山东省高考数学模拟考试试题及答案PDF.pdf
高考数学模拟试题及答案.pdf
不能提前交卷离场 按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考 试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。 5
②
与直线
相交，所得弦长为 2
③设 A、 B 为两个定点， m为常数，
，则动点 P 的轨迹为椭圆
④若椭圆的左、右焦点分别为 对称点 M的轨迹是圆
F1、 F2，P 是该椭圆上的任意一点，则点
F2 关于∠Ｆ1PF2 的外角平分线的
其中真命题的序号为
（写出所有真命题的序号） .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
A． 90 个
B ． 120 个
C． 180 个
D ． 200 个
10．下列说法正确的是 ( ) A．“ｘ2=1”是“ x=1”的充分不必要条件 B．“ x= - 1”是“ｘ2-5x- 6=0”的必要不充分条件
C．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”
D．命题“若 α=β，则 sin α=sin β”的逆否命题为真命题
高考数学模拟试题 ( 一)
一、选择题（本题Βιβλιοθήκη 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内
.）
1. 已知集合 M={x∣ -3x - 28 ≤0},N = {x|
2021年山东(新高考)高三数学模拟仿真考试卷(二)(附解析)
3
2
4．【答案】B
【解析】由题意得 y2 3x 3 x2 0 ， 0 x 2 ， 2
因此 x2 y2 3x 1 x2 1 x 32 9 ，
a sin B b cos( A π ) ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 6
问题：△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 2a b 2c ，______，求 A 和 C ．
注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．
18．（12 分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每
（1）求证： MN∥平面 FCB ； （2）若直线 AF 与平面 FCB 所成的角为 60°，求平面 MAB 与平面 MAC 所成锐二面角的余弦值．
19．（12 分）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为等腰梯形，且 AB 2CD 2 ， ABC 60 ，四边形 ACFE 为矩形，且 FB 2 ，M，N 分别为 EF ， AB 的中点．
1．已知 ， N 均为 R 的子集，且 M ðR N ，则 ðR M N （ ）
A．
B． M
C． N
D． R
2．若复数 z 满足 2i z
1 2
3 i ，则 z （ 2
）
A． 1 2
B． 1 2
C． 1 i 2
D． 1 i 2
3． △ABC 中，A，B，C 是 △ABC 的内角，则“ A π ”是“ cos A 1 ”的（ ）
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
山东省枣庄市2022届高考模拟数学试题及答案
秘密★启用前 试卷类型：A2022届高三模拟考试数 学 试 题 2022．3本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合R ==∈A y y x x {|2cos ,}，满足B A 的集合B 可以是A ．−[2,2]B ．−[2,3]C ．−[1,1]D ．R2．命题“Z ∀n ，Q n ”的否定为A ．Z ∀n ，Q nB ．Q ∀n ，Z nC ．Z n，Q nD ．Z n，Q n3．设z 1，z 2是方程x x 102在复数范围内的两个解，则A．−=z z ||12B．=z ||1C ．+=z z 112D ．=z z 1124．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为 A ．66.5 B ．67C ．67.5D ．685．在长方形ABCD中，=AB =AD 2，点M 满足AMMC ，点N 满足NC DN 2，则MN ACA ．1B ．0.5C ．3D ．1.56．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点−(3,4)，则=α2tanA ．−21或2B ．2C ．−31或3D ．37．已知双曲线−=>>a ba b x y 1(0,0)2222的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C D8．已知=−⨯a 5log 922log 65，=+b log 6log 25530，+=b b c 51213，则A ．<<c b aB ．<<b c aC ．<<a c bD ．<<a b c二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知正数a ，b 满足+=a b 122，则A ．+a bB ．ab 的最大值是21C ．−a b 的最小值是−1D ．−b a 2的最小值为−310．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件=R 1“第一次摸到红球”，事件=R 2“第二次摸到红球”，=G “两次都摸到绿球”， =R “两个球中有红球”， 则 A ．<P R P R ()()1B ．=+P R P R P R ()()()12C ．<−P G P R ()1()D ．+=+P G R P G P R ()()()22A11．如图，平行六面体ABCDA B C D 1111中，以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60，则 A ．AC 61B ．AC BD 1C ．四边形BDD B 11的面积为2D ．平行六面体ABCD A B C D 111112．已知椭圆E ：+=x y 43122，过椭圆E 的左焦点F 1的直线l 1交E 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过椭圆E 的右焦点F 2的直线l 2交E 于C ，D 两点，则 A ．若=AF F B 211，则l 1的斜率=k 2B ．+AF BF ||4||11的最小值为427C ．以AF 1为直径的圆与圆+=x y 422相切D ．若⊥l l 12，则四边形ADBC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数=+−f x x a x ()ln(e 1)是偶函数，则实数a 的值为 ．14．如图，等腰△PAD Rt 与矩形ABCD 所在平面垂直， 且===PA PD AB 2，则四棱锥−P ABCD 的外接球的表面积为 ．15．已知随机变量X ～B (6,0.8)，若=P X k ()最大，则+=D kX (1) ． 16．已知函数=>ωωf x x ()2sin (0)在−44[,]ππ3上单调递增， 且直线=−y 2与f x ()的图象在−,0]π[2上有且仅有一个 交点，则实数ω的取值范围是 . （用区间．．表示）A 1E 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知R =−∈+λλS n n 2()1是等比数列a n {}的前n 项和．(1) 求λ及a n ； （2）设=+a b a nn n log 12，求b n {}的前n 项和T n ． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b a B B C2sin sin ．求：(1) A ； （2）b a c的取值范围．19．（本小题满分12分）已知正方体ABCD A B C D 1111中，点E ，F 分别是棱AA 1，A D 11的中点，过点D 1作出正方体ABCDA B C D 1111的截面，使得该截面平行于平面BEF ．（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；（2）求BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值．截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．20．（本小题满分12分）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求： ①(0)P X =；②X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点G 到点(4,0)F 的距离比到直线60x 的距离小2， （1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C ，过点F 作斜率为1k ,2k 的两条直线分别交C 于M ,N 两点和P ,Q 两点，其中122k k ．设线段MN 和PQ 的中点分别为A ,B ，过点F 作FD AB ，垂足为D ．试问：是否存在定点T ， 使得线段TD 的长度为定值．若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x x a x =−（a ∈R ）．（1）若[0,π]x ∀∈，()0f x ，求a 的取值范围； （2）当59a −时，试讨论()f x 在(0,2π)内零点的个数，并说明理由．2022届高三模拟考试数学试题参考答案及评分标准 2022．3一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．CDDC ABBC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．AD 11．ABD 12．BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．12π 15．24 16．1[4，2]3四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）．解：由12n n S λ+=-，得14a λ=-． ················································· 1分 当2n 时，11(2)(2)2n n n n n n a S S λλ+-=-=---=． ····························· 3分 于是，14a λ=-，24a =，38a =． ·················································· 4分 由1a ，2a ，3a 成等比数列，得2132a a a =，即(4)816λ-⋅=．解得2λ=． ·················································································· 5分 当2λ=时，1122a ==．又2n 时，2n n a =．可见，当2λ=时，{}n a 为等比数列．2λ=即为所求，且2nn a =．·········· 6分 （2）211log 2n n n n b a n a =+=+． ································································· 7分 211111(1)(2)[(1)]()2222nn nT n n2111()(12)222nn ··················································· 8分 111(1)1(1)2221122212n nn n n n． ········································· 10分18．解：（1）由b a B B C2sinsin 及B C A π得B A B A 2sin sinsin sin π，即B A B A2sin cos sin sin ．······················ 2分 因为B sin 0，所以A A 2cossin ，即A A A222cos 2sin cos ． 又A 22(0,)π，A 2cos0，所以A 22sin1． ····································· 3分 所以A26π，即A 3π． ································································ 4分 （2）由正弦定理，得b B ac A Csin sin sin ····················································· 5分BB sin 33sinsin()π2π ············································ 6分BB B sin 233(sin cos cos sin )π2π2 ·························· 8分B B 2sin 231cos 1 ··············································· 9分 B B B 222sin cos222311(12sin )2B222tan 31················· 10分 因为B30π2，所以B230π,所以B 20tan3， ·························· 11分所以B 2222tan 1131．所以b a c 的取值范围是2(,1)1． ················ 12分19．（1）设G ，H 分别是棱BC ，CC 1的中点，顺次连接D 1，A ，G ，H ，则四边形D AGH 1即为所求的截面． ······································································ 2分理由如下：因为点G ，H 分别是棱BC ，CC 1的中点，故BC GH 1．又BC D A 11，所以D A GH 1．而两平行直线确定一个平面，所以四边形1D AGH 为平面图形． ··············· 3分 因为点E ，F 分别是棱1AA ，11A D 的中点， 故1D AEF ． ·································· 4分又1D A 平面BEF ，EF平面BEF ，所以1D A 平面BEF ． ···················· 5分因为EB AB AE ，1111D H D C HC ，11AB D C ，1AE HC ，所以1EBD H ．又E ，B ，1D ，H 不共线，所以1EB D H ． ····································· 6分又1D H 平面BEF ，EB 平面BEF ，所以1D H平面BEF ． ··············· 7分 又111D AD H D ，1D A 平面1D AGH ，1D H平面1D AGH ，所以平面1D AGH平面BEF ． ························································· 8分（2）解法1：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．不妨设正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，则(2,2,0)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,0)A ，(0,2,1)H ． ························· 9分故1(2,0,2)AD ，1(0,2,1)HD ．设平面1AGHD 的一个法向量为(,,)x y z m ， 则110,0,AD HD m m 即220,20.x z y z令2z，可得(2,1,2)m ．····························································· 10分 又1(2,2,2)BD , 所以11123cos ,9||||323BD BD BD m m m ．故BD 1． ································ 12分 解法2：BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值，即BD 1与平面BEF 所成角的正弦值．建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．设正方体ABCDA B C D 1111的棱长为2，则B (2,2,0)，D (0,0,2)1，E (2,0,1)，F (1,0,2)．······························· 9分 故BE (0,2,1)，EF (1,0,1)．设平面BEF 的一个法向量为m x y z (,,)，则m m EF BE 0,0,即x z y z 0.20,令z2，可得m (2,1,2)．····························································· 10分 又BD (2,2,2)1, 所以m m m BD BD BD 323||||9cos ,23111． 故BD 1与平面BEF，即BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值为9． ······················································································· 12分 20．（1）解：记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则=P A B (|)1，=P A B 4(|)1，==P B P B 2()()1． ······························································· 2分 由全概率公式，=+=⨯+⨯P A P B P A B P B P A B 2248()()(|)()(|)1=1115． ········ 4分所求概率为====⨯P A P A P B A P BA P B P A B 8()()55(|)2()()(|)411． ·························· 6分 注：计算概率值时，给出公式占1分，代入数据并给出正确结果占1分．（2）设事件A i 表示小明选择了i 个选项，i 1,2,3．C 表示选到的选项都是正确的． ············································································································ 7分解法1： 由互斥事件的概率加法公式，123(0)()()()P X P A C P A C P A C ==++112233()(|)()(|)()(|)P A P C A P A P C A P A P C A =++241111125(1)1223C 636=⨯+⨯-+⨯=； ········································· 8分 111111(2)()()(|)224P X P AC P A P C A ====⨯=； ····································· 9分 22224111(5)()()(|)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=． ································ 10分 随机变量的分布列为·································· 11分 25117()025364189E X =⨯+⨯+⨯=． ··················································· 12分 解法2：设事件表示小明选择了个选项，．表示选到的选项都是正确的．··································································································· 7分111111(2)()()(|)224P X P AC P A P C A ====⨯=； ····································· 8分 22224111(5)()()(|)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=． ································· 9分 1125(0)1(5)(2)118436P X P X P X ==-=-==--=． ······························ 10分 下同解法1. 21．（本小题满分12分）（1） 因为动点G 到点(4,0)F 的距离比到直线60x 的距离小2，所以点G 到点(4,0)F 的距离和它到直线4x 的距离相等， ··················· 1分 点G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线4x为准线的抛物线． ············· 2分设抛物线方程为y px 22p (0)．由p24，得p 8．所以G 的轨迹的方程为y x 162． ······················································· 4分 （2）由题意，直线MN 的方程为y k x (4)1．由题意k 01，k 02，且k k 12． 由y k x y x 416()12 消去y 并整理得k x k x k (816)1601112222． 该方程的判别式k =256(1)0112．设M x y (,)11，N x y (,)22， 则k k x x k 81681611221212，k k x x y k y 4)16(4)(1112121． 所以k k A (4,)88112．········································································· 6分 同理k k B (4,)88222．AB 的斜率k k k k k k k k k AB (4)(4)88882122122112． ··········· 7分 直线AB 的方程为k k k k y x k k (4)881211212 k k k k x k k (4)8121212x k k 2(4)412． ··················· 8分 下分两种方法：法1： 直线AB 的方程为y x k k 2(4)412． 可见直线AB 过定点E (4,4)． ····· 9分 又FD AB ，所以点D 在以EF 为直径的圆x y (4)(2)422上． ·········· 11分 故存在定点T (4,2)，使得线段TD 的长度为定值2．········································ 12分法2： 由题意，直线FD 的方程为k k y x (4)212． 令t k k 212，则直线AB ：y tx t 44，直线FD ：t yx (4)1． 联立t y x y tx t (4),144,得t t y x t 1.444122 所以点t D t 44(12，t 1)42． ·································································································· 10分 消去参量t ，可得x y y (4)4022，即x y (4)(2)422． ··········· 11分 所以点D 在以(4,2)为圆心，半径为2的圆上．故存在定点T (4,2)，使得线段TD 的长度为定值2． ···························· 12分22．（1）解：=+-'f x x a x x ()(1)e cos ． ······················································ 1分 ① 若a 0，当∈x ]π[0,时，-a 0，x sin 0，=+--f x x a x a x x ()e ()sin ()sin 0， 当且仅当=x 0时取等号．可见，a 0符合题意． ······································ 2分② 若<a 01，当∈x 2[0,]π时，+--'f x x a x a ()(1)e cos 100； 当∈x 2]π(,π时，<x cos 0，=++⋅->'f x x a x x ()(1)e (cos )0． 可见，当∈x ]π[0,时，'f x ()0，当且仅当=a 1，且=x 0时取等号．所以f x ()在]π[0,上单调递增，所以=f x f ()(0)0． 所以<a 01符合题意． ······································································ 4分 ③ 若>a 1，因为=+y x x(1)e 在]π[0,上单调递增，=-y a x cos 在]π[0,上单调递增，所以=+-'f x x a x x ()(1)e cos 在]π[0,上单调递增． ··································· 5分 或：若>a 1，当∈x ]π[0,时，x sin 0，=+++>''f x x a x x x x ()(2)e sin (2)e 0，所以=+-'f x x a x x ()(1)e cos 在]π[0,上单调递增． ··································· 5分又=-<'f a (0)10，=+>'f 22()(1)e 0ππ2π，由零点存在定理及'f x ()的单调性， 存在唯一的∈x 2(0,)π0，使得='f x ()00．当∈x x (0,)0时，<=''f x f x ()()00，f x ()单调递减，所以<=f x f ()(0)0．可见，>a 1不符合题意． ···································································· 6分 综上，a 的取值范围是-∞(,1]． ···························································· 7分（2）① 若-a 590，由（1），∈x (0，]π时，>f x ()0，f x ()在]π(0,内无零点． 当∈x )π,2π(时，-<x 1sin 0，<-x 0sin 1，-a x a sin ，=->+>->⨯-=>f x x a x a x e 3e 593 2.7590.0490π()e sin 33π．可见，若-a 590，f x ()在)π(0,2内无零点． ··································· 9分 ② 若<a 01，由（1），∈x (0，]π时，>f x ()0，f x ()在]π(0,内无零点． 当∈x )π,2π(时，->x sin 0，=+->>f x x a x x x x ()e (sin )e 0．可见，若<a 01，f x ()在)π(0,2内无零点． ········································ 10分 ③ 若>a 1，由（1），存在唯一的∈x 2(0,)π0，当∈x x (0,)0时，<=''f x f x ()()00， f x ()单调递减；当∈x x )π(,0时，>=''f x f x ()()00，f x ()单调递增．又=f (0)0，所以<=f x f ()(0)00．又=>f e 0π)π(π，由零点存在定理及f x ()的单调性，存在唯一的∈x x )π(,10，使得=f x ()01．可见，f x ()在]π(0,内存在唯一的零点．当∈x )π,2π(时，<x sin 0，->a x sin 0，所以=->>f x x a x x x x ()e sin e 0．可见，f x ()在)π(0,2有且仅有1个零点． ·············································· 11分 综上所述，若-a 591，f x ()在)π(0,2内无零点；若>a 1，f x ()在)π(0,2内有且仅有1个零点． ······················································································ 12分。
