概率论与数理统计试题库
(完整版)概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案概率论和数理统计试题及答案⼀、填空题:1、设A 与B 相互独⽴，P(A) =31, P(B) =21, 则P (B-A) = . 解：111()()[1()](1)233P B A P B P A -=-=?-=2、设~[1,3]X U （均匀分布），则2()E X = ，(2)D X = ．(52)E X -= ，解：()2;()1/3E X D X ==22()()()13/3E X D X E X =+= (2)4()4/3D X D X ==(52)5()21028E X E X -=-=-=3、设随机变量X 服从指数分布，即 ~(2),X E 定义随机变量2,31,31,3X Y X X >??==??-则 Y 的分布列为。
解：3322620()()(1)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e σσσ-----+=≤=≤-=<==-=-?33226()()(11)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e ---=≤=-<≤=≤==-=-?3322620()()(12)(3)21Y xx F Y P Y y P Y P X edx ee σσσ++----=≤=<≤=>==-=-?其中σ是与y ⽆关的量4、设~(200,0.1)X B ~(3)Y P ,2~(3,2)Z N ，且X ，,Y Z 相互独⽴, 则(235)E X Y Z --+= , (235)D X Y Z --+=解：(235)2()3()()522000.1333533E X Y Z E X E Y E Z --+=--+=??-?-+=(235)4()9()()72274103D X Y Z D X D Y D Z --+=++=++=5、设总体2~(,)X N µσ，123,,x x x 为来⾃X 的样本，123?0.50.1x x ax µ=+-是未知参数µ的⽆偏估计，则a =。
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》第一部分一、填空题1. 设A ，B 为两事件，且()0.4P A =，(|)0.6P B A =，则()P AB = 0.162. 设随机变量X 和Y 独立同服从正态分布(0,1)N ，则Z X Y =+2z -3. 设随机变量X 的密度函数为22, 0()0, 0x e x p x x -⎧>=⎨≥⎩，则X 的分布函数()F X = .20, 0()1, 0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为1(,),1,2,3,1,2,3,412i i P X x Y y i j =====，则1()P X x ==13 .5. 设,,A B C 是随机事件，1()()(),4P A P B P C ===1()()().8P AB P BC P AC ===则,,A B C 三个事件恰好出现一个的概率为12.6. 甲、乙两人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是 0.75 .7. 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则{ma x (,)0}P X Y <57 .8. 设随机变量X 和Y 独立，(2,),(3,)X b p Y b p ，且5(1)9P X ≥=，则(1)P X Y +== 80243 .9. 设12,,,,m n X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，令22121(,)() ()n m m n Y a X X X b X X m n +=+++++< 为使n Y 服从2χ分布，则a = ，b = . 11,a b m n m ==-10. 设由来自正态总体(,0.81)X N μ 的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 []4.412,5.588 .11. 设()1,()2,()1,()4,0.6XY E X E Y D X D Y ρ=====，则2(21)E X Y ⎡⎤-+=⎣⎦ 4212. 设,X Y是两个相互独立同服从正态分布2)N 的随机变量，则(||)E X Y -=.13．设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次取1只，作不放回抽样，则取出次品的只数为1的概率 12/35 。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。
解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。
(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc
一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。
3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为：0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。
8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。
《概率论与数理统计》试题库
《概率论与数理统计》试题库陇南师范⾼等专科学校数信学院《概率论与数理统计》试题库⼆〇⼀四年⼋⽉⼗⼆⽇整理题库⽬录《概率论与数理统计》题库（⼀） (3)《概率论与数理统计》题库（⼆） (5)《概率论与数理统计》题库（三） (6)《概率论与数理统计》题库（四） (8)《概率论与数理统计》题库（五） (10)《概率论与数理统计》题库（六） (11)《概率论与数理统计》题库（七） (13)《概率论与数理统计》题库（⼋） (15)《概率论与数理统计》题库（九） (17)《概率论与数理统计》题库（⼗） (19)《概率论与数理统计》题库（⼗⼀） (21)《概率论与数理统计》题库（⼗⼆） (23)《概率论与数理统计》题库（⼗三） (25)《概率论与数理统计》题库（⼗四） (27)概率论与数理统计模拟试题1 (29)概率论与数理统计模拟试题2 (31)《概率论与数理统计》题库（⼀）⼀、填空题（10×3＝30分）1、随机变量相互独⽴，且～P(2.3)，～P(2.7)，，则，。
2、随机变量ξ～N(0,4)，则ξ的密度函数f(x)＝，D(2ξ＋1)= 。
3、随机变量～N(0,4;2,9;0),则，。
4、随机变量ξ～b(10,0.5)，则E(ξ)= ，D(ξ)= 。
5、随机变量ξ的密度函数是，则C= ，。
⼆、设事件，P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,试计算的值。
三、已知离散型随机变量的分布列为：求的分布列。
四、设随机变量相互独⽴，且～U[0,2],～，求的联合密度函数五、掷20个骰⼦，求这20个骰⼦出现的点数之和的数学期望。
