概率论与数理统计试题库
概率论与数理统计
一、填空题
1．已知()()()
,5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则()
=B A B P （ 0.25 ） 2．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）
3．理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当n →0，p →∞，且np →λ（常数 ）时，有关系式lim
∞
→n C m n
p
m
m
n q
-=e m m
λ
λ-!
成立。
4．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）
5．若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6．写出随机变量X 服从参数为λ（正常数）的泊松分布的概率公式
{}==k X P （
!
k e k λ
λ-）
7．当随机变量R.V. ξ~N （μ,σ2
）时，有P{a<ξ≤b}=（F （b ）-F （a ））
8．写出样本k 阶中心矩公式=k B （ ()
∑==-n
i k i k X X n 1
,3,2,1 ）
9．已知()()(),2
1
,31,41===
B A P A B P A P 则()=B A P （ 1/3 ） 10．设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球，则至少有一只蓝球的概率是（ 5/9 ）
11．已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则正品次品各有一只的概率为（ 16/45 ） 二、判断题
1、 对立事件一定是互斥事件。（ ）
2、 明天下雨是随机事件。（ ）
3、 若事件A 和事件B 相互独立，则P(AB)=P(A)+P(B). ( )
4、 设随机变量X 的概率密度为a, 则E （X ＋1）＝1 。（ ）
5、 设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=1,D(Y)=2,则D （X+Y ）＝3 。 （ ）
6、 设随机变量X~U[0,1]，则 P{x>0}=0.6 。 （ ）
7、 设样本的频数分布为
X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2
则样本方差为1。 （ ）
8、 D(X+1)=D(X) ( )
9、 甲乙两人各自考上大学的概率分别是70%，80%，则甲乙两人同时考上大学的概率是56%。（ ）
10、 如果密度函数连续，那么密度函数是分布函数的导数。（ ） 三、单项选择题
1．设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）＞P （B ）＞0，则 ( )
A ． P(A)=1-P(B)
B ．P(AB)=P(A)P(B) B ．
C ．P(A ∪B)=1
D ．P(A ∪B)= p(A)+P(B)
2．已知随机变量的分布列R.V.ξ~???? ??k 4.03.0210,则k 值是( ).
A ．0.3
B ．0.5
C ．0.6
D ．0.7
3．设A ，B 为随机事件，P （B ）＞0，P （A|B ）=1,则必有 ( )
A ． P(A ∪B)＝P （A ）
B ．P(A ∪B)＝P （B ）
C ． P （A ）＝P （B ）
D ．P （AB ）＝P （A ）
4、若事件A 发生必将导致事件B 发生，则称（ ） A ．A 包含B B ．A 包含于B C ．B 包含于A D ．A 与B 相等
5．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为
( )
A．0.25 B．0.35 C．0.6
D．0.7
6．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中
为止，则射击次数为3的概率是( )
A．2/3 B．3/4 C．3/64
D．4/5
7．下列分布中，不是连续型分布的是（）
A．二项分布 B．正态分布
C．指数分布 D． 分布
8．已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/2，令Y＝－2X，则Y的概率密度为
( )
A．-3 B．-4 C．+1
D．-1
9、在相同条件下进行的n次重复试验，如果每次试验只有2个可能结果，而且
它们在各次试验中发生的概率不变，则称这样的试验为n重（）
A．n重古典试验 B．n重统计试验
C．n重泊松试验 D．n重伯努利试验
10．如果函数f(x)=1/3,是某连续随机变量X的概率密度，则区间[a,b]可以是
( )
A．[0,1] B．[0.2] C．[0,3 ] D
．[1,2]
11. 甲乙二人射击，每枪中靶的概率分别为0.7, 0.8,则二人各打一枪同时中靶
的概率为 ( )
A. 0.6
B. 0.7
C. 0.56
D. 1.5
12. 一次抛掷十枚硬币，恰好两枚正面向上的概率为
( )
A. 5×2^(-10)
B.45×2^(-10)
C. 54×2^(-10)
D. 4×2^(-10) 13、已知A ，B 是样本空间中的两事件，且Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，
4，6，8}，B={2，3，4，5，6，7}，则AB 是（ ） A ．{2，4，6} B ．{2，4，6，8} C ．{1，3，5，7，8} D ．{1，3，5，7}
14 .已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则E （XY ）＝（ ） A
．
3
B ．6
C ．10
D ．12 15．设φ（x ）为标准正态分布函数，且P(A)=0.8，X1，X2，…，X100相互独立。令 ，则由中心极限定理知Y 的分布函数F （y ）近似于 （ ） A
．
φ
（y ） B ．φ(X) C ．0.8 D ．1
四、简答题。
1．叙述伯努利大数定理。
答：设A n 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数。p 是事件A 在每次
试验中发生的概率，则对于任意正数0>ε，有
1lim
=?
