09聊城）（10分）如图，O O是厶ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，/ DEF
=450.连接BO并延长交AC于点G , AB = 4, AG = 2 （1）求/ A的度数；（2）求O O的半径.
A
11、（07日照）如图，在Rt△ ABC中，/ ACB =90 °以AC为直径的O O与AB边交于点D，过点D作O O的切线，交BC于点E.
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC =3, BD=2 6，求O O的直径AC的长度；
（3）若以点O, D, E, C为顶点的四边形是正方形，试判断△ ABC的形状，并说明理
编号：021
12、（07 泰安）（本小题满分9分）
如图，在△ ABC中，AB AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF AC，垂足为F .
（1）求证：DF为O O的切线；
（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连结CG .当△ ABC是等边三角形时，求
AGC的度数.
13、（08 泰安）（本小题满分10分）
（第12 题）
A
G B C
如图所示，△ ABC是直角三角形，ABC 90°，以AB为直径的O O交AC于点E，点D是BC边
的中点，连结DE •
（1）求证：DE与O O相切；A
（2）若O O 的半径为J3 , DE 3，求AE •\ \
14、（07潍坊）（本题满分10分）
如图1,线段PB过圆心O，交圆O于A, B两点，PC切圆O于点C，作AD PC，垂足为D , 连结AC, BC •
（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C, E两点，AE与BC交于
点M , AD PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
图2
15、（09淄博）（本题满分8分）
如图，两个同心圆的圆心是O,大圆的半径为13,小圆的半径为5, AD是大圆的直径.大圆的弦AB , BE分别与小圆相切于点C, F. AD , BE相交于点G,连接BD .
（1）求BD 的长；”—
⑵求/ ABE +2/ D的度数；’
E
（第23题）。