山东省高考数学仿真模拟试题及答案
20正视图侧视图808080山东省高考数学仿真模拟试题及答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设全集I 是实数集R ，{|ln(2)}M x y x ==-与3{|0}1x N x x -=≤-差不多上I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ） （A ）{2}x x < （B ）{21}x x -≤< （C ）{12}x x <≤（D ）{22}x x -≤≤2.i 是虚数单位，已知(2)5i z i -=，则z =（ ）（A ） i 21+ （B ）i 21-- （C ）i 21- （D ）i 21+- 3．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ( ) A ．4B ．41C ．－4D ．－145.某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）( ) A. 240000cm B. 240800cmC. 21600(2217)cm +D. 241600cm6．已知10<<<<a y x ，y x m a a log log +=，则有( )A 0<mB 10<<mC 21<<mD 2>m7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y 等于（ ）A ．7B ．15C ．31D ．638．已知7722107)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，那么=+++++765432a a a a a a ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．129．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)4sin(2)(π+=x x fD ．)4321sin(4)(π+=x x f10．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为 （ ）A ．5B ．10C ．20D ．1511．若实数x ，y 满足不等式11,02240+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-≥x y y x y x y ω则的取值范畴是（ ）A ．]31,1[-B ．]31,21[-C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 12．设函数()f x 的定义域为R ，且(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(4)1f <-，3(2011)3a f a +=-，则a 的取值范畴是（ ） A. (－∞, 3) B. (0, 3)C. (3, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请直截了当在答题卡上相应位置填写答案. 13．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是________。
普通高考数学【山东卷】全真模拟卷2解析版PDF.pdf
A 发生的概率 P（A）满足 0 P( A) 1．∴C 中说法错误；
若事件 A 发生的概率趋近于 0，则事件 A 是小概率事件，但不是不可能事件，∴D 中说法错误． 故选 CD．
5
书山有路
12．在平面直角坐标系中，曲线 C 上任意点 P 与两个定点 A(−2, 0) 和点 B (2, 0) 连线的斜率之和等于 2，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
f
(x)
=
2x 1+ x2
−1 过点 (1，0) ，可排除选项
A，D．又
f
(2)
0 ，排除
C．故选
B
5．已知双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点
P
是
C
的右支上一点，连接 PF1
与 y 轴交于点 M，若 F1O = 2 | OM | （O 为坐标原点）， PF1 ⊥ PF2 ，则双曲线 C 的渐近线方程为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 log2 0.2 ， 20.2 ， 0.20.3 三个数中，则最大的数为______． 【答案】 20.2
【解析】 log2 0.2 log21 = 0 ，log2 0.2 0 ， 20.2 20 = 1， 20.2 1， 0 0.20.3 0.20 =1，0 0.20.3 1， 20.2 最大．
A． 3x − y − 3 = 0
B． x + y −1= 0
C． x − y −1 = 0
D． 3x + y − 3 = 0
山东省高考数学模拟考试试题及答案.pdf
的通项 an = 3n −16 ， k = 4 ，同理②不存在，③ m.cksdu 牛逼 k = 4
18. （1）根据三角形面积很容易得出两边之比，再用正弦定理即可，60° （2）设 AC=4x（想想为什么不直接设为 x？），将三角形 CFB 三边表示出来，再用余
弦定理， 5 17 51
19. （1）取 SB 中点 M，易知 AM//EF，且 MAB=45°，可得 AS=AB，易证 AM⊥面 SBC， 进一步得证
C 6. 画个图，一目了然，A 7. 关键是把“所有”翻译成“任取”，C 8. 用 6、4、2 特值即可（更高级的，可以用极限特值 8-、4、2，绝招班里有讲），B 二、多项选择题 9. 这个，主要考语文，AD
10.
注意相同渐近线的双曲线设法，
x2 a2
−
y2 b2
=
，D
选项可用头哥口诀（直线平方……）
AC 11. B 选项构造二面平行，C 选项注意把面补全为 AEFD1（也可通过排除法选出），D 选项
CG 中点明显不在面上，BC 12. 利用函数平移的思想找对称中心，ABC 三、填空题 13. 确定不是小学题？36
14. 竟然考和差化积，头哥告诉过你们记不住公式怎么办，不过这题直接展开也可以， − 4 5
4
4
（2）单一关参模型，条件转化为 AB=CD=1（绝招班里有讲），剩下就是计算了，无解， 所以不存在 22. （1）送分的（求导可用头哥口诀），7
（2）考求导，没啥意思，注意定义域，单增 (0, +)
（3）有点意思，详细点写
由递推公式易知 an 1
( )( ) 由 an+1 −
7 = an + 7 − an +1
2021届山东省(新高考)高三模拟考试卷 数学(四)(解析版)
山东省（新高考）2021届高三第二次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，{}(,)1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．()31i +=（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．22i +D ．22i -3．已知直线m ，n ，平面α，β，n αβ=，m α∥，m n ⊥，那么“mβ”是“αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩，则1y x +的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．45．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种6．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()6f x f x +-=，当0x >时，()223f x x x =--+，若()350f m -≤，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(],3-∞D ．[)3,+∞7．在ABC △中，点M 是AB 的中点，23AN AC =，线段CM 与BN 交于点O ，动点P 在BOC △内部活动（不含边界），且AP AB AN λμ=+，其中λ、μ∈R ，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3411,8⎛⎫⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．111,8⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ）A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m = D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,210．在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号B ．存在ABC △满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC △为钝角三角形D ．若π2C >，则22sin sin sin C A B >+11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ） A ．A 地：中位数为2，极差为5B ．B 地：总体平均数为2，众数为2C ．C 地：总体平均数为1，总体方差大于0D ．D 地：总体平均数为2，总体方差为312．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（ ） A ．121x x +=- B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:143x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()4,3M ，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为______．14．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x "是()f x '的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若()3211533212f x x x x =-+-，则函数()f x 的对称中心为________，1234201820192019201920192019f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．15．函数()cos 22f x x x =，x ∈R ，有下列命题：①()y f x =的表达式可改写为2cos 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到； ④满足()f x ≤x 的取值范围是3πππ,124πx k x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）16．在棱长为的正四面体A BCD -中，点,E F 分别为直线,AB CD 上的动点，点P 为EF 中点，Q 为正四面体中心（满足QA QB QC QD ===），若PQ =EF 长度为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=． （1）求B ；（2）若3b =，当ABC △的周长最大时，求它的面积．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知1π3BCC ∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：BC ⊥平面1ABC ； （2）求二面角11A B E A --的余弦值．19．（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒）99994532302421现用y ax=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1iizx=）71i iiz y=∑z72217iiz z=-⨯∑184.50.370.55参考公式：对于一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线ˆˆˆv a uβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，ˆˆa v uβ=-．（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,A B ，P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP △的面积1ABP S =△，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 的最1． （1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点．21．（12分）已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为：()n P A ，()n P B ，()n P C ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()10P A =，()112P B =，()112P C =． （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率()3P A ，()3P B ，()3P C ；22．（12分）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()()22ln 12xg x e a x a x f x =-++--，若()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．数 学答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意()()()()()()(){}1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A =， 其中满足1y x >+的有()1,7，()2,6，()3,5， 所以()()(){}1,7,2,6,3,5AB =，有3个元素，故选B ．2．【答案】B【解析】()()()()321i 1i 1i 2i 1i 22i +=++=+=-+，故选B ． 3．【答案】C 【解析】若mβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， 又mβ，∴m β'⊥，又∵m α'⊂，∴αβ；若αβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， ∵m n ⊥，∴m n '⊥， 又∵αβ，n αβ，∴m β'⊥，∴m β⊥， 故“mβ”是“αβ”的充要条件，故选C ．4．【答案】D【解析】画出约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩所表示的平面区域，如图所示，设目标函数110y y z x x ++==-，则1y x +-表示平面区域内一动点到定点(0,1)M -连线的斜率，结合图象可得，取点A 时，能使得z 取得最大值，又由1122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得25(,)33A ， 所以1y x +的最大值为5134203+=-，故选D ． 5．【答案】B【解析】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有14C 4=种， 其次从剩余5人中选3人到其它三个城市游览，共有35A 60=种，共有1345C A 240=种，故选B ． 6．【答案】B【解析】令0x <，则0x ->，()223f x x x -=-++，因为()()6f x f x +-=，所以()2236f x x x -++=，()223x x x f =-+，即当0x <时，()223x x x f =-+，取0x =，则()()006f f +=，()03f =，当0x <时，()()222312f x x x x =-+=-+，此时()0f x ≤无解；当0x =时，()03f =，此时()0f x ≤无解； 当0x >时，()()222314f x x x x =--+=-++， 若()0f x ≤，则()2140x -++≤，解得1≥x ，故()350f m -≤，即351m ，解得2m ≥， 实数m 的取值范围为[)2,+∞，故选B ． 7．【答案】D【解析】如下图所示，连接BP 并延长交AC 于点G ，设NG mAN =，PG nBG =，则102m <<，01n <<， ()1AG m AN=+，()()()11AP AG GP m AN nGB m AN n AB AG=+=++=++-()()()111m AN nAB nAG m AN nAB n m AN =++-=++-+ ()1m mn n AN nAB =+--+，又AP AB AN λμ=+，n λ∴=，1m mn n μ=+--，()111m mn m n λμ∴+=+-=-+，102m <<，011n <-<，则()1012m n <-<， 即()31112m n <-+<，即312λμ<+<，因此，λμ+的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．8．【答案】C【解析】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，23(1)31n a n n =+-=-； 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-；数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-．对于A ，1222539a b +=+⨯-=，21521317c =⨯-=，122a b c +≠，错误； 对于B ，8258332132b a -=⨯--⨯+=，41541347c =⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ，225223107b =⨯-=，815813107c =⨯-=，228b c =，正确；对于D ，()()62361523119a b =⨯-⨯⨯-=，915913122c =⨯-=，629a b c ≠，错误， 故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】BCD【解析】对于选项A ：由()()34330m x y m m ++-+=∈R 可得()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r，平行于:0l x y -+=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=，可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由222480C :x y x y m +--+=，可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r由题意可得两圆相外切，所以1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥， 所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为222222m n x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m ，可得()424n x ny -+=，即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确， 故选BCD ． 10．【答案】ACD【解析】对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >， 故A 选项正确；对于B 选项，由πA B +<，则πA B <-，且(),π0,πA B -∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误； 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos π2A B ⎛⎫-<⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若π02A <<，则π2A B ->，则π2A B +<，于是π2C >； 若π2A >，则πcos cos 2A B ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则π2A B ->，于是π2A B >+，故C 选项正确； 对于D 选项，由π2C >，则π2A B +<，则ππ022A B <<-<，sin y x =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是πsin sin 2A B ⎛⎫<-⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B =+=+>⋅+⋅22sin sin A B =+，所以D 选项正确， 故选ACD ． 11．【答案】AD【解析】对A ，因为A 地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=．