单纯形法的步骤

单纯形法求解过程

单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。

该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。

单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。

单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。

2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。

单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。

例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。

a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。

3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。

在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。

这里以X1为例，X1为进入变量。

接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。

运筹学课件1-4单纯形法计算步骤

b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题

第四节单纯形法的计算步骤

上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4，，，，，，， Z=14。。当确定x 为换入变量计算θ值时值时， ◆当确定 6为换入变量计算值时，有两个相同的最小值：同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一，。个作为换出变量时，个作为换出变量时，则下面表中另一基变量的值将等于0，这种现象称为退化退化。量的值将等于，这种现象称为退化。含有一个或多个基变量为0的基可行解称为的基可行解称为退化一个或多个基变量为的基可行解称为退化的基可行解。的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解：此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0

单纯形法步骤

单纯形法步骤：1. 给定初始点 )0(x 初始单纯形边长 a ，α ，收缩系数 β ，延伸系数 γ 以及精度要求 ε。

2. 作出初始单纯形图3. 找出坏点 )(h x 、好点 )(e x 计算中心点 )1(+n x 及反射点 )2(+n x 和各点上的目标函数值4. 比较反射点和除了坏点上的函数值，5.⑴. 如果反射点上的函数值比好点差，但比坏点外的其他顶点函数值好，认为反射成功，将反射点代替坏点构成新的单纯形，转7 ⑵. 如果反射点上的函数比好点还要好，说明反射点很好，可以沿此方向作延伸尝试，如果延伸点上的函数值比好点还好，则将延伸点取代坏点，形成新单纯形，转7。

反之，延伸点上函数值不如好点，说明延伸失败，但反射还是成功的，所以仍可用反射点代替坏点，然后转75. 如果反射点连坏点都不如，说明反射失败，那么作收缩，找出收缩点的函数值，并转6.；如果反射点仅比坏点好，则将反射点取代坏点，然后收缩，转下一步6。

6. 如果收缩点上函数比坏点还差，说明收缩也失败，作缩小运算，形成缩小后的单纯形转7；反之（即收缩点上的函数值比坏点好），说明收缩成功，用收缩点代替坏点，形成新的单纯形转。

转下一步7。

7. 检查是否满足精度要求 ()(1)max(()i n f x f x ε+-≤如满足，停止迭代，否则转3，继续迭代。

%三个考察点，最优，次差，最差best = vx(: , 1) ; fbest = vf(1) ;soso = vx(: , n) ; fsoso = vf(n) ;worst = vx(: , n+1) ; fworst = vf(n+1) ;center = sum(vx(: , 1:n) , 2) ./ n ;r = 2 * center - worst ;%反射点fr = feval(fun , r) ;if fr < fbest %比最好的结果还好，说明方向正确，考察扩展点，以期望更多的下降e = 2 * r - center ; %扩展点fe = feval(fun , e) ;if fe < fr %在扩展点和反射点中选择较优者去替换最差点vx(: , n+1) = e ; f(: , n+1) = fe ;elsevx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ;endelseif fr < fsoso %比次差结果好，能够改进vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ;else %比次差结果坏，当压缩点无法得到更优值的时候，考虑收缩shrink = 0 ;if fr < fworst %由于r点更优所以向r点的方向找压缩点c = ( r + center ) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ;if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ;else %否则的话，准备进行收缩shrink = true ;endelsec = (worst + center) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ;if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ;else %否则的话，准备进行收缩shrink = 1 ;endend%fr < fworstif shrink %压缩点并非更优，考虑所有点向best收缩for i = 2:n+1vx(: , i) = ( vx(i) + best ) ./ 2 ; vf(: , i) = feval(fun , vx(: , i)) ;endend %shrinkend%fr < fsosoend %fr < fbest[vf index] = sort(vf) ;vx = vx(:,index) ;。