六、设相互独⽴，且，，试求:的数学期望和⽅差。
七、两名⼤学⽣约定在时间12时和13时之间于预定地点见⾯，先到者等⼀刻钟后离去，假定每个⼤学⽣可以在12时到13时之间的任意时刻到达，求他们相遇的概率。
⼋、设与的分布列为试问：为何值时，与相互独⽴？《概率论与数理统计》题库（⼆）⼀、填空题1、随机变量相互独⽴，且～P(0.27)，～P(1.73)，，则，。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
概率论与数理统计测试题及答案
概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分，共15分)1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则X 的概率密度为__________.5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P A B P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2X 服从 ( )分布(A) 2()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -. 4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =5.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211,(())1n ii X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2~(,);X N nσμ(B)22();E S σ=(C)22();1nE S n σ=- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<<⎧=⎨⎩，其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y 1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知参数，12,,,n X X X 是X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题（2个小题，共10分）1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2(,)N μσ.2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(,2σ)的样本，证明2212342()()2X X X X Y σ-+-= 服从2χ分布，并写出自由度.Y X 0 10 1一、填空题(每小题3分，共15分) 1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它；5．1/8.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，P(A 1)=，P(A 2)=，P(A 3)=，P(B|A 1)=，P(B|A 2)=，P(B|A 3)= ………3分(1)P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) ………5分=++= ………7分 (2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717P A P B A P A B P B ⨯==== (1)0分2．（10分）解：(1) X ～b(3，， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== ………3分X 0 1 2 3p………7分(2)P{X 1}=1－P{X=0}= ………10分 3．（12分）解：（1）01sin 1;2a xdx a π=⇒=⎰………3分（2）()()xF x f t dt -∞=⎰ (6)分00,01sin ,02x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩⎰1,0,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩1, (10)分2412(3){/4/2}sin .24P X xdx ππππ<<==⎰ (12)分4．（8分）解： E （X ）＝，E （Y ）＝，E （XY ）＝ ………4分Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－ ………6分 P{X +Y 1}=＋＋= ………8分5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y ydx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它6(1),010,y y y -<<⎧=⎨⎩其它 ………8分（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==⋅+=+⎰ ………3分 11121μθμ-⇒=-12ˆ1X X θ-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为11()(;)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分1()ln(1)ln ni i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01ni i d nlnL x d θθθ==+=+∑ ………8分11ln ˆln nii nii n x xθ==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为11ln ˆln nii nii n X Xθ==+=-∑∑ ………10分四、证明题（2个小题，共10分）1．证明 ：X的概率密度为22(),x X f x -= ………1分函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1(),(),y x h y h y μσσ-'===………3分22()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--'==⇒ ………5分2．证明：212~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒~(0,1),N ………2分两者独立 ………4分因此 22212342()()~(2)2X X X X Y χσ-+-= ………5分。
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
概率论与数理统计 试题
