相似三角形常用模型及应用

相似证明中的基本模型

A 字形

图①A 字型，结论：

AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DE

AC AB BC

== 图③双A 字型，结论：

DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a a

AH BC

-=（a 为正方形边长）

I H G F

E

D C

B A

G

F E

D

C B

A

E

D

C

B A E

D C B

A

图① 图② 图③ 图④

8字型

图①8字型，结论：

AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF =，图④A 8字型，结论：111

AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△

E

F

D C B

A F E

D C B

A

O

D C B

A

O

D

C B

A

G

F

E

D C

B A

图① 图② 图③ 图④ 图⑤

一线三等角型

结论：出现两个相似三角形

H

E D

C B A

E D

C B

A

E

D

C

B

A

C

60°F E D

C

B A

F

E

D C

B A

图① 图② 图③ 图④

角分线定理与射影定理

图①内角分线型，结论：

AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BD

AC CD

= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，

图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅

D C B

D B

A C

A

E

D

C

B A

D C B A

梅涅劳斯型常用辅助线

G F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

A G F

E D

C B A

D

E

F

C

B

A

考点一 相似三角形

【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.

E

D

C

B

A

中考满分必做题

【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，

求DE 的长.

E

D C

B A

【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，

86PA PC ==，，则PB =________．

P

C

B

A

【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．

H

G

F

E

D C

B A

考点二：相似三角形与边的比例

☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形

【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.

P

E D C

B

A

【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相

交于P ，求证：

BP BD

CP CE

= P

E

D

C

B

A

【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交

AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .

求证：3EF DE =.

F N

M

E

D C

B

A

考点三：相似三角形与内接矩形

☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比 【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个

面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图①所示，乙设计的方案如图②所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）

【例8】 ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，

15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S W .

H

G

F E D C

B A

D M

F

E

C

B

A

②

①

G

F E D C

B A

F E D C B

A