故A 正确； 对B ，若B 地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若C 地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于()2182 3.6310⨯-=>，与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确， 故选AD ． 12．【答案】BCD【解析】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<， 而34()()f x f x =，知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=，∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈，故选BCD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由题意知，C 的半焦距7c =，()17,0F -，()27,0F ，故()221473227MF =++=+，()222473272MF =-+=-．设12F MF ∠的角平分线与x 轴交于(),0N x ，由角平分线定理可知1122NF MF NF MF =7277272x =--，解得1x =， 即()1,0N ，故12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率30141MN k -==-，故答案为1． 14．【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018 【解析】因为()3211533212f x x x x =-+-，所以()23f x x x ='-+，()21f x x "=-， 由()0f x "=，即210x -=，解得12x =，3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题中给出的结论，所以函数()f x 的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 所以11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，即()()12f x x +-=． 故12018220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22017220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32016220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …，20181220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以123420181201920192019202201819201982201f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⨯=⎭⨯，故答案为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018． 15．【答案】①④【解析】π()cos 222cos(2)3f x x x x ==+，故①正确；当π12x =时，ππ()2cos 0122y f ===，故②错误；因为函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到ππ)2sin 2(2sin(2)63y x x =-=-，而ππ2sin(2)2cos(2)33x x -≠+，故③错误；由()3f x ≤可得π2cos(2)33x +≤，解得π3cos(2)3x +≤， 所以ππ11π2π22π,636k x k k +≤+≤+∈Z ，解得3πππ,124πk x k k -+≤≤+∈Z ， 故④正确， 故答案为①④． 16．【答案】26【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则AB CD ⊥，Q 为正方体的中心， 设,M N 分别是,AB CD 的中点，则Q 是MN 的中点，MN AB ⊥，MN CD ⊥， 连接EN ，设EN 的中点为S ，连接,,QS SP PQ ， 因为QS 是NME △的中位线，所以//QS ME ，12QS ME =， 同理//SP NF ，12SP NF =， 因为AB CD ⊥，所以ME NF ⊥，所以QS SP ⊥，即90QSP ∠=︒， 则()22222124QS SP ME NF PQ +=+==，所以228ME NF +=， 因为MN ME ⊥，所以222216NE MN ME ME =+=+， 因为NF ME ⊥，NF MN ⊥，MNME M =，所以NF ⊥平面MNE ，所以NF NE ⊥， 在NEF Rt △中，22221626EF NF NE NF ME =+=++=，故答案为26．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2π3B =；（2）93ABC S =△． 【解析】（1）由正弦定理得222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,πB ∈，2π3B ∴=． （2）由余弦定理得()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤， ∴当3a c ==时，ABC △取得最大值，此时19393sin 2224ABC S ac B ==⨯=△．18．【答案】（1）证明见解析；（2）255． 【解析】（1）证明：1π3BCC ∠=，1BC =，12CC =， ∴由余弦定理可知2211123BC BC C CC BC C =+-⋅=，22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，且BC ⊂面11BB C C ，AB BC ∴⊥，又1ABBC B =，1,AB BC ⊂平面1ABC ，BC ∴⊥平面1ABC ．（2）由（1）知，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，1BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()1,0,0C，()1C，1,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1B -，()1A -，1,22EA ⎫⎛∴=--⎪ ⎪⎝⎭，13,22EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1AEB 的法向量为(),,x y z =n ，由10EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得()=n ； 同理，设平面11A EB 的法向量为()111,,x y z =m，1223EA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， 由110EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，得()=m ，故cos ,5⋅===⋅m n m n m n ，由题意二面角11A B E A --是锐二面角，故二面角11A B E A --的余弦值为5． 19．【答案】（1）100ˆ13y x=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509． 【解析】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为100ˆ13yx=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒． （2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，142A 2(4)669P X ⨯===⨯，()111142241A A A 205(6)63A 669P X ++====⨯，1122A A 1(9)669P X ⨯===⨯，所以X 的分布列为：所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B ，点()1,2P ，ABP △的面积1ABP S =△，所以1212ABP S b =⨯=△，基底1b =， 又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 1， 设(), M x y 是椭圆上任意一点，(,0)F c -，则2222222()2c MF x c y x cx a a =++=++，对称轴2a x a c=-<-，所以在区间[,]x a a ∈-上递增， 则x a =-时，min MF a c =-，即1a c -=，又222a b c =+，解得a =所以椭圆方程为2212x y +=．（2）设(,2)P t ，由题意得，直线P A ，PB 的斜率存在， 设1:1PA l y x t =+，3:1PB l y x t=-， 由221112y x tx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22242,22t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；由223112y x tx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221218,1818t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以22222222218224182:12422182MNt t t t t t l y x t t t t t t ----⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++，化简得26182t y x t -=+， 所以直线MN 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）()314P A =，()338P B =，()338P C =；（2）843128a =． 【解析】（1）A B C A →→→；A C B A →→→， 所以()311111112222224P A =⨯⨯+⨯⨯=； A B A B →→→；A C A B →→→；A B C B →→→，所以()31111111113++2222222228P B =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=； A B A C →→→；A C A C →→→；A C B C →→→，所以()31111111113++2222222228P C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． （2）∵n n b c =，即11n n b c --=，2n ≥，又()1112n n n b a c --=+， ∴2n ≥时，()()11111122n n n n n b a c a b ----=+=+，又∵1111n n n a b c ---++=，可得121n n b b -+=， 由11111111322323n n n b b b --⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭， 可得数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为12-的等比数列， 1111362n n b -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又11111111212136232n n n n a b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故843128a =． 22．【答案】（1）见解析；（2）25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==． （ⅰ）当01a <<时，由()0f x '<，得1<<a x ，则()f x 的减区间为(),1a ； 由()0f x '>，得x a <或1x >，则()f x 的增区间为()0,a 和()1,+∞． （ⅱ）当1a =时，()0f x '≥，则()f x 的增区间为()0,∞+．（ⅲ）当1a >时，由()0f x '<，得1x a <<，则()f x 的减区间为()1,a ； 由()0f x '>，得1x <或x a >，则()f x 的增区间为()0,1和(),a +∞． （2）()()()222ln 121xxg x e a x a x f x e x ax =-++--=-+-，()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，即关于x 方程21xx e a x-+=在[]1,2上有且仅有一个实数根．令()21x x e h x x -+=，[]1,2x ∈，则()()()211x x x e h x x-+-'=，令()1xp x x e =+-，[]1,2x ∈，则()10xp x e '=-<，故()p x 在[]1,2上单调递减，所以()()120p x p e ≤=-<， 即当[]1,2x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]1,2上单调递减．又()12h e =-，()2522e h -=，则()2522e h x e -≤≤-，所以a 的取值范围是25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.为虚数单位，复平面内表示复数的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合,，则=" "A．B．C．D．3.若，则函数的图像大致是A. B. C. D.4.已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=" "A．B．C．D．25.已知变量、满足约束条件，则的最大值为A． B C. D.46.过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为A．B．C．D．7.下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是A．B．C．D．8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9.关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则.其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个10.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=" "A．10B．C．D．11.设点P是双曲线与圆在第一象限的交点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率A．B．C．D．12.已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是A．且B．且C．且D．且13.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则 _________.二、填空题1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=" "2.二项式的展开式中的常数项为．3.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是．三、解答题1.已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围.2.已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，、分别为棱、的中点，,，(1)证明：直线平面；(2)求二面角的大小．3.在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.4.济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；（2）求A中学分到两名教师的概率；（3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．5.已知椭圆C：的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设、是椭圆C上的不同两点，点，且满足，若，求直线AB的斜率的取值范围.6.已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.为虚数单位，复平面内表示复数的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】略2.已知集合,，则=" "A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.若，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】B【解析】略4.已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=" "A．B．C．D．2【答案】B【解析】略5.已知变量、满足约束条件，则的最大值为A． B C. D.4【答案】D【解析】略6.过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是A．B．C．D．【答案】A【解析】略8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】A【解析】略9.关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则.其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】略10.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=" "A．10B．C．D．【答案】B【解析】略11.设点P是双曲线与圆在第一象限的交点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率A．B．C．D．【答案】D【解析】略12.已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】略13.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则 _________.【答案】【解析】略二、填空题1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=" "【答案】81【解析】略2.二项式的展开式中的常数项为．【答案】【解析】略3.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是．【答案】【解析】略三、解答题1.已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围.【答案】解：（1）…………2分…………6分（2）+由正弦定理得…………………9分,,所以 --------------------12分【解析】略2.已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，、分别为棱、的中点，,，(1)证明：直线平面；(2)求二面角的大小．【答案】（1）证明：方法一：取EC的中点F，连接FM，FN，则，，，………………………2分所以且，所以四边形为平行四边形，所以，…………………………………4分因为平面，平面，所以直线平面；…………………………………6分（2）解：由题设知面面，，又，∴面，作于，则，作，连接，由三垂线定理可知，∴就是二面角的平面角，…………………………………9分在正中，可得，在中，可得，故在中，，…………………………………11分所以二面角的大小为…………………………………12分方法二：如图以N为坐标原点建立空间右手直角坐标系,所以…1分（1）取EC的中点F ，所以，设平面的一个法向量为，因为，所以，；所以，……………3分因为，，所以………………………5分因为平面，所以直线平面………………………7分（2）设平面的一个法向量为，因为，所以，；所以……………9分………………………………11分因为二面角的大小为锐角,所以二面角的大小为………………………………12分【解析】略3.在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.【答案】解：(1)，因为，所以，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分∴，从而. …………………………………………………6分(2)因为………………… 8分所以……………………………………………10分由，得，最小正整数为91. …………………12分【解析】略4.济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；（2）求A中学分到两名教师的概率；（3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．【答案】.解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，基本事件总数N=.所以P（A）==. ----------4分（2）设A中学分到两名教师为事件B，所以P（B）==. ------8分（3）由题知X取值1，2，3.P（X=1）=， P（X=2）=,P（X=3）=.所以分布列为3-------------------------12分【解析】略5.已知椭圆C：的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设、是椭圆C上的不同两点，点，且满足，若，求直线AB的斜率的取值范围.【答案】解:（1）由已知得，所以椭圆的方程为………4分（2）∵,∴三点共线,而,且直线的斜率一定存在，所以设的方程为，与椭圆的方程联立得由，得. …………………6分设，①又由得: ∴②.将②式代入①式得:消去得:…………………9分当时, 是减函数, ,∴,解得,又因为，所以,即或∴直线AB的斜率的取值范围是…………12分【解析】略6.已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.【答案】解：（1）的定义域为（0，+∞），…2分当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………4分当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调递增，在单调递减. …………6分（2）因为，所以当时，恒成立令，则, ……………8分因为，由得，且当时，；当时，.所以在上递增，在上递减.所以，故……………………10分（3）由（2）知当时，有，当时，即，令，则，即…………12分所以，，…，，相加得而所以，.……………………14分【解析】略。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
山东省2020年高考数学模拟考试题与答案
山东省2020年高考数学模拟考试试题及答案按珈密级苇项管理*启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学asw 项：1. 答卷前，考生务必将口己的姓名、考生号等填遞在答题卡和试卷指定位匿匕工回答选择题时，选岀每小题答案屁用铅抠把答题R上对应题冃的答案折号涂熾如磁动,用橡皮掠干净后，再选涂苴他答案标号*回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
另在本试卷上无效，生考试结束存*将本试卷和答題卡…井交回。
—、单项选择题：本趣共$小舐每小題§分・共豹分。