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）A．P(A)=1-P(B)B．P(A-B)=P(B)C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(A-B)=P(A)2．设A，B为两个随机事件，且，则（）A．1B．P(A)C．P(B)D．P(AB)3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（）A．B．C．D．4．设离散型随机变量X的分布律为则（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.75．设二维随机变量（X，Y）的分布律为（）且X与Y相互独立，则下列结论正确的是A．a=0.2,b=0.6B．a=-0.1,b=0.9C．a=0.4,b=0.4D．a=0.6,b=0.26．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则P{0>X<1,0<Y<1}=（）A．B．C．D．17．设随机变量X服从参数为的指数分布，则E（X）=（）A．B．C．2D．48．设随机变量X与Y相互独立，且X~N（0，9），Y~N（0，1），令Z=X-2Y，则D（Z）=（）A．5B．7C．11D．139．设（X，Y）为二维随机变量，且D（X）>0，D（Y）>0，则下列等式成立的是（）A．E（XY）=E（X）·E（Y）B．CovC．D（X+Y）=D（X）+D（Y）D．Cov(2X,2Y)=2Cov(X,Y)10．设总体X服从正态分布N（），其中未知，x1,x2,…，xn为来自该总体的样本，为样本均值，s为样本标准差，欲检验假设，则检验统计量为（）A．B．C．D．二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设A，B为两个随机事件，若A发生必然导致B发生，且P（A）=0.6，则P （AB）=_____.12．设随机事件A与B相互独立，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3,则=_______.13.已知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______.14.已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8,若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______.15．设连续型随机变量X的概率密度为则当时，X的分布函数F(x)=______.16．设随机变量，则=______.（附：）17．设二维随机变量（X，Y）的分布律为则______.18．设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，随机变量Y的期望E(Y)=4，方差D(Y)=9，又E(XY)=10，则X，Y的相关系数=______.19．设随机变量X服从二项分布，则=______.20．设随机变量X~B（100，0.5），应用中心极限定理可算得______.（附：）21．设总体为来自该总体的样本，,则______.22．设总体,为来自该总体的样本，则服从自由度为______的分布.23.设总体X服从均匀分布,是来自该总体的样本,则的矩估计=______.24.设样本来自总体,假设检验问题为,则检验统计量为______.25.对假设检验问题,若给定显著水平0.05,则该检验犯第一类错误的概率为______.三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)26.设随机变量X与Y相互独立,且X~N(0.1),Y~N(1,4).(1)求二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y);(2)设(X,Y)的分布函数为F(x,y),求F(0,1).27.设一批产品中有95%的合格品,且在合格品中一等品的占有率为60%.求:(1)从该批产品中任取1件,其为一等品的概率;(2)在取出的1件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率.四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28.设随机变量X的概率密度为试求:(1)常数.29.设某型号电视机的使用寿命X服从参数为1的指数分布(单位:万小时).求:(1)该型号电视机的使用寿命超过t(t>0)的概率;(2)该型号电视机的平均使用寿命.五、应用题(10分)30.设某批建筑材料的抗弯强度,现从中抽取容量为16的样本,测得样本均值,求μ的置信度为0.95的置信区间.(附:)。
概率论与数理统计习题
《概率论与数理统计》试题一1．设事件A 与B 互斥，且1)(0<<B P ，试证明：)(1)()/(B P A P B A P -=． 2．设0>)A (P ，试证明：)()(1)|(A P B P A B P -≥． 3．甲乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．4．一栋10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率．5．设某厂的某种生产设备的寿命X 服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,41)(41x x e x P x ，工厂规定：若出售的设备在一年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂房需花费300元，求厂方售出1台设备净获利的数学期望．6．设随机变量X 在)2,0(内服从均匀分布，求随机变量2X Y =的分布函数和分布密度．7．假设随机变量X 服从)1,0(上的均匀分布，求证：随机变量2)1ln(x Y --=服从参数为2的指数分布．8．设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从二项分布),p ,m (B ),p ,n (B 求证： )p ,m n (B ~Y X ++． 9．从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间)4.5,4.1(内的概率不小于95.0，问样本容量n 至少应取多大？《概率论与数理统计》试题二1．一个袋中装有12个球，其中4个红球，8个白球，从中不放回地取出3个球，试求取出3个同颜色球的概率．2．某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品，从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．3．袋中有4个白球，2个红球，从中任取3个球，用ε表示所取3个球中红球的个数，求ε的分布列．4．某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是02.0，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率．试求X 的分布函数)(x F X ．6．设随机变量X 所有可能的取值为n ,,2,1 ，且已知概率),,2,1()(n k ak k X P ===，求常数a 的值．7．