四川省德阳市2017-2018学年高三三诊考试数学理试题 Word版含答案

2017-2018学年 数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|60,B |0A x x x x x =+-<=<，则R A C B = （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|60x x -<<D ．{}|0x x ≥ 2.已知,a b R ∈，且()120,a b i i -++=为虚数单位，则复数()2a bi +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2sin sin cosa A Bb A +=是b =的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.在 5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）A ．20B ．-10C ．-10，10D ．105.已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．403 B ．203C ．40D ．20 7.若函数()()3sin f x x x x R ωω=--∈的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则正数ω的最小值为（ ） A ．32 B ．23 C ．43D ．138.若ABC ∆O 的内接三角形，3450OA OB OC ++= ，则OC AB为（ ）A ．1B ．-1C ．6D ．-6 9.设抛物线22y x =的焦点为F，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．32 B ．43 C ．45 D ．2310.已知函数()2f x x x a x =-+，若存在[]3,3α∈-，使关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则t 的取值范围为（ ） A ．95,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．251,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上11.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则2211log 83-⎛⎫⎛⎫⊗= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的2倍，若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为___________．13.我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，事件A 发生的概率为__________．（结果用数值表示）14.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a 的取值范围是__________．15.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n = 满足1212n n a a a a a a =+++ ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合1122⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭，是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12a a N ∈，则{}12,a a 不可能是“复活集” ； ④若*i a N ∈，则“复合集”A 有且只有一个，且3n =．其中正确的结论是___________．（填上你认为正确的所有结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()*22n n S a n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()*31log 1n n b S n N +=-∈，求12231111n n b b b b b b ++++． 17.（本题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，假设参赛者甲答对每一个题的概率都是23，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望． 18.（本题满分12分）已知向量)3sin ,1,sin ,2m x x n x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，函数()f x n m = ．（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调递增区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C的对边，4a c ==，且()f A 是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC ∆的面积S ．19.（本题满分12分）如图，已知边长为6的菱形0,120,ABCD ABC AC ∠=与BD 相交于O ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =（1）若M 是BC 的中点，求证：在三棱锥D ABC -中，直线OM 与平面ABD 平行； （2）求二面角A BD O --的余弦值；（3）在三棱锥D ABC -中，设点N 是BD 上的一个动点，试确定N 点的位置，使得CN =20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点到直线0x y -+=的距离为3，且过点1,⎛- ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）设椭圆E 的左顶点是A ，直线:0l x my t --=与椭圆E 相交于不同的两点,(,M N M N 均与A 不重合），且以MN 为直径的圆过点A ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标． 21.（本题满分14分） 已知函数()22xxa f x e x e =-． （1）求()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：当1a ≥时()1f x x ≤+；（3）对于在()0,1中的任一个实数a ，试探究是否存在0x >，使得()1f x x >+成立？如果存在，请求出符合条件的一个x ；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题二、填空题11. -3 12. 216x y = 13. 11214. 42a -<< 15. ①③④ 三、解答题16.解：（1）当1n =时，11a S = ，由1122S a += 得：123a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故()1*2112333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由11123nn n S a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()13131log 1log 13n n n b S n ++⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭故()()111111212n n b b n n n n +==-++++， 因此122311111111111123341222n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．．．．．．．．．．．．．．12分17.