在每小题给出的四个选琐中，只有一项是符合髒目要求的“1, 迎集合/訂（工』）ix+?=2｝, 则*n七A. ｛（ij）｝氐｛（一签4）｝ C HM）J-2f4）｝6 02. 已知◎牛bi⑷b左R）是上二的共扳复数・则a^b =1 +1A- -1 B.-丄C- ；D・ 12 23* Bt向fi4-（.1,1）t A = c»（2,!）> 且（■-几血）丄―则丄“A. 3 氐2 G -2-34. 幵式中『抽系数足xA.-210B. -12QC. 120D. 2105+已知三按锥$_仙C中，ZSAB = ZABC= y * 5^-4• SC = 1J\3. XB = 2,5C = 6, 则三棱锥S 亠ABC的体积是A. 4B. 6 G 4巧D+ M6. 己知点丄为曲纯y二工+毀工:>0）上前动点，月为圆2F +/=!上的动点’则皿鋼X的最小值是九3 B•斗G迈 D. 4^27, 设命題戸所有正方形都是平行叫边母*则「卩为d所宿疋方形罰不長平行四边形B-有的平行四边底不是正方舷C”有的iE方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边彫不是平行四边形数学试题第1页：（共5贡）数学试題第2页（共5页〉数学试題第2页（共5页〉8. 若>1 且 MC F ・则4. log 」、1隅疋、teg 評 C. log f c> lo£fl 5> lo 空 a二、多項远择题*本题共4」卜駆•毎小题5^-共20分・存毎小额给岀的选项中、右 多项精合倾目蓉求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选措的得0分“ 9. 下国为茱地桜2006年〜2018年地方財政预算内收入、城乡居民储齧年未余额折线2财政预篇内收入*城乡居民储蓄年朮余额肉呈増怅趋势 R.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 赃政预畀内收入年平均增长虽局于城乡居民储蔷年末余额年平均增机帚 D, 城乡居艮储蓄年末余鈿与财政预算内收入的差報逐年增大w.已知艰曲线＜?过点Q 品且渐近钱为丿=±¥厂则下列结论正确的是A, C 的方程为■- / -I B ・0的离心翠为J5 C ・曲线经过C 的一于焦点 D.直线"逅厂1“与C 有两个公共点11正方陣」肌也GO 的梭长为1・E , F 、（?分别为5C, CC 「1?鸟的中点•则扎直线与直线曲垂直 B.直^Afi 与平面*防平行C 平面/EF 截正方体所得的載画面积为? D.点C?与点石到平而*EF 曲聊离相諄B- log"〉k 唱』a lug/ D, log/A 】0£ 占 > log/城乡尿民储雷叶朿 ♦余额C 百亿元】 亠地方财政预算内 收入f 百亿元）根据该折线I ］可Sb 该地区2006年-2018年\2.函数/(巧的定义域为K, fi7(^ + 1) f(x^2)都为奇函数，则A. 奇函数氐/V)为周期雷数C /(x + 3)为奇函数 D. /(I +4)X J®^I数三填空駆本题共4小题、每小题3分，共20分。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
山东省(新高考)高三下学期数学临考仿真模拟演练卷(二)(解析版)
山东省(新高考)数学临考仿真模拟演练卷(二)(时间:120分钟 分值:150分)本卷须知：2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷〔选择题〕一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的．1．集合{|||3,}A x x x =<∈Z ，{|||1,}B x x x =>∈Z ，那么A B =〔 〕 A ．{1,2,3,5,7,11}A = B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}-D ．{2,2}-2．设复数z 满足||11z -=，那么z 在复平面内对应的点为(),x y ，那么〔 〕A ．()2211x y ++= B ．2211()x y -+= C ．22()11x y +-= D ．()2211x y ++=3．函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件〔 〕 A ．0ab =B ．220a b +=C ．a b =D ．0a b +=4．函数()()log 1a a f x x a x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象可能是〔 〕 A ． B ．C ．D ．5．m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下判断正确的选项是〔 〕 A ．假设αβ⊥，m α⊂，n β⊂，那么直线m 与n 一定平行B ．假设m α⊥，n β⊥，αβ⊥，那么直线m 与n 可能相交、平行或异面C ．假设m α⊥，//n α，那么直线m 与n 一定垂直D ．假设m α⊂，n β⊂，//αβ，那么直线m 与n 一定平行6．函数()21,223,2x x ax f x x ⎧-≤=⎨->⎩，假设()()21f f >-，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．(),2-∞B ．(),3-∞C ．()3,+∞D ．()2,+∞7．点F 为抛物线24y x =的焦点，点(2,1)A ，点P 为抛物线上与直线AF 不共线的一点，那么APF △周长的最小值为〔 〕A ．32-B ．32+C ．4D ．228．假设某同学连续3次考试的名次〔3次考试均没有出现并列名次的情况〕不低于第3名，那么称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是〔 〕A ．甲同学：平均数为2，方差小于1B ．乙同学：平均数为2，众数为1C ．丙同学：中位数为2，众数为2D ．丁同学：众数为2，方差大于1二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分． 9．函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的局部图象如下列图，那么以下关于函数()f x 的说法中正确的选项是〔 〕A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π- B ．函数()f x 的图象在y 3C ．函数5π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在7π2π,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．ABC △中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，假设P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．21m n +=B ．mn 的最大值为112C ．41m n+的最小值为642+ D ．229m n +的最小值为1211．如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1DD 上一点，且2DE =，F 为棱11C D的中点，点G 是线段1BC 上的动点，那么〔 〕A ．无论点G 在线段1BC 上如何移动，都有11AG B D ⊥ B ．四面体A BEF -的体积为24C ．直线AE 与BF 所成角的余弦值为21015D ．直线1AG 与平面1BDC 所成最大角的余弦值为1312．设函数()ln f x x x =，21()2g x x =A ．假设方程()f x k =有两个不同的实数根，那么1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．假设方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，那么0k <C ．假设120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，那么11m ≥D ．假设函数()()2()F x f x ag x =-有两个极值点，那么实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭第二卷〔非选择题〕三、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．某工厂为研究某种产品产量x 〔吨〕与所需某种原材料y 〔吨〕的相关性，在生产过程中收集4组对应数据〔,x y 〕如下表所示：x3 4 6 7y2.534m根据表中数据，得出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+．据此计算出在样本()4,3处的残差为0.15-，那么表中m 的值为________．14．假设()()61x x a -⋅+与()()610ax a +≠的展开式中3x 的系数相等，那么实数a 的值为________．15．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色． 假设有4种颜色可供选择，那么共有______种不同的染色方案．16．在ABC △中，角A ，B ，C 分别为三角形的三个内角，且sin 23sin sin B C A =，那么π6B +的取值范围是______，sin sin sin sin C AA C+的取值范围是_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔10分〕数列{}n a 是公差不为0的等差数列，满足11a =，1829a a a =，数列{}n b 满足2n an b =．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；〔2〕令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T 的值．18．〔12分〕请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①()3cos cos cos sin A c B b C a A +=；②2cos 2b cC a-=； ③tan tan tan 3tan tan A B C B C ++=．ABC △的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，．〔1〕求A ；〔2〕假设2a =，10b c +ABC △的面积．19．〔12分〕函数()()2ln 21f x x ax a x =+++．〔1〕当1a =时，求()y f x =曲线在1x =处的切线方程； 〔2〕讨论()f x 的单调性．20．〔12分〕如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ．SCD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =．〔1〕证明：直线SD ∥平面ACE ； 〔2〕求二面角S AC E --的余弦值．21．〔12分〕公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere )向另一位著名的数学家帕斯卡(B ．Pascal )提请了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat )示讨论了这个问题，后来惠更斯(C ．Huygens )也参加了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()1,k k k *≥∈N 局，谁便赢得全部赌注a 元．每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌博相互独立．在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局那么赌博意外终止的情况，甲､乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 甲乙分配赌注．〔1〕甲､乙赌博意外终止，假设243a =，4k =，2m =，1n =，23p =，那么甲应分得多少赌注？〔2〕记事件A 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注〞，试求当4k =，2m =，1n =时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()f p ，并判断当45p ≥时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：假设随机事件发生的概率小于0.05，那么称该随机事件为小概率事件．22．〔12分〕直线:l y x m =+交抛物线2:4C y x =于,A B 两点． 〔1〕设直线l 与x 轴的交点为T ．假设2AT TB =，求实数m 的值；〔2〕假设点,M N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：,,,A B M N 四点共圆．答案第一卷〔选择题〕一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】因为||3x <，所以33x -<<， 又x ∈Z ，所以{2,1,0,1,2}A =--，因为||1x >，所以1x <-或1x >，所以{|1B x x =<-或1,}x x >∈Z ， 所以{2,2}AB =-，应选D ．2．【答案】B【解析】设(i ,)z x y x y =+∈R ，由||11z -=，得|()|1i 1x y -+=，∴2211()x y -+=，应选B ． 3．【答案】B【解析】由于()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=恒成立， 即0x x a b x x a b ++--++=，()20x x a x a b +--+=恒成立，由于x ∈R ，所以0a b ．在四个选项中，与0ab等价的是220a b +=，所以B 选项符合，应选B ． 4．【答案】A【解析】由+≥a x xax x =时，取等号，又1a >，所以2a x x +≥>，故()log log 10a a a f x x x ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭，所以只有A 正确，应选A ． 5．【答案】C【解析】对于A ，m ，n 可能平行、异面、相交，故A 错误；对于B ，假设m α⊥，n β⊥，αβ⊥，那么直线m 与n 不可能平行，故B 错误； 对于C ，根据线面垂直、线面平行的性质可知直线m 与n 一定垂直，故C 正确；对于D ，假设m α⊂，n β⊂，//αβ，那么直线m 与n 可能平行，也可能异面，故D 错误， 应选C ． 6．【答案】A 【解析】()()()23831aff f ==->-，39a <，即2a <，应选A ．7．【答案】B【解析】根据题意，焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，过点P 作准线的垂线，垂足为P'，过点A 作准线的垂线，垂足为A '，且与抛物线交于点0P ， 作出图象如图，故2AF =由抛物线的定义得PF PP '=， 那么APF △周长为222C PF PA PP PA AA ''=+=++当且仅当点P 在点0P 处时，等号成立， 因为3AA '=，2232C PF PA AA '=+≥=所以APF △周长的最小值为32+B ． 8．【答案】A【解析】对于甲同学，平均数为2，方差小于1， 设甲同学三次考试的名次分别为1x 、2x 、3x ， 假设1x 、2x 、3x 中至少有一个大于等于4，那么方差为()()()22221231422233s x x x ⎡⎤=-+-+-≥⎣⎦，与条件矛盾， 所以，1x 、2x 、3x 均不大于3，满足题意；对于乙同学，平均数为2，众数为1，那么三次考试的成绩的名次为1、1、4， 即必有一次考试为第4名，不满足题意；对于丙同学，中位数为2，众数为2，可举反例：2、2、4，不满足题意； 对于丁同学，众数为2，方差大于1，可举特例：2、2、5，那么平均数为3，方差为()()222122353213s ⎡⎤=⨯-+-=>⎣⎦，不满足条件，应选A ．二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】ABC【解析】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的局部图象知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，那么2πππ4362T =-=，∴2πT =，2π1Tω==． ∵ππ2cos 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π2ϕ<，∴6πϕ=-， 故()π2cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()π2cos 06f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得πππ62x k -=+，k ∈Z ， 即3π2πx k =+，k ∈Z ，因此函数()f x 最靠近原点的零点为π3-，故A 正确；由()02cos 6πf ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图象在y B 正确； 由()52cos 2co πs π6f x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数6π5f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确；令π2π2ππ6k x k -≤-≤，k ∈Z ，得π5226π6ππk x k -≤≤+，k ∈Z ，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在13π2π,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13π7π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确， 应选ABC ． 10．【答案】BD【解析】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n +=，()21131333212m n mn m n +⎛⎫∴=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭〔当且仅当3m n =时取等号〕， B 正确； 对于C ，()414112123772743n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭〔当且仅当12n mm n=，即23m n =时取等号〕，C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=〔当且仅当3m n =时取等号〕，D 正确，应选BD ． 11．【答案】ABD【解析】在正方体1111ABCD A BC D -中，易证1DB ⊥面11A BC ，又1AG ⊂平面11A BC ，所以11AG B D ⊥，那么A 正确； 11114662432A BEF F ABE D ABEB AD E V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，那么B 正确；在棱1CC 上取点N ，使2CN =，连接,,(BN NE FN 如图)， 那么易知FBN ∠为直线AE 与BF 所成角或其补角， 可得210BN =，5FN =，9FB =，那么222(210)958410cos 1529210310FBN ∠+-===⨯⨯， 那么直线AE 与BF 所成角的余弦值为41015，那么C 错误；由题意知三棱锥11A BDC -为棱长为62作1AO ⊥平面1BDC ，O 为垂足， 那么O 为正1BDC △的中心，且1AGO ∠为直线1AG 与平面1BDC 所成角， 所以211211cos 1A O OGA GO A G A G ∠==-， 当点G 移动到1BC 的中点时，1AG 最短，如图，此时1cos AGO ∠最小，1AGO ∠最大， 此时1161cos 336OG AGO AG ∠===，那么D 正确， 应选ABD ．12．【答案】AD【解析】因为()ln f x x x =，所以()f x 的定义域为(0,)+∞， 那么()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，解得1x e>， 可知()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增， 所以min 11()()f x f x f e e⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值， 当0x →时，()0f x →，又()10f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根， 即()y f x =与y k =的图象有两个不同的交点， 所以1(,0)k e∈-，应选项A 正确； 因为1x =不是方程2()kf x x =的根， 当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =与ln xy x=只有一个交点，2ln 1(ln )x y x -'=，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在(0,1)和(1,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，1x =是一条渐近线，极小值为e ．由ln xy x=大致图象可知0k <或k e =，应选项B 错误； 当120x x >>时，1212[()()]()()m g x g x f x f x ->-恒成立等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1x m x+≥在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，那么2ln ()xr x x'=-， 令()0r x '>，得ln 0x <，解得01x <<，从而()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 那么()max 1()1r x r ==，所以1m ≥，应选项C 错误；函数()()2()F x f x ag x =-有两个极值点，等价于()ln 120F x x ax '=+-=有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由选项C 可知，021a <<， 即102a <<，应选项D 正确， 应选AD ．第二卷〔非选择题〕三、填空题：本大题共4小题，每题5分． 13．【答案】5.9【解析】根据样本()4,3处的残差为0.15-，即3(0.74)0.15a -⨯+=-，可得0.35a =，即回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+， 又由样本数据的平均数为346754x +++==， 2.5344my +++=，所以0.750.3 2.55344m⨯+=+++，解得 5.9m =，故答案为5.9． 14．【答案】83【解析】()6x a +的展开式通项为()616C ,06r rr r A xa r r -+=⋅⋅∈≤≤N ，且()()()()6661x x x a x a x a +=--⋅++， 所以()()61x x a -⋅+的展开式通项为66761,16666C C C C k k k r r r k k k rr r k r T x x a x a x a x a ----++=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅，由7363k r -=⎧⎨-=⎩，解得43k r =⎧⎨=⎩，所以()()61x x a -⋅+的展开式中3x 的系数为443366C C a a ⋅-⋅，()61ax +的展开式的通项为()666166C C mmm m m m B ax a x ---+=⋅=⋅，由63m -=，可得3m =，所以()61ax +的展开式中3x 的系数为336C a ⋅，所以443333666C C C a a a ⋅-⋅=⋅，解得3646C C 283a ==，故答案为83． 15．【答案】96【解析】要完成给图中A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类是仅用三种颜色染色，即AF 同色，BD 同色，CE 同色，那么从四种颜色中取三种颜色有34C 4=种取法，三种颜色染三个区域有33A 6=种染法， 共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF ，BD ，CE 中有一组不同色， 那么有3种方案(AF 不同色或BD 不同色或CE 不同色〕，先从四种颜色中取两种染同色区有24A 12=种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法， 共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种，故答案为96．16．