设X 与Y 相互独立，且X 与Y 分别服从区间)1,0(),1,1(-的均匀分布，求方程 022=++Y Xt t 无实根的概率．8．设二维随机变量),(Y X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其它,020,10,3),(2y x xy x y x f ， 求)1(<+Y X P ．9．设n X X X ,,21是来自于总体X 的容量为n 的样本，试证明样本均值∑==ni i n X n X 11是总体均值)(X E 的一致估计量．《概率论与数理统计》试题三1．在区间)1,0(内任取2个数，求这2个数的乘积小于41的概率． 2．从10,2,1 共10个数中任取7个数，取后放回，每次取一个，求10恰好出现2次的概率．3．设C B A ,,3个事件相互独立，证明B A +与C 相互独立．4．证明事件在1次实验中发生次数的方差不超过41． 5．证明对任意实数c 均有)(])[(2X D c X E ≥-，且等号成立当且仅当)(X E c =．6．在下列两种情形下，求方程012=++Xt t 有实根的概率，其中X 是随机变量．（1）X 服从}{6,,2,1 上的均匀分布．（2）X 服从区间]6,1[上的均匀分布． 7．证明对任意实数c 均有)(])[(2X D c X E ≥-，且等号成立当且仅当)(X E c =．8．已知罐头番茄汁中维生素)(c V C 的含量服从正态分布，按照规定c V 的平均含量不得低于21mg ，现从一批罐头中取17罐，算得c V 含量的平均值23=X ，2298.3=s ，问该批罐头的c V 含量是否合格？9．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ，求)(X D ．10．车间用一台包装机包装葡萄糖，规定标准为每袋净重5.0kg ，设包装机实际生产的每袋质量服从正态分布，且由长期的经验知其标准差015.0=σkg ，某天开工后，为了检验包装机的工作是否正常，随机抽取了9袋，称得净重为：518.0,512.0,515.0,510.0,511.0,488.0,524.0,506.0,497.0问这天包装机的工作是否正常？)05.0(=α《概率论与数理统计》试题四1．某人从甲地到乙地，乘火车，轮船，飞机的概率分别为4.0,4.0,2.0，乘火车迟到的概率为5.0，乘轮船迟到的概率为2.0，乘飞机不会迟到，问这个人迟到的概率是多少？又如果迟到，问他乘轮船的概率是多少？2．在1~200中随机地取整数，问取到的整数不能被6和8整除的概率是多少？3．一批产品分一，二，三级，其中一级品是二级品的2被，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地取出抽取1个检验质量，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的概率分布．4．在区间)1,0(中随机地取出2个数，求2个数之和小于2.1的概率．5．将n 只球（n ~1号）中去，一只盒子装一只球，若一只微2装入与球同号的盒子中称为一个配对，记总的配对数为随机变量X ，求)(X E ．6．设随机变量X ，Y 相互独立它们分别服从参数为2和5的指数分布，求YX +的数学期望和方差．7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,2cos 21)(πx x x f ，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望． 8．设随机变量X 的概率密度为)(21)(+∞<<-∞=-x e x P x ，证明：X 与X 不相关．9．设随机变量X 的概率密度为)(21)(+∞<<-∞=-x e x P x ，证明：X 与X 不相关．10．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36为考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分．问在显著性水平05.0下是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．《概率论与数理统计》试题五1．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．2．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．3．设射击中靶的概率为0.45，X 表示首次中靶时的射击次数．（1）求X 的分布律；（2）求P （X 取偶数）．4．设随机变量[]1,0~U X ，求X Y ln 2-=的概率密度．5．某电子元件的寿命（单位：小时）是以()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=10010010002x x x x f 为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率．6．将n 个人的帽子混放，然后每人任取一顶帽子，以X 记配对个数，求EX ．7．设随机变量X 服从⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21上的均匀分布， ()⎩⎨⎧≤>==.0,0,0,ln x x x x g y ， 求()X g Y =的数学期望和方差．8．在总体()25.0,2N 中随机抽取容量为9的样本，求样本均值X 落在1.5到2.5之间的概率．9．设总体X 的分布律为 P {X=x }= ,2,1,)1(1=--x p p x ，（),,,21n X X X 是来自X 的样本，试求：（1）p 的矩估计量；（2）p 的极大似然估计量．10．设21,X X 是来自总体N （1,μ）的样本，证明以下统计量均是μ的无偏估计，并指出选择哪一个统计量作为μ的估计量最好．2113132X X +=∧μ ，2124341X X +=∧μ ，2132121X X +=∧μ《概率论与数理统计》试题六1．设随机变量X ，Y 独立，其密度函数分别为1,01,0(),()0,0,y X Y x e y f x f y -≤≤⎧⎧>==⎨⎨≤⎩⎩其他y 0， 求Z=2X+Y 的概率密度函数．2．已知 X 在[0,2]上服从均匀分布，求3X Y =的概率密度．3．设X ～()9,108N ，（1）求()6.1171.101<<X P ；（2）求a ，使()90.0=<a X P ；（3）求a ，使()01.0=>-a a X P ．4．设()1021,...,,X X X 为总体X 的一个样本，X ～()23.0,0N ，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i X P ． 5．某保险公司规定，如果在一年内顾客的投保事件A 发生，该公司就赔偿顾客a 元，若1年内事件A 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，问该公司应要求顾客交多少保险费？6．盒中有4只次品和6只正品，在其中取两次，每次取一只不放回，求：（1）恰有一只次品的概率；（2）至少有一只次品的概率；（3）全为正品的概率．7．已知()Y X ,在区域(){}20,10,≤≤≤≤=y x y x D 上服从均匀分布，试计算概率{}1≥+Y X P ，{}Y X P <2．8．设总体X ～()2,σμN ，123,,X X X 为总体的一个样本，试证明：11231315102X X X μ∧=++，21231153412X X X μ∧=++，3123111362X X X μ∧=++ 都是μ的无偏估计量，并分析哪一个最好．。
