始单纯形表的虚拟方法及其迭代步骤

第4期
卢宗华：构造 LP 初始单纯形表的虚拟方法及其迭代步骤
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x 1，x 2，x 3，x 4，x 5≥0 该模型的虚拟初始单纯形如表 1 所示：
表 1 虚拟初始单纯形表
Cj XB b
11 3 1
-3 1 1 x1 x2 x3 1 -2 1 -4 1 2 -2 0 1
00 x4 x5 10 0 -1 00
这样可得到一个新的表格如下，其中假设 xl 为确定的入基变量。
c1 c2 … c1 … cn
xB b x1 x2 … x1 … xn
y1 b'1 a'11 a'12 … 0 … a'1 n （5）
y2 b'2 a'21 a'22 … 0 … a'2 n
…
…
x 1 b'k a'k1 a'k2 … 0 … a'kn
（1）确定新的入基变量时尽量不要换出已换 入的变量。
（2）在确定入基变量时，只有一个正数其它均 为负数的列对应的变量优先考虑。
（3）在确定最后一个入基变量时，单位列向量 对应的变量优先考虑。
定理 3 设 m 为模型的约束方程个数，n 为 变量个 数。 在 用 构 造 初 始 单 纯 形 表 的 虚 拟 方 法 （1）至（4）得到的表格中，若 m ≤ n 时，已确定了 m 个基变量或 m > n 时已确定了 n 个基变量，则 该表格可作为初始单纯形表。
（2）将 a11所在列向量变为单位向量，其它系 数作相应的变化，得表 2。
c1 c2 … cn
xB b x1 x2 … xn y1 b1 a11 a12 … a1 n y2 b2 a21 a22 … a2 n
…… ym bm am1 am2 … am
（4）
在这里称表格（4）为模型（1）的虚拟初始单纯 形表。
3 虚拟单纯形表的迭代步骤
（1）确定入基变量和轴心项。 确定入基变量的原则为：
c1 c2 … cn M M … M
xB
b x 1 x2 … xn y1 y2 … ym （3）
y1 b1 a11 a12 … a1 n 1 0 … 0
y2 b2 a21 a22 … a2 n 0 1 … 0
……
ym bm am1 am2 … am 0 0 … 1
此表可简化为
┉┉┉┉┉┉
C
ME
XB b
表 2 a11所在列为单位向量时
Cj
-3 1 1 0 0
CB XB b 3 x1 11
47
x1 x2 x3 1 -2 1 0 -7 6
x4 x5 10 4 -1
23 0 - 4 3 2 0
根据虚拟单纯形表的迭代步骤和优化原则，有
（1）确定入基变量和轴心项 Min｛b1 / a11｝= Min｛11 / 1｝= 11 / 1 所以 x 1 为入基变量，a11为轴心项。
（ a）从非基变量中，取对应于目标函数系数
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第 21 卷
相对最小的变量为基变量。即
若 Min｛Cj ｝= Cl，则 Xl 为入基变量； （ b）若 Min｛bi / ail | ail > 0，i = 1，2，…，m ｝=
bk / akl 则 xl 为第 k 行的基变量，而称 akl 为轴心项。 否则转向（1）a。 （ c）若上述确定的 Cl 多于 1 个时，则取最前 面的 Xl 为入基变量。若最前面一个 Xl 不能作 为入基变量，则依次取第二个 Xl 作为入基变量 ……。
（ d）若上述确定的 akl 多于 1 个时，则取 k 小 者对应的 akl为轴心项。
（2）将轴心项 akl 所在列的系数变为单位向 量。即作如下变换：
（ a）a'kj = akj / akl，j = 1，2，……，n （ b）a'ij = aij - akj * aij / akl，j = 1，2，……，n ； i = 1，2，……，m（ i≠ k）. （ c）b'k = bk / akl，b'i = bi - bk * ail / akl，i = 1， 2，……，m（ i≠ k）.