【答案】π5π,66⎛⎤⎥⎝⎦，[]2,4【解析】根据正弦定理sin sin B bC A a==，所以sin b C =，sin sin sin b B C B =，得2sin b B =，再由222cos 2c a b B ac +-==，得()22π2cos 4sin 6a c ac B B ac B ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 因为(),π0B ∈，7πππ,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 而22π4sin 26ac B a c ac ⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，所以π1sin 62B ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以5πππ,666B ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， 所以π1sin ,162B ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π4sin 2,46B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 而22sin sin π4sin sin sin 6C A c a a c B A C a c ac +⎛⎫+=+==+ ⎪⎝⎭， 故sin sin sin sin C AA C+的取值范围是[]2,4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】〔1〕n a n =，2n n b =；〔2〕()1122n n T n +=-⨯+．【解析】〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，由题意得()()117118d d d +=++，解得1d =或0〔舍〕，∴()111n a n n =+-⨯=，∴2nn b =．〔2〕由〔1〕知231122*********nn n n T a b a b a b a b n =+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， ∴()23412122232122nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减得()2311121212122122nn n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=-⨯-，∴()1122n n T n +=-⨯+．18．【答案】〔1〕π3A =；〔2【解析】〔1()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=，()2sin sin A C B A +=2sin sin A A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以tan A =π3A =． 方案②：由正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin C A B C A C C =-=+-2sin cos 2cos sin sin A C A C C =+-，所以2cos sin sin 0A C C -=，即2cos sin sin A C C =， 又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，所以π3A =．方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++，所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=，tan tan tan tan B C A B C =，又(),,0,πA B C ∈，所以tan 0B ≠，tan 0C ≠，所以tan A =1cos 2A =，所以π3A =． 〔2〕由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2a =，π3A =， 得224b c bc =+-，即()243b c bc +=+，又因为b c +=2bc =，所以1sin 2ABC S bc A ==△． 19．【答案】〔1〕62y x =-；〔2〕答案不唯一，具体见解析． 【解析】〔1〕当1a =时，()2ln 3f x x x x =++，可得1()23f x x x'=++， 斜率(1)6k f '==，而(1)4f =，根据点斜式可得()y f x =曲线在1x =处的切线方程为62y x =-． 〔2〕因为()()2ln 21f x x ax a x =+++，对()f x 求导，()()()()()222112111221ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==，()0x >，①当0a =时，()110f x x'=+>恒成立， 此时()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当0a >，由于0x >，所以()()2110ax x ++>恒成立，此时()y f x =在()0,∞+上单调递增；③当0a <时，令()0f x '=，解得12x a=-． 因为当10,2x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '>；当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()y f x =在10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 综上可知，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．20．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕13． 【解析】〔1〕证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF ． 因为AD BC ∥，所以AFD △与BCF △相似，所以2BF BCFD AD==． 又2BE BFES FD==，所以EF SD ∥． 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊂/平面ACE ，所以直线SD ∥平面ACE ． 〔2〕解：平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD ．以C 为坐标原点，CD ，CB 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与CD ，CB 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如下列图的空间直角坐标系C xyz -． 那么(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224(,,)333E ，(0,2,2)CA =，(1,1,0)CS =，224(,,)333CE =．设平面SAC 的一个法向量为(),,x y z =m ，那么2200CA y z CS x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m ，令1x =，得()1,1,1=-m ；设平面EAC 的一个法向量为(),,x y z =n ，那么220224333CA y z CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩n n ，令1z =，得()1,1,1=--n ， 设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，那么||1cos ||||3θ⋅===⋅m n m n ，所以二面角S AC E --的余弦值为13．21．【答案】〔1〕216元；〔2〕()()3113(1)f p p p =-+-，事件A 是小概率事件，理由见解析．【解析】〔1〕设赌博再继续进行X 局甲赢得全部赌注，那么最后一局必然甲赢， 由题意知，最多再进行4局，甲､乙必然有人赢得全部赌注．当2X =时，甲以4:1赢，所以()224239P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；当3X =时，甲以4:2赢，所以()1222283C 133327P X ⎛⎫==⋅⨯-⨯=⎪⎝⎭； 当4X =时，甲以4:3赢，所以()21322244C 133327P X ⎛⎫==⋅⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 所以，甲赢的概率为48424892727279++==， 所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元． 〔2〕设赌注继续进行Y 局乙赢得全部赌注，那么最后一局必然乙赢，那么Y 的可能取值有3、4，当3Y =时，乙以4:2赢，()33(1)P Y p ==-；当4Y =时，乙以4:3赢，()13334C (1)3(1)P Y p p p p ==-=-；所以，乙赢得全部赌注的概率为()()333(1)3(1)13(1)P A p p p p p =-+-=+-，于是甲赢得全部赌注的概率()()3113(1)f p p p =-+-，求导，()()()3223(1)133(1)112(1)f p p p p p p =---+⋅--=-'．因为415p ≤<，所以()0f p '>，所以()f p 在4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，于是min 4608()5625f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭． 故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-==<，故事件A 是小概率事件． 22．【答案】〔1〕8m =-；〔2〕证明见解析．【解析】由24y x m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，那么124y y +=，124y y m =． 因为直线l 与C 相交，所以16160Δm =->，得1m <．〔1〕由2AT TB =，得1220y y +=，所以240y +=，解得24y =-， 从而18y =，因为124y y m =，所以432m =-，解得8m =-． 〔2〕设()33,M x y ，()44,N x y ， 因为,M N 两点关于直线y x m =+对称， 那么4343223443434144y y y y y y x x y y --===-+-，解得434y y =--．又434322y y x x m ++=+，于是3343422y y x x m --++=+，解得4342x m x =---． 又点N 在抛物线上，于是233()(42)44y m x -----=． 因为2334y x =，所以23341640y y m +++=， 于是13231323()()()()M x x x x y y y MB y A ⋅=----+222233121323()()()()4444y y y y y y y y =----()()()13231323()1616y y y y y y y y --=--+⎡⎤⎣⎦ ()()13232123123()1616y y y y y y y y y y --⎡⎤=++++⎣⎦ ()()2231333404()1616y y y y y m y --==+++， 因此MA MB ⊥，同理NA NB ⊥，于是点,M N 在以AB 为直径的圆上，即,,,A B M N 四点共圆．。
山东省济南市名校考试联盟2024届高三下学期4月高考模拟数学试题(含答案与解析)
山东名校考试联盟2024年4月高考模拟考试数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A34B.38C.14D.182. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 取值为（ ） A. 2或4B. 2或3C. 4或5D. 3或56. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.13C.16D.112.的7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ） A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 10. 如图，在直角三角形ABC中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y +=的11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________.13. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 14. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠大小； （2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD⊥；的（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积最大值.19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y ，记x y +的取值为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p . （i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的.的参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()2P X ==（ ） A.34B.38C.14D.18【答案】B 【解析】【分析】根据二项分布直接求解即可. 【详解】因为随机变量2,14X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()4241632C 2168P X ⎛⎫==== ⎪⎝⎭. 故选：B2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，该抛物线上一点P 到2x =-的距离为4，则PF =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()000,,0P x y x ≥，由题意可得02x =，结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的准线为=1x -， 设()000,,0P x y x ≥，则024x +=，解得02x =， 所以013PF x =+=. 故选：C.3. 已知集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（）A. {0}B. {1}C. {－1，1}D. {0,-1，1}【答案】D【解析】【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出a 的取值集合. 【详解】因为集合()(){}2|10x x a x --=的元素之和为1，所以一元二次方程()()210x ax --=有等根时，可得21x a==，即1a =±，当方程有两不相等实根时，20x a ==，即0a =， 综上，实数a 所有取值的集合为{}0,1,1-. 故选：D4. 已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()(),11f x f x f x f x -=-+=-，则()2024f =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为()()11f x f x +=-，所以()()()()1111f x f x ++=-+，即()()2f x f x +=-， 又()()f x f x -=-，函数()f x 的定义域为R ，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()2f x f x =-+， 所以，()()24f x f x +=-+，故()()()24f x f x f x =-+=+， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()()()20245064000f f f =⨯+==. 故选：A5. 已知圆()()221,4,,4,C x y A a B a +=-:，若圆C 上有且仅有一点P 使PA PB ⊥，则正实数a 的取值为（ ） A. 2或4 B. 2或3C. 4或5D. 3或5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知：点P 的轨迹为以AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆，结合两圆的位置关系分析求解.【详解】由题意可知：圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，且0a >， 因为PA PB ⊥，可知点P 的轨迹为以线段AB 的中点()4,0M 为圆心，半径R a =的圆， 又因为点P 在圆22:1C x y +=上，可知圆C 与圆M 有且仅有一个公共点，则CM r R =+或CM r R =-， 即41a =+或41a =-，解得3a =或5a =. 故选：D.6. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则 |P B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.13C.16D.112【答案】B 【解析】【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =， 又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =， 且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.7. 已知数列{}n a 满足11a =，对于任意的*N n ∈且2n ≥，都有111,2,n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则20a =（ ）A. 112B. 1122-C. 102D. 1022-【答案】B【解析】【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设2n n b a =， 则1212242b a a ====-，3213a a =+=，2432682b a a ====-，5417a a =+=，365214162b a a ====-，76115a a =+=，487230322b a a ====-，可归纳得：122n n b +=-，1222n n n a b +==-，所以11201022a b ==-. 故选：B8. 已知正三棱锥 P －ABC 的底面边长为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）A. 2B.C. 3D.【答案】A 【解析】【分析】作出图形，根据题意可得棱切球球心即为底面正三角形的中点O ，再求出三棱锥的高，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC 垂直的直线上，又因为底面边长为所以底面正三角形的内切圆的半径为1tan 3012r AB =︒⋅'==， 又因为球的半径1r =，即r r '=，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O ，如图，过球心O 作PA 的垂线交PA 于H ，则H 为棱切球在PA 上的垂足，的所以1OH r ==，又因为122cos30AB OA ===︒，所以1cos 2OH AOH OA ∠==, 因为()0,πAOH ∠∈，所以60AOH ∠=︒， 又由题意可知，PO ⊥平面ABC ，所以PO OA ⊥， 所以30POH ∠=︒所以cos30OH PO ===︒所以11232P ABC V -=⨯⨯=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数z 满足()1i 2i z +=-（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A. z =B. z 的虚部为3i 2- C. 52z z ⋅=D. 若复数ω满足21z ω-=，则ω的最大值为 【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，利用复数模的公式计算可判断A ；由虚部概念可判断B ；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C ；根据复数的减法的几何意义求解可判断D . 【详解】对于A ，因为()1i 2i z +=-， 所以()()()()2i 1i 2i 13i 1i 1i 1i 22z ---===-++-，所以z ==，A 正确； 对于B ，由上可知，z 的虚部为32-，故B 错误， 对于C ，因为33i 22z =+，所以13135i i 22222z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 对于D ，记复数ω对应的点为(),A a b ，复数2z 对应的点为()1,3B -，则由21z ω-=可得1OA OB BA -==，即点A 在以B 为圆心，1为半径的圆上，所以，OA 的最大值为11OB +=+，即ω的最大值为1+，D 错误.故选：AC10. 如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+，则（ ）A. 1122BO BA BC =+B. 1CB BO ⋅=C. BP BC ⋅最大值为1D. B ，O ，P 三点共线时2x y += 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得O 为AC 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A ，建立平面直角坐标系，求出圆O的方程，设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用坐标法判断B 、C ，由三点共线得到//BP BO，即可求出θ，从而求出x ，y ，即可判断D.【详解】因为AO OC =，即O 为AC 的中点，所以1122BO BA BC =+，故A 正确；如图建立平面直角坐标，则()0,0B，)C，(A，O ，所以()CB =，BO =，则01CB BO ⋅==- ，故B 错误； 又2AC==，所以圆O 的方程为221x y ⎛⎛-+-=⎝⎝， 设cos sin P θθ⎫++⎪⎪⎭，π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭，又)BC =，所以cos 0sin 1BP BC θθθ⎫⎫⋅=+⨯+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭ ，因为π3π,44θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， θ⎡∈-⎣，所以0,1BP BC ⎡⋅∈⎣，故BP BC ⋅最大值为1C 正确；因为B ，O ，P 三点共线，所以//BP BO，又BO =，cos sin BP θθ⎫=+⎪⎪⎭ ，sin cos θθ⎫⎫+=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭，即sin cos θθ=， 所以π4θ=，所以BP =，又)BC =，(BA =，且BP xBA yBC =+，即())x y=+=，所以==11x y =⎧⎨=⎩，所以2x y +=，故D 正确.故选：ACD11. 已知数列{}n a 满足111,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1πsin 2n n a a +=，()*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意*n ∈N ，下列结论正确的是（ ） A. 存在N*k ∈ ，使1k a = B. 数列{}n a 单调递增 C. 13144n n a a +≥+ D. 1122n n a a S +≤+【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数证明πsin2x x >，π31sin 244x x >+和π3sin 22n n a a ≤均成立，从而可得BCD 正确.假设A 选项存在N*k ∈ ，使1k a =，则11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，可判断A. 