概率论与数理统计试题库
概率论及数理统计一、填空题1．已知()()(),5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则()=B A B P （ 0.25 ） 2．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）3．理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。
即当n →0，p →∞，且np →λ（常数 ）时，有关系式lim ∞→n C mnpmmn q-=e m mλλ-!成立。
4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）5．若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6．写出随机变量X 服从参数为λ（正常数）的泊松分布的概率公式{}==k X P （!k e k λλ-）7．当随机变量R.V. ξ~N （μ,σ2）时，有P{a<ξ≤b}=（F （b ）-F （a ））8．写出样本k 阶中心矩公式=k B （ ()∑==-ni k i k X X n 1,3,2,1 ）9．已知()()(),21,31,41===B A P A B P A P 则()=B A P （ 1/3 ） 10．设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。
独立地分别在两只盒子中各取一只球，则至少有一只蓝球的概率是（ 5/9 ）11．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则正品次品各有一只的概率为（ 16/45 ） 二、判断题1、 对立事件一定是互斥事件。
（ ）2、 明天下雨是随机事件。
（ ）3、 若事件A 和事件B 相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B). ( )4、 设随机变量X 的概率密度为a, 则E （X ＋1）＝1 。
（）5、 设随机变量X 及Y 相互独立，且D(X)=1,D(Y)=2,则D （X+Y ）＝3 。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为（）。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件，若A,B之积为不可能事件，则称（）。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（）.(4分)A :“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；B :“甲，乙两种产品均畅销”；C :“甲种产品滞销”；D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子，事件A为出现的点数之和等于3的概率为（）。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件，且B A，则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人，分得一张观看亚运会的入场券，组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张，以决定谁得入场券，则（）。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件，且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，恰有一个是正品的概率为（）.(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有两个为红色，4个为蓝色；木质球有3个为红色，7个为蓝色，现从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”；B表示“取到玻璃球”。
概率论与数理统计试卷及答案
模拟试题一一、填空题〔每空3分，共45分〕1、P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 那么P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 及B 独立，A 及B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率及B 发生且A 不发生的概率相等，那么A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 那么常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，假设{1}5/9P X ≥=，那么p = ，假设X 及Y 独立，那么Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 及Y 相互独立，那么D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，那么当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，那么θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题〔35分〕1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1〕{|21|2}P X -<；2〕2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3〕(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 及Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、〔11分〕设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
概率论与数理统计试题(含答案)
第一部份 大体题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生答：选D ，按照A B 的概念可知。
2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
