2016版高考总复习课标A版数学(文)2-13
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节 基本不等式 (2)
≥2+2
2
2
·=4,当且仅当
1
∴0<a<1.∵a+≥2
错误.
2
2
2,当且仅当
1
a=b= 时,等号成立,故
2
1
1
1
1
B 错误; + =(a+b) +
1
a=b=2时,等号成立,故
1
·=2,当且仅当
A正
=2+ +
C 错误;∵a>0,b>0,a+b=1,
1
a=1 时,等号成立,∴a+取不到
2ab
(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
+ 2
(3)ab≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
+ 2 2 +
(4)
≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
3.利用基本不等式求最值
1
(x+y) + 的形式,再展开利用基本不等式求得最值.即将欲求最值的目标
式中的常数用变量替换,构造符合基本不等式应用的条件.
对点训练3(2021重庆八中高三月考)若实数x,y满足x>2y>0,且xy=1,则
2 + 42
的最小值是
-2
.
答案 4
解析 x,y 满足 x>2y>0,且
2
C.若 + ≥2,则必有 a>0,b>0
高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第2章函数2-4
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[强化训练 1.1] 已知 y＝f(x)是二次函数，且 f(－32＋x)＝f(－23－x)对 x∈R 恒成立，f(－ 32)＝49，方程 f(x)＝0 的两实根之差的绝对值等于 7.求此二次函数的解析式．
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答案
1．(1)ax2＋bx＋c (2)a(x－h)2＋k
(3)a(x－x1)(x－x2) 2．(1)－2ba (2)(－2ba，4ac4－a b2) (3)向上 向下 (4)[4ac4－a b2，＋∞) (－∞，4ac4－a b2]
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02 函数的概念、基本初等函数 (Ⅰ)及函数的应用
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§2.4 二次函数
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2．(教材改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在区间[5，20]上是单调函数，则实数 k 的取 值范围是________．
解析：二次函数的对称轴方程是 x＝8k，
故只需8k≤5 或8k≥20，即 k≤40 或 k≥160. 故所求 k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞) 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)
人教A版高考数学(文)二轮复习 专题 概率与统计课件第2讲
[微题型 3] 茎叶图与古典概型交汇 【例 2－3】 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生
参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图所 示，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位 数是 83.
(1)求 x 和 y 的值； (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s2；
(3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取 2 名学生，求甲班至 少有 1 名学生的概率．
解 (1) 因 为 甲 班 学 生 成 绩 的 平 均 分 是 85 ， 所 以 92＋96＋80＋807＋x＋85＋79＋78＝85.所以 x＝5. 因为乙班学生成绩的中位数是 83， 所以 y＝3.
(2)甲班 7 位学生成绩的方差为 s2＝17[(79－85)2＋(78－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2 ＋(92－85)2＋(96－85)2]＝40. (3)设“甲班至少有 1 名学生”为事件 M，则 M 为“抽取的两 名学生都是乙班的”． 甲班成绩在 90 分以上的学生有 2 名，分别记为 A，B， 乙班成绩在 90 分以上的学生有 3 名，分别记为 C，D，E. 从这 5 名学生中任取 2 名学生有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A， E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 种不同的结果．
解 (1)社区总数为 12＋18＋6＝36，样本容量与总体中的个体 数比为366＝16. 所以从 A，B，C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为 2,3,1. (2)设 A1，A2 为在 A 行政区中抽得的 2 个社区，B1，B2，B3 为 在 B 行政区中抽得的 3 个社区，C 为在 C 行政区中抽得的社 区，在这 6 个社区中随机抽取 2 个，全部可能的结果有
(新课标)高考数学总复习-第二节 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
4．数列{an}为等差数列，公差 d＝－2，Sn 为其前 n 项和， 若 S10＝S11，则 a1＝________.
解析：由题意知 10a1＋10×2 9d＝11a1＋11×2 10d， 又∵d＝－2，∴10a1－90＝11a1－110，∴a1＝20.