【详解】对于B ，要证数列{}n a 单调递增，只需要证πsin2nn a a >，令()π1sin,,123f x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππcos 122f x x ='-，()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()110,1103f f ''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭， 故()f x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点0x ，当01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()0,1x x ∈时，()0f x '<，所以()πsin2f x x x =-在01,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为增函数，在()0,1x x ∈上为减函数， 因为()110,1036f f ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0f x >即πsin 2x x >， 令n x a =，则有πsin2n n a a >，故B 正确； 对于A ，假设存在N*k ∈，使得1k a =，则1ππsin sin 122k k a a +===， 所以11k a +=，所以11k k a a +==，与B 选项中数列{}n a 单调递增矛盾，故A 错误； 对于C ，要证+13144n n a a ≥+，只需证π31sin 244n n a a ≥+， 令()π311sin,,12443g x x x x ⎡⎫=--∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 224g x x '=-，()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10344g f ⎛⎫=->=-⎪''< ⎝⎭， 故()g x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在唯一的零点1x ，当11,3x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，当()1,1x x ∈时，()0g x '<，所以()π31sin244g x x x =--在11,3x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭为增函数，在()1,1x 上为减函数，因为()1103g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有()0g x ≥即π31sin 244x x >+， 令n x a =，则有π31sin244n n a a >+，故C 正确； 对于D ，令()π31sin,,1223h x x x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则()ππ3cos 222h x x '=-，()h x '在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()1330,10322h h ⎛⎫=-<=-⎪''< ⎝⎭， 故()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，因为103h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()103h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭即π3sin 22x x ≤， 所以π3sin 22n n a a ≤，即132n n a a +≤， 整理得到：112n n n a a a +-≤，其中1,2,3,,n =故21112a a a -≤32212a a a -≤，……112n n n a a a +-≤累加后可得1112n n a a S +-≤即1122n n a a S +≤+，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点睛：数列的单调性的判断需根据相邻两项差的符号来判断，但对于较为复杂的数列（甚至是以递推关系给出的数列），其单调性、与该数列相关的不等式的证明需依靠导数来证明，在该题中，数列的通项的范围依据数学归纳法才能得到.三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分.12. 已知2log 3,43ba ==，则ab =________. 【答案】2 【解析】【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得.【详解】因为43b =，所以3log 4b =， 所以23lg 32lg 2log 3log 42lg 2lg 3ab =⨯=⨯=. 故答案为：213. 现有A ，B 两组数据，其中A 组有4个数据，平均数为2，方差为6，B 组有6个数据，平均数为7，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________. 【答案】9 【解析】【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案.【详解】根据题意，甲组数据的平均数为2，方差为6，乙组数据的平均数为7，方差为1,则两组数据混合后，新数据的平均数4267510x ⨯+⨯==，则新数据的方差()()2224662517591010s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：914. 已知函数()1e xf x x -=，若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，则实数a 的取值范围为________. 【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数判断其单调性和最值，令()t f x =，整理得可得()2110t a t a +-+-=，构建()()211g t t a t a =+-+-，结合()f x 的图象分析()g t 的零点分布，结合二次函数列式求解即可.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，则()()11e xf x x -=-'，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；可知()f x 在(),1∞-内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可得()()11f x f ≤=， 且当x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0； 作出()f x 的图象，如图所示，对于关于x 的方程()()11f x a f x +=+，令()1t f x =≠-，可得11t a t +=+，整理得()2110t a t a +-+-=， 且1-不为方程()2110t a t a +-+-=的根， 可知方程11t a t +=+等价于()2110t a t a +-+-=， 若方程()()11f x a f x +=+有三个不相等的实数解，可知()2110t a t a +-+-=有两个不同的实数根1212,,t t t t <， 且1201t t <<<或1201t t <<=或1201t t =<<， 构建()()211g t t a t a =+-+-，若1201t t <<<，则()()0101320g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得312a <<；若1201,1t t <<=，则()1320g a =-=，解得32a =， 此时方程为211022t t --=，解得121,12t t =-=，不合题意；若1201t t =<<，则()010g a =-=，解得1a =， 此时方程为20t =，解得120t t ==，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数值域（最值）问题求解．的（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.（1）若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；（2）若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）=45ADC ∠︒（22+ 【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =由等腰三角形可得30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =，然后四边形面积分成BCD ABD S S + 即可求解. 【小问1详解】在ABC 中，AB BC ==，120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =，又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=， 因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒. 【小问2详解】在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD =+=+∠2sin ABD =+∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =+，即四边形ABCD 2+.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，60,1,3,DAB PCB CD AB PC ∠=∠=︒===，平面PCB ⊥平面ABCD ，F 为线段BC 的中点，E 为线段PF 上一点.（1）证明：PF AD ⊥；（2）当EF 为何值时，直线BE 与平面PAD . 【答案】（1）证明见解析（2）2 【解析】【分析】（1）过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，分析可知PBC 为等边三角形，可得PF BC ⊥，结合面面垂直的性质可得PF ⊥平面ABCD ，即可得结果；（2）取线段AD 的中点N ，连接NF ，建系，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，求平面PAD 的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题. 【小问1详解】过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，由题意知：BCDM 为矩形，可得2,tan 60AMAM BC DM ====︒，由60PC PCB =∠=︒，则PBC 为等边三角形，且F 为线段BC 的中点，则PF BC ⊥， 又因为平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCB ⋂平面ABCD BC =，PF ⊂平面PCB ， 可得PF ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， 所以PF AD ⊥. 【小问2详解】由（1）可知：PF ⊥平面ABCD ，取线段AD 的中点N ，连接NF ，则FN ∥AB ，2FN =， 又因为AB BC ⊥，可知NF BC ⊥，以F 为坐标原点，,,NF FB FP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()(),1,,0,0,3,A D P B ， 因为E 为线段PF 上一点，设()[]0,0,,0,3E a a ∈，可得()()()2,,,0,DA DP BE a ==-=，设平面PAD 法向量(),,n x y z =，则2030n DA x n DP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令3x =-，则2y z ==-，可得()2n =--，由题意可得：cos ,n BE n BE n BE ⋅===⋅， 整理得2440a a -+=，解得2a =，所以当2EF =，直线BE 与平面PAD. 17. 已知函数()()()22l ,n 1e xf x ax xg x x axa =--=-∈R .（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：()()f x g x x +≥. 【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解 【解析】的【分析】（1）求导可得()221ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性；（2）构建()()(),0F x f x g x x x =+->，()1e ,0xh x x x=->，根据单调性以及零点存在性定理分析()h x 的零点和符号，进而可得()F x 的单调性和最值，结合零点代换分析证明.【小问1详解】由题意可得：()f x 的定义域为()0,∞+，()21212ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，则2210ax -<在()0,∞+内恒成立， 可知()f x 在()0,∞+内单调递减； 当0a >时，令()0f x ¢>，解得x >()0f x '<，解得0x <<；可知()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增； 综上所述：当0a ≤时，()f x ()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增. 【小问2详解】构建()()()e ln 1,0xF x f x g x x x x x x =+-=--->，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， 由0x >可知10x +>， 构建()1e ,0x h x x x=->， 因为1e ,xy y x==-在()0,∞+内单调递增，则()h x 在()0,∞+内单调递增，且()120,1e 102h h ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭， 在可知()h x 在()0,∞+内存在唯一零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 当00x x <<，则()0h x <，即()0F x '<； 当0x x >，则()0h x >，即()0F x '>；可知()F x 在()00,x 内单调递减，在()0,x +∞内单调递增， 则()()00000e ln 1xF x F x x x x ≥=---，又因为001e 0xx -=，则00001e ,e x x x x -==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得()000001ln e 10x F x x x x -=⨯---=， 即()0F x ≥，所以()()f x g x x +≥.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 与抛物线W ：²2x y =相切于点P ，且与椭圆 2212x C y +=：交于A ，B 两点.（1）当P 的坐标为()2,2时，求AB ；（2）若点G 满足 0GO GA GB ++=，求GAB △面积的最大值. 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）设2001,2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为20012y x x x =-，与椭圆方程联立，结合韦达定理求AB ，代入02x =即可得结果； （2）根据题意可知：点G 为OAB 的重心，进而可得13GABOAB S S ==△△.【小问1详解】 由²2x y =可得21,2y x y x '==， 设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可知直线l 的斜率0k x =， 可知切线方程为()200012y x x x x -=-，即20012y x x x =-，联立方程200221212y x x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()22340001212202x x x x x +-+-=，可知()()62442000001Δ4421228402x x x x x ⎛⎫=-+-=--->⎪⎝⎭，解得(011x -<<+，设()()1122,,,A x y B x y ，则4300121222001222,2121x x x x x x x x -+==++，则AB == 若P 的坐标为()2,2，即02x =，所以AB ==.【小问2详解】因为点O 到直线2001:02l x x y x --=的距离d =，由题意可知：点G 为OAB的重心，且(()(01,00,1x ∈-+⋃+，可知1111133232GAB OABS S d AB==⨯⋅=⨯=2212⎡⎤⎢⎥≤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，=x=所以GAB△.【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为1.4例如在1秒末，粒子会等可能地出现在()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--四点处.（1）设粒子在第2秒末移动到点(),x y，记x y+的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望()E X；（2）记第n秒末粒子回到原点概率为n p.的（i ）已知220(C)C nk n n n k ==∑求 34,p p 以及2n p ；（ii ）令2n n b p =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意实数0M >，存在*n ∈N ，使得n S M >，则称粒子是常返的.已知146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，证明：该粒子是常返的. 【答案】（1）见解析 （2）（i ）30p =；4964p =；()()2242!116!n nn p n ⎡⎤⎣⎦=（ii ）见解析 【解析】【分析】（1）求出求X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 分布列，再由数学期望公式求出()E X ； （2）（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，表示出2n p ，由组合数公式化简即可得出答案；（ii ）利用题目条件可证明()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案. 【小问1详解】粒子在第2秒可能运动到点()()()1,1,2,0,0,2或()()()0,0,1,1,1,1--或()()()1,1,2,0,0,2----的位置，X 的可能取值为：2,0,2-，()412164P X =-==，()810162P X ===，()412164P X ===， 所以X 的分布列为：X2- 02P141214()()1112020424E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）粒子奇数秒不可能回到原点，故30p =，粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：()a 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有44A 种情形；()b 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有242C 种情形； 于是424444A +2C 9464p ==， 第2n 秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，故()()()22222222202!C C C 144!!k k n kn nn n k n kn n n k k n p k n k ---====⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()()()()2222222002!!11C C C 44!!!n nn k n kn n n n n k k n n n k n k -====⋅⎡⎤-⎣⎦∑∑ ()()222222011C C C 44nn k n n n n n n k ==⋅=⋅∑.故()()()()222222422!111C C 41616!n n n n n n nnn p n ⎡⎤⎣⎦=⋅==.（ii146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可知：()()22222!e C!nn nn n n ⎫=>=⎣⎦于是()222211C 46n n n n p n=⋅>， 令()()ln 1,0f x x x x =-+>，()11011x f x x x=-=>++'， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，于是()()ln 10x x x >+>，从而有：()21111111ln 1ln 1666n nn n k k k k S p n k k ===⎛⎫=>>+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑， 即[]x 为不超过x 的最大整数，则对任意常数0M >，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，6e 1M n >-，于是()1ln 16n S n M >+>, 综上所述，当6eMn ⎡⎤≥⎣⎦时，n S M >成立，因此该粒子是常返的.【点睛】关键点睛：本题第二问（ii ）的关键点在于利用146!e πe nnn n n ⎫⎛⎫⎫<<⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭可得()222211C 46n n nn p n =⋅>，再令()()ln 1,0f x x x x =-+>可证得()211ln 16nn k k S p n ==>+∑，进一步可得()1ln 16n S n M >+>，即可得出答案.。
山东省2023年高考模拟练习(一)数学试题及参考答案