3. 已知随机变量X ,Y 彼此独立，且都服从标准正态散布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的2散布(B) 自由度为2的2散布(C) 自由度为1的F 散布 (D) 自由度为2的F 散布答：选B ，因为n 个彼此独立的服从标准正态散布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2散布。
4. 已知随机变量X ,Y 彼此独立，X ~N (2,4),Y ~N (2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为彼此独立的正态变量相加仍然服从正态散布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0,D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自整体X ，E (X )=, D (X )=2,则有( )(A) X 1+X 2+X 3是的无偏估量(B)1233X X X ++是的无偏估量(C) 22X 是2的无偏估量(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是2的无偏估量答：选B ，因为样本均值是整体期望的无偏估量，其它三项都不成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计一、填空题1．已知()()(),5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则()=B A B P （ 0.25 ） 2．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）3．理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。
即当n →0，p →∞，且np →λ（常数 ）时，有关系式lim ∞→n C mnpmmn q-=e m mλλ-!成立。
4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）5．若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6．写出随机变量X 服从参数为λ（正常数）的泊松分布的概率公式{}==k X P （!k e k λλ-）7．当随机变量R.V. ξ~N （μ,σ2）时，有P{a<ξ≤b}=（F （b ）-F （a ））8．写出样本k 阶中心矩公式=k B （ ()∑==-ni k i k X X n 1,3,2,1 ）9．已知()()(),21,31,41===B A P A B P A P 则()=B A P （ 1/3 ） 10．设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。
独立地分别在两只盒子中各取一只球，则至少有一只蓝球的概率是（ 5/9 ）11．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则正品次品各有一只的概率为（ 16/45 ） 二、判断题1、 对立事件一定是互斥事件。
（ ）2、 明天下雨是随机事件。
（ ）3、 若事件A 和事件B 相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B). ( )4、 设随机变量X 的概率密度为a, 则E （X ＋1）＝1 。
（ ）5、 设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=1,D(Y)=2,则D （X+Y ）＝3 。
（ ）6、 设随机变量X~U[0,1]，则 P{x>0}=0.6 。
（ ）7、 设样本的频数分布为X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2则样本方差为1。
（ ）8、 D(X+1)=D(X) ( )9、 甲乙两人各自考上大学的概率分别是70%，80%，则甲乙两人同时考上大学的概率是56%。
（ ）10、 如果密度函数连续，那么密度函数是分布函数的导数。
（ ） 三、单项选择题1．设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）＞P （B ）＞0，则 ( )A ． P(A)=1-P(B)B ．P(AB)=P(A)P(B) B ．C ．P(A ∪B)=1D ．P(A ∪B)= p(A)+P(B)2．已知随机变量的分布列R.V.ξ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 4.03.0210,则k 值是( ).A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.73．设A ，B 为随机事件，P （B ）＞0，P （A|B ）=1,则必有 ( )A ． P(A ∪B)＝P （A ）B ．P(A ∪B)＝P （B ）C ． P （A ）＝P （B ）D ．P （AB ）＝P （A ）4、若事件A 发生必将导致事件B 发生，则称（ ） A ．A 包含B B ．A 包含于B C ．B 包含于A D ．A 与B 相等5．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为( )A．0.25 B．0.35 C．0.6D．0.76．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( )A．2/3 B．3/4 C．3/64D．4/57．下列分布中，不是连续型分布的是（）A．二项分布 B．正态分布C．指数分布 D． 分布8．已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/2，令Y＝－2X，则Y的概率密度为( )A．-3 B．-4 C．+1D．-19、在相同条件下进行的n次重复试验，如果每次试验只有2个可能结果，而且它们在各次试验中发生的概率不变，则称这样的试验为n重（）A．n重古典试验 B．n重统计试验C．n重泊松试验 D．n重伯努利试验10．如果函数f(x)=1/3,是某连续随机变量X的概率密度，则区间[a,b]可以是( )A．[0,1] B．[0.2] C．[0,3 ] D．[1,2]11. 甲乙二人射击，每枪中靶的概率分别为0.7, 0.8,则二人各打一枪同时中靶的概率为 ( )A. 0.6B. 0.7C. 0.56D. 1.512. 一次抛掷十枚硬币，恰好两枚正面向上的概率为( )A. 5×2^(-10)B.45×2^(-10)C. 54×2^(-10)D. 4×2^(-10) 13、已知A ，B 是样本空间中的两事件，且Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则AB 是（ ） A ．{2，4，6} B ．{2，4，6，8} C ．{1，3，5，7，8} D ．{1，3，5，7}14 .已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝（ ） A．3B ．6C ．10D ．12 15．设φ（x ）为标准正态分布函数，且P(A)=0.8，X1，X2，…，X100相互独立。