答案：20
[典题 1] (1)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5
2．已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满 足 a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列bn满足 bn＝nS＋n c，是否存在非零实数 c 使得{bn} 为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由．
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m ∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (7)S2n－1＝(2n－1)an. (8)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d； 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差，通常用字母 d
表示，定义表达式为
an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2) 或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) ．
(2)等差中项
若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b
且有 A＝ 2 .
(8)等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，取出数列中的所有奇 数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列．( )
答 案 ： (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)√ (8)√
2-13第十三节 导数的应用(二)(2015年高考总复习)
变式思考 1
1 2 x 设函数f(x)＝ x ＋e －xex. 2
(1)求f(x)的单调区间； (2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值 范围．
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第二章
第十三节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
解
(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
2
又x>0，∴a>xlnx－x3， 令g(x)＝xlnx－x3， h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，
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第二章
第十三节
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1－6x 1 h′(x)＝ x－6x＝ x . ∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0， ∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数． ∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0. ∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数． ∴g(x)<g(1)＝－1. ∴当a≥－1时，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．
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第二章
第十三节
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疑 点 清 源 1．实际问题的最值 (1)注意函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么 只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点 的函数值比较． 2．判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的 单调性．
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第二章
第十三节
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解析
设时间t时，水波圆的半径、面积分别为r、S，则r＝
不等关系与不等解法
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1 1 (2)已知a、b为实数，则“a>b>1”是“ < ”的( a－ 1 b － 1 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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问题探究3：(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R的充 要条件是什么？ (2)不等式ax ＋bx＋c≤0(a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条 件是什么？ (3)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为Ø的充要条件是什 么？
a>0， 提示：(1) Δ<0 a<0， (2) Δ≤0 a<0， (3) Δ≤0
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第六章
第一节
与名师对话· 系列丛书
基 础 知 识 回 顾 考 点 互 动 探 究 名 师 讲 坛
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(1)已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是 ( ) A．a <b
2 2
B．a b<ab
2
2
1 1 b a C.ab2<a2b D.a<b )
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高考总复习·课标A版·数学·文
a 【解析】 (1)令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则 ＝－ c b a 3 b 2 a b 1， ＝－1，所以A，B错误； ＝－ ， ＝－ ，所以 < ，所以 d d 2 c 3 d c C错误．故选D.
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第六章
第一节
新高考数学人教A版一轮总复习课件1.1集合应用篇
例 (2016北京文,14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一
天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售
出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店:
①第一天售出但第二天未售出的商品有
种;
②这三天售出的商品最少有
种.
解题导引 “网购”是现代购物的重要方式之一,本题以售出商品的种
由图知该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种). ②由①知,前两天售出的商品有19+13-3=29(种),当第三天售出的18种都 是前两天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少,售出的商品最少有 29种.
答案 ①16 ②29
方法总结 本题实际上是把实际问题用集合的符号语言及图形语言表 示出来,体现数学的转化与化归思想,这与数学抽象、逻辑推理等学科核 心素养是紧密关联的,在强调核心素养的大环境下,需关注此类问题.解决 此类问题的关键是灵活运用Venn图.
类为背景,考查了集合运算和Venn图等基本知识,同时也涉及转化与化
归、数形结合的数学思想.
①可以通过集合交、补运算确定元素个数;②中三天与前两天售出的商品种类完全相同时,总的种类最少.
解析 ①设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的 商品为集合B,则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B 中有3个元素,如图所示,
2016届高考数学(新课标版 文)二轮复习细致讲解课件第2章数列(共165张PPT)
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2
【答案】(-3,+∞)
热点重点难点专题透析· 数学(文科)
专题2文
5.(2015 年四川卷)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{������ }的前 n 项和为 Tn,求 Tn.
(
). A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1
热点重点难点专题透析· 数学(文科)
专题2文
【解析】(法一)∵
������1 + ������3 = , ������2 + ������4 =
5 2 5 ∴ , 4
������1 + ������1 ������ 2 = , ������1 q + ������1 ������ 3 = .
2
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专题2文
4.已知数列{an}满足 an=n2+λn+2(n∈N*)是递增数列,则实数λ的 取值范围是
.