山东省2023年高考模拟练习（一）数学试题及参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|20,|1A x x x B x y x =-=≥-=-，则A ∪B =（）A.RB.[)1,+∞ C.(][),11,-∞-⋃+∞ D.(][),10,-∞-⋃+∞2.已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z+=（）A.2B.2C.102D.103.如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，|AC |＝|BC |＝52，若以直线AB 为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的表面积为S 1，△ABC 旋转所形成的几何体的表面积为S 2，则S 1+S 2＝（）A ．1502πB ．（100+502）πC ．（100+252）πD ．（50+502）π4.若△ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且220,OA AB AC ++= 则•CA CB的值为（）A ．14B ．27C ．7D ．25.已知sin(α+3π)+sin α=33，则sin(2α－6π)的值是（）A ．97B ．97-C ．92D ．92-6.2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由式滑雪（）这5个项目随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（）A.310B.25C.35 D.7107.已知过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （21，0）的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若AF ＝2FB ，则sin ∠MPQ ＝（）A ．95B ．73C ．179D ．1358.已知函数()xf x xe =，()lng x x x =，若()()12f x g x t ==，其中0t >，212ln t x x 的最大值为（）A.1e B.2eC.21e D.24e 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A．B．C．D．3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A．B．C．D．7.若函数为奇函数，则的解集为（）A．B．C．D．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（）A．B．C．D．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足的，有，则（）A．B．C．D．10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域为______.2.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天）繁殖个数y（千则上表中丢失的实验数据的值为______.3.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.5.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.三、解答题1.如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.2.小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.3.如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.4.已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.5.已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点.（1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.6.已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】复数，所以复数为虚数单位）的共轭复数是，其对应的点位于第一象限，故选A.【考点】1、复数的运算；2、复平面；3、共轭复数.2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合，，所以集合，集合的子集的个数为，故选C.【考点】1、集合的概念；2、子集.3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出约束条件对应的可行域如下，，其中表示可行域内的点到直线的距离，由上图可知，点到直线的距离最大，最大为，所以的最大值为故选A.【考点】线性规划．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为且，若，如果，那么,则，如果，那么，则，总之“”是“”的充分条件；反过来，若，则，这时总能推出，所以“”是“”的必要条件，综上故选C.【考点】充分条件与必要条件．5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A.【考点】平面向量．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由程序框图可知：第一次运行第二次运行第三次运行……………，第次运行输出，综上故选D.【考点】程序框图．7.若函数为奇函数，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数为上奇函数，所以，所以，由于为增函数，而为减函数，所以是减函数，又因为，由可得，从而，故选D.【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【思路点晴】本题是一个关于函数的奇偶性、单调性方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】问题等价于“取出的张标签的标号的和是”，又等价于“选出两张并且和为”，而这样的选法有共种，而所有的取法有，从而所求概率是，故选A.【考点】古典概型．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足的，有，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由条件可知，再根据题意可知,由于，所以不妨设，那么，故选D.【考点】三角变换．【思路点晴】本题是一个关于三角函数的变换以及三角函数的最大值、最小值方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：首先应根据三角函数的基本变换原理，由的解析式进而得到的解析式，再根据题目条件得出关于参数的式子，并从中解得参数的值，问题得到解决.10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点是，由条件可得，从而得，进而解得离心率的取值范围是，故选B.【考点】1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于的一个不等式，再结合，即可求得双曲线的离心率的取值范围，并最终使问题得以解决.二、填空题1.函数的定义域为______.【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案填.【考点】1、函数的定义域；2、无理不等式及对数不等式.2.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天）34567繁殖个数y（千则上表中丢失的实验数据的值为______.【答案】【解析】由表中数据可得，将点代入可解得，故答案填.【考点】回归分析.3.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由于不等式的解集不是空集，所以，而，所以即，故答案填.【考点】1、绝对值不等式；2、极端不等式.4.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，其中是等腰三角形，并且边上的高是，所以，故答案填.【考点】1、三视图；2、棱锥的体积.【思路点晴】本题是一个关于三视图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先由三视图要正确的作出其对应的立体图形，一般的，如果一个几何体的三视图中，其正视图、左视图、俯视图都是三角形时，那么这个几何体应该是三棱锥.再结合本题三视图中的已知数据，即可求得该几何体的体积.5.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.【答案】【解析】作出函数的图象如下，设，由图可知，并且当时，，此时，当时，，此时，综上的取值范围是，故答案填.【考点】1、分段函数；2、函数图象.【方法点晴】本题是一个关于分段函数的图象方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先要根据分段函数在各部分上的解析式，正确的作出其图象，其次再根据，可作出一条水平直线，然后再根据这条水平直线的上下变化区间，即可求得的取值范围.三、解答题1.如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据，以及，即可求得的值；（Ⅱ）先根据正弦定理求出的长，再由三角形的面积公式即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）因为，且，所以.又因为，所以.所以.（Ⅱ）在中，由正弦定理得，所以.所以.【考点】1、三角形正弦定理；2、三角形面积.2.小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】（Ⅰ）根据事件的互斥性和独立性即可求得事件的概率，另外也可利用独立重复试验求对应事件的概率；（Ⅱ）首先列出随机变量的所有可能的取值，再根据事件的互斥性和独立性求出取各值时的概率，最后即可求得的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）记“甲第次抢得红包”为事件，“甲第次没有抢得红包”为事件.则，.记“甲恰有次抢得红包”为事件，则，由事件的独立性和互斥性，得..（Ⅱ）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件.则，.由题意知的所有可能取值为，由事件的独立性和互斥性，得.....所以的分布列为所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望.【考点】1、事件的互斥性和独立性；2、随机变量的期望及分布列.3.如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，进而可得到线线垂直；（Ⅱ）先根据等体积法求出点到平面的距离，再结合直角三角形的边角关系即可求出直线与平面所成的角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.因为是等腰直角三角形，，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.所以四点共面.因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（Ⅱ）在平面内作，垂足为，则.因为是等边三角形，，所以.在中，.因为是等腰直角三角形，，所以.所以.由（Ⅰ）知，因为平面，平面，所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.在平面内作，垂足为，因为平面，平面，所以.因为平面，平面，，所以平面，且.在中，，在中，，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，所以的面积.设点到平面的距离为，由，得，得.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】1、线线垂直；2、线面角.4.已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由数列的前项和公式再结合对的讨论，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，先求出数列的通项公式，再利用分组求和法并结合错位相减法以及裂项相消法，即可求得数列的前项和.试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，.又也满足上式，所以.（Ⅱ）.设数列的前项和为，数列的前项和为，则，，所以，，所以.又.所以.（说明：也可写成同样给分）【考点】1、通项公式及前项和公式；2、错位相减法及裂项相消法.5.已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点.（1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）由题设得圆的圆心为，半径为，，又，所以，由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆.设此椭圆方程为，且焦距为，则即所以动点的轨迹的方程为.（Ⅱ）（1）设，则，且，所以直线，即①.直线，即.②联立①②，解得，所以点的坐标是.则所以点恒在椭圆上.（2）设直线，，则由消去，并整理得，.因为恒成立，所以.所以.令，设，因为，所以函数在上单调递增，故.所以，即当时，的面积取得最大值，且最大值为.【考点】1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.6.已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.试题解析：（Ⅰ）由题设可求得，，因为在处取得极值，所以即解得.经检验知，满足题设条件.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，所以在上恒成立，即在恒成立.设，则，.设，1）当，即时，，所以，在单调递增，所以，即当时，满足题设条件.2）当，即时，设是方程的两个实根，且，由，可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意有，即在上恒成立，所以在上为增函数，所以.所以时，也满足题设条件.综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，即在区间上恒成立.令，得.所以当时，，当时，上式显然成立.所以原不等式得证.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.。
2022-2023学年山东省临沂市高考模拟考试(一模)数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年山东省临沂市高考模拟考试（一模）数学试题1. 已知集合，，则下列集合为空集的是( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是( )A. iB.C. 1D.3. 某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是( )件数7891011人数37541A. B. 9 C. D. 104. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为( )A. B. C. D.5. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长如图，直角梯形ABCD，已知，，，，则其重心G到AB的距离为( )A. B. C. D. 17. 已知，，，则( )A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右两支分别交于点M，N，且，则C的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为( )A. B.C. D.10. 已知圆，点，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )A. 线段AP长的最大值为6B. 当直线AP与圆C相切时，C. 以线段AP为直径的圆不可能过原点OD. 的最大值为2011. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点反射后，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )A.B. 延长AO交直线于点D，则D，B，Q三点共线C.D. 若PB平分，则12. 已知正方体的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，，，的中点，则( )A. 直线，EF是异面直线B. 平面截正方体所得截面的面积为C. 三棱锥的体积为D. 三棱锥的外接球的表面积为13. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高单位：服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________若，，14. 的展开式中常数项为__________.15. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________.16. 已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求若，求面积的取值范围.18. 为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，已知所有学生的成绩均位于区间，从中随机抽取1000名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图.若此次活动中获奖的学生占参赛总人数，试估计获奖分数线;采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，记成绩在的人数为，求的分布列和数学期望.19. 已知数列为等比数列，，是与的等差中项，为的前n项和.求的通项公式及集合A为正整数集的某一子集，对于正整数k，若存在正整数m，使得，则，否则记数列满足求的前20项和20. 如图，三棱锥，，，，平面平面ABC，点M为PC的中点.若，求直线BM与平面ABC所成角的正弦值;若，求BC的长.21. 已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点M的轨迹为曲线求C的方程;若点A，B，D，E在C上，且，AD与BE交于点P，点P在椭圆上，证明：的面积为定值.22. 已知函数，若恒成立，求实数a的最小值;证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交集、补集运算，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.解指数不等式、对数不等式得集合A，B，由交集、补集的定义逐个计算得答案.【解答】解：集合，，所以，，，，，，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的相关概念与运算，复数的几何意义，属于基础题.由复数的几何意义可知，，计算出后由虚部的概念即可得解.【解答】解：由题意，，则，所以的虚部为3.【答案】C【解析】【分析】本题考查百分位数，属于基础题.由得，第75百分位数是第15位和第16位工人生产的产品件数的平均数，由此即可求出结果.【解答】解：抽取的人数为人，，所以该组数据的产品件数的第75百分位数是第15位和第16位工人生产的产品件数的平均数，即4.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算、投影向量的求法，属于基础题.结合数量积的定义式、投影向量的求法求解.【解答】解：向量在向量上的投影向量为：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题．由，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：因为，因为，所以“”是“”的充分不必要条件.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何体的体积，属于中档题.求出直角梯形绕AB旋转一周所得几何体体积，记重心G到AB的距离为，则，即可得出答案.【解答】解：设则，直角梯形绕AB旋转一周所得旋转体的体积为，，设重心G到AB的距离为，则，得故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了判断函数零点、方程的根所在区间，利用作差法/作商法比较代数式的大小和利用对数函数的图象与性质比较大小，属于较难题.令，利用判断函数零点、方程的根所在区间得，再利用作差法比较代数式的大小得和，再利用对数函数的图象与性质比较大小得结论.【解答】解：令，则函数是增函数.因为，，所以存在唯一，使得，因此满足的因为，所以，因此因为，所以，因此，即，而函数是减函数，因此因为，所以，因此，而，所以，即，而函数是减函数，因此综上所述，8.【答案】D【解析】【分析】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，余弦定理的应用等知识，属于中档题．设，，根据双曲线的定义算出，由余弦定理，，即可得.【解答】解：如图：，设，则，，根据双曲线的定义，得，即，解得，即，，，，所以，即，解得，所以9.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的判断，属于中档题.由为定义在R上的偶函数，得为奇函数，根据函数奇偶性的定义判断选项即可求解.【解答】解：由于为定义在R上的偶函数，所以，即，所以，所以是R上的奇函数.选项A：定义域为，不是R，故A错误；选项B：定义域为R，由，则是奇函数，故B正确；选项C：定义域为R，由，则不是奇函数，故C 错误；选项D：定义域为R，由，则是奇函数，故D正确.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了由标准方程确定圆心和半径，点到圆上点的最值问题，圆的切点坐标、切线长，向量的加法运算和向量的数量积的概念及其运算，属于中档题.利用圆C的标准方程确定其圆心和半径，再利用点到圆上点的最值问题对A进行判断;再利用圆的切线长对B进行判断;再利用平面几何知识对C进行判断;再利用向量的加法运算和向量的数量积对D进行判断，从而得结论.【解答】解：对于由得，因此圆C的圆心为，半径为因为，所以点A在圆C外，而，因此线段AP长的最大值为，故A正确;对于由选项A知：，因此当直线AP与圆C相切时，，故B正确;对于因为圆C与x轴交于点，，所以当P与E或F重合时，和都是以AP为斜边的直角三角形，因此以线段AP为直径的圆过原点O，故C错误;对于因为在中，，，，而，所以，因此当与同向共线时，取得最大值，最大值为，故D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及应用，属于较难题.求出，进而求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，得到即可判断求出，利用两点间距离公式求出即可判断求出直线AO的方程，得到，由光学性质可知BQ平行于x轴，可知根据B，D，Q三点都在上，即可判断B；PB平分推出，由，计算m的值，即可判断【解答】解：中，令，即，解得：，故，则直线AB必经过焦点，故直线AB的方程为，即，联立与，得：，故，故A正确;又，即，所以，所以，故B点坐标，则，故C错误；直线AO的方程为，令，则，故，又由光学性质可知BQ平行于x轴，所以Q点纵坐标等于B点坐标为，显然，，Q三点都在上，故B正确；由光学性质可知AP平行于x轴，BQ平行于x轴，则，有，PB平分，有，所以，即，得，故D错误.故选：12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查异面直线的概念，考查棱锥的体积、外接球的表面积，考查空间几何体的截面问题，属于难题.【解答】解：对于A，取CD中点，连接，根据正方体的结构特征，可知，又平面ABCD，平面，所以EF与相交或异面，又点，则直线EF与直线是异面直线，又，所以直线EF与直线是异面直线，故A正确；对于B，取AB中点K，连接MK、DK，根据正方体的结构特征，可知，M ，K分别是，AB的中点，所以，所以，所以，MK共面，所以平面截正方体所得截面为四边形，正方体棱长为4，所以，，，，所以中，，则，，所以中，，则，，所以，故B错误；对于C，连接，，交于点H，取BH中点N，连接MN，根据正方体的结构特征，可知点A，B，，共面，且，，又，，平面，所以平面，又M，N分别为，BH的中点，所以，所以平面，所以MN是三棱锥的高，，中，，，，所以，，故C正确；对于D，取中点，取CD中点，连接，取中点O，连接OA，OB，OM，，根据正方体的结构特征，可知平面，易知中，，又点是中点，所以点是外接圆圆心，又平面，所以上的任一点到点A，B，的距离都相等，所以，又点O是中点，所以过点O且平行于平面ABCD的平面交MB于MB的中点，所以该平面上任一点到点M和点B的距离相等，点O在该平面上，所以，所以，即点O是三棱锥的外接球的球心，易求，则，，则中有，，即三棱锥的外接球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选13.【答案】1359【解析】【分析】本题为正态分布的常规考法，计算简单，属于基础题．首先得到正态分布中，，观察即为，所以【解答】解：由知；，，株水稻，株高在的约有1359株.14.【答案】【解析】【分析】本题考查利用二项展开式的通项求展开式中特定项，属于基础题.求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项．【解答】解：展开式的通项为：，令，解得，，令，解得，，展开式中常数项为：故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质的应用，属于中档题.根据三角函数图象的对称性，得到，求得，进而求得，得到，结合，即可求得的值.【解答】解：如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和EFGH的面积之和，即，因为函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，又因为图中阴影部分的面积为，所以，解得，又由图象可得，可得，所以，所以，所以，因为，可得，即，因为，所以故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了点到直线的距离，利用导数研究函数的最值，函数零点与方程根的关系，属于较难题，由题可得点是直线上一点，求得原点O到直线l的距离d，则，令，，利用导数求其最值即可.【解答】解：由已知可得，，不妨设直线l：则点是直线l上一点，原点O到直线l的距离为，则，设，，，可知函数在上单调递增，可得，所以的最小值为17.