高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第23练 导数综合练练习 文

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第23

练 导数综合练练习 文

＜1，f (0)＝2 016，则不等式f (x )＞2 015·e x

＋1(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．

2．(2017·福建“四地六校”联考)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2

＋ax －1存在两条斜率为3的切

线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为________________．

3．(2016·泰州二模)若函数f (x )＝x 2

|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________________．

4．(2016·扬州期末)若函数f (x )＝ln x －m x

(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则实数m 的值是________．

5．(2016·南京调研)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2

－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则

实数a 的取值范围为________________．

6．(2016·苏北四市联考)函数f (x )＝e x

－eln x －e 的极小值为________．

7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2

.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．

8．(2016·盐城模拟)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3

－x 2

＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．

9．若函数f (x )＝x ln x ＋x 2

＋ax ＋2有零点，则a 的取值范围是____________． 10．(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x .

(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；

(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋x 3

3；

(3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋x 3

3对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值． 答案精析

1．(0，＋∞) 2.⎝ ⎛⎭

⎪⎫3，72 3．(－∞，0]∪[3，＋∞) 4.－3e 5．(3

2

，4)

解析 因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．

令f ′(x )＝x 2

＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此需1＜x 2＜2，

即1＜－1＋1＋2a ＜2，即4＜1＋2a ＜9，所以32＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(3

2，4)．

6．0

解析 因为f (x )＝e x

－eln x －e. 所以f ′(x )＝e x

－e x ＝x e x

－e

x

.

令x ＝1，则f ′(x )＝0，所以f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )极小值＝f (1)＝0. 7．30

解析 由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出，设该商品的毛利润为L (p )，则

L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)

＝(8 300－170p －p 2

)(p －20) ＝－p 3

－150p 2

＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2

－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，

解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.

因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.

所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值． 8．[－6，－2]

解析 当x ＝0时，ax 3

－x 2

＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .

当x ∈(0,1]时，ax 3

≥x 2

－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3

，

∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2

－4x －3x 3

max .

设φ(x )＝x 2－4x －3

x 3

，

φ′(x )＝

x －

x 3－x 2－4x －

x 2

x 6

＝－x 2－8x －9x

4

＝－x －x ＋x

4

＞0，

∴φ(x )在(0,1]上递增， φ(x )max ＝φ(1)＝－6， ∴a ≥－6.

当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3

x 3，

∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2

－4x －3x 3

min .

仍设φ(x )＝x 2－4x －3

x 3

，

φ′(x )＝－

x －

x ＋

x 4

.

当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0， 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0. ∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值， 即为最小值．

而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3

－1＝－2，

∴a ≤－2.

综上知－6≤a ≤－2. 9．{a |a ≤－3}

解析 由题意知f (x )＝x ln x ＋x 2

＋ax ＋2＝0在(0，＋∞)上有零点，即－a ＝ln x ＋x ＋2x

在

(0，＋∞)上有实根，

令φ(x )＝ln x ＋x ＋2x ，则φ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2

＋x －2x 2

＝1

x

2(x ＋2)(x －1)， 易知，φ(x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增， 所以，－a ≥φ(x )min ＝φ(1)＝3， 所以a ≤－3.