热点重点难点专题透析· 数学(文科)
专题2文
【解析】 (法一)只要 an+1>an 对 n∈N 恒成立即可,所以(n+1) + λ(n+1)+2>n2+λn+2, 所以λ>-2n-1 对 n∈N*恒成立,所以λ>-3. (法二)把 an=n2+λn+2(n∈N*)看作是关于 n 的二次函数,其对 称轴
5 4
5 2
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第三节 等比数列 (2)
,S9=
.由
1-
1-
1+3 +6
1+3
=
3
1
3
,解得 q =- 或 q3=1(舍去).由
2
2
a1-a4=3 得 a1(1-q )=3,于是得 a1=2,则有 an=2·
q .由
3
1
−
2
-1
3
=
1 2
=
2
1 2
-1
− ,从而有 =2,解得
2
3
n-1
1
am=2得
·
=
(+2) +1
2 ·
(+1)
∴数列{bn}是首项为 2,公比为 4
=
(+2) 4(+1)2
2 ·(+2) =4,且
(+1)
+1
的等比数列,∴bn= ·
an=2·
4n-1,则
an= ·
22n-1.
+1
(2)解 ∵bn=2·
4 ,∴Tn=2×(1+4+…+4
或 Sn= 1 -
1-
, ≠ 1
1-
, ≠ 1.
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防
止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*).
=q(n∈N*).
2016年高考文科数学试卷及答案解析(新课标全国1卷)【WORD版】
绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试 1文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致.2。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3。
考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x｜x=3n+2，n ∈N},B=｛6,8，12,14}，则集合A ⋂B中元素的个数为(A）5 （B）4 （C）3 （D)2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=(—4，-3)，则向量BC=（A）（—7，-4）（B)（7，4） (C）（-1,4） (D）(1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2—I (B)-2+I （C）2—I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4,5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110(D）120（5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12,E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个焦点，则|AB｜= （A)3 （B）6 （C）9 (D)12（6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。
2016年高考数学新课标1(文科)试题及答案【解析版】
2016年高考数学新课标Ⅰ（文）试题及答案解析（使用地区山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【2016 新课标Ⅰ（文）】1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7} 【答案】B【解析】取A ，B 中共有的元素是{3,5}，故选B 【2016 新课标Ⅰ（文）】2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( )A ．-3B ．-2C ．2D ． 3 【答案】A【解析】(1+2i )(a+i )= a -2+(1+2a )i ，依题a -2=1+2a ，解得a=-3，故选A 【2016 新课标Ⅰ（文）】3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13 B ．12 C ．23D ．56 【答案】C 【解析】设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=4263=，故选C 【2016 新课标Ⅰ（文）】4．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2,2,c o s 3a c A ===，则b=( )A ．BC ．2D ．3【答案】D【解析】由余弦定理得：5=4+b 2-4b ×23， 则3b 2-8b -3=0，解得b =3，故选D【2016 新课标Ⅰ（文）】5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】B【解析】由直角三角形的面积关系得bc=124⨯12c e a ==，故选B【2016 新课标Ⅰ（文）】6．若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π)B ．y =2sin(2x +3π)C ．y =2sin(2x –4π)D ．y =2sin(2x –3π) 【答案】D【解析】对应的函数为y =2sin[ 2(x -14π⨯)+6π]，即y =2sin(2x –3π)，故选D【2016 新课标Ⅰ（文）】7圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π， 则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 【答案】A【解析】依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积34728383V R ππ=⨯=，解得R=2，表面积227342+21784S πππ=⨯⨯⨯=，故选B【2016 新课标Ⅰ（文）】8．若a >b >0，0<c <1，则( )A ．log a c <log b cB ．log ca <log cb C ．ac <b c D ．c a >c b 【答案】B【解析】取特值a =1，b =0.5，c =0.5，可排除A ，C ，D ，故选B 【2016 新课标Ⅰ（文）】9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )【解析】当0≤x ≤2时，y'=4x –e x ，函数先减后增，且y'|x =0.5>0，最小值在(0,0.5)内. 故选D【2016 新课标Ⅰ（文）】10则输出x ，y 的值满足( )CA ．y =2xB ．y =3xC ．y =4xD ．y =5x【答案】C【解析】运行程序，循环节内的n ，x ，y 依次为 (1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x =1.5，y= 6，故选C 【2016 新课标Ⅰ（文）】11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1 α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1则m ，n 所成角的正弦值为( )A B C D ．13【答案】A【解析】平面A 1B 1C 1D 1∩平面CB 1D 1= B 1D 1与m 平行，平面CDD 1C 1∩平面CB 1D 1= CD 1与n 平行，所以m ，n 所成角就是B 1D 1与CD 1所成角，而ΔCB 1D 1是等边三角形，则所成角是60°，故选A 【2016 新课标Ⅰ（文）】12．若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13]C ．[-,13]D ．