解：（1）设平均成绩的估计值为X ，则：()200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.0012080X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记甲在初赛中的答题个数为随机变量ξ，则ξ的可能值为3，4，5()()332221332213133322222210411133333327P P C C ξξ⎛⎫⎛⎫==+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222442222228511133333327P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（或()11085132727P ξ==--=）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以ξ的数学期望11081073453272727E ξ=⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）()23sin cos 2f x n m x x x ==+1cos 2322212cos 222sin 226x x x x x π-=++=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为2ω=，所以22T ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故所求单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ-≤-≤， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值3，由()3f A =得：3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-， 可得：211216242b b =+-⨯⨯，∴2b =， 从而11sin 24sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点， 又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB ， 因为OM ⊄平面,ABD AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解：由题意可知，3OB OD ==，因为BD =090,BOD OB OD ∠=⊥， 又因为菱形ABCD ，所以,OB AC OD AC ⊥⊥， 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则()()(),0,3,0,0,0,3A D B ，所以()(),AB AD =-=-．设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =，则有00AB n AD n ⎧=⎨=⎩，即3030z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则y z(n =． 因为,AC OB AC OD ⊥⊥，所以AC ⊥平面BOD ， 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的一个法向量为()01,0,0n =，000cos n n n n n n === 因为二面角A BD O --的平面角是锐角所以二面角A BD O --的余弦值为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）解：设()111,,N x y z ，因为N 是线段BD 上的一个动点，设BN BD λ=，即()()111,,30,3,3x y z λ-=-， 所以1110,3,33x y z λλ===-，则()()0,3,33,,33N CN λλλλ-=-，由CN ==，即29920λλ-+=，解得：1233λλ==或 所以N 点的坐标为()()0,1,20,2,1或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）设右焦点为(),0c3=，∴c =222a b =+，将点1,⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程可得：2222232b a a b +=， ∴222,4b a ==，故椭圆E 的方程为22142x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由0x my t --=，得：x my t =+，把它代入椭圆E 的方程得：()2222240m y mty t +++-=，()()22224424m t m t ∆=-+-，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122224,22mt t y y y y m m -+=-=++，故()12122422tx x m y y t m +=++=+，()()()2222121212122242t m x x my t my t m y y tm y y t m -=++=+++=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM AN ⊥，所以()()11222,2,AM AN x y x y =++()()()12121222222222224244424222384223202x x x x y y t m t t m m m t t m t t m =++++--=+⨯+++++++=+++==+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为,M N 均与A 不重合，所以2t ≠-，所以23t =-， 故直线l 的方程是203x my -+=，直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于点T 在椭圆内部， 所以满足判别式大于0，所以直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 21．解：（1）∵[)0,x ∈+∞，∴()212x a f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()212x a f x e x ax ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭， 由题意()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，当0a =时，()0x f x e '=>恒成立，即满足条件 ，当0a ≠时，要使()0f x '≥，而0x e >恒成立， 故只需2102a x ax --+≥在[)0,+∞上恒成立，即20200102a a a ⎧->⎪⎪⎨⎪--+≥⎪⎩ ， 解得：0a <，综上，a 的取值范围为0a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当0x ≥时，要证明212x x a e x e x -≤+成立，只需证212x x a e x e x ≤++，即证2112x a x x e+≤+，① 令()212x a x g x x e +=+，得()()()211x x x x e x e x g x ax ax e e -+'=+=- ， 整理得：()1x g x x a e ⎛⎫'=-⎪⎝⎭， ∵0x ≥时，11x e≤，结合1a ≥，得()0g x '≥， ∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，故()()01g x g ≥=，从而①式得证，在0x ≤时，要使212x xa e x e x -≤+成立， 只需证212x x a e x e x -≤++，即证()22112x x a x e x e --≤++，② 令()()2212x x ax m x e x e --=++，得()21x x m xe e a x -'⎡⎤=-+-⎣⎦， 而()()1x x e a x ϕ=+-在0x ≤时为增函数，故()()010x a ϕϕ≤=-≤，从而()0m x '≤，∴()m x 在0x ≤时为减函数，则()()01m x m ≥=，从而②式得证， 综上所述，原不等式212x x a e x e x -≤+，即()1f x x ≤+在1a ≥时恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 （3）要使()1f x x >+成立，即212x xa e x e x ->+，③ 要找一个0x >使③式成立，只需找到函数()2112x ax x t x e+=+-的最小值，满足()min 0t x <即可．∵()1xt x x a e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 令()0t x '=得：1x e a =，则ln x a =-， 在0ln x a <<-时，()0t x '<，在ln x a >-时，()0t x '>即()t x 在()0,ln a -上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，∴当ln x a =-时，()t x 取得最小值()()()2ln ln ln 112a t a a a a -=+-+-， 下面只需证明：()2ln ln 102a a a a a -+-<在01a <<时恒成立即可． 令()()2ln ln 12a p a a a a a =-+- 则()()21ln 02p a a '=≥，从而()p a 在()0,1上是增函数， 则()()10p a p <=，从而()2ln ln 102a a a a a -+-<，得证， 于是()t x 的最小值()ln 0t a -<，因此可找到一个实数()ln 01x a a =-<<，使得③式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。