§2.1一维能量本征态的一般性质

第2章 一维势场中的粒子教材第2章P27～49§ 2.1一维能量本征态的一般性质§ 2.2方势§ 2.3 一维谐振子§ 2.1一维能量本征态的一般性质质量为m 的粒子在一维势)(x V 中运动，能量本征方程为)()(ˆx E x Hψ=ψ )(2ˆ222x V xm H +-=d d 或写成)()()(2222x E x x V x m ψ=ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d注意)(x V 为实。

问题一般分为两类：给定)(x V 求E 和ψ，给定)(x V 和E 求ψ。

下面讨论能量本征方程解的一般性质定理1 . 设)(x ψ是能量本征方程的一个解，对应的能量本征值为E ，则)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也是E 。

证明：设)(x ψ是能量本征方程的一个解，方程两边取复共轭，因E 和)(x V 为实，则)()()(2**222x E x x V x m ψ=ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d即)(*x ψ也是方程的一个解，对应的能量也是E 。

若能量的某一本征值E 无简并，即只有一个独立的本征波函数)(x ψ，则)(x ψ可取为实函数。

这是因为：由定理1，)(x ψ和)(*x ψ均为与E 对应的本征波函数。

因E 无简并，则)()(*x C x ψ=ψ其中C 为常数。

上式取复共轭)()()(2**x C x C x ψ=ψ=ψ 12=C αi C e =，α为实若取0=α，则)()(*x x ψ=ψ，即)(x ψ可取为实函数。

对于能级有简并情况，有定理2 定理2 . 对应于能量的某个本征值E ，总可以找到能量本征方程的一组实解，属于E 的任何解均可表示为这一组实解的线性叠加。

证明：设)(x ψ是对应能量E 的一个解，若为实解，则可归入实解的集合中去。

若为复解，按定理1， )(*x ψ也是方程的一个解，同属于能量E 。

由线性方程解的叠加定理，实函数)()()(*x x x ψ+ψ=ϕ)]()([)(*x x i x ψ-ψ-=χ也是方程的解，同属于能量E ，并彼此独立。

这样一来，)(x ψ和)(*x ψ均可写成实函数)(x ϕ和)(x χ的线性叠加)(21χϕi +=ψ，)(21*χϕi -=ψ 由定理1和2可知，只要)(x V 为实，无论能级是否简并，总可以把本征波函数取为实函数。

下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。

1．空间反射变换空间反射变换是r r -→的变换。

在一维情况下是x x -→的变换。

如用算符Pˆ代表空间反射变换，则对任意波函数)(x ψ有)()(ˆx x P -ψ=ψ.如果设)(x ψ满足方程)()(ˆx x P ψ=ψπ其中π为待定常数，则有1±=π即π是空间反射变换算符的本征值，它只能取1±，而)(x ψ是空间反射变换算符的本征波函数。

证明： )()(ˆx x P ψ=ψπ)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ2x x P x P P x P ψ=-ψ=ψ=ψ)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ22x x P x P P x P ψ=ψ=ψ=ψππ)()(2x x ψ=ψπ12=π因此1±=π.2．宇称（parity ）空间反射变换算符的本征值 π称为宇称。

当1+=π时波函数的宇称为正，1-=π时宇称为负⎪⎩⎪⎨⎧-=ψ-+=ψ=ψ负宇称，正宇称,1)(,1),()(ˆππx x x P 空间反射不变的波函数具有正宇称，变号的波函数具有负宇称。

还有一些波函数没有确定的宇称，它们不是空间反射变换算符的本征态。

在§3.1中将证明，空间反射变换算符Pˆ是一个厄米算符，因此可以用来表达体系的宇称这一力学量。

定理 3. 设)(x V 空间反射变换不变，即)()(x V x V =-。

若)(x ψ是能量本征方程对应能量E 的一个解，则)(x -ψ也是方程的对应该能量E 的解。

证明：在变换x x -→下222222)x x x d d d(-d d d =→ )()(x x -ψ→ψ因)()(x V x V =-，则有能量本征方程)()()(2222x E x x V x m -ψ=-ψ+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d因此，)(x -ψ也是方程的解，对应的能量也是E 。

若)()(x V x V =-，且能量的某一本征值E 无简并，则对应该本征值的本征态具有确定的宇称。

这是因为：由定理3，)(x ψ和)(x -ψ均为与E 对应的本征波函数。

因E 无简并，则)()(x C x ψ=-ψ其中C 为常数。

对上式两边作空间反射变换得)()()(2x C x C x ψ=-ψ=ψ12=C ，1±=C即 )()(ˆx x Pψ±=ψ. 对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定具有确定的宇称，但有下面定理定理 4. 设)()(x V x V =-，则对应任何一个能量本征值E ，总可以找到能量本征方程的一组解，其中每一个解都具有确定的宇称，而属于能量E 的任何解，都可以用它们来展开。