[-1,-13] 【答案】C【解析】2()sin cos sin 3f x x -x x a x =+ ，222'()1(cos sin )cos 3f x -x x a x ∴=-+， 依题f'(x )≥0恒成立，即a cos x ≥2cos 213x -恒成立，而(a cos x )min =-|a |，21111cos 21||[]33333x a a -≤-∴-≥-∈-，，解得，，故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 【2016 新课标Ⅰ（文）】13．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .【答案】23-【解析】依题x +2(x +1)=0，解得x=23-【2016 新课标Ⅰ（文）】14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= . 【答案】43-【解析】依题θ+π4是第一象限角，cos(θ+π4)=45，tan(θ-π4)=- tan(π4-θ) =- tan[π2-(θ+π4)]=- sin[π2-(θ+π4)]/cos[π2-(θ+π4)]=- cos(θ+π4)/ sin(θ+π4)=43-【2016 新课标Ⅰ（文）】15．设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若|AB |=C 的面积为 .【答案】4π【解析】圆方程可化为x 2+ (y -a )2=a 2+2，圆心C 到直线距离d，由d 2+3=a 2+2， 解得a 2=2，所以圆半径为2，则圆面积为4π 【2016 新课标Ⅰ（文）】16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000【解析】设生产A 、B 两种产品各x 件、y 件，利润之和是z ＝2100x +900y ，约束条件是 1.50.51500.390536000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，即3300103900536000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩作出可行域四边形OABC ，如图.画出直线l 0：7x +3y =0，平移l 0到l ，当l 经过点B 时z 最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600 解得交点B (60,100)，所以 z max =126000+90000=216000.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 【2016 新课标Ⅰ（文）】17.（本题满分12分）已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=31，a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求{b n }的前n 项和. 【解析】(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=31，解得a 1=2 …2分 通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=31b n ，所以{b n }是公比为31的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313nn --=-⨯- …12分 【2016 新课标Ⅰ（文）】18.（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (Ⅰ)证明G 是AB 的中点；(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． 【解析】(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ． 又DE ⊥平面P AB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ． 又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题P A=PB ，∴G 是AB 的中点．…6分 (Ⅱ)在平面P AB 内作EF ⊥P A （或EF // PB ）垂足为F ，则F 是点E 在平面P AC 内的正投影. …7分理由如下：∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面P AB ． ∴EF ⊥PC作EF ⊥P A ，∴EF ⊥平面P AC ．即F 是点E 在平面P AC 内的正投影.…9分 连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴D 在中线CG 上，且CD =2DG ．易知DE // PC ，PC=PB=P A = 6，∴DE =2，PE =2233PG =⨯= 则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2． 所以四面体PDEF 的体积1433V S DE =⨯=. …12分 【2016 新课标Ⅰ（文）】19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n =19，求y 与x 的函数解析式；(Ⅱ)若要求―需更换的易损零件数不大于n ‖的频率不小于0.5，求n 的最小值；(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】(Ⅰ)当x ≤19时，y =3800；当x >19时，y =3800+500(x -19)=500x -5700.所以y 与x 的函数解析式为3800,19(*)5005700,19x y x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩…3分(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n 的最小值为19. …6分(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分【2016 新课标Ⅰ（文）】20.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，直线l ：y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .(Ⅰ)求OH ON； (Ⅱ)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.【解析】(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p, t )，ON 的方程为p y x t =.联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分所以H (22t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON=2. …6分(Ⅱ)直线MH 的方程为2py t x t-=，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. …12分【2016 新课标Ⅰ（文）】21.（本小题满分12分）已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2.(Ⅰ)讨论f (x )的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ). x ∈R …2分 (1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增. …3分(2)当a <0时，令f '(x )=0，解得x =1或x =ln(-2a ).