（5）在未确定入基变量的某行 l 中， （ a）当 bl = 0 时，若某个非基变量的系数 a'lj = 0，表明在约束条件中该约束条件与其它约束条 件线性相关，故可去掉该行。 （ b）当 bl = 0 时，若某个非基变量的系数 a'lj ≠0，则以该系数 a'lj 为轴心项继续迭代一步，这时
xj 就成为一个基变量。 （c）当 bl > 0 时，若某个非变量的系数 a'lj =
又由已知条件 σj ≥0，可得到 （ X *，Y *）=（0，0，…，0，b1，b2，…，bm ） 是模型（2）的最优解，其最优值 Z* = + ∞ 。很显 然，这与 Z* = + ∞ ≤ Z0 = CX0 相矛盾。
所以，模型（1）无可行解。 定理 2 模型（1）有基本可行解的充分必要 条件是用通常的单纯形迭代法必能在初始单纯形 表（3）的 A 矩阵中找到一个单位矩阵。 证明： （必 要 性 ）设 模 型（ 1 ）有 基 本 可 行 解 为 X 。再不妨设 X 对应的基矩阵为 B，所以用通常 的单纯形迭代法变换后系数矩阵为 B - 1 A 。由于 B 是约束系数矩阵 A 中的 m 列系数组成，因此在 变换后的矩阵 B - 1 A 中存在一个单位矩阵Ⅰ。 （充分性）因为在用通常的单纯形迭代法变换 后的系数矩阵中存在单位矩阵，这就意味着在约 束矩阵 A 中与单位矩阵对应的列线性无关。根 据线性规划问题的性质“可行解 X 为基本可行解 的充分必要条件是 X 中正的分量所对应的系数 列向量线性无关”知，有单位矩阵所对应的变量为 基变量构成的解是一个基本可行解。 由此可知，建立模型（1）的初始单纯形表，就 是求它的一个基本可行解，即在 A 矩阵中用通常 的单纯形迭代法寻找单位矩阵。为此只需考虑单 纯形表（3）中虚线左边的部分表格即可。
1 对初始单纯形表构造方法的分析
单纯 形 方 法 是 美 国 科 学 家 丹 捷 格（ S . M . >.-9N53）在 1E4D 年提出来的。它是目前求解线 性规划问题的主要方法。单纯形方法求解的基础 是单纯形表，目前构造单纯形表的方法大致有三 种：
（1）利用逆矩阵 B ? 1，按如下结构来构造初 始单纯形表
Max z = 3 x1 - x2 - x3 x 1 - 2 x 2 + x 3≤11 - 4 x1 + x2 + 2 x3≥3 - 2x1 + x3 = 1 x 1，x 2，x 3≥0
解：上述模型首先化为标准型 Min z = - 3 x 1 + x 2 + x 3
x 1 - 2 x 2 + x 3 + x 4 = 11 - 4x1 + x2 + 2x3 - x5 = 3 - 2x1 + x3 = 1
X
Y
Yb
A
Ⅰ
对于初始单纯形表（3），有下列定理： 定理 1 如果初始单纯形表（3）的检验数：
m
σj = Cj - M Σ aij ≥ 0，j = 1，2，…，n + m i=1 则模型（1）无可行解。 证明：采用反证法。若模型（1）有可行解，记
为 X 0 =（ x 1，x 2，…，x n），则
X0 =（ x 1，x 2，…，xn），Y 0 =（0，0，…，0） 一定是模型（2）的一个可行解。将上述可行解代 入模型（2）的目标函数，得目标函数值 Z0 = CX0
（2）
X ≥0，Y ≥0 其中 M 是一个非常大的正数，E =（1，1，…， 1）为一 m 维行向量，Y =（ y1，y2，…，ym ）T 为人 工向量，Ⅰ是一 m 阶单位矩阵。 很显然，在模型（2）的系数矩阵中存在单位矩
阵Ⅰ。根据 1（2）知，可构造模型（2）的初始单纯 形表如下：
┉┉┉┉┉ ┉ ┉ ┉
方法？本文作了如下尝试。
2 构造初始单纯形表的虚拟方法
考虑如下数学模型：
Min Z = CX
AX = b
（1）
X ≥0 其中要求 b ≥0。在这里称该数学模型为标 准型。对于不是标准型的数学模型应该化为标准
型。
根据上述模型构造如下形式的模型：
Min W = CX + ME Y AX + IY = b
第 21 卷第 4 期
山 东 科 技 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版 ）
Vol. 21 (4
2 ) ) 2 年 1 2 月 *o+,-.l o/ 01.-2o-3 4-567,859: o/ 0;57-;7 .-2 <7;1-olo3:（=.9+,.l 0;57-;7） >7;. 2))2
文章编号：1))) ? 2@)A（2))2）)4 ? ))1) ? )4
* 收稿日期：2))2 ? )1 ? 2T 作者简介：卢宗华（1ETD ? ），男，山东长清人，硕士，研究员，主要从事管理科学与系统工程的教学研究工作 .
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卢宗华：构造 LP 初始单纯形表的虚拟方法及其迭代步骤
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工作量和计算机内存。 目前用得较多的是最后一种方法。 能否找到一种既简单又不增加计算工作量的
构造 BC 初始单纯形表的虚拟方法及其迭代步骤*
卢宗华
（山东科技大学 财政金融学院，泰安 2D1)1E）
摘 要：通过对单纯形法的分析，给出了构造初始单纯形表的虚拟方法，同时提出了几条优化的原则。
关键词：单纯形；直接；线性规划；模型
中图分类号：F221 G 1
文献标识码：H
Virtual Method and Its Interation Steps Structuring LP Initial Simplex Table