运筹学单纯形法的计算步骤

b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数，中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素 SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数 SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)用来判断线性规划是否存在最优解,因为如果最后一列如果有负数的化,就无解了,算法终止int InColumn(); //确定输入变量用来判断主元所在的列int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)用来确定主元所在的行void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,intcol);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减这个函数是在主元行已经做处理以后调用,目的是是矩阵的其他行主元列的元素变成0.其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素源代码//SimpleMatrix.h#ifndef SIMPLEMATRIX_H_#define SIMPLEMATRIX_H_class SimpleMatrix{public:SimpleMatrix(int row=0,int col=0);SimpleMatrix(int row,int col,double **M);~SimpleMatrix();bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)int InColumn(); //确定输入变量int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,int col);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减 void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素private:int rowLen; //标准矩阵的行数int colLen; //标准矩阵的列数double **data; //一个二维数组,指向标准矩阵的数据成员void init(int rows,int cols); //动态分配一个rows行,cols列的二维数组};#end if//SimpleMatrix.cpp#include <iostream>#include <cmath>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;void SimpleMatrix::init(int rows,int cols){if(rows>0&&cols>0){rowLen=rows;colLen=cols;data = new double *[rows];for (int i=0;i<rows;i++){data[i]=new double[cols];}}elsecout<<"矩阵的行.列数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++){cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)if (data!=NULL)delete[] data;}}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col) {for(int i=0;i<rowLen-1;i++){if(data[i][col-1]<0)return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count)); int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++){temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);//double temp=data[row-1][col-1];for (int i=0;i<colLen;i++){data[row][i]/=temp;}}void SimpleMatrix::SubMatrixLine(int row1,int row2,int col) {double temp=GetItem(row1,col);//double temp=data[row1-1][col-1];double*tempLine=new double[colLen];for(int i=0;i<colLen;i++){tempLine[i]=data[row2][i];}for(i=0;i<colLen;i++){data[row1][i]=data[row1][i]-temp*tempLine[i];}delete[]tempLine;}int SimpleMatrix::GetRows(){return rowLen;}int SimpleMatrix::GetCols(){return colLen;}double SimpleMatrix::GetItem(int row,int col){return data[row][col];}void SimpleMatrix::PrintAnswer(){//先确定单位矩阵中1的位置for (int i=0;i<GetRows();i++)for (int j=0;j<GetRows();j++){if(1==data[i][j]){int index_col=j;cout<<"x"<<index_col+1<<"="<<data[i][colLen-1]<<" ";}}cout<<endl;cout<<"取得最优解,并且最优值为"<<data[rowLen-1][colLen-1];}//单纯形法.cpp#include <iostream>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(Matrix.Is_column_all_Positive(5)) //判断是否存在最优解{bool p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive(); //判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解 while(!p){int col=Matrix.InColumn(); //确定主元所在的行if(Matrix.Is_MainCol_All_Negative(col)) //确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=Matrix.DepartRow(col); //确定主元所在的行Matrix.MainItem_To_1(mainRow,col); //将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<Matrix.GetRows()){if(i!=mainRow){Matrix.SubMatrixLine(i,mainRow,col); //处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}else{i++;}}}for(int i=0;i<Matrix.GetRows();i++) //输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<Matrix.GetCols();j++){cout<<Matrix.GetItem(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive();}Matrix.PrintAnswer();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。

单纯形法的计算步骤

运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表（单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可知，每一次迭代计算只要表示出当前的约束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0

解目标规划的单纯形法

⑤(在4表)4-1按上计算单最小纯比值形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2).
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。

单纯形法的计算步骤

4 从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解,列出新的单纯形表
确定换入基的变量。选择 ,对应的变量xj作为换入变量,当有一个以上检验数大于0时,一般选择最大的一个检验数,即： ,其对应的xk作为换入变量。确定换出变量。根据下式计算并选择θ ,选最小的θ对应基变量作为换出变量。
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
单纯形法的计算步骤
用换入变量xk替换基变量中的换出变量,得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解,并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5 重复3 、4 步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
换入列
bi /ai2,ai2>0
40
10
换出行
将3化为1
5/3
1
18
0
1/3
0
1/3
10
1
－1/3
其中：M是一个很大的抽象的数,不需要给出具体的数值,可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型,计算结果见下表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
→
→
→
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯性法小结:
PPT常用编辑图使用方法
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2.填充颜色
3.调整大小ຫໍສະໝຸດ 商务图标元素30
30
0
5/3
0
－4/3
乘以1/3后得到
1
0
3/5
－1/5
18
0
1
－1/5
－2/5