??
???<-∞
→εp n n P A n 或 0lim =?
??
???≥-∞→εp n n P A n
2．15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？（本题是课本17页例7） 答案：15名新生平均分配到三个班级中去的分法总数为
!5!5!5!1555510515=???
? ?????? ?????? ??。每一种分配法为一基本事件，且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同。
（1） 将3名优秀生分配到三个班级每班一个的分法共3！种，其余12名新生
平均分配到三个班级中的分法共有)!4!4!4/(!12种。因此，每一个班级各有一名优秀生的分法共有)!4!4!4/()!12!3(?种。于是所求的概率为
.91
25
!5!5!5!15!
4!4!4!12!31=?=
p 3．叙述棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理。
答：设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<
x ，有
?∞
--∞
→Φ==??
????????≤--x t n n x dt e x p np np P )(21)1(2/2lim
πη
五、计算题。
1．设随机变量X 的分布律为
求X 的分布函数，并求??????≤21X P ，??????≤<252
3
X P ，{}32≤≤X P 。
答：X 仅在3,2,1-=x 三点处其概率不为0，而)(x F 的值是x X ≤的累积
概率值，即为小于或等于x 的k x 处的k p 之和，则有
{}{}{}???
?
??
?
≥<≤=+-=<≤--=-<=3,132,2121,11,0)(x x X P X P x X P x x F
即 ?????????≥<≤<≤--<=3
,132,43
21,4
1
1,0)(x x x x x F
41)21(21==????
??
≤F X P ，
214143)23()25(252
3
=-=-=??????≤ {}{}4 3 214312)2()3(32=+- ==+-=≤≤X P F F X P 。 2．设随机变量X 具有概率密度 ()? ? ???<≤-<≤=其它.0,43,22,30,x x x kx x f ()1确定常数k ；()2求X 的分布函数()x F ；()3求? ?? ???≤<271X P 。 答：()1由()?∞ ∞ -=1dx x f ，得 ??=??? ??-+3 043122dx x kxdx 解得 61=k 。 ()2X 的分布函数为 ()????? ?? ?? ≥<≤??? ??-+<≤<=???.41,43226,306,003030x x dx x dx x x dx x x x F x x ，，，， 即 ()???? ????? ≥<≤-+-<≤<=.41,43,423,3012,002 2x x x x x x x x F ，，， ()3 ()48 41 17271=-? ?? ? ??=? ??? ??≤ 3．已知随机变量ξ有分布密度 P(x)=? ??<<+其他,03 1,x b ax 又知P{2<ξ<3}=2P{1<ξ<2}，试求待定系数a ，b. 解： 3 2 2 1 ()2()ax b dx ax b dx +=+?? （1） 又 ()1ax b dx +∞ -∞ +=? （2） 解之得：5 322 a b a b +=+ 4a+2b=1 ?13 16a b ?=??? ?=-?? 4．设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为 ?????≤>=-. 0,0,0,1)(/x x e x f x θ θ 其中0>θ， 求)(X E ，)(X D 。 答：??∞-∞∞-==0/1 )()(dx e x dx x xf X E x θθ ?∞--=+∞-=0 //0θθ θ dx e xe x x ， ??∞ -∞ ∞ -==0 /2 221 )()(dx e x dx x f x X E x θθ ?∞ --=+∞-=0 2//2220θθθ dx xe e x x x ， 于是 []2222 22)()()(θθθ=-=-=X E X E X D . 5．设随机变量X 具有概率密度 ()?????<<=其它， ,0, 40,8x x x f X 求随机变量82+=X Y 的概率密度。 答：分别记Y X ,的分布函数为()()y F x F Y X ,， 则(){}{}?? ? ??-=??????-≤=≤+=≤=282882y F y X P y X P y Y P y F X Y 。 将()y F Y 关于y 求导数，得82+=X Y 的概率密度为 ()??? ??-??? ??-=2828y y f y f X Y ,4280,,021 2881<- ??? ??-=y y 其它 ,168,. ,0328 < ??-=y y 其它 6．某人独立射击400次，命中率为0.015。试求此人至少命中2次的概率。 解：因为是独立射击，所以服从二项分布此人在400次独立射击中至少命中2次的概率=1-此人在400次独立射击中只击中1次的概率-此人在400次独立射击中只击中0次的概率。所以有 P(此人在400次独立射击中只击中1次)=(1)p ξ== 4001 1 400(1) P p C -- P(此人在400次独立射击中只击中0次)=(0)p ξ== 0 4000 400(1) p p C -- p ∴=1-(1)p ξ=-(0)p ξ= =1-0.00240467267584-0.00236860258570 =0.99522672473846 7．设随机变量),(Y X 具有概率密度 ?? ? ??><<=.,0, 1,1 , 23 ),(2 3其它x x y x y x y x f 求数学期望)(Y E ，)1 ( XY E . 答： []?? ?? ?? ? ∞∞ ∞∞∞ ∞ ∞-∞ ∞ -=+??? ???-=====13121 31131 1343123ln 23ln 3ln 12323),()(dx x x x dx x x dx y x dydx y x dydx y x yf Y E x x x x ????