令 ，则由中心极限定理知Y 的分布函数F （y ）近似于 （ ） A．φ（y ） B ．φ(X) C ．0.8 D ．1四、简答题。
1．叙述伯努利大数定理。
答：设A n 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数。
p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0>ε，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n n P A n 或 0lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εp n n P A n2．15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。
问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？（本题是课本17页例7） 答案：15名新生平均分配到三个班级中去的分法总数为!5!5!5!1555510515=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
每一种分配法为一基本事件，且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同。
（1） 将3名优秀生分配到三个班级每班一个的分法共3！种，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有)!4!4!4/(!12种。
因此，每一个班级各有一名优秀生的分法共有)!4!4!4/()!12!3(⨯种。
于是所求的概率为.9125!5!5!5!15!4!4!4!12!31=⨯=p 3．叙述棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理。
答：设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意x ，有⎰∞--∞→Φ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n n x dt e x p np np P )(21)1(2/2lim πη五、计算题。
1．设随机变量X 的分布律为求X 的分布函数，并求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X P ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<2523X P ，{}32≤≤X P 。
答：X 仅在3,2,1-=x 三点处其概率不为0，而)(x F 的值是x X ≤的累积概率值，即为小于或等于x 的k x 处的k p 之和，则有{}{}{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=-<=3,132,2121,11,0)(x x X P X P x X P x x F即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=3,132,4321,411,0)(x x x x x F41)21(21==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤F X P ，214143)23()25(2523=-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<F F X P ，{}{}43214312)2()3(32=+-==+-=≤≤X P F F X P 。
2．设随机变量X 具有概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其它.0,43,22,30,x xx kx x f()1确定常数k ；()2求X 的分布函数()x F ；()3求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<271XP 。
答：()1由()⎰∞∞-=1dx x f ，得⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3043122dx x kxdx 解得 61=k 。
()2X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫⎝⎛-+<≤<=⎰⎰⎰.41,43226,306,003030x x dx x dx x x dx x x x F x x ，，，， 即 ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=.41,43,423,3012,0022x x x x x x x x F ，，， ()3 ()484117271=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<F F X P 。
3．已知随机变量ξ有分布密度P(x)=⎩⎨⎧<<+其他,031,x b ax又知P{2<ξ<3}=2P{1<ξ<2}，试求待定系数a ，b.解：3221()2()ax b dx ax b dx +=+⎰⎰ （1）又 ()1ax b dx +∞-∞+=⎰ （2）解之得：5322a b a b +=+4a+2b=1⇒1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4．设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,1)(/x x e x f x θθ 其中0>θ，求)(X E ，)(X D 。
答：⎰⎰∞-∞∞-==0/1)()(dx e x dx x xf X E x θθ⎰∞--=+∞-=0//0θθθdx e xex x ，⎰⎰∞-∞∞-==0/2221)()(dx e x dx x f x X E x θθ⎰∞--=+∞-=02//2220θθθdx xe e x x x ，于是 []222222)()()(θθθ=-=-=X E X E X D . 5．设随机变量X 具有概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，,0,40,8x xx f X求随机变量82+=X Y 的概率密度。
答：分别记Y X ,的分布函数为()()y F x F Y X ,，则(){}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=282882y F y X P y X P y Y P y F X Y 。
将()y F Y 关于y 求导数，得82+=X Y 的概率密度为()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2828y y f y f X Y,4280,,0212881<-<⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y 其它,168,.,0328<<⎪⎩⎪⎨⎧-=y y 其它 6．某人独立射击400次，命中率为0.015。