单纯形法求解过程

单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。

它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。

单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。

单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。

标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。

2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。

起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。

初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。

3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。

如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。

4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。

选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。

5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。

离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。

6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。

由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。

7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。

单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。

进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。

在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。

为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。

总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。

虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。

单纯形法的计算步骤及应用

（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题

标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下

（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n

' l ,m 1

0
1 al' ,n

1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm

单纯形法解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。

简述单纯形法步骤

简述单纯形法步骤单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，它通过不断迭代来逐步逼近最优解。

下面将以简述单纯形法步骤为标题，详细介绍单纯形法的具体步骤。

1. 构建初始单纯形表单纯形法的第一步是构建初始单纯形表。

将线性规划问题的约束条件和目标函数转化为矩阵形式，并引入松弛变量，得到初始单纯形表。

初始单纯形表由约束系数矩阵、决策变量系数矩阵、右侧常数向量以及目标函数系数矩阵组成。

2. 检验是否达到最优解在初始单纯形表中，通过计算每个基变量的单位贡献值来检验是否达到最优解。

单位贡献值等于目标函数系数与对应基变量列的乘积之和减去目标函数系数。

如果所有单位贡献值均小于等于0，则达到最优解，算法结束。

否则，进入下一步。

3. 确定入基变量和出基变量在初始单纯形表中，选择单位贡献值最小且小于0的列所对应的非基变量作为入基变量。

然后，通过计算各行的比值，选择使得比值最小的行所对应的基变量作为出基变量。

4. 更新单纯形表在确定了入基变量和出基变量后，需要对单纯形表进行更新。

首先，将出基变量所在列归一化为1，然后通过高斯消元法将其他列元素消为0，得到新的单纯形表。

5. 转至步骤2经过更新后的单纯形表还不能达到最优解，需要再次进行检验。

重复步骤2至步骤4，直到所有单位贡献值均小于等于0，达到最优解为止。

6. 解读单纯形表当单纯形法得到最优解时，可以通过解读单纯形表来获得最优解的数值。

在单纯形表的最后一行，可以得到最优解的目标函数值。

而在单纯形表的非基变量列中，可以得到各个决策变量的取值。

单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过不断迭代来逐步逼近最优解。

它的基本思想是通过选择合适的入基变量和出基变量，来更新单纯形表，使得目标函数值不断减小，最终达到最优解。

在实际应用中，单纯形法被广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。

总结一下单纯形法的步骤：首先，构建初始单纯形表；然后，检验是否达到最优解；接着，确定入基变量和出基变量；然后，更新单纯形表；最后，转至步骤2，直到达到最优解。

单纯形法步骤

单纯形法步骤
1. 表格形式：
将线性规划放到表格形式中。

如有需要，增加松弛变量，将不等式约束转化成等式。

所有变量都是非负的。

将目标函数约束作为最后一个约束，包括它所对应的松弛变量z。

2. 初始极点：
单纯形方法从一个已知的几点开始，通常为原点。

3. 最优性检验：
判断与当前极点相邻的焦点是否能够改进当前的目标函数值。

如果不能则当前极点是最优的；如果能改进，最优性检验将确定独立变量集合众的哪一个变量（当前取值为0）应该进入相关变量集合并可能取值变为非零。

（做法：如果所有系数都是非负的，则当前极点是最优的；否则，有些变量对应的系数为负数，则选择其中绝对值最大的负系数对应的变量，作为新的进入变量。

）
4. 可行性检验：
为了找到一个新的交点，相关变量集合中应该有一个变量退出该集合，以便让第3步中确定的变量进入相关变量集合，可行性检验将确定应该选择哪一个相关变量退出，以保证得到的交点的可行性。

（做法：用当前右端项的值，分别除以进入变量在每个等式种对应的系数，选择最小正比值对应的变量退出）
5. 旋转：
在不包含第4步中确定的退出变量的方程中，消去新进入的相关变量，形成等价的新的方程组。

然后在新的方程组中，令新的独立变量集合中的变量全部取值为0，从而基础新的相关变量集合中的所有变量的取值，确定一个交点。

（做法：在不包含退出变量的方程中，消去进入变量。

然后令新的独立变量集合中的变量，包括退出变量以及原独立变量集合中除进入变量以外的变量，全部为0）
6. 重复步骤3-5，直到找到一个最优的极点。

运筹学1-4单纯型法的计算步骤

2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查：所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值；还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3