证明：设)(x ψ是对应能量E 的一个解，按定理3，)(x -ψ也是对应能量E 的一个解。

可构造一组具有确定宇称的解)()()(x x x -ψ+ψ=+ϕ)()()(x x x -ψ-ψ=-ϕ它们同属于能量E 。

)(x ψ和)(x -ψ均可写成)(x +ϕ和)(x -ϕ的线性叠加)]()([21)(x x x -++=ψϕϕ )]()([21)(x x x -+-=-ψϕϕ 【例】自由粒子的能量)2(2m p E =是2度简并的，对应2个独立的本征波函数px i p A x e =ψ)( px i p A x --=ψe )( 它们不是实函数，也不具有确定的宇称。

但可以由它们组合成一组解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=ψ---+x p A A i x x p A A x px i px i px i px i sin 2)()(cos 2)()(e e e e它们是实函数（因0)(=x V 为实），并具有确定的宇称（因0)(=x V 空间反射不变）。

属于E 的任何解均可表示为这一组实解的线性叠加。

注意，上述定理1－4对三维问题也成立。

除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数)(r ψ'的连接条件。

)(r ψ'的连接条件不能用统计诠释给出，只能由粒子所处势场)(r V 的性质决定。

有下面定理 定理 5. 若势函数)(x V 在0x x =点连续或发生有限阶梯跃变，则波函数的一阶导数)(0x ψ'连续；若)(x V 在0x x =点间断且为无限大，则)(0x ψ'不连续，但其连接条件可由)(x V 在 0x x =点的性质推导得到。

证明：不含时Schr Ödinger 方程为0)()(2)(2=ψ-+ψ''⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x V E m x 在0x x =点附近作积分[]x x x V E m x x x x x x d d ⎰ψ--=⎰ψ''+-+-εεεε0000)()(2)(2 []x x x V E m x x x x d )()(2)()(00200⎰ψ--=-ψ'-+ψ'+-εεεε 1．若)(x V 在0x x =点连续或发生有限阶梯跃变[]0)()(lim 000=⎰ψ-+-→x x x V E x x d εεε 0)()(00=ψ'-ψ'-+x x 则在0x x =点)(x ψ'连续，即)(0x ψ'连续。

2．若)(x V 在0x x =点间断且为无限大，则)(0x ψ'不连续。

例如，对于δ 势阱 )()(0x x x V --=γδ，常数0>γ[]0)(2)()(lim 2)()(020020000≠ψ-=⎰ψ-+-=ψ'-ψ'+-→-+x m x x x x E m x x x x γγδεεεd因此 对于δ势)()(0x x x V -±=γδ，波函数一阶导数在0x x =点的连接（跃变）条件为)(2)()(0200x m x x ψ±=-ψ'-+ψ' γεε． 粒子所处的状态可分为束缚态（bound state ）和非束缚态。

如果满足条件0)(lim →ψ±∞→x x则状态)(x ψ称为束缚态。

否则称为非束缚态。

处于束缚态的粒子被束缚在空间一定范围内。

非束缚态又称为游离态、自由态。

定理6. 对于一维运动的粒子，若)(1x ψ和)(2x ψ都是能量本征方程属于同一能量E 的本征波函数，则有常数=ψ'ψ-ψ'ψ1221（与x 无关） 对于束缚态则为1221ψ'ψ=ψ'ψ． 证明：不含时Schr Ödinger 方程为0)()(2)(121=ψ-+ψ''⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x V E m x（1） 0)()(2)(222=ψ-+ψ''⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x V E m x（2） 由)1()2(21⨯ψ-⨯ψ得0)(012211221=ψ'ψ-ψ'ψ=ψ''ψ-ψ''ψx d d即常数=ψ'ψ-ψ'ψ1221。

若1ψ和2ψ为束缚态，即0)(lim 1→ψ±∞→x x ，0)(lim 2→ψ±∞→x x 则有0常数==ψ'ψ-ψ'ψ1221, 即 1221ψ'ψ=ψ'ψ 定理7. 设粒子在规则（无奇点）的势场)(x V 中运动，若存在束缚态，则必定不简并。

（一维束缚态无简并）。

证明：设1ψ和2ψ为与能级E 对应的两个束缚态1221ψ'ψ=ψ'ψ在1ψ和2ψ的零点之外的区域，由上式可得21212211ln ln ψ=ψ'+ψ=ψψψ'=ψψ'C C即1ψ和2ψ代表同一态，能级E 无简并。

对于常见的不规则势阱，例如无限深方势阱和 δ势阱上述定理也成立。

【思考】若规则势场)(x V 为实函数时，则一维束缚态的概率流密度为零。

为什么？物理上如何理解?下面讨论，对于给定的势函数，粒子能量的取值在什么范围内才能被束缚？ 定理8. 束缚态的能量E 满足条件min min out V E V <<其中min V 代表势函数)(x V 的最小值，min out V 则代表势函数在外区（包括±∞→x 点）的最小值。

xV (x )V outminV min束缚态首先分析本征波函数的性质与本征能量E 的关系。

设势函数为常数0V ，由0)(2)(02=ψ-+ψ''⎥⎦⎤⎢⎣⎡x V E m x可知，当0V E >时本征波函数呈振荡形式 x i β±ψe ~，其中β为实数。