①若a =2e-，ln(-2a ) =1，f '(x )≥0恒成立，所以f (x )在(-∞,+ ∞)上单调递增. ②若a >2e-，ln(-2a )<1，在(ln(-2a ),1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(-∞, ln(-2a ))与(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.③若a <2e-，ln(-2a )>1，在(1,ln(-2a ))上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞,1)与(ln(-2a ),+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.…7分(Ⅱ) (1)当a =0时，f (x )=(x -2)e x 只有一个零点，不合要求. …8分 (2)当a >0时，由(Ⅰ)知f (x )在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增. 最小值f (1)=-e <0，又f (2)= a >0，若取b <0且b <ln 2a ，e b <2a . 从而f (b )>223(2)(1)()022a b a b a b b -+-=->，所以f (x )有两个零点. …10分 (3)当a <0时，在(-∞,1]上，f (x )<0恒成立；若a ≥2e-，由(Ⅰ)知f (x )在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点.若a <2e-，f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减；在(ln(-2a ),+∞)上单调递增，也不存在两个零点.综上a 的取值范围是(0,1). …12分【2016 新课标Ⅰ（文）】22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔOAB 是等腰三角形，∠AOB =120°. 以O 为圆心，12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明：直线AB 与⊙O 相切；(Ⅱ)点C ,D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD . 证明：(Ⅰ)设E 是AB 的中点，连接OE ，因为OA=OB ，∠AOB =120°. 所以OE ⊥AB ，∠AOE =60°. …3分 在Rt ΔAOE 中，OE=12OA . 即圆心O 到直线AB 的 距离等打半径，所以直线AB 与⊙O 相切. …5分(Ⅱ)因为OD=12OA ，所以O 不是A ,B ,C ,D 四点共圆的圆心，故设其圆心为O'，则O'在AB 的垂直平分线上.又O 在AB 的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB .…8分 同理可证O O'⊥CD .所以AB ∥CD . …10分【2016 新课标Ⅰ（文）】23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a >0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解析】(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y -1)2=a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心a 为半径的圆. …3分 将x= cos ，y= sin 代入可得C 1的极坐标方程为 2-2 sin +1-a 2=0. …5分(Ⅱ)联立 2-2 sin +1-a 2=0与ρ=4cos θ消去ρ得16cos 2 -8sin cos +1-a 2=0， 由tan θ=2可得16cos 2 -8sin cos =0. 从而1-a 2=0，解得a =1. …8分 当a =1时，极点也是C 1与C 2的公共点，且在C 3上，综上a =1. …10分【2016 新课标Ⅰ（文）】24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )=| x +1| -|2x -3|.(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y =f (x )的图像； (Ⅱ)求不等式| f (x )|>1的解集.【解析】(Ⅰ)4,13()32,1234,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩y =f (x )的图像如图所示. …5分(Ⅱ)由f (x )的图像和表达式知，当f (x )=1时，解得x =1或x =3.当f (x )=-1时，解得x =13或x =5. …8分 结合f (x )的图像可得| f (x )|>1的解集为{x |x <13或1< x <3或x >5}. …10分2016年全国高考新课标1卷文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7} 2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( )A ．-3B ．-2C ．2D ． 33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13 B ．12 C ．23D ．564．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知22,cos 3a c A ===， 则b=( )A ．BC ．2D ．35．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．346．若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π) 7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 8．若a >b >0，0<c <1，则( )A ．log a c <log b cB ．log c a <log c bC ．a c <b cD ．c a >c b 9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )10．执行右面的程序框图，如果输入的x =0，y =1，n =1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y =2xB ．y =3xC ．y =4xD ．y =5x11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )AB．2 CD ．1312．若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13]C ．[-13,13]D ．[-1,-13]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= . 15．设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=则圆C 的面积为 .16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 17.（本题满分12分）已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=31，a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求{b n }的前n 项和.18.（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(Ⅰ)证明G 是AB 的中点；(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n =19，求y 与x 的函数解析式；(Ⅱ)若要求―需更换的易损零件数不大于n ‖的频率不小于0.5，求n 的最小值；(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，直线l ：y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .(Ⅰ)求OHON；(Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a >0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )=| x +1| -|2x -3|.(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y =f (x )的图像；(Ⅱ)求不等式| f (x )|>1的解集.2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．23- 14．43- 15．4π 16．216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．【解析】(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=31，解得a 1=2 …2分 通项公式为 a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=31b n ，所以{b n }是公比为31的等比数列.…9分所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313nn --=-⨯- …12分18．【解析】(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ． 又DE ⊥平面P AB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ． …3分 又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题P A=PB ，∴G 是AB (Ⅱ)在平面P AB 内作EF ⊥P A （或EF // PB ）垂足为F ，则F 是点E 在平面P AC 内的正投影. …7分理由如下：∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面P AB ． ∴EF ⊥PC作EF ⊥P A ，∴EF ⊥平面P AC ．即F 是点E 在平面P AC 内的正投影.…9分连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴D在中线CG 上，且CD=2DG ．易知DE // PC ，PC=PB=P A = 6，∴DE =2，PE =2233PG =⨯= 则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2．所以四面体PDEF 的体积1433V S DE =⨯=. …12分 19．【解析】(Ⅰ)当x ≤19时，y =3800；当x >19时，y =3800+500(x -19)=500x -5700. 所以y 与x 的函数解析式为3800,19(*)5005700,19x y x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩ …3分 (Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n 的最小值为19. …6分(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分20．【解析】(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p, t )，ON 的方程为p y x t =. 联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分所以H (22t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON=2. …6分 (Ⅱ)直线MH 的方程为2p y t x t-=，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. …12分21．【解析】(Ⅰ) f '(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ). x ∈R …2分(1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增. …3分(2)当a <0时，令f '(x )=0，解得x =1或x =ln(-2a ).①若a =2e -，ln(-2a ) =1，f '(x )≥0恒成立，所以f (x )在(-∞,+ ∞)上单调递增. ②若a >2e -，ln(-2a )<1，在(ln(-2a ),1)上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞, ln(-2a ))与(1,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.③若a <2e -，ln(-2a )>1，在(1,ln(-2a ))上，f '(x )<0，f (x )单调递减； 在(-∞,1)与(ln(-2a ),+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增.…7分(Ⅱ) (1)当a =0时，f (x )=(x -2)e x 只有一个零点，不合要求. …8分(2)当a >0时，由(Ⅰ)知f (x )在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.最小值f (1)=-e <0，又f (2)= a >0，若取b <0且b <ln2a ，e b <2a . 从而f (b )>223(2)(1)()022a b a b a b b -+-=->，所以f (x )有两个零点. …10分 (3)当a <0时，在(-∞,1]上，f (x )<0恒成立；若a ≥2e -，由(Ⅰ)知f (x )在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点.若a <2e -，f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减；在(ln(-2a ),+∞)上单调递增，也不存在两个零点.综上a 的取值范围是(0,1). …12分。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第6节 对数与对数函数
逐渐增大.
4.反函数
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数,函数
y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于 直线y=x 对称.
常用结论
1.logab·
logba=1,即
1
logab=
(a,b 均大于
lo g
0 且不等于 1).
2.logab·
logbc·
logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
研考点 精准突破
考点一
对数的运算
例1计算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;
(lg3 )2 -lg9 +1·(lg 27+lg8 -lg 1 000)
log 2 ≤ 2,
1
0,
2
2
,即
2
上有交点.
a 的取值范围为 0,
2
2
.
考点三
对数函数的性质及应用(多考向探究)
考向1 比较对数值的大小
例3 (1)设a=log26,b=log312,c=log515,则(
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.c<a<b
a
(2)已知 3 =log 1 a,
性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形
结合法求解.