【答案】解：由正弦定理得：，所以，即，因为，所以，又，所以；由余弦定理得：，即，所以，即，又，【解析】本题考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，考查了运算求解能力，属于基础题．由题意，由正弦定理得：，进而求出C；由余弦定理得：，即，利用三角形面积公式，结合不等式，求出，即可得解．18.【答案】解：根据直方图可知，成绩在的频率为，大于，成绩的频率为，因此获奖的分数线应该介于之间.设分数线为，使得成绩在的概率为，即，可得，所以获奖分数线划定为应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012P数学期望【解析】本题考查频率分布直方图及利用超几何分布求分布列、均值，属于中档题.根据频率分布直方图计算即可；应从和两组内分别抽取5人和2人，则的可能取值为0，1，2，求出相关概率即可得分布列、数学期望.19.【答案】解：设的公比为q，，是与的等差中项，，，，，由题意知，，又，，，即，故，又，【解析】本题考查等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，分组并项法求和，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题.利用等差中项，等比数列的通项公式列方程解出q，代入公式即可；根据上问得出，又，，可得，即，再根据题意求得的前20项和.20.【答案】解：取AB得中点D，连接PD，由于，因此，又平面平面ABC，又平面平面，平面PAB，平面以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，则，，当时，，，取平面ABC的一个法向量为，，设直线BM与平面ABC所成的角为，，直线BM与平面ABC所成角的正弦值为由题意知，又，，，即，，又，可得，在中，，，【解析】本题考查了利用空间向量求线面所成角，属于中档题.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；由题意知，，由可得，求出，进而求得答案.21.【答案】解：由题意知，化简整理得曲线C的轨迹方程为证明：设，，，由题意知由，可知D，E分别为AP，BP的中点，所以，，由得，，，同理，所以A，B都在直线上.由得，，又因为直线AB过坐标原点，所以又点P到直线AB的距离，所以，又，，故故的面积为定值.【解析】本题考查圆锥曲线的知识，主要考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于较难题.根据与点的距离和它到直线的距离之比是，列出等式化简即可.根据题意得出D，E坐标，将A、B、D、E的坐标带入椭圆方程，联立方程组化简得到A，B 都在直线上，再将此直线与椭圆联立方程组，得出AB距离，用点到直线距离求出高，进而化简的面积得到为定值.22.【答案】解：显然，，恒成立，即恒成立只要恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，上式显然成立，故上式恒成立，只需满足时恒成立即可，设，则上式化为而，可得在单调递减，在单调递增，因此式恒成立，只需恒成立，即对恒成立，于是恒成立，即，设，，则，可得在单调递增，在单调递减，则，于是，实数a的最小值为；证明：设直线l分别切，的图象于点，，由可得，得l的方程为，即，由可得，得l的方程为，即，比较l的方程，得，消去，得，令，则，当时，当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，在上有一个零点，由，得，在上有一个零点，在上有且只有两个零点，故有且只有两条直线与函数，的图象都相切.【解析】本题考查导数中的恒成立、零点问题以及利用导数研究函数的单调性，属于较难题.问题转化为时恒成立即可，设，则上式化为，利用导数求出的单调性，因此式恒成立，只需恒成立，设，，求出的最值即可；首先设直线l与函数，的切点分别为，，并分别求出切线方程，再对比系数后可得，的方程组，消元后，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数，即可证明.。
山东省2022_2023高三数学下学期高考仿真模拟1试题pdf
数学参考答案（ 一 ）1.【答案】B【解析】由题意得A =jxlx<6f,B = jxlx >5f ，所以A n B = jxl5<x <6f ，故选B.2.【答案】A【解析】由题意得z =(3 +7i)(5 -2i)29 +29i (5 +2i ) (5 -2i ) 29 = 1 + i ,所以3z -z =3(1+i ) -(1-i) =2 +4i ，故选A .3.【答案】D4 -0 【解析】解法一：由题意得42=8p，解得p =2，所以抛物线C:y 2=4x,F(1,0)，所以l的方程为y = � (X —l )，即4 -14 y =—(x-1)，与y 2=4x联立得4x 2-17x +4 =0，解得X =4或x =—，所以环＝—，所以IAB I = I A F I + I B F I = 44 425 +—+p =—，故选D．解法二：由题意得42=8p，解得p =2，所以抛物线C:y 2=4x ，利用二级结论X A 环＝L ,可得4 4 4 25 4x B = 1，即X B =—，所以IAB I = I A F I + I B F I = 4+—+p =—，故选D.4 4 44.【答案】C【解析】设当给药时间为3n -1小时的时候，患者的血药浓度为a 几，血药浓度峰值为a ，则数列1a n }是首项为a ,公比为0.4的等比数列，所以a n =ax O . 4n -l ，令a n = 0. 01024a ，即0.4n -l =0. 45，解得n =6，所以当血药浓度为峰值的1.024％时，给药时间为3x6-1=17，故选C.5.【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则｛刓＝4妇，解得r =2,l =2/3，由题意知当球为圆锥的外接球尸＝2丘，3丘44时，休积最小，设外接球的半径为R，则（2丘－R )2+2三矿，解得R =，所以外接球的体积为—,rR 3＝—1T X 2门）3=9辛，故选D.6.【答案】B (x+ 2)sin x 【解析】幻(x )= (x + 2) s in 2x ，则当XE（子，叶时，J (x )<0，不符合图象，排除A；设(x )=，当XEIx I+ 1(0,1T)时，f(x )=�，且2<x+2<1r+2,0<sinx<l,1<x+l <1r+l ，所以0< (x + 2) s in x< 1T + 2，所以f(X) < 1T + 2 < 6，不符合图象，排除C；设f(x )=x 2+2xCOS X +2'令f(x )=0，解得X =0或－2，排除D，故选B.7.【答案】B【解析】由题意得25S 5 = 36，所以2n凡＝36+7(n-5) =7n + 1，所以S n = 7n + 1 2n ．当n =1时，a 1=S 1 =4；当n �24,n = 1,7n + 17n -6 13 -7n { 时，a n =S n -S n -1 =� � = ，所以a n = 13 -7n可知a 2= -t < a 1，当畛2时，a n +l -a n=2n -2n -l -2n ,n �2, 6 -7n 13 -7n 7n -20 2n +I ＝ 2" -2n +I 2n ，则当n =2时，a n +I < a n ，即a 2>也；当n 乏3时，a n +I> a n ，此时飞｝单调递增，即a 3< a 4<a 5 <…，所以飞｝的最小项为a 3= -1，故选B.I．数学－第1页（共7页）8.答案】A解析】由题得b 2 c 2 -a 2c 2 ; ＝ a2 ＝仁）－1= 8，设A (x ,'Y ,)'B (Xz 'Yz)'C (X 3'y3)'D (X 4'Y4)'E (X o 'y 。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知实数集R，，则（）A．B．C．D．2.i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．2D．—23.设随机变量服从正态分布，若，则的值为A．B．C．5D．34.已知函数，则的最小值为（）A．B．C．D．5.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若，，则B．若，，,则C．若，，,则D．若，，则6.若把函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．7.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为（）A．B．C．D．8.的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．9.已知数列满足且，则的值是（）A．B．C．5D．10.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积（）A．3B．C．D．411.已知双曲线的方程为，过左焦点F作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，1P，则双曲线的离心率是（）且轴平分线段F1A．B．C．D．12.已知分别是函数的两个极值点，且,,则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.关于的二项式展开式中的常数项是。
2.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则侧视图的面积为。
3.在区间[0，10]内任取两个数，则这两个数的平方和也[来在[0，10]的概率为。
4.若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为。
三、解答题1.已知函数（I ）求函数的最小值和最小正周期； （II ）设△的内角对边分别为，且，若与共线，求的值．2.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，点M 在边 BC 上，△AMC 1是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求证点M 为边BC 的中点； （Ⅱ）求点C 到平面AMC 1的距离；（Ⅲ）求二面角M —AC 1—C 的大小。
山东高三高中数学高考模拟带答案解析
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（）A．B．C．D．2.若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，A．B．5C．D．3.已知集合，集合，则集合（）A．B．5C．D．4.已知随机变量X服从正态分布A．0．84B．0．68C．0．32D．0．165.已知，则的大小关系为A．B．C．D．6.某一算法程序框图如图所不，则输出的S的值为A．B．C．D．0二、解答题1.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；(II)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2”的概率．2.如图，菱形与四边形BDEF相交于BD，平面ABCD，DE//BF,BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，．(I)求证：GM／／平面CDE；(II)求直线AM与平面ACE成角的正弦值．3.等差数列的前n项和为，且．(I)求数列的通项公式；(II)若数列满足，求数列的前n项和．4.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为直径的圆O过椭圆E的上顶点D，直线DB与圆O相交得到的弦长为．设点，连接PA交椭圆于点C，坐标原点为O．(I)求椭圆E的方程；(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求的最小值．5.己知函数 (其中e为自然对数的底数)，．(I)求函数的单调区间；(II)设，.已知直线是曲线的切线，且函数上是增函数．(i)求实数的值；(ii)求实数c的取值范围．三、填空题1.的展开式的常数项是_____________．2.祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．由椭圆所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一如图所示的几何体，称为椭球体．请类比应用祖暅原理求球体体积公式的做法，求出椭球体体积，其体积等于______________.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.设点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组内对应的平面区域如图: 对应的图形为,其中对应面积为,若在区间上是增函数, 则满足且对称轴,即,结合条件,可得对应的平面区域为,由解得,所以对应的面积为,所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选A．【考点】1、二次函数的性质；2、线性规划及几何概型概率公式．2.若复数在复平面内的对应点关于实轴对称，A．B．5C．D．【答案】B【解析】∵复数在复平面内的对应点关于实轴对称，∴则（2﹣i）（2+i）=22+12=5．故选：B．3.已知集合，集合，则集合（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】根据题意可得，，解得，满足题意，所以集合＝．故选C．4.已知随机变量X服从正态分布A．0．84B．0．68C．0．32D．0．16【答案】B【解析】∵∴，∴∴.故选B．5.已知，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】C【解析】∵∴．又∵，∴．故选：C．6.某一算法程序框图如图所不，则输出的S的值为A．B．C．D．0【答案】A【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由于的周期为6，且同一周期内各个函数的值得累加和为0，，故，故选A.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.二、解答题1.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；(II)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2”的概率．【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）设“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件的概率，从而得到选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）由题意得到随机变量的取值，计算其概率，列出分布列，根据公式求解数学期望.（Ⅲ）由题意得所调查的学生中物理、化学、生物选考两科目的学生的人数，得到相应的概率，即可求解“”的概率.试题解析：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2，从而X的分布列为（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名相应的概率为，所以~所以事件“”的概率为2.如图，菱形与四边形BDEF相交于BD，平面ABCD，DE//BF,BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，．(I)求证：GM／／平面CDE；(II)求直线AM与平面ACE成角的正弦值．【答案】（I）见解析；（II）.【解析】(I) 取的中点，连接，要证平面，只需证平面平面，又，可得；（Ⅱ）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量求解即可.试题解析：证明：（Ⅰ）取的中点，连接.因为为菱形对角线的交点，所以为中点，又为中点，所以，又因为分别为的中点，所以，又因为，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面；（Ⅱ）连接，设菱形的边长，则由，得，又因为，所以，则在直角三角形中，，所以，且由平面，，得平面.以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则则，设为平面的一个法向量，则即令，得，所以，又，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3.等差数列的前n项和为，且．(I)求数列的通项公式；(II)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（I）；（II）.【解析】(I) 设等差数列的公差为，根据题意列方程求解即可；(II)，由，求出进而得，裂项求和即可.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，∵∴，解得．∴（Ⅱ）∵，，当时，当时，适合上式，所以．.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为直径的圆O过椭圆E的上顶点D，直线DB与圆O相交得到的弦长为．设点，连接PA交椭圆于点C，坐标原点为O．(I)求椭圆E的方程；(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积，求的最小值．【答案】（I）；（II）.【解析】(I)由直线与圆相交，利用垂径定理列方程求解即可；（Ⅱ）分别求得三角形ABC的面积和四边形OBPC的面积，由题意即可求得|t|的最小值．试题解析：（Ⅰ）因为以为直径的圆过点，所以，则圆的方程为，又，所以，直线的方程为，直线与圆相交得到的弦长为，则，所以，，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由已知得：，，椭圆方程为，设直线的方程为，由整理得，解得：，，则点的坐标是，故直线的斜率为，由于直线的斜率为，所以，所以.所以，，所以，整理得，，所以.5.己知函数 (其中e为自然对数的底数)，．(I)求函数的单调区间；(II)设，.已知直线是曲线的切线，且函数上是增函数．(i)求实数的值；(ii)求实数c的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）（1）；（2）.【解析】(I)求导得，讨论和即可；(II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先构造来讨论和的大小，得，求导，得. 由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知：在，上恒成立，分两段讨论即可.试题解析：（Ⅰ）∵，∴，①当时，在时，，在时，，故在上是减函数，在上是增函数；②当时，在时，，在时，，故在上是增函数，在上是减函数；（Ⅱ）（1）对求导，得，设直线与曲线切于点，则解得，∴；（2）记函数，，求导，得，当时，恒成立，当时，，∴，∴在上恒成立，故在上单调递减．又，，曲线在[1，2]上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的∈（1，2），使．∴当时，＞0，当时，＜0．∴当时，=求导，得由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知：在，上恒成立．①当时，≥0在上恒成立，即在上恒成立， 记，，则，，当 变化时，，变化情况列表如下：3极小值∴min=极小值=，故“在上恒成立”，只需，即．②当时，， 当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数在上是增函数．故实数的取值范围是．三、填空题1.的展开式的常数项是_____________．【答案】3 【解析】=，故它的展开式的常数项为.故答案为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.2.祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．由椭圆所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一如图所示的几何体，称为椭球体．请类比应用祖暅原理求球体体积公式的做法，求出椭球体体积，其体积等于______________.【答案】【解析】椭圆的长半轴为，短半轴为，现构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积==.故答案为：．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f
2
an
7
7 +7 7 +1
2
=
7
7
可知1
a2 n+1
7 ln
7
ln
a2 n+1
0
ln
an
2 ln an+1
7 an
an
7
7
7
2）n 为偶数时， an 7 ， an+1 7 ，由（2）的单增可知
2
( ) an
a2 n+1
=
an
f
2
an
7
7 +7 7 +1
=7
7
可知 an 7 1 ln an ln 7 0 ln an 2 ln an+1
AC 11. B 选项构造二面平行，C 选项注意把面补全为 AEFD1（也可通过排除法选出），D 选项
CG 中点明显不在面上，BC 12. 利用函数平移的思想找对称中心，ABC 三、填空题 13. 确定不是小学题？36
14. 竟然考和差化积，头哥告诉过你们记不住公式怎么办，不过这题直接展开也可以， − 4 5
7
a2 n+1
7
a2 n+1
7
7
7
书山有路
ln an+1
由 1）2）可得
7 1
ln an 2
7
ln a2 ln a3
所以 ln an = ln a1 7 7
7
7 ln a1 ln a2
7
7
ln an 7 ln
ln an−1 7
7
1 2
n−1
1 2
n−1
所以 2n−2 2ln an − ln 7 1
书山有路
山东省 2020 年高考数学模拟考试试题及答案
1
书山有路
2
书山有路
3
书山有路
4
书山有路
5
书山有路
参考答案
一、单项选择题 1. 一看就是两个交点，所以需要算吗？C 2. 分母实数化，别忘了“共轭”，D 3. 简单的向量坐标运算，A 4. 球盒模型（考点闯关班里有讲），37 分配，B 5. 在一个长方体中画图即可（出题人就是从长方体出发凑的题，其实就是一个鳖臑 bie nao）
1− 7=
7 an − an +1
7
知
若 an 7 ，则 an+1 7 ；若 an 7 ，则 an+1 7
又 a1 = 1 7 ，所以 n 为奇数时 an 7 ，n 为偶数时 an 7
1）n 为奇数时， an 7 ， an+1 7 ，由（2）的单增可知
( ) an
a2 n+1
=
an
的通项 an = 3n −16 ， k = 4 ，同理②不存在，③ m.cksdu 牛逼 k = 4
18. （1）根据三角形面积很容易得出两边之比，再用正弦定理即可，60° （2）设 AC=4x（想想为什么不直接设为 x？），将三角形 CFB 三边表示出来，再用余
弦定理， 5 17 51
19. （1）取 SB 中点 M，易知 AM//EF，且 MAB=45°，可得 AS=AB，易证 AM⊥面 SBC， 进一步得证
6
书山有路
（2）可设 AB=AS=a，AD= 2a ，建系求解即可， − 3 3
20. （1）正相关
（2）公式都给了，怕啥，但是需要把公式自己化简一下， yˆ =121.86 + 7.89x
（3）两侧分布均匀，且最大差距控制在 1%左右，拟合效果较好
( ) 21. （1）没啥可说的， x2 + y2 = 1， x − 3 2 + y2 = 1
证毕 注：奉劝大家千万不要求通项公式，当然利用不动点也能求出来
n−1
( ) ( ) 7 + 7
1+
7
− 7− 7
an =
1− 7
n−1
，只是接下来你就要崩溃了吧~~~
( ) ( ) 1+
7
1+
7
− 1− 7
1− 7
8
4
Байду номын сангаас
4
（2）单一关参模型，条件转化为 AB=CD=1（绝招班里有讲），剩下就是计算了，无解， 所以不存在 22. （1）送分的（求导可用头哥口诀），7
（2）考求导，没啥意思，注意定义域，单增 (0, +)
（3）有点意思，详细点写
由递推公式易知 an 1
( )( ) 由 an+1 −
7 = an + 7 − an +1
C 6. 画个图，一目了然，A 7. 关键是把“所有”翻译成“任取”，C 8. 用 6、4、2 特值即可（更高级的，可以用极限特值 8-、4、2，绝招班里有讲），B 二、多项选择题 9. 这个，主要考语文，AD
10.
注意相同渐近线的双曲线设法，
x2 a2
−
y2 b2
=
，D
选项可用头哥口诀（直线平方……）
15. 利用焦半径公式，或者更快的用特殊位置，或者更更快用极限特殊位置（绝招班有讲）， 2，1
16. 根据对称之美原则（绝招班有讲），8 （老实讲，选择填空所有题都可以不动笔直接口算出来的呀~~~） 四、解答题
17. 故弄玄虚，都是等差等比的基本运算，选①，先算等比的通项 bn = − ( ) −3 n−1 ，再算等差