4.单纯形法步骤

将式（1—18）中x2与x4的位置对换，得
x x 6 x 1 2 3 2 x3 x 4 x2 x5 1 x3 x 4
x1 4 2 x3 x 4 x2 x5 2 x3 x 4 （1—12） 1 x3 x 4
1 11
x 1 2 x 2 x 4 8 右边常数为正。但 x2 x5 3 x 0 j
规范型的作用是可 1 1 2 0 0 以从规范型中马上 1 0 1 1 0 A 1 9 确定一个基可行解 4 （顶点）。 0 1 1 0
6 x3 x2 x 1 2x2 x 1 x 4 8 x5 3 x2 6 x3 x2 x 1 x 4 2 x3 x2 x5 3 x2
1 17 1 18（1）
Z
新的基可行解X（1）= （ 6， 0， 0， 2， 3） T
1 21
将式 x2，x5，非基变量为x3 ，x4，故得此可行基的基可行解
X（2）=（4，2，0，0，1）T，Z（2）=20
将（1—22）式代入（1—19），得
Z=20-2x3-x4
(1—23)
以X（2）的非基变量表示的目标函数，不含有X（2）的基变量。重复第二步，X（2）进行最优化检验。由式（1—23）可知，X（2）的非基变量x3 ，x4的系数均为负数，故x3 ，x4均不能确定为入基变量（否则目标函数会变小），故X（2）为最优解，此时，整个单纯形法过程结束。
式（1—10）是规范型。
1 0 4 0 （P1, P2, P3,, P4,
1
P5）
【例1--12】有如下标准型：

三、单纯形法的解题步骤

,0121内年三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为目标函数取得最优值.原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数,经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题. 求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表 6.10). ，由最小比值最大检验数法知：为主元，对主元所在列施量出基，非基变量以行初等变换，基变化为1，然后x 2进基，先将主元再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10x 1 x 2 x 3 x 4常数x 3 x 41 -1 1 0 -3 (1) 0 12 4 S2 3 0 0 0 x 3 x 2-2 0 1 1 -3 1 0 1 6 4 S11 0 0 -312至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11（4）0 1 1 0可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.。

线性规划单纯形法

线性规划单纯形法线性规划是一种优化问题求解方法，它通过建立数学模型，来寻找使目标函数达到最优的决策变量取值。

线性规划的主要特点是目标函数和约束条件都是线性的。

单纯形法是线性规划中最常用的求解方法之一，它是由美国数学家Dantzig在1947年提出的。

单纯形法通过迭代计算的方式，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解为止。

单纯形法的步骤如下：1. 建立线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件，并确定它们的线性关系。

2. 初始可行解：选择一个初始可行解，使得所有的约束条件都得到满足。

一般来说，可以通过将约束条件全部转化为等式约束，从而求解出一个初始可行解。

3. 判断最优解：计算当前可行解对应的目标函数值，判断是否是最优解。

如果是最优解，则终止算法；如果不是最优解，则进入下一步。

4. 寻找进入变量：选择一个进入变量，即目标函数可以通过增加该变量的值而增大。

5. 寻找离开变量：选择一个离开变量，即通过增加进入变量来保持其他约束条件满足的同时，尽可能减小目标函数的值。

6. 更新可行解：根据进入变量和离开变量的取值更新可行解，并转化为下一个迭代的初始可行解。

7. 重复以上步骤，直到找到最优解为止。

单纯形法的优势在于它可以在有限的迭代次数内找到最优解。

然而，单纯形法的缺点也是显著的，它在处理大规模问题时计算复杂度很高，可能需要大量的计算时间。

总结来说，线性规划单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法。

通过迭代计算，单纯形法不断改进可行解，最终找到使目标函数达到最优的决策变量取值。

虽然单纯形法在处理大规模问题时存在一定的局限性，但在许多实际问题中仍然得到广泛应用。

单纯形法求解过程

运筹学课件1-4单纯形法计算步骤

第四节 单纯形法的计算步骤

单纯形法步骤

运筹学单纯形法的计算步骤

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法的计算步骤

解目标规划的单纯形法

单纯形法的计算步骤

单纯形法求解过程

单纯形法的计算步骤及应用

单纯形法解题步骤

单纯形法求解线性规划的步骤

简述单纯形法步骤

单纯形法步骤

运筹学1-4单纯型法的计算步骤

4.单纯形法步骤

三、单纯形法的解题步骤

线性规划单纯形法

第四节单纯形法的计算步骤