对点训练2(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是(
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f(a)、f(b) ②将函数 y＝f(x) 的各极值与端点处的函数值 __________________________
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
问题探究：函数的极值和最值有哪些区别？ 提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数 在某一点的极大(小)值， 可以比另一点的极小(大)值小(大)； 最大、 最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况 下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小) 值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有 一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2． (1)根据最值的定义， 求在闭区间[ a， b] 上连续， 开区间(a， b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使 f ′(x) ＝0 成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的 函数值进行比较，就可判定最大(小)值． (2)定义在开区间(a， b)上的可导函数， 如果只有一个极值点， 该极值点必为最值点．
答案：C
2．若函数 f(x)＝x3－6bx＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数 b 的取值范围是( A．(0,1) C．(0，＋∞) ) B．(－∞，1)
1 D.0， 2
解析： f(x)在(0,1)内有最小值， 即 f(x)在(0,1)内有极小值， f ′(x) ＝3x2－6b， 由题意，函数 f ′(x)的草图如图，
当 a＝1 时，f(x)在 x＝0 处和 x＝1 处同时取得最小值； 当 1<a<4 时，f(x)在 x＝0 处取得最小值．
在求解含有参数的闭区间上的函数最值问题中， 分类讨论的 标准就是函数的极值点与闭区间的位置关系， 根据位置关系确定 函数在闭区间上的单调性，如果极值点在区间内，再结合区间的 端点值进行进一步讨论．
求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通 过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念， 而极值是个“局部”概念．
(2014· 安徽卷)设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性； (2)当 x∈[0,1] 时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值． 【思路启迪】 (1)利用导数运算公式求出函数 f(x)的导数， 求出导数为 0 时对应方程的根及由导数值的符号判断函数的单 调性；(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值．
已知函数 g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex(0≤a≤1)， 求函数 g(x)在[0,1] 上的最大值．
f ∴ f －6b<0， ′0<0， 即 ′1>0， 3－6b>0，
1 解得 0<b<2.故选 D.
答案：D
3．函数 f(x)＝ex－x(e 为自然对数的底数)在区间[ －1,1] 上的 最大值是__________．
解析：f ′(x)＝ex－1，令 f ′(x)＝0，得 x＝0. 1 又 f(0)＝e －0＝1, f(1)＝e－1>1, f(－1)＝ ＋1>1， e
0
e2－2e－1 1 1 而 e－1－e＋1＝e－e －2＝ >0， e 所以 f(x)max＝f(1)＝e－1.
答案：e－1
考 点
互 动 探 究
考点一 求函数的最值
1.设函数 f(x)在[ a，b] 上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[ a， b] 上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值． (2) 将函数 y＝ f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 比
第 二 章
函数、导数及其应用
第十三节
导数的应用(二)
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基 础
知 识 回 顾
1．函数的最值
连续不断 (1)如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条_________
的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
极值． ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的_________
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系， 列出实际问题的数学模 型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f ′(x)＝0 的点的函数值的大小， 最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
【解】
(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2. －1－ 4＋3a 令 f′(x)＝0，得 x1＝ ， 3 －1＋ 4＋3a x2＝ ，x1<x2， 3 所以 f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当 x<x1 或 x>x2 时，f′(x)<0；当 x1<x<x2 时，f′(x)>0. 故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单 调递增．
1．函数 y＝ln x－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( A．e C．－1 B．1 D．－e
)
解析：函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)， 1－x 1 又 y′＝ －1＝ ， x x 令 y′＝0 得 x＝1， 当 x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增， 当 x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减． 当 x＝1 时，函数取得最大值－1，故选 C.
(2)因为 a>0，所以 x1<0，x2>0. ①当 a≥4 时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1] 上单调递增，所 以 f(x)在 x＝0 和 x＝1 处分别取得最小值和最大值． ②当 0<a<4 时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2] 上单调递增， －1＋ 4＋3a 在[ x2,1] 上单调递减， 所以 f(x)在 x＝x2＝ 处取得最大 3 值． 又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以 当 0<a<1 时，f(x)在 x＝1 处取得最小值；