2020中考数学 模型构建专题：相似三角形中的基本模型

模型构建专题：相似三角形中的基本模型

——熟知需要用相似来解决的图形

◆模型一 “A”字型 1．(2017·湘潭中考)如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比为________．

第1题图 第2题图

2．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，请添加一个条件：____________，使△ABC ∽△AED . 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝2

3，M 为BC 上一点，AM 交DE 于N .

(1)若AE ＝4，求EC 的长；

(2)若M 为BC 的中点，S △ABC ＝36，求S △ADN 的值．

◆模型二 “X”字型 4．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( )

A.AD AB ＝AE AC

B.DF FC ＝AE EC

C.AD DB ＝DE BC

D.DF BF ＝EF FC

第4题图 第5题图 第6题图

5．(2016·贵港中考)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE .下列结论：①∠ACD ＝30°；②S ▱ABCD ＝AC ·BC ；③OE ∶AC ＝3∶6；④S △OCF ＝2S △OEF ，其中成立的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 6．如图，已知AD 、BC 相交于点O ，AB ∥CD ∥EF ，如果C

E ＝2，EB ＝4，FD ＝1.5，那么AD ＝________． 7．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，连接BE 并延长交CD 的延长线于点

F ，交AC 于点

G .

(1)若FD ＝2，ED BC ＝1

3

，求线段DC 的长；

(2)求证：EF ·GB ＝BF ·GE .

◆模型三 旋转型

8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是( )

A ．∠C ＝∠E

B ．∠B ＝∠ADE C.AB AD ＝A

C AE D.AB A

D ＝BC

DE

第8题图 第9题图 第10题图

9．★如图，△ABC ≌△DEF (点A 、B 分别与点D 、E 对应)，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动(点E 不与B 、C 重合)，DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE ＝__________．

◆模型四 “子母”型(大三角形中包含小三角形) 10．(2016·毕节中考)如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝________．

11．(2016·云南中考)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B ，如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为( )

A ．15

B ．10 C.15

2

D ．5

第11题图 第12题图

◆模型五 垂直型

12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

13．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边上的点F 处．若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是( )

A.15 B ．215 C.17 D ．217

第13题图 第14题图

14．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝3

4x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、

B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．

15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F . (1)求证：△ACD ∽△BFD ；

(2)当AD ＝BD ，AC ＝3时，求BF 的长．

◆模型六 一线三等角型

16．(2017·潮阳区模拟)如图，在边长为9的等边△ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则CE 的长为________．

17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD ＝∠B . (1)求证：AC ·CD ＝CP ·BP ；

(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．

参考答案与解析

1．1∶4

2．∠ADE ＝∠C (答案不唯一)

3．解：(1)∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝AD AB ＝2

3

.∵AE ＝4，∴AC ＝6，∴EC ＝6－4＝2.

(2)∵M 为BC 的中点，∴S △ABM ＝1

2S △ABC ＝18.∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，∴S △ADN S △ABM ＝⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝49，

∴S △ADN ＝8.

4．A

5．D 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°.∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠BCE ＝60°，∴△CBE 是等边三角形，∴BE ＝BC ＝CE ，∠CEB ＝60°.∵AB ＝2BC ，∴AE ＝BE ＝BC ＝CE ，∴∠CAE ＝30°，∴∠ACB ＝180°－∠CAE －∠ABC ＝90°.∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，故①正确；∵AC ⊥BC ，∴S ▱ABCD ＝AC ·BC ，故②正确；在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，∴AC ＝3BC .∵AO ＝OC ，AE ＝BE ，∴OE ∥BC ，∴OE ＝12BC ，∴OE ∶AC ＝1

2BC ∶3BC ＝3∶6，故③

正确；∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴CF EF ＝BC OE ＝2，∴S △OCF ∶S △OEF ＝CF

EF ＝2，∴S △OCF ＝2S △OEF ，故

④正确．故选D.

6．4.5 解析：∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF

EB ＝

FD EC ，即AF 4＝1.5

2

，解得AF ＝3，∴AD ＝AF ＋FD ＝3＋1.5＝4.5. 7．(1)解：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴FD FC ＝ED BC ＝1

3，∴FC ＝3FD ＝6，∴DC ＝FC －FD ＝4.

(2)证明：∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，△AEG ∽△CBG ，∴EF BF ＝DE BC ，AE BC ＝GE

GB .∵点E 是边AD

的中点，∴AE ＝DE ，∴EF BF ＝GE

GB

，∴EF ·GB ＝BF ·GE .

8．D

9．1或11

6 解析：∵△ABC ≌△DEF ，AB ＝AC ，∴∠AEF ＝∠B ＝∠C .∵∠AEC ＝∠AEF ＋∠MEC

＝∠B ＋∠BAE ，∴∠MEC ＝∠EAB .∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM .当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1.当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA .又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE AC ＝AC CB ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝6－256＝116，∴BE ＝1或116

. 10.83

11．D 解析：∵∠DAC ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△ACD ∽△BCA .∵AB ＝4，AD ＝2，∴S △ACD ∶S △ABC

＝(AD ∶AB )2＝1∶4，∴S △ACD ∶S △ABD ＝1∶3.∵S △ABD ＝15，∴S △ACD ＝5.故选D.

12．C 13.A

14.285 解析：根据“垂线段最短”，得PM 的最小值就是当PM ⊥AB 时PM 的长．∵直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴令x ＝0，得y ＝－3，∴点B 的坐标为(0，－3)，即OB ＝3.令y ＝0，得

x ＝4，∴点A 的坐标为(4，0), 即OA ＝4，∴PB ＝OP ＋OB ＝4＋3＝7.在Rt △AOB 中，根据勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝42＋32＝5.在Rt △PMB 与Rt △AOB 中，∵∠PBM ＝∠ABO ，∠PMB ＝∠AOB ，

∴Rt △PMB ∽Rt △AOB ，∴PM OA ＝PB AB ，即PM 4＝75，解得PM ＝28

5

.

15．(1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C