∞∞-∞∞-∞===113453 23),(1)1(dy y x dx dydx y x f xy XY E x x . 8．设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，b a ,未知. n X X X ,,,21 是来自X 的样本， 求b a ,的矩估计量. 答：,2/)()(1b a X E +==μ []4/)(12/)()()()(22222b a a b X E X D X E ++-=+==μ. 即 ? ?? -=-=+.)(12,22 121μμμa b b a 解得 .)(3,)(321212121μμμμμμ-+=--=b a 分别以21,A A 代替,,21μμ得到b a ,的矩估计量分别为： ,1 2 2121)(3)(3^ ∑=∧ -- =--=n i i X X n X A A A a .1 22121)(3)(3^ ∑=∧ -+ =-+ =n i i X X n X A A A b 9.设总体X 的均值μ及方差2σ都存在，且.02>σ但μ，2σ均未知.又设 n X X X ,,,21 是来自X 的样本. 求μ，2σ的矩估计量. 答：由 []??? +=+====.)()()(,)(2 2222 1μσμμμX E X D X E X E 解得 ? ??-==., 21221μμσμμ 分别以21,A A 代替,,21μμ得到μ，2σ的矩估计量分别为： ,1 ~ X A ==μ .)(1122 1 21221 2~ ∑∑==-=-=-=n i i n i i X X n X X n A A σ 10．有一批糖果.现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间。 答：由于,1315.2)15(,151,025.02/,95.01025.0==-==-t n αα 由数据得.2022.6,75.503==s x 则得均值μ的一个置信水平为0.95的置信区间为 （503.75± 1315.216 2022 .6?）, 即 （500.4，507.1） 11．为研究某一化学反应过程中，温度x （℃）对产品得率Y （﹪）的影响，测得数据如下. 这里自变量x 是普通变量，Y 是随机变量，求Y 关于x 的线性回归方程。 答：列表如下; 10006005173000122 112 =?-=??? ??-=∑∑==n i i n i i xx x n x S , 60027060051 330001111 =??-=??? ????? ??-=∑∑∑-==n i i n i i n i i i xy y x n y x S ， 则得6.01000 600 ~== = xx xy S S b ， 186.0600512705111~11~ -=??-?=??? ??-=∑∑==b a n i i n i i x n y n 故回归直线方程为 x y 6.018+-=. 12．1到100的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 答案：设A 为事件“取到的数能被6整除”，B 为事件“取到的数能8 整除”，则所求概率为 )(1)()(B A P B A P B A P ?-=?= =)}()()({1AB P B P A P -+- 由于10016)(= A P ，100 12 )(=B P 。又由于一个数同时能被6与8 整除，就相当于能被24整除，因此，得100 4 )(=AB P ，于是所求概率为 25 6 }10041001210016{1=-+-=p 13．设A ，B 为两个随机事件，0＜P （B ）＜1，且P （A ｜B ）＝P （A ），证明事件A 与B 相互独立。 答案；证明：由P （A ｜B ）＝P （A ）又因为P （A ｜B ）= () () p AB p B ， 所以) () ()()(B P AB P B A P A P = = 所以()()()p AB p A p B =，所以事件A 与B 相互独立。 14．ξ的分布列为???? ??--x 5151414121012 （1）求x 的值； （2）求ξE 的值． 答案：解：（1）由 151514141=++++x ，得101 =x （2）)20 7 (101251151041)1(41)2(-=?+?+?+?-+?-=ξE 15．设X~),(2σμN ,2,σμ为未知参数，x 1,x 2,x 3,…x n 是来自X 的一个样本值。求 2,σμ的最大似然估计量。 答案：解：X 的概率密度为 ],)(21exp[21),;(22 2μσσ πσμ-- = x x f 似然函数为 ∑∏ =-=--=-- =n i i n n i i x x L 1 22221 2 2 ] )(21 exp[)2()](21 exp[21) ,(μσπσμσσπσμ 而∑=-- --=n i i x n n L 1 22 2)(21 ln 2)2ln(2ln μσσπ 令???????=-+-=??=-=?? ∑∑==n i i n i i x n L n x L 1222221 20)()(212ln 0][1ln μσσσ μσμ 由前一式解得∑===n i i x x n 1 )1(?μ ,代入后一式得∑=-=n i i x x n 1 22 )()1(?σ.因此得2 ,σμ的最大似然估计量为X =μ ?,∑=-=n i i X X n 1 22 )()1(?σ 16．某课程命题初衷，其成绩2(,13.5)N ξμ ，μ为待估参数。考毕抽查其中5份试卷的成绩如下： 77 95 81 53 69 试求该课程平均成绩μ的置信区间。置信水平10.95α-=。0.052 ( 1.96)μ= 解：这里10.95α-=，/2α=0.025，n-1=4，0.025(4)t =2.7764，由给出的数据算的x =75，s=13.5，由公式得均值μ的一个置信水平为0.95的置信区间为 (75 2.7764)± 即（58.2378，91.7622） 这就是说估计学生成绩的均值在58.2378与91.7622分之间，这个估计的可信度为95%。 17. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。 解：602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或602.013 52 1 13 11311334=-= C C C C C P 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(< 解：令=A “系统（Ⅰ）正常工作” =B “系统（Ⅱ）正常工作” =i A “第i 个元件正常工作”，n i 2,,2,1 = n i A A A P A P 221,,,,)( =相互独立。 那么 [])()()(22121n n n n A A A A A A P A P +++= ][[] ) 2(2) ()()() ()()(221 21 1 22122121n n n n n i i n n i i n i i n n n n n P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-=-+ =-+=∏∏∏=+==++ )]())([()(22211n n n n A A A A A A P B P +??++=++ 系统I 系统II n n n i n i i n i i n i n i i n i P P P P A P A P A P A P A A P )2(]2[)]()()()([) (1 211-=-=-+=+=∏∏∏==++=+ 18. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图所示. 试求:（1 )22(≤<-X P . 解： （1）135.02 1 5.0)(21=??+?-t 1-=∴t （2）???? ?????∈+--∈+=其它，0 )3,0[,216 1 )0,1[,2121 )(x x x x x f （3）1211 )2161()2121()22012 =+-++=≤<-??-dx x dx x X P （ 19.某地4至10周岁女孩7个年龄组的平均身高η(单位:cm)的实测数据如下: 试求女孩身高关于年龄的线性回归方程。（7 21 i i y ==∑94344） 解：通过做散点图知道女孩的年龄x 和身高y 具有线性函数a+bx 的形式。 我们假设对于x 的每一个值有2(,)Y N a bx σ+ ，其中a,b 及2 σ都是不依赖于x 的未知参数.记()Y a bx ε=-+，对Y 作这样的假设，相当于假设 2 ,(0,)Y a bx N εεσ=++ 其中未知参数a,b 及2 σ都不依赖于x 。 现在n=7,为求线性回归方程，所需计算列表如下： x y 2 x 2 y xy 4 101 16 10201 404 5 106 25 11236 530 6 112 36 12544 672 7 116 49 13456 812 8 121 64 14641 968 9 125 81 15625 1125 10 129 100 16641 1000 ∑ 49 810 371 94344 5511 2 1371749xx S =- = 28, 155******** xy S =-??=-159 故得 xx xy S b S ∧ = = 28 159 -=-0.1761 11 81049(0.1761)77 a ∧ =?-??-= 116.9470 于是得到回归直线方程 116.9470(0.1761)x y ∧ =+- 作业：（任选五题） 1、1到100的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 2、某课程命题初衷，其成绩2(,13.5)N ξμ ，μ为待估参数。考毕抽查其中5份试卷的成绩如下： 77 95 81 53 69 试求该课程平均成绩μ的置信区间。置信水平10.95α-=。0.052 ( 1.96)μ= 3、ξ的分布列为???? ??--x 5151414121012 （１）求x 的值； （２）求ξE 的值． 4、设A ，B 为两个随机事件，0＜P （B ）＜1，且P （A ｜B ）＝P （A ），证明事件A 与B 相互独立。 5、设随机变量X 具有概率密度 ()? ? ???<≤-<≤=其它.0,43,22, 30,x x x kx x f ()1确定常数k ；()2求X 的分布函数()x F ；()3求? ?? ???≤<271X P 。 6、15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？ 7、假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为 1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年）， 试求: （1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率； （3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。 8、设连续型随机变量X 的概率密度为 ?? ?≤≤=其他, 01 0,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“2 1≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P . 9、已知X 的概率分布为： 试求（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分布。 10、以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线） 使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中） （本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B. 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计考试试卷
概率论与数理统计期末试卷+答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
《概率